CONDUCAO

CONDUÇÃO
1
Transferência de calor


“Transferência de calor (ou calor) é
energia térmica em trânsito devido a uma
diferença de temperaturas no espaço”
(Incropera et al., 2008).
Mecanismos:



Condução.
Convecção.
Radiação.
2
Importância da condução
Fonte:
Fonte:
http://www.mecanicaonline.com.br/2007/05/
http://forum.hardmob.com.br/showthread.p
engenharia/bmw_motor.html
hp?t=207196
3
Importância da condução
Fonte: http://www.cosipa.com.br
Fonte:
http://www.fatork.com.br/produtos.htm
4
Definição

A condução é o modo de transferência de
calor em que há troca energética devido a
um gradiente de temperatura no corpo,
pelo movimento cinético ou pelo impacto
de moléculas (no caso de um fluido em
repouso) ou pelo movimento de elétrons
livres (em metais).
5
Estudo da condução

Métodos analíticos.

Métodos experimentais.

Métodos numéricos.
6
Equação da taxa de condução
(Lei de Fourier)
Fonte: Incropera et al. (2008)
qx  T
qx  A
1
qx 
x
qx  k
T
qx  k A
x
T 
dT

qx  lim  k A
 k A

x 0
x 
dx

7
Equação da taxa de condução
(Lei de Fourier)
dT
q x  k A
dx
Fonte: Incropera et al. (2008)
dT
qx  k
dx
(taxa)
(fluxo)
 T  T  T 

q   k T  k 
i
j
k 
y
z 
 x
8
Condutividade térmica

Normalmente determinada a partir da Lei de
Fourier.
qx
kx  
T / x 


Em geral:
k sólidos  klíquidos  k gases
Depende do material, do estado físico e da
temperatura.
9
Condutividade térmica

Propriedade térmica do material
Fonte: Incropera et al. (2008)
10
Condutividade térmica
Sólidos
Líquidos saturados
Fonte: Incropera et al. (2008)
Gases a pressões normais
11
Outras propriedades relevantes

Massa específica:


Calor específico:
cp

Difusividade térmica:
kg/m 
3
J/kg  K 
k

cp
m /s 
2
12
Equação da difusão de calor
(coord. cartesianas)
Fonte: Incropera et al. (2008)
13
Equação da difusão de calor
(coord. cartesianas)
Balanço de energia:
E e  E g  E s  E ac
E e  qx y z  qy x z  qz x y
E s  qxx y z  qyy x z  qzz x y
E g  q x y z

T
E ac  m c p
t
14
Equação da difusão de calor
(coord. cartesianas)
Dividindo a equação por: x y z
Aplicando o limite:
x  0; y  0; z  0
T
T
T
; qy  k
; qz  k
Da Lei de Fourier generalizada: qx  k
x
y
z
  T    T    T 
T
 k
 
 k
 
 k
  q   c p
x x y y z z 
t
15
Equação da difusão de calor
(coord. cilíndricas)

q   k T
 T  1 T  T 
 k 
i
j
k 
r 
z 
 r
Fonte: Incropera et al. (2008)
1   T  1   T    T 
T
 k r
  2
 k
 
 k
  q   c p
r r  r  r     z   z 
t
16
Equação da difusão de calor
(coord. esféricas)

q   k T
 T  1 T 
1 T 
 k 
i
j
k 
r 
r sen   
 r
Fonte: Incropera et al. (2008)
1   2 T 
1
  T 
 k r
  2 2
 k
 
2
 r  r sen       
r r 
1
 
T 
T
 k sen
  q   c p
2
2
 
t
r sen    
17
Condições de contorno



Temperatura
da
constante (Dirichlet).
superfície
Fluxo térmico na superfície
constante (Neumann).
Condição
de
convecção
superfície (Robin).
na
18
Fonte: Incropera et al. (2008)
Possíveis simplificações da
equação de difusão do calor

Condução 1DP, prop. constantes, sem geração.
  T    T    T 
T
 k
 
 k
 
 k
  q   c p
x x y y z z 
t
d 2T
0
2
dx

Condução 1DP, prop. constantes, com geração.
d 2T q
 0
2
k
dx
19
Possíveis simplificações da
equação de difusão do calor

Condução 2DP, prop. constantes, sem geração.
  T    T    T 
T
 k
 
 k
 
 k
  q   c p
x x y y z z 
t
 2T  2T

0
2
2
x
y

Condução 1D, prop. constantes, transiente, sem
geração.
 2T 1 T

2
 t
x
20
Condução de calor 1DP

Hipóteses:




Condução de calor 1D em regime permanente.
Propriedades térmicas constantes.
Coordenadas cartesianas (parede plana).
Sem geração de calor.
d 2T
0
2
dx

Integrando duas vezes, obtém-se:
T ( x)  C1x  C2
21
Condução de calor 1DP

Condições de contorno (Dirichlet):
1ª condição:
T (0)  C1  0  C2  T1  C2  T1
2ª condição:
T ( L)  C1  L  C2  T2
C1  L  T2  C2  T2  T1
T (0)  T1

T ( L)  T2
T2  T1
 C1 
L
x
T ( x)  T2  T1   T1
L
22
Condução de calor 1DP

Condições de contorno (Neumann):
1ª condição:
T (0)  C1  0  C2  T1  C2  T1
T (0)  T1

 dT
 qx
 k dx
x L

2ª condição (da 1ª integração):
dT
 C1
dx
qx
 k  C1  qx  C1  
k
qx
T ( x)   x  T1
23
k
Condução de calor 1DP


Exercício:
Altere as condições de contorno anteriormente
utilizadas para:
T (0)  T1

 dT
 hT x  L   T, 2 
 k d x
x L

Dica: Obtenha a temperatura em x = L,
a partir do fluxo de calor.
24
Fonte: Incropera et al. (2008), adaptado.
Condução de calor 1DP

Taxa de condução e fluxo térmico:
dT
q x  k A
dx
T2  T1
T1  T2
q x  k A
kA
x2  x1
L
Fonte: Incropera et al. (2008)
T
qx  k A
L
T
qx  k
L
(Taxa)
(Fluxo)
25
Condução de calor 1DP

Fluxo térmico – Analogia de circuitos:
U  Rel  i
T
qx  k A
L
(Lei de Ohm)
(Lei de Fourier)
L
T 
q x  Rcond  q x
kA
26
Fonte: Incropera et al. (2008)
Condução de calor 1DP

Fluxo térmico – Analogia de circuitos:
Rcond
L

kA
1
Rconv 
hA
(condução – parede plana)
(convecção)
27
Condução de calor 1DP

Fluxo térmico – Paredes compostas:
Fonte: Incropera et al. (2008)
28
Condução de calor 1DP

Resistência térmica de contato:

Atribuída, principalmente, aos efeitos da rugosidade
existente entre superfícies. Pode ser minimizada através
do uso de graxas, metais moles e ceras (entre outros),
que possuam condutividade térmica elevados.
Fonte:
http://www.inforlandia.pt/forum/viewtopic.php
?p=87137&sid=88510d2bd1e68b6fb356b82ffe
Fonte: Incropera et al. (2008)
29
Condução de calor 1DP

Exemplo: Humanos são capazes de controlar suas taxas
de produção e de perda de calor para manter
aproximadamente constante a sua temperatura corporal de
Tc = 37ºC sob uma ampla faixa de condições ambientais.
Com a perspectiva de calcular a transferência de calor
entre um corpo humano e sua vizinhança, foca-se em uma
camada de pele e gordura, cuja temperatura interna
encontra-se um pouco abaixo da temperatura corporal, Ti
= 35ºC=308 K. Considere uma pessoa com uma camada
de pele/gordura com espessura L = 3 mm e com
condutividade térmica efetiva k = 0,3 W/mK.
30
Condução de calor 1DP

(continuação): Para reduzir a perda de calor, a pessoa
veste roupas especiais esportivas (casaco para neve e
umidade) feitas com um isolante de aerogel de sílica
nanoestruturado com condutividade térmica extremamente
baixa, igual a 0,014 W/mK. A emissão da superfície
externa do casaco é 0,95 e sua superfície é de 1,8 m2.
Qual é a espessura de isolante de aerogel necessária para
reduzir a taxa de perda de calor para 100W (uma taxa de
geração de calor metabólica típica) no ar e na água
(vizinhança), ambas a 10ºC e com coeficientes convectivos
iguais a 2 W/m2K e 200 W/m2K, respectivamente? Qual é a
temperatura resultante da pele, em ambos os casos?
31
Condução de calor 1DP

Dados: Temp. superficial interna e espessura da camada
pele/gordura; condutividade térmica e área superficial
conhecidas. Condutividade térmica e emissividade do
casaco. Condições ambientais.

Pede-se: Espessura do isolante; temperatura da pele.

Esquema:
32
Condução de calor 1DP

Hipóteses:




Regime permanente.
Transf. de calor 1D por condução.
Resistência de contato desprezível.
Circuito:
33
Condução de calor 1DP

Solução:

Resistência térmica total:
Ti  T 35  10

 0,25 K/W
q
100
1
L pg
Liso  1
1 



 

k pg A kiso A  1 / h A 1 / hr A 
Rtot 
Rtot
Rtot
1  L pg Liso
1




A  k pg kiso h  hr




34
Condução de calor 1DP

Solução:

Ar:

Utilizando-se um valor de Ts = 300 K e


300  283300
2
hr  Ts  Tviz  Ts2  Tviz
hr  0,95  5,67 108
T  283 K
2
 2832

hr  5,34 W/m 2 K


L pg
1

Liso  kiso  ARtot 



k
h

h
pg
r



3 10 3
1 

Liso  0,0141,8  0,25 

0,3
2  5,34 

35
Condução de calor 1DP

Solução:

Ar:
Liso  0,0043 m  4,3 mm
Ti  Ts
Ti  Ts
q

R1
1  L pg Liso 


A  k pg kiso 
q  L pg Liso 
100  3 103 4,3 103 


Ts  Ti 

 35 


A  k pg kiso 
1,8  0,3
0,014 
Ts  17º C  290K
36
Condução de calor 1DP

Solução:

Ar:

Recalculando hr:
hr  5,07 W/m 2 K
Liso  0,0042 m  4,2 mm
Ts  18º C  291K

Água: hr=0
Liso

L pg 1 

 kiso ARtot 
 


k
h
pg


37
Condução de calor 1DP

Solução:

Água:
Liso

3 10 3
1 

 0,0141,8  0,25 


0
,
3
200


Liso  0,0061 m  6,1 mm

q
Temperatura da pele:
T p  Ti 

k pg A Ti  Tp

L pg
100  3 10 3
 35 
A
0,3 1,8
q L pg
k pg
Ts  34,4º C
38
Condução de calor 1DP

Exemplo: Um fino circuito integrado (chip) de silício

Dados: Dimensões, dissipação de calor e temperatura
e um substrato de alumínio com 8 mm de espessura
são separados por uma junta epóxi com 0,02 mm de
espessura. O chip e o substrato possuem, cada um, 10
mm de lado, e suas superfícies expostas são resfriadas
por ar, que se encontra a uma temperatura de 25ºC e
fornece um coeficiente convectivo de 100 W/m2K. Se o
chip dissipa 104 W/m2 em condições normais, ele irá
operar abaixo da temperatura máxima permitida de
85ºC?
máxima permitida para um chip. Espessuras do
substrato de alumínio e junta epóxi. Condições
convectivas nas superfícies expostas.
39
Condução de calor 1DP

Pede-se: A temperatura máxima é excedida?

Hipóteses:





Regime estacionário.
Condução 1D (transf. de calor desprezível pelas laterais
do sistema).
Resistência térmica no chip desprezível.
Prop. constantes.
Troca radiante com a vizinhança desprezível.
40
Condução de calor 1DP

Esquema/Circuito:

Propriedades: Tabela A.1 (apêndice), alumínio puro
(T  350 K ) : k  239 W/mK
41
Condução de calor 1DP

Solução:

Balanço de energia:
qc  q1  q2
qc 

Tc  T
Tc  T

1 / h Rt,c  L / k   1 / h
Para estimar Tc de forma conservativa, utiliza-se o
valor máximo possível de (Tabela 3.2):
Rt,c  0,9 104 m 2 K/W
42
Condução de calor 1DP

Solução:

Temperatura do chip:


1
Tc  T  qc h 

Rt,c  L / k   1 / h 

4
1

1
Tc  25  10 100 

4
0,9 10  0,008 / 239  1 / 100

1
Tc  25  50,3  75,3º C

O chip irá operar abaixo da sua temperatura máxima
permitida
43