2º Bachillerato - Física - Problemas PAU

Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU) –Física Nuclear–
13
13
13
13
1.–
¿Cuánto vale el defecto de masa del núcleo de helio
unidades de masa atómica.
27/04/2015
4
2
He ? Conteste el resultado en
Datos: Masas atómicas: Núcleo de helio: 4,00262 u ; neutrón: 1,00866 u ; protón: 1,00728 u
∆m = 0,02926 u.
2.–
Calcule la energía de enlace nuclear del 63Li sabiendo que la masa del núcleo es
6,01348 u.
Datos: Masa del protón: mp = 1,00728 u ;
Masa del neutrón: mn = 1,00867 u ;
2
−1
c = 931,5 MeV u
Eenlace ≈ 32,02 MeV ≈ 5,129 pJ núcleo−1.
3.–
Calcule la energía Q, medida en MeV, desprendida en la siguiente reacción nuclear:
1
6
 31 H + 42He + Q
3Li + 0 n
1
Datos: Masas nucleares: 6Li = 6,015125 u ; 3H = 3,016050 u ; 4He = 4,002603 u ; 0 n = 1,008665 u
; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1 ; 1 u = 1,67·10−27 kg ; 1 MeV = 1,602·10−13 J
Q = 4,82 MeV.
4.–
Calcule:
a) el defecto de masa y la energía total de enlace del isótopo
15,0001089 u;
b) la energía de enlace por nucleón.
15
7
N , de masa atómica
Datos: Masa del protón: mp = 1,007276 u ; Masa del neutrón: mn = 1,008665 u ; Unidad de masa
−27
8
−1
atómica: 1 u = 1,660539·10 kg ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 2,99792458 ·10 m s ;
∆m = 0,120143 u = 1,99502·10−28 kg ; Eenlace = 1,79303·10−11 J ; b) Enucleón = 1,19536·10−12 J
nucleón−1.
5.–
Considere los núcleos de litio 6Li y 7Li de masas 6,0152 uma y 7,0160 uma,
respectivamente, siendo 3 el número atómico de estos dos isótopos. Calcule para ambos
núcleos:
a) el defecto de masa;
b) la energía de enlace;
c) la energía de enlace por nucleón.
13
Solución: Aplicando la ecuación del balance de masas:
∆m = Σmnucleones − misótopo = [2×1,00728 u + (4−2)× 1,00866 u] − 4,00262 u = 0,02926 u.
Datos: 1 u = 1,66·10−27 kg ; 1 u = 931 MeV c−2 ; 1 eV = 1,60·10−19 J ; Masa del protón: mp = 1,007 u
; Masa del neutrón: mn = 1,009 u ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1
a)
6
3
Li : ∆m = 5,4·10−29 kg; 73 Li : ∆m = 6,8·10−29 kg ; b)
: Eenlace = 6,1·10−12 J ; c)
6
3
6
3
Li : Eenlace = 4,9·10−12 J; 73 Li
Li : E nuc = 8,2·10−12 J nucleón−1 ; 73 Li : Enuc = 8,7·10−12 J nucleón−1.
Solución: Aplicando la ecuación del balance de masas, la Ecuación de Einstein y dividiendo la
energía de enlace entre el número de nucleones:
∆m = Σmnucleones − misótopo = [3×1,00728 u + (6 − 3)× 1,00867 u] − 6,01348 u = 0,03437 u
Eenlace = ∆m c2 = 0,03437 u · 931,5 MeV/u−1 ≈ 32,02 MeV ≈ 5,129·10−12 J núcleo−1.
Solución: Aplicando la ecuación del balance de masas y la Ecuación de Einstein:
∆m = Σmprod − mreac = 3,016050 u + 4,002603 u − (6,015125 u + 1,008665 u) = −0,005137 u
∆m = (−0,005137 u) · 1,67·10−27 kg u−1 ≈ −8,58·10−30 kg.
1 MeV
Q = |∆m| c2 ≈ 8,58·10−30 kg · (3,00 ·108 m s−1)2 ≈ 7,72·10−13 J ·
−13 J ≈ 4,82 MeV.
1,602·10
Solución: a) Aplicando la ecuación del balance de masas y la Ecuación de Einstein:
∆m = Σmnucleones − misótopo = [7×1,007276 u + (15−7)× 1,008665 u] − 15,000109 u
∆m = 0,120143 u · 1,660539·10−27 kg u−1 = 1,99502·10−28 kg
Eenlace = ∆m c2 = 1,99502·10−28 kg · (2,99792458 ·108 m s−1)2 = 1,79303·10−11 J.
b) Si dividimos la energía de enlace entre el número de nucleones:
enlace
1,79303·10−11 J
=
= 1,19536·10−12 J nucleón−1 .
nucleón =
nucleones
15
Solución: a) Aplicando la ecuación del balance de masas a cada uno de los dos:
6
3 Li : ∆m = Σmnucleones − misótopo = [3×1,007 u + (6 − 3)× 1,009 u] − 6,0152 u
∆m = 0,033 u · 1,66·10−27 kg = 5,4·10−29 kg.
7
3 Li : ∆m = Σmnucleones − misótopo = [3×1,007 u + (7 − 3)× 1,009 u] − 7,0160 u
∆m = 0,041 u · 1,66·10−27 kg = 6,8·10−29 kg.
b) La energía la calculamos con la Ecuación de Einstein:
6
2
−29
kg · (3,00 ·108 m s−1)2 = 4,9·10−12 J.
3 Li : Eenlace = ∆m c = 5,4·10
Eenlace = ∆m c2 = 0,033 u · c2 · 931 MeV/c2 = 31 MeV
7
2
−29
kg · (3,00 ·108 m s−1)2 = 6,1·10−12 J.
3 Li : Eenlace = ∆m c = 6,8·10
Eenlace = ∆m c2 = 0,041 u · c2 · 931 MeV/c2 = 38 MeV
c) Dividiendo la energía de enlace entre el número de nucleones:
6
3
7
3
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Li : Enucleón =
Li : Enucleón =
Eenlace
nnucleones
Eenlace
nnucleones
=
=
4,9·10 −12 J
6
6,1·10 −12 J
7
= 8,2·10−13 J nucleón−1 .
= 8,7·10−13 J nucleón−1 .
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU) –Física Nuclear–
27/04/2015
6.–
De los 120 g iniciales de una muestra radiactiva se han desintegrado, en 1 hora, el 10%
de los núcleos. Determine:
a) la constante de desintegración radiactiva y el periodo de semidesintegración de la muestra;
b) la masa que quedará de la sustancia radiactiva transcurridas 5 horas.
a) λ ≈ 2,9·10−5 s−1; T1/2 ≈ 6,6 h ;
b) m ≈ 71 g.
13
7.–
Defina la energía de enlace por nucleón. Para el núcleo de Manganeso de número másico
55 y número atómico 25, cuya masa atómica es 54,938 u, determine su energía de enlace por
nucleón.
Datos: 1 u = 1,66·10−27 kg ; 1 u = 931,5 MeV c−2 ; Masa del protón: mp = 1,007276 u ; Masa del
8
−1
−19
neutrón: mn = 1,008665 u ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·10 m s ; 1 eV = 1,60·10 J
13
a) Es el defecto de masa (en unidades de energía) que corresponde a cada nucleón ;
Enucleón = 8,53 MeV nucleón−1.
8.–
13
Determine la energía de enlace del núcleo
Datos: 1 u = 931,5 MeV c
−2
;
14
6
b)
C , cuya masa atómica es 14,003242 u.
Masa del protón: mp = 1,007276 u ; Masa del neutrón: mn = 1,008665 u
Eenlace ≈ 102,22 MeV ≈ 16,375 pJ.
9.–
El 226
emite partículas alfa dando lugar a Rn.
88 Ra
a) Escriba la ecuación de la reacción nuclear y determine la energía liberada en el proceso.
b) Calcule la energía de enlace por nucleón del Ra y del Rn y discuta cuál de ellos es más
estable.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1 ; mRa = 226,025406 u ; mRn = 222,017574 u
; mp = 1,00795 u ; mn = 1,00898 u ; mα = 4,002603 u ; 1 u = 1,66·10−27 kg
→ 2 He + 86 Rn ; E
a) 88 Ra 
desprendida = 0,781 pJ/átomo ;
−1
E(nuc/Rn) = 1,27 pJ nucleón ; Es más estable el Rn.
226
4
222
b) E(nuc/Ra) = 1,26 pJ nucleón−1;
13
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) Aplicando la ecuación de la actividad referida a la masa, y teniendo en cuenta que
la masa inicial que permanece es la que no se ha desintegrado:
 = 0 e− 
%
%
⇒1−
= e−  ⇒ ln �1 −
� = − 
%
100
100
 = 0 �1 −
�
100
10
%
−ln �1 − 100� −ln �1 − 100�
1h
=
≅ 0,105 h−1 ·
≅ 2,9·10−5 s−1 .
 =

1h
3600 s
Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la actividad:
0
1
ln 2
 = 0 e−  ⇒
= 0 e−  1/2 ⇔ = e−  1/2 ⇔ −ln 2 = −  1/2 ⇒ 1/2 =
2
2

ln 2
1
h
1/2 ≅
≅ 2,4·104 s ·
≅ 6,6 h.
2,9·10−5 s
3600 s
b) Aplicando la ecuación de la actividad referida a la masa:
−1
 = 0 e−  ≅ 120 g · e− 0,105 h · 5 h ≅ 71 g.
Solución: Es la energía que corresponde al defecto de masa de un núcleo con respecto a cada
uno de los nucleones que lo forman, y que es la energía desprendida por cada nucleón cuando se
forma, a partir de estos, el núcleo.
Aplicando la ecuación del balance de masas, la Ecuación de Einstein y dividiendo la energía de
enlace entre el número de nucleones:
∆m = Σmnucleones − misótopo = [25×1,007276 u + (55 − 25)× 1,008665 u] − 54,938 u = 0,504 u
∆m = 0,504 u · 1,66·10−27 kg ≈ 8,36·10−28 kg.
Eenlace = ∆m c2 ≈ 8,36·10−28 kg · (3,00 ·108 m s−1)2 ≈ 7,53·10−11 J
Eenlace = ∆m c2 = 0,504 u · c2 · 931,5 MeV/c2 ≈ 469 MeV
−11
enlace
7,53·10 J
469 MeV
nucleón =
≅
≅ 1,37·10−12 J nucleón−1 ≅
≅ 8,53 MeV nuc −1 .
nucleones
55
55
Solución: a) Aplicando la ecuación del balance de masas y la Ecuación de Einstein:
∆m = Σmnucleones − misótopo = [6×1,007276 u + (14−6)× 1,008665 u] − 14,003242 u
∆m = 0,109734 u · 931,50 MeV c−2 u−1 ≈ 102,22 MeV c−2
2
Eenlace = ∆m c ≈ 102,22 MeV c−2· c2 · 106 eV MeV−1 · 1,602·10−19 J eV−1 ≈ 1,6375 ·10−11 J.
Solución: a) La reacción que tiene lugar, aplicando Fajans y Soddy, es:
226
88
Ra 
→ 42 He +
222
86
Rn
Por cada átomo de Ra, y aplicando la ecuación del balance de masas y la Ecuación de Einstein:
∆m = Σmprod − mreac = 4,002603 u + 222,017574 u − 226,025406 u = −0,005229 u
∆m = (−0,005229 u) · 1,66·10−27 kg u−1 = −8,68·10−30 kg
Edesprendida = |∆m| c2 = 8,68·10−30 kg · (3,00 ·108 m s−1)2 = 7,81·10−13 J.
b) La energía de enlace por nucleón será:
Ra: Eenlace = ∆m c2 = [88×1,00795 u + (226 − 88)× 1,00898 u] − 226,025406 u · c2 =
Eenlace = 1,913434 u · 1,66·10−27 kg u−1 · (3,00 ·108 m s−1)2 = 2,86·10−10 J.
Eenlace
2,86 · 10−10 J
Enucleón =
=
= 1,26·10−12 J nucleón−1 .
nnucleones
226
Rn: Eenlace = ∆m c2 = [86×1,00795 u + (222 − 88)× 1,00898 u] − 222,017574 u · c2 =
Eenlace = 1,887406 u · 1,66·10−27 kg u−1 · (3,00 ·108 m s−1)2 = 2,82·10−10 J.
Eenlace
2,82 · 10−10 J
Enucleón =
=
= 1,27·10−12 J nucleón−1 .
nnucleones
222
Cuanto mayor es la energía de enlace por nucleón, mayor es la estabilidad de dicho núcleo y,
como la energía por nucleón del radón es mayor que la del radio, el radio emitirá la partícula α y se
estabilizará como radón. El Rn es más estable que el Ra.
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU) –Física Nuclear–
27/04/2015
−
10.–
El 146 C es un isótopo del carbono emisor β , con una vida media τ = 5,73·103 años.
Como sabrá, la actividad de este isótopo en una muestra orgánica suele emplearse para su
datación arqueológica.
a) Complete la ecuación de desintegración del 146 C : 146 C 
→ ?? N + ?
b) ¿Cuánto tiempo tarda la actividad de una muestra con 146 C en reducirse a la mitad de la
13
inicial?
c) La actividad de un hueso prehistórico es 16 veces inferior a la de un hueso moderno de
igual masa. Calcule su antigüedad.
a)
14
6
C  147 N +
0
−1
β ; b) 3,97·103 años ; c) 1,59·104 años.
11.–
El 60Co es un emisor de rayos gamma utilizado en radioterapia que tiene un periodo de
semidesintegración de 5,27 años. En el hospital se cuenta con una muestra de 3,00 µg.
13
¿Cuántos µg de dicho isótopo tendremos al cabo de 2 años exactos?
m ≈ 2,31 µg.
12.–
El Co−60 es un elemento radiactivo cuyo período de semidesintegración es de 5,27 años.
Se dispone inicialmente de una muestra radiactiva de Co−60 de 2,00 g de masa. Calcule:
a) la masa de Co−60 desintegrada después de 10 años exactos;
b) la actividad de la muestra después de dicho tiempo.
Datos: Número de Avogadro: NA = 6,022·1023 átomos mol–1
a) md ≈ 1,46 g ; b) A ≈ 9,83 TBq.
13
13.–
El cobalto 60 (60Co) se utiliza frecuentemente como fuente radiactiva en medicina. Su
periodo de semidesintegración es 5,25 años. Determine cuánto tiempo, después de entregada
una muestra nueva a un hospital, habrá disminuido su actividad a una octava parte del valor
13
original.
Solución: a) 146C → 147N + −10β
b) Aplicando la ecuación de la actividad y la definición de vida media:
1
t
A0
t
τ=
= A0 e− τ ⇔ −ln 2 = − ⇔ t = τ ln 2
λ ⇒
2
τ
A= A0 e−λ t
t = 5,73·103 años · ln 2 = 3,97·103 años = 2,15·1011 s.
c) Aplicando otra vez la misma ecuación:
t
A0
t
= A0 e− τ ⇔ −ln 16 = − ⇔ t = τ ln 16 = 5,73·103 años · ln 16 = 1,59·104 años.
16
τ
Solución: Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la actividad
referida a la masa:
 = 0 e−  = 0 e
−
ln 2

 1/2
−
= 3,00 μg · e
ln 2
· 2,00 años
5,27 años
≅ 2,31 μg.
Solución: a) Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la
actividad referida a la masa:
ln 2
ln 2
−

−
· 10 años
 = 0 e− 
� ≅ 1,46 g.
⇒ d = 0 �1 − e 1/2 � = 2,00 g · �1 − e 5,27 años
d = 0 − 
b) La actividad de la muestra se obtiene de la relación entre actividad y número de núcleos
radiactivos:
ln 2
ln 2 
 =   ⇒ 0 =
0 ⇒ 0 =
·
· 
1/2
1/2 at A
ln 2
2,00 g de Co
0 =
·
· 6,022·1023 átomos ≅ 8,37·1013 Bq.
365,25 días 86 400 s 60 g de Co
5,27 años ·
· 1 día
1 año
1 mol
Volviendo a aplicar el periodo de semidesintegración y la ecuación de la actividad:
−
ln 2

−
ln 2
· 10 años
 = 0 e− A  = 0 e 1/2 ≅ 8,37·1013 Bq · e 5,27 años
≅ 2,25·1013 Bq.
Solución: Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la
actividad:
A0
1
ln 2
A= A0 e−λ t ⇒
= A0 e− λ T1/2 ⇔ = e− λ T1/2 ⇔ −ln 2= − λ T1/2 ⇒ λ =
2
2
T1/2
ln 2
T1/2 · 3 · ln 2
A0
1
ln 2
−
t
T1/2
−λt
= A0 e
⇒
=e
⇒ −ln 8= −
t ⇒ t=
=T1/2 ·3 =15,75 años.
8
8
T1/2
ln 2
t = 15,75 años.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU) –Física Nuclear–
27/04/2015
14.–
El deuterio es un isótopo del hidrógeno de masa atómica igual a 2,013 6 u. Su núcleo está
formado por un protón y un neutrón.
a) Indique el número atómico (Z) y el número másico (A) del deuterio.
b) Calcule el defecto de masa del núcleo de deuterio.
c) Calcule la energía media de enlace (expresada en MeV) por nucleón del deuterio.
d) Si un ion de deuterio es acelerado mediante un campo eléctrico, partiendo del reposo, entre
dos puntos con una diferencia de potencial de 2 000 V, calcule su longitud de onda de De
Broglie asociada.
13
Datos: Masa del protón mp = 1,007 3 u ; Masa del neutrón mn =1,008 7 u ; Valor absoluto de la carga
−19
−27
del electrón: e = 1,60·10 C ; Unidad de masa atómica u = 1,67·10 kg ; Velocidad de la luz en el
8
−1
−34
vacío: c = 3,00·10 m s ; Constante de Planck: h = 6,63·10 J s
a) Z = 1; A = 2 ; b) ∆m = 2,4 mu ≈ 4,0·10−30 kg ; c) Enucleón ≈ 1,1 MeV ; d) λD ≈ 452 fm.
Solución: a) Como tiene un protón en el núcleo, el número atómico, Z, es 1.
Como tiene dos nucleones (un protón y un neutrón), el número másico, A, es 2.
b) Aplicando la ecuación del balance de masas:
∆m = Σmnucleones − misótopo = [1×1,007 3 u + 1×1,008 7 u] − 2,013 6 u
∆m = 0,002 4 u · 1,67·10−27 kg u−1 ≈ 4,0·10−30 kg
c) Aplicando la Ecuación de Einstein:
Eenlace = ∆m c2 ≈ 4,0·10−30 kg · (3,00 ·108 m s−1)2 ≈ 3,6·10−13 J.
Si dividimos la energía de enlace entre el número de nucleones:
enlace
3,6·10−13 J
J
1 MeV
MeV
nucleón =
=
= 1,8·10−13
·
≅
1,1
.
nucleones
nucleón 1,60·10−13 J
nucleón
2 nucleones
d) Aplicando las relaciones entre masa, velocidad y energía y la Ecuación de De Broglie, y
teniendo en cuenta que la carga del ion deuterio ha de ser +1:
1
 = D  = �2  2 = �2 D � D  2 � = �2 D c = �2 D p = �2 D  
2
15.–
El isótopo 234U tiene un periodo de semidesintegración (semivida) de 250 000 años. Si
partimos de una muestra de 10 gramos de dicho isótopo, determine:
a) la constante de desintegración radiactiva;
b) la masa que quedará sin desintegrar después de 50 000 años.
13
a) λ ≈ 87,858 fs−1 ;
b) m ≈ 8,7 g.
( )
16.–
El isótopo del hidrógeno denominado tritio 31 H es inestable (T1/2 = 12,5 años) y se
desintegra con emisión de una partícula beta. Del análisis de una muestra tomada de una
botella de agua mineral se obtiene que la actividad debida al tritio es el 92% de la que presenta
el agua en el manantial de origen.
a) Escriba la correspondiente reacción nuclear.
13
b) Determine el tiempo que lleva embotellada el agua de la muestra.
→ -01β + 23He ; b) 1,5 años.
a) H 
3
1
31
17.–
El isótopo del silicio 14
Si se desintegra por emisión beta en cierto isótopo del fósforo
(P). El proceso tiene un período de semidesintegración de 2,6 horas. Con estos datos,
a) ajuste la reacción nuclear involucrada en el proceso;
13
b) determine qué proporción de átomos de silicio quedará al cabo de exactamente un día en
31
una muestra inicialmente pura de 14
Si .
a)
31
14
→ -01β +
Si 
31
15
P ;
b) 0,17%.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
6,63·10−34 J s
ℎ
ℎ
D = =
=
 �2 D  
≅ 4,52·10−13 m.
−27 kg
1,67·10
�2 ·2,0136 u·
· 1,60·10−19 C · 2000 V
1u
Solución: a) Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la
actividad:
0
1
ln 2
 = 0  −  ⇒
= 0 e− 1/2 ⇔ = e− 1/2 ⇔ −ln 2 = − 1/2 ⇒  =
2
2
1/2
ln 2
 =
≅ 8,7858·10−14 s −1 .
365,25
días
86400
s
· 1 día
2,500 00·105 años·
1 año
b) Volviendo a aplicar la ecuación fundamental de la radiactividad, referida a masa:
−
ln 2

ln 2
 = 0 e−  = 0 e 1/2 = 10 g · e− 250000 años · 50000 años ≅ 8,7 g.
Solución: a) La reacción que tiene lugar, aplicando Fajans y Soddy, es:
3
→ -01 β + 23 He
1H 
b) Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la actividad:
A0
1
ln 2
A= A0 e−λ t ⇒
= A0 e− λ T1/2 ⇔ = e− λ T1/2 ⇔ −ln 2= − λ T1/2 ⇒ λ =
2
2
T1/2
−
0,92 A0 = A0 e− λ t ⇒ 0,92 = e
ln 2
t
T1/2
⇒
T1/2 · ln 0,92 12,5 años · ln 0,92
ln 2
t ⇒ t=
=
= 1,5 años.
T1/2
ln 2
ln 2
Solución: a) La reacción que tiene lugar, aplicando Fajans y Soddy, es:
31
14
ln 0,92 = −
Si 
→ -01 β +
31
15
P
b) Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la actividad
referida a la masa:
ln 2
ln 2
24 h
N
−
t
−
· 1 día ·
T1/2
−λ t
1 día = 1,7·10−3 = 0,17%.
N = N0 e
⇒
=e
= e 2,6 h
N0
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU) –Física Nuclear–
27/04/2015
18.–
El periodo de semidesintegración de un isótopo radiactivo es de 1 840 años. Si
inicialmente se tiene una muestra de 30,0 g de material radiactivo,
a) determine qué masa quedará sin desintegrar después de 500 años;
b) cuánto tiempo ha de transcurrir para que queden sin desintegrar 3,00 g de la muestra.
13
a) m ≈ 24,8 g ; b) t’ ≈ 6,11·103 años.
Solución: a) Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ley de la
desintegración radiactiva referida a la masa:
−
ln 2

ln 2
 = 0 e−  = 0 e 1/2 = 30,0 g · e− 1 840 años · 500 años ≅ 24,8 g.
b) Volviendo a aplicar la ley de la desintegración radiactiva a la masa de una muestra:

1 ln 0′
′

0
ln 2 ′
′
′
′ = 0 e−  ⇒
= e−  ⇒ ln ′ =   ′ =
 ⇒  ′ = 2
0

1
ln 2
2
19.–
13
234
El 238
92 U se desintegra radiactivamente para producir 90 Th .
a) Indique el tipo de emisión radiactiva y escriba la ecuación de dicha reacción nuclear.
b) Calcule la energía liberada en la reacción.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1 ; m(238
92 U) = 238,050 784 u
4
−27
)
=
234,043 593
u
;
m(
He)
=
4,002 602
u
;
1
u
=
1,66·10
kg
; m(234
Th
90
a) Es una emisión α;
13
238
92
U 
→ 42 He +
Th ;
b) Elib ≈ 686 fJ (por núcleo radiactivo).
20.–
En la bomba de hidrógeno se produce una reacción termonuclear en la que se forma helio
a partir de deuterio y de tritio.
a) Escriba la reacción nuclear.
b) Calcule la energía liberada en la formación de un átomo de helio y la energía de enlace por
nucleón del helio.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1 ; m
;m
( H ) = 2,0141 u ; m
2
1
p
21.–
(
4
2
)
( )
He = 4,0026 u ; m 31 H = 3,0170 u
−27
= 1,0078 u ; mn = 1,0086 u ; 1 u = 1,67·10
2
3
→ 42 He + 01 n ;
a) 1 H + 1 H 
kg
b) Eliberada = 2,99·10−12 J; Enucleón = 7,47·10−13 J.
En la explosión de una bomba de hidrógeno se produce la reacción:
2
1
13
234
90
H + 31 H 
→ 42 He + 01 n
Calcule:
a) el defecto de masa del 42 He ;
b) la energía liberada en la formación de 10 g de helio.
( )
2
( )
3
( )
4
Datos: m 1 H = 2,01474 u ; m 1 H = 3,01700 u ; m 2 He = 4,00388 u ; m
1 u = 1,66·10−27 kg ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1
( n ) = 1,0087 u ;
1
0
a) |∆m| = 3,21·10−29 kg ; b) E = 4,32 TJ = 1,03 kt (kilotón).
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
30,0 g
1 840 años · ln 3,0 g
 ′ =
≅ 6 110 años.
ln 2
Solución: a) La reacción que tiene lugar, aplicando Fajans y Soddy, es:
238
92
U 
→ 42 He +
234
90
Th
Por tanto, es una emisión radiactiva α.
b) La energía liberada en la reacción, por núcleo que emite radiación será (aplicando la ecuación
del balance de masas y la Ecuación de Einstein):
∆m = Σmprod − mreac = 4,002 602 u + 234,043 593 u − 238,050 784 u = −0,004 589 u
∆m = (−0,004 589 u) · 1,66·10−27 kg u−1 ≈ −7,62·10−30 kg
Edesprendida = |∆m| c2 ≈ 7,62·10−30 kg · (3,00 ·108 m s−1)2 ≈ 6,86·10−13 J.
Solución: a) Con los datos que nos da el problema, la reacción que tiene lugar es:
2
1
H + 31 H 
→ 42 He + 01 n
b) La energía la calculamos de la expresión del defecto de masa, aplicando la ecuación del
balance de masas y la Ecuación de Einstein:
∆m = Σmproductos − mreactivos = 4,0026 u + 1,0086 u − (2,0141 u + 3,0170 u) = −0,0199 u
∆m = (−0,0199 u) · 1,67·10−27 kg u−1 = −3,32·10−29 kg
Eliberada = |∆m| c2 = 3,32·10−29 kg · (3,00 ·108 m s−1)2 = 2,99·10−12 J.
Si dividimos la energía de enlace entre el número de nucleones:
Eenlace
2,99 · 10−12 J
Enucleón =
=
=7,47·10−13 J nucleón−1 .
nnucleones
4
Solución: a) Aplicando la ecuación del balance de masas:
∆m = Σmproductos − mreactivos = 4,00388 u + 1,0087 u − (2,01474 u + 3,01700 u) = −0,0192 u
El defecto de masa es el valor pero positivo: 0,0192 u ·1,67·10−27 kg u−1 = 3,21·10−29 kg.
b) Aplicando la Ecuación de Einstein, teniendo en cuenta el número de átomos de Helio
obtenidos:
0,0192 u defecto masa
1 kg
 = 10 g He ·
·
· (3,00·108 m s−1 )2 = 4,32·1012 J.
4,00388 u de He
1000 g
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU) –Física Nuclear–
27/04/2015
22.–
En un laboratorio se reciben 100 g de un isótopo desconocido. Transcurridas 2 horas
exactas se ha desintegrado el 20 % de la masa inicial del isótopo.
a) Calcule la constante radiactiva y el periodo de semidesintegración del isótopo.
b) Determine la masa que quedará del isótopo original transcurridas 20 horas.
a) λ ≈ 3,10·10−5 s−1; T1/2 ≈ 22,4 ks ≈ 6,21 h ;
b) m’ ≈ 10,7 g.
13
23.–
En un tiempo determinado, una fuente radiactiva A tiene una actividad de 1,60·1011 Bq y
un periodo de semidesintegración de 8,983·105 s y una segunda fuente B tiene una actividad de
8,50·1011 Bq. Las fuentes A y B tienen la misma actividad 45,0 días más tarde. Determine:
a) la constante de desintegración radiactiva de la fuente A;
b) el número de núcleos iniciales de la fuente A;
c) el valor de la actividad común a los 45 días;
d) la constante de desintegración radiactiva de la fuente B.
Datos: 1 Bq = 1 desintegración/segundo
a) λA ≈ 7,794·10−7 s−1 ;
λB ≈ 1,20·10−6 s−1.
b) N0A ≈ 2,05·1017 núcleos ; c) A ≈ 7,73·109 Bq ; d)
Solución: a) Aplicando la ecuación de la actividad referida a la masa, y teniendo en cuenta que
la masa inicial que permanece es la que no se ha desintegrado:
 = 0 e− 
%
%
⇒1−
= e−  ⇒ ln �1 −
� = − 
%
100
100
 = 0 �1 −
�
100
20
%
−ln �1 − 100� −ln �1 − 100�
1h
=
≅ 0,112 h−1 ·
≅ 3,10·10−5 s−1 .
 =

2h
3 600 s
Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la actividad:
0
1
ln 2
 = 0 e−  ⇒
= 0 e−  1/2 ⇔ = e−  1/2 ⇔ −ln 2 = −  1/2 ⇒ 1/2 =
2
2

ln 2
1
h
1/2 ≅
≅ 2,24·104 s ·
≅ 6,21 h.
3,1·10−5 s
3600 s
b) Aplicando la ecuación de la actividad referida a la masa:
−1
′ = 0 e− ′ ≅ 100 g · e− 0,11 h · 20 h ≅ 11 g.
Solución: Llamamos A a la actividad de la fuente A y B a la actividad de la fuente B.
a) Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la actividad:
0
1
ln 2
= 0 e− A 1/2 ⇔ = e− A 1/2 ⇔ −ln 2 = −A 1/2 ⇒ A =
 = 0 e− A  ⇒
2
2
1/2
ln 2
A =
≅ 7,794·10−7 s −1 .
8,983·105 s
b) De la expresión de la actividad radiactiva de una muestra:
0 1/2
0
0
0 = A 0 ⇒ 0 =
=
=
ln 2
A
ln 2
1/2
1,60·1011 Bq · 8,983·105 s
≅ 2,05·1017 núcleos.
ln 2
c) Volviendo a aplicar el periodo de semidesintegración y la ecuación de la actividad:
0 =
13
24.–
En una excavación arqueológica se ha encontrado una estatua de madera cuyo contenido
de 14C es el 58% del que poseen las maderas actuales de la zona. Sabiendo que el periodo de
semidesintegración del 14C es de 5.570 años, determine la antigüedad de la estatua encontrada.
t = 4377 años.
13
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
−
ln 2

−
ln 2
· 45 días ·
86 400 s
1 día ≅ 7,73·109 Bq.
 = 0 e− A  = 0 e 1/2 = 1,60·1011 Bq · e 8,983·105 s
d) Aplicando la expresión de la actividad radiactiva de una muestra a las dos sustancias:
 = 0 e− A 
0
e− B 
0
− B  ⇒ 0 e− A  = 0 e− B  ⇒
= − A  ⇒ ln
= (A − B ) 
 = 0 e
0
e
0
 = 
1,60·1011 Bq
0
ln
ln 2 ln 0
ln 2
8,50·1011 Bq
B =
−
=
−
≅ 1,20·10−6 s−1 .
1/2

8,983·105 s 45 días · 86 400 s
1 día
Solución: Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la
actividad:
m0
1
ln 2
m= m0 e−λ t ⇒
= m0 e− λ T1/2 ⇔ = e− λ T1/2 ⇔ −ln 2= − λ T1/2 ⇒ λ =
2
2
T1/2
%
ln 2
ln 100 T1/2
% m0
%
ln 2
−
t
T1/2
= m0 e
⇔ ln
=−
t ⇔ t=−
100
100
T1/2
ln 2
58
ln
· 5570 años
100
t=−
= 4377 años.
ln 2
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU) –Física Nuclear–
13
27/04/2015
25.–
En una reacción nuclear hay una pérdida de masa de 8,31⋅10−10 kg . ¿Cuánta energía se
libera en el proceso? Exprese el resultado en J y en kWh.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s−1
Eliberada = 7,48·107 J = 20,8 kWh.
26.–
La actividad de una muestra que contiene radio 226, 226Ra, es de 9,00·1014 Bq. El período
de semidesintegración del 226Ra es de 1 602 años.
a) Halle el número de núcleos de 226Ra en la muestra.
b) Halle el número de núcleos radiactivos que quedarán en la muestra al cabo de 3 500 años.
Datos: 1 Bq = 1 desintegración por segundo
13
a) N0 ≈ 6,56·1025 núcleos ;
27.–
13
b) N ≈ 1,44·1025 núcleos.
La vida media de un elemento radioactivo es de 25 años. Calcule:
a) el tiempo que tiene que transcurrir para que una muestra del elemento radioactivo reduzca
su actividad al 70 %;
b) los procesos de desintegración que se producen cada minuto en una muestra que contiene
109 núcleos radioactivos.
a) t ≈ 8,9 años ; b) 76 desintegraciones min−1.
28.–
13
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Describa los procesos de desintegración radiactiva alfa, beta y gamma y justifique las leyes
de desplazamiento.
b) Complete las reacciones nucleares siguientes especificando el tipo de nucleón o de átomo
representado por la letra X y el tipo de emisión radiactiva de que se trata.
210
206
b.1)
83 Bi  81Tl + X
b.2)
b.3)
Na  X + β
X  234
91 Pa + β
24
11
a) Leyes de Fajans y Soddy ;
234
90
→
Th 
234
91
Pa + -01 e (β ) .
b)
210
83
Bi 
→
Tl + 42 He(α ) ;
206
81
24
11
Na 
→
24
12
Mg + -01 e (β ) ;
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: La energía liberada en la reacción será (aplicando la ecuación del balance de masas y
la Ecuación de Einstein):
Eliberada = ∆m c2 = 8,31·10−10 kg · (3,00 ·108 m s−1)2 = 7,48·107 J ·1 kWh / 3,60·106 J = 20,8 kWh.
Solución: a) De la expresión de la actividad radiactiva de una muestra:
0 1/2
0
0
0 =  0 ⇒ 0 =
=
=
ln 2

ln 2
1/2
365,25 días 86400 s
9,00·1014 Bq · 1 602 años ·
· 1 día
1 año
0 =
≅ 6,56·1025 núcleos.
ln 2
b) Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la actividad
referida al número de núcleos radiactivos:
0 1/2 − ln 2 
e 1/2
 = 0 e−  =
ln 2
365,25 días 86400 s
9,00·1014 Bq ·1 602 años ·
· 1 día
ln 2
1 año
 =
· e− 1 602 a ·3 500 a ≅ 1,44·1025 núcleos.
ln 2
Solución: a) Teniendo en cuenta que la vida media es la inversa de la constante de
desinmtegración y aplicando la ley de desintegración radiactiva referida a las actividades:

 = 0 e−  = 0 e−
100  −
%

100
⇒

=
e  ⇒ ≅ ln
= − ⇒  =  ln
% 0
100 
%
100

%
 =
⇒ 0 =
100
%
100
100
 =  ln
=25 años· ln
≅ 8,9 años.
70
70
b) Aplicando la expresión que relaciona la actividad y el número de átomos radiactivos:
1
0
109 núcleos
0 =  0 = 0 =
=
≅ 76 desint min−1 .
365,25 días 1 440 min


25 años· 1 año
· 1 día
Solución: a) Son las leyes de Fajans y Soddy:
Al emitir un núcleo radiactivo una partícula α se forma el isótopo del elemento con número
atómico 2 unidades menor y nº másico 4 unidades menor que el inicial. AZ X 
→ AZ--42Y + 42 He (α )
Al emitir un núcleo radiactivo una partícula β se forma el isótopo del elemento con número
atómico 1 unidades mayor y número másico igual que el inicial. AZ X 
→ Z A+1Y + -01 e (β )
Al emitir un núcleo radiactivo una partícula γ se obtiene el mismo isótopo del mismo elemento
sin su exceso de energía, esto es, sin que se encuentre excitado. AZ X * 
→ AZ X + 00 γ
b) Teniendo en cuenta que el número de protones y neutrones ha de conservarse:
24
0
210
234
0
→ 24
→ 20681Tl + 42 He(α ) ; 11 Na 
→ 234
12 Mg + -1 e (β ) ;
83 Bi 
90Th 
91 Pa + -1 e (β )
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU) –Física Nuclear–
29.–
13
27/04/2015
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué es la actividad (o velocidad de desintegración) de una muestra radiactiva?
b) El periodo de semidesintegración del 60Co es T = 5,27 años. Calcule la actividad radiactiva
de una muestra que inicialmente contiene 1022 átomos de 60Co. ¿Cuánto tiempo tarda la
actividad de esta muestra en reducirse a la octava parte de la inicial?
a) Es la velocidad de desintegración (desintegraciones/s)
A0 = 4,17·1013 Bq; t = 15,81 años = 4,99·108 s.
de
una
30.–
Una de las reacciones de fisión posibles del 235
es la formación de
92 U
liberándose dos neutrones.
a) Formule la reacción y haga un análisis cualitativo del balance de masa.
b) Calcule la energía liberada por 20,0 mg de uranio.
muestra ;
b)
140
54
Xe ,
94
38
Sr y
1
a) 235
→
92 U + 0 n 
E = 695 MJ
94
38
Sr +
140
54
Xe + 2 01 n ;
se pierde masa por lo que se desprende energía ;
b)
31.–
Una muestra de 2,000 g de masa de cierto material radiactivo se reduce a 1,957 g en
50 años exactos. Calcule:
a) el periodo de semidesintegración;
b) el tiempo que tardaría en reducirse a 1,400 g.
a) T1/2 ≈ 50,32 Gs ≈ 1594 años ; b) t ≈ 820,5 años.
13
32.–
Una muestra de un material radiactivo posee una actividad de 115 Bq inmediatamente
después de ser extraída del reactor donde se formó. Su actividad exactamente 2 horas después
resulta ser 85,2 Bq.
a) Calcule el período de semidesintegración de la muestra.
b) ¿Cuántos núcleos radiactivos existían inicialmente en la muestra?
Datos: 1 Bq = 1 desintegración/segundo
13
a) T1/2 ≈ 16,6 ks ≈ 4,62 h ; b) N0 ≈ 2,76·10 núcleos.
6
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Solución: a) La reacción que tiene lugar es (tenemos que añadir un neutrón al principio porquw
si no es imposible cumplir el enunciado del problema):
235
92
Datos: mU = 234,9943 u ; mSr = 93,9754 u ; mXe = 139,9196 u ; mn = 1,0086 u ; Número de
23
−1
8
−1
Avogadro: NA = 6,022·10 átomos mol ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·10 m s
13
Solución: a) Actividad de una muestra es el número de desintegraciones por segundo que
presenta una determinada muestra. Cumple la ecuación de la actividad radiactiva: A = A0 e−λτ.
b) La actividad radiactiva es:
ln 2
 =   ⇒ 0 =

1/2 0
ln 2
0 =
· 1022 átomos = 4,17·1013 Bq.
365,25 días 86400 s
5,27 años ·
· 1 día
1 año
Aplicando la definición de periodo de semidesintegración y la ecuación de la actividad:
ln 2
T1/2 · 3 · ln 2
A0
1
ln 2
−
t
T1/2
−λt
= A0 e
⇒
=e
⇒ −ln 8 = −
t ⇒ t=
= T1/2 · 3 = 15,81 años.
8
8
T1/2
ln 2
U + 01 n 
→
94
38
Sr +
140
54
Xe + 2 01 n
Aplicando la ecuación del balance de masas:
∆m = Σmproductos − mreactivos = 93,9754 u + 139,9196 u + 2×1,0086 u − (234,9943 u + 1,0086 u) =
= −0,0907 u.
Se ha “perdido” masa, por lo que se desprenderá una gran cantidad de energía, lo que justifica la
utilización, tanto civil como militar, de la fisión como un mecanismo para producir grandes
cantidades de energía.
b) Aplicando la Ecuación de Einstein, teniendo en cuenta el número de átomos de uranio
fisionados:
1 kg
0,0907 u defecto masa
 = 20,0 mg U · 6
·
· (3,00·108 m s−1 )2 = 6,95·108 J.
10 mg
234,9943 u de U
Solución: a) Aplicando la expresión de la ley de la desintegración radiactiva a la masa de una
muestra:
 = 0 e− 

0
ln 2
ln 2
ln 2 ⇒
= e−  ⇒ ln
=   =
 ⇒ 1/2 =  
 =
0

1/2
ln 0
1/2
ln 2
365,25 días 86 400 s
1/2 =
· 50 años ·
·
≅ 5,032·1010 s.
2,000 g
1
año
1
día
ln 1,957 g
b) Volviendo a aplicar la misma expresión:
0
2,000 g


ln 1,400 g
ln
=  
ln 0′ ln 0′

⇒  ′ =
=   =
· 50 años ≅ 820,5 años.
0
2,000 g

ln 0
ln
=  ′
ln 1,957 g
′
Solución: a) Aplicando la expresión de la ley de la desintegración radiactiva a la actividad de
una muestra:
 = 0 e− 

0
ln 2
ln 2
ln 2 ⇒
= e−  ⇒ ln
=   =
 ⇒ 1/2 =

0
 =
0

1/2
ln 
1/2
ln 2
3 600 s
·2h·
≅ 1,66·104 s.
115 Bq
1
h
ln 85,2 Bq
b) El número de átomos radiactivos se obtiene en la expresión de la actividad:
3 600 s
115 Bq · 2 h · 1 h
0
0 
0 =  0 ⇒ 0 =
=
=
≅ 2,76·106 núcleos.
0
115 Bq

ln 
ln 85,2 Bq
1/2 =