x º º 스옌 스 º f(x)

Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
Âàðèàíò  1
1.1. Âû÷èñëèòü
Zπ
√
( π − |x|)Pn (x/π)dx.
−π
1.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = θ(x)x2 â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Âû÷èñëèòü
íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
1.3. Íàéòè èçîáðàæåíèå óíêöèè
√
H2n+1 ( x).
1.4. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = ex cos x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà. Âû÷èñëèòü
íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
1.5. Ïîëüçóÿñü òåîðåìàìè ñìåùåíèÿ è äèåðåíöèðîâàíèÿ îðèãèíàëà, äîêàçàòü, ÷òî
Ln (x) =
ex dn n −x
(x e ).
n! dxn
1.6. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = sh x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
1.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ
ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóò√
êå [0, 8] ñ âåñîì ρ(x) = 3 x. Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
1.8. åøèòü âíóòðåííóþ çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ øàðà (0 ≤ r ≤ a) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
u|r=a = 1 + sin θ cos φ.
1.9. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè ñåðè÷åñêîãî ñëîÿ 1/2 < r < 1 è òàêóþ, ÷òî:
u|r=1/2 = 0,
u|r=1 = 6 cos2 φ sin2 θ.
1.10. Íàéòè íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ âíóòðè è âíå ñåðû, âåðõíÿÿ ïîëîâèíà
êîòîðîé çàðÿæåíà äî ïîòåíöèàëà V1 , à íèæíÿÿ äî ïîòåíöèàëà V2 .
1.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè øàðà ðàäèóñà r0 , íà ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî ïîääåðæèâàåòñÿ
òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
u|t=0 = 1 + sin θ cos φ,
0 ≤ r < r0 ,
0 ≤ θ ≤ π,
0 ≤ φ ≤ 2π.
1.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå 0 ≤ r ≤ r0 , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2π , âûçâàííûå
ìàëûìè äåîðìàöèÿìè ñòåíêè ñîñóäà, íà÷àâøèåñÿ ñ ìîìåíòà t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö
ñòåíêè ñîñóäà íàïðàâëåíû ïî åãî ðàäèóñàì, à âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
APn (cos θ) cos ωt.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
2.1. Âû÷èñëèòü
Âàðèàíò  2
Zπ
xPn (x/π)dx.
0
2.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = xθ(x) â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Âû÷èñëèòü
íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
2.3. Íàéòè èçîáðàæåíèå óíêöèè
√
1
√ H2n ( x).
x
2.4. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = xθx â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
2.5. Îïåðàòîðíûì ìåòîäîì äîêàçàòü, ÷òî
L1/2
n (x) =
√
(−1)n
H2n+1 ( x).
2n+1
n!2
2.6. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = sin x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
2.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ
ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóò√
êå [0, 9] ñ âåñîì ρ(x) = x. Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
2.8. åøèòü âíóòðåííóþ çàäà÷ó Íåéìàíà äëÿ øàðà (0 ≤ r ≤ a) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
¯
∂u ¯¯
= sin3 θ sin 3φ + sin θ cos φ.
∂r ¯r=a
2.9. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè ñåðè÷åñêîãî ñëîÿ 1 < r < 2 è òàêóþ, ÷òî:
¯
∂u ¯¯
u|r=1 = sin θ sin φ(5 + 6 cos θ),
= 12 sin 2θ sin φ.
∂r ¯r=2
2.10. Íàéòè ðàçëîæåíèå ïî ñåðè÷åñêèì óíêöèÿì ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ, èíäóöèðîâàííûõ
íà èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ñåðå òî÷å÷íûì çàðÿäîì, íàõîäÿùèìñÿ âíóòðè
ñåðû. Óêàçàíèå: ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ íàõîäèòñÿ ïî îðìóëå
¯
1 ∂u ¯¯
σ=−
,
4π ∂n ¯r=a
ãäå a ðàäèóñ ñåðû.
2.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè øàðà ðàäèóñà r0 , åñëè íà åãî ïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ñî ñðåäîé, òåìïåðàòóðà êîòîðîé ðàâíà íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
u|t=0 = sin2 θ + 15 sin2 θ cos θ cos 2φ,
0 ≤ r < r0 ,
0 ≤ θ ≤ π,
0 ≤ φ ≤ 2π.
2.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå, âûçâàííûå ìàëûìè êîëåáàíèÿìè åãî ñòåíêè,
íà÷àâøèìèñÿ ñ ìîìåíòà t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö ñòåíêè íàïðàâëåíû ïî ðàäèóñàì
ñîñóäà, à âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
Pn (cos θ)f (t),
ãäå f (0) = f ′ (0) = 0.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
3.1. Âû÷èñëèòü
Âàðèàíò  3
Z3
x2 Pn (x/3)dx.
0
x
3.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = √5−4x
â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Âû÷èñëèòü
íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
3.3. Ïîëó÷èòü äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå y ′′ + (2n + 1 − x2 )y = 0 äëÿ óíêöèé Ýðìèòà
y(x) = kHn (x)k−1 Hn (x)e−x
2 /2
.
3.4. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = |x| â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî
ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
3.5. Îïåðàòîðíûì ìåòîäîì äîêàçàòü, ÷òî
Ln−1/2 (x) =
√
(−1)n
H2n ( x).
2n
n!2
√
3.6. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = 3 x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà èíäåêñà 2/3. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
3.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóòêå [0, 1] ñ âåñîì ρ(x) = x(1 − x). Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
3.8. åøèòü âíóòðåííóþ çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ øàðà (0 ≤ r ≤ a) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
u|r=a = sin2 θ + 15 sin2 θ cos θ cos 2φ.
3.9. åøèòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ (a ≤ r ≤ b) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
¯
∂u ¯¯
= 0, u|r=b = 15 sin3 θ sin 3φ.
∂r ¯r=a
3.10. Íàéòè ðàçëîæåíèå ïî ñåðè÷åñêèì óíêöèÿì ïëîòíîñòè ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ, èíäóöèðîâàííûõ íà èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ñåðå òî÷å÷íûì çàðÿäîì, íàõîäÿùèìñÿ âíå ñåðû. Óêàçàíèå: ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ íàõîäèòñÿ ïî îðìóëå
¯
1 ∂u ¯¯
,
σ=−
4π ∂n ¯r=a
ãäå a ðàäèóñ ñåðû.
3.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè òîëñòîé ñåðè÷åñêîé îáîëî÷êè r1 ≤ r ≤ r2 íà âíåøíåé è
âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòÿõ êîòîðîé ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
u|t=0 = 1 + sin θ cos θ sin φ + sin5 θ cos 5φ,
r1 ≤ r < r2 ,
0 ≤ θ ≤ π,
0 ≤ φ ≤ 2π.
3.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå, âûçâàííûå ìàëûìè êîëåáàíèÿìè åãî ñòåíêè,
íà÷àâøèìèñÿ â ìîìåíò t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö ñòåíêè íàïðàâëåíû ïî ðàäèóñàì, à
âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
f (θ) cos ωt.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
Âàðèàíò  4
4.1. Âû÷èñëèòü
Z1
(1 − x2 )[Pn′ (x)]2 dx.
0
4.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = x|x| â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Âû÷èñëèòü
íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
4.3. Ïîêàçàòü, ÷òî
Z∞
2
xm e−x Hn (x)dx = 0,
0 ≤ m ≤ n − 1.
−∞
4.4. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = ex sin x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà. Âû÷èñëèòü
íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
4.5. Íàéòè èçîáðàæåíèå óíêöèè xα Lα
n (x).
4.6. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = cos x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
4.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóò1
êå [0, 4] ñ âåñîì ρ(x) = x− 2 . Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
4.8. åøèòü âíóòðåííóþ çàäà÷ó Íåéìàíà äëÿ øàðà (0 ≤ r ≤ a) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
¯
∂u ¯¯
= sin10 θ sin 10φ.
∂r ¯r=a
4.9. åøèòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ (a ≤ r ≤ b) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
¯
¯
∂u ¯¯
∂u ¯¯
= sin θ sin φ,
= 3 sin θ cos θ cos φ.
∂r ¯r=a
∂r ¯r=b
4.10. Íàéòè ðàçëîæåíèå ïî ñåðè÷åñêèì óíêöèÿì ïëîòíîñòè ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ, èíäóöèðîâàííûõ íà èçîëèðîâàííîé çàðÿæåííîé ñåðå, íàõîäÿùåéñÿ â ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà.
Óêàçàíèå: ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ íàõîäèòñÿ ïî îðìóëå
¯
1 ∂u ¯¯
σ=−
,
4π ∂n ¯r=a
ãäå a ðàäèóñ ñåðû.
4.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè øàðà ðàäèóñà r0 , íà ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî ïîääåðæèâàåòñÿ
òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
u|t=0 = 1 + sin θ cos φ,
0 ≤ r < r0 ,
0 ≤ θ ≤ π,
0 ≤ φ ≤ 2π.
4.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå, âûçâàííûå ìàëûìè êîëåáàíèÿìè åãî ñòåíêè,
íà÷àâøèìèñÿ â ìîìåíò t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö ñòåíêè íàïðàâëåíû ïî ðàäèóñàì, à
âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
APnm (cos θ) cos mφ cos ωt.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
Âàðèàíò  5
5.1. Âû÷èñëèòü
Z2
x2 Pn (x/2)dx.
0
1
5.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = 3+x
â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ïðîèçâîäÿùóþ óíêöèþ. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
5.3. Âû÷èñëèòü
Z∞
2
xe−x Hn (x)Hm (x)dx.
−∞
5.4. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = xex â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
5.5. Íàéòè èçîáðàæåíèå óíêöèè Ln (x).
√
5.6. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà èíäåêñà 1/2. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
5.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóòêå [0, 2] ñ âåñîì ρ(x) = 2 − x. Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
5.8. åøèòü âíóòðåííóþ çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ øàðà (0 ≤ r ≤ a) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
u|r=a = 1 + sin θ cos θ sin φ + sin5 θ cos 5φ.
5.9. åøèòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ (a ≤ r ≤ b) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
¯
∂u ¯¯
3
u|r=a = cos θ,
= sin2 θ cos 2φ.
∂r ¯r=b
5.10. åøèòü çàäà÷ó î ïîëÿðèçàöèè äèýëåêòðè÷åñêîãî øàðà ðàäèóñà a â ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà,
íàõîäÿùåãîñÿ âíå øàðà, åñëè äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ
½
ε1 ïðè r < a,
ε=
ε2 ïðè r > a.
5.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè øàðà ðàäèóñà r0 , åñëè íà åãî ïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ñî ñðåäîé, òåìïåðàòóðà êîòîðîé ðàâíà íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
u|t=0 = sin2 θ + 15 sin2 θ cos θ cos 2φ,
0 ≤ r < r0 ,
0 ≤ θ ≤ π,
0 ≤ φ ≤ 2π.
5.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå, âûçâàííûå ìàëûìè êîëåáàíèÿìè åãî ñòåíêè,
íà÷àâøèìèñÿ â ìîìåíò t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö ñòåíêè íàïðàâëåíû ïî ðàäèóñàì, à
âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
f (θ) cos mφ cos ωt.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
Âàðèàíò  6
6.1. Âû÷èñëèòü
Zπ
(π + |x|)Pn (x/π)dx.
−π
p
6.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) =
|x| â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Âû÷èñëèòü
íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
6.3. Íàéòè èçîáðàæåíèå óíêöèè
√
H2n+1 ( x).
6.4. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = x|x| â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
6.5. Èç îðìóëû îäðèãà ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ëàãåððà
Lαn (x) =
n
X
k=0
Γ(n + α + 1)(−x)k
.
Γ(k + α + 1)k!(n − k)!
6.6. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = ch x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
6.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóòêå [0, 3] ñ âåñîì ρ(x) = x2 . Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
6.8. åøèòü âíåøíþþ çàäà÷ó Íåéìàíà äëÿ øàðà (r ≥ a) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
¯
∂u ¯¯
= sin3 θ sin 3φ + sin θ cos φ.
∂r ¯r=a
6.9. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè ñåðè÷åñêîãî ñëîÿ 1 < r < 2 è òàêóþ, ÷òî:
u|r=1 = 3 sin 2φ sin2 θ,
u|r=2 = 3 cos θ.
6.10. åøèòü çàäà÷ó î ïîëÿðèçàöèè äèýëåêòðè÷åñêîãî øàðà ðàäèóñà a â ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà,
íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè øàðà, åñëè äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ
½
ε1 ïðè r < a,
ε=
ε2 ïðè r > a.
6.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè òîëñòîé ñåðè÷åñêîé îáîëî÷êè r1 ≤ r ≤ r2 íà âíåøíåé è
âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòÿõ êîòîðîé ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
u|t=0 = 1 + sin θ cos θ sin φ + sin5 θ cos 5φ,
r1 ≤ r < r2 ,
0 ≤ θ ≤ π,
0 ≤ φ ≤ 2π.
6.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå, âûçâàííûå ìàëûìè êîëåáàíèÿìè åãî ñòåíêè,
íà÷àâøèìèñÿ â ìîìåíò t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö ñòåíêè íàïðàâëåíû ïî ðàäèóñàì, à
âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
f (t)Pn (cos θ) cos mφ,
f (0) = f ′ (0) = 0.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
Âàðèàíò  7
7.1. Âû÷èñëèòü
Zπ
Pn (x/π)dx.
0
7.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = 1 − 2|x| â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Âû÷èñëèòü
íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
7.3. Íàéòè èçîáðàæåíèå óíêöèè
√
1
√ H2n ( x).
x
√
7.4. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = 3 x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
7.5. Âû÷èñëèòü
Zt
(t − τ )3 Ln (τ )dτ.
0
2
7.6. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = x 3 â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà èíäåêñà 1/3. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
7.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóò1
êå [0, 1] ñ âåñîì ρ(x) = x− 4 . Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
7.8. åøèòü âíåøíþþ çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ øàðà (r ≥ a) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
u|r=a = 1 + sin θ cos φ.
7.9. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè ñåðè÷åñêîãî ñëîÿ 1 < r < 2 è òàêóþ, ÷òî:
u|r=1 = 7 sin θ cos φ,
u|r=2 = 7 cos θ.
7.10. Ïðîâîäÿùèé øàð ñ ïðîâîäèìîñòüþ σ1 íàõîäèòñÿ â ñðåäå ñ ïðîâîäèìîñòüþ σ2 . Îïðåäåëèòü
òîêè, ñîçäàâàåìûå òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì òîêà ñèëû I , ïîìåùåííûì âíóòðè øàðà.
7.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè øàðà ðàäèóñà r0 , íà ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî ïîääåðæèâàåòñÿ
òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
³
π´ 2
u|t=0 = cos 2φ +
sin θ, 0 ≤ r < r0 , 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π.
3
7.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå 0 ≤ r ≤ r0 , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2π , âûçâàííûå
ìàëûìè äåîðìàöèÿìè ñòåíêè ñîñóäà, íà÷àâøèåñÿ ñ ìîìåíòà t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö
ñòåíêè ñîñóäà íàïðàâëåíû ïî åãî ðàäèóñàì, à âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
APn (cos θ) cos ωt.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
8.1. Âû÷èñëèòü
Âàðèàíò  8
Z1
(5 − |x|)Pn (x)dx.
−1
8.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = (2 − x)− 2 â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü ïðîèçâîäÿùóþ óíêöèþ. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì
ðÿäà.
1
8.3. Ïîëó÷èòü äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå y ′′ + (2n + 1 − x2 )y = 0 äëÿ óíêöèé Ýðìèòà
y(x) = kHn (x)k−1 Hn (x)e−x
2 /2
.
p
8.4. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = x |x| â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà. Âû÷èñëèòü
íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
8.5. Âû÷èñëèòü
Zt
(t − τ )τ α Lαn (τ )dτ.
0
8.6. Ôóíêöèþ f (x) = e−x ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå íà èíòåðâàëå (0, +∞) ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
8.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóòêå [0, 4] ñ âåñîì ρ(x) = (4 − x)x4 . Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
8.8. åøèòü âíåøíþþ çàäà÷ó Íåéìàíà äëÿ øàðà (r ≥ a) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
¯
∂u ¯¯
= sin10 θ sin 10φ.
∂r ¯r=a
8.9. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè ñåðè÷åñêîãî ñëîÿ 1 < r < 2 è òàêóþ, ÷òî:
u|r=1 = sin2 θ(3 − sin 2φ),
u|r=2 = 4 sin2 θ(3 − sin 2φ).
8.10. Ïðîâîäÿùèé øàð ñ ïðîâîäèìîñòüþ σ1 íàõîäèòñÿ â ñðåäå ñ ïðîâîäèìîñòüþ σ2 . Îïðåäåëèòü
òîêè, ñîçäàâàåìûå òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì òîêà ñèëû I , ïîìåùåííûì âíå øàðà.
8.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè øàðà ðàäèóñà r0 , åñëè íà åãî ïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ñî ñðåäîé, òåìïåðàòóðà êîòîðîé ðàâíà íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
³
π´
u|t=0 = (sin θ + sin 2θ) sin φ +
, 0 ≤ r < r0 , 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π.
6
8.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå, âûçâàííûå ìàëûìè êîëåáàíèÿìè åãî ñòåíêè,
íà÷àâøèìèñÿ ñ ìîìåíòà t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö ñòåíêè íàïðàâëåíû ïî ðàäèóñàì
ñîñóäà, à âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
Pn (cos θ)f (t),
ãäå f (0) = f ′ (0) = 0.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
Âàðèàíò  9
9.1. Âû÷èñëèòü
Z1
[xPn (x)]2 dx.
0
√
9.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = 5 − 4x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü ïðîèçâîäÿùóþ óíêöèþ. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì
ðÿäà.
9.3. Ïîêàçàòü, ÷òî
Z∞
2
xm e−x Hn (x)dx = 0,
0 ≤ m ≤ n − 1.
−∞
9.4. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = x2 θ(x) â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà. Âû÷èñëèòü
íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
9.5. Âû÷èñëèòü
Zt
(t − τ )2 Ln (τ )dτ.
0
9.6. Ôóíêöèþ f (x) = x2 ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå íà èíòåðâàëå (0, +∞) ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà.
Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
9.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóòêå [0, 2] ñ âåñîì ρ(x) = x3 . Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
9.8. åøèòü âíåøíþþ çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ øàðà (r ≥ a) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
u|r=a = sin2 θ + 15 sin2 θ cos θ cos 2φ.
9.9. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè ñåðè÷åñêîãî ñëîÿ 1 < r < 2 è òàêóþ, ÷òî:
u|r=1 = 12 sin θ cos2
θ
cos φ,
2
u|r=2 = 0.
9.10. Îïðåäåëèòü òîêè, ñîçäàâàåìûå òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì òîêà ñèëû I , ïîìåùåííûì âíå øàðà, ñ÷èòàÿ øàð èäåàëüíî ïðîâîäÿùèì.
9.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè òîëñòîé ñåðè÷åñêîé îáîëî÷êè r1 ≤ r ≤ r2 íà âíåøíåé è
âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòÿõ êîòîðîé ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
u|t=0 = sin θ(sin φ + sin θ),
r1 ≤ r < r2 ,
0 ≤ θ ≤ π,
0 ≤ φ ≤ 2π.
Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå, âûçâàííûå ìàëûìè êîëåáàíèÿìè åãî ñòåíêè,
íà÷àâøèìèñÿ â ìîìåíò t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö ñòåíêè íàïðàâëåíû ïî ðàäèóñàì, à
âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
f (θ) cos ωt.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
10.1. Âû÷èñëèòü
Âàðèàíò  10
Z1
(1 − x2 )[Pn′ (x)]2 dx.
0
10.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (θ) = | cos θ| â ðÿä Ôóðüå íà ó÷àñòêå 0 < θ < π ïî îðòîãîíàëüíîé
ñèñòåìå {Pn (cos θ)}. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ.
10.3. Âû÷èñëèòü
Z∞
2
xe−x Hn (x)Hm (x)dx.
−∞
10.4. Ôóíêöèþ f (x) = x3 ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà íà èíòåðâàëå (−∞, +∞).
Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
10.5. Ñ ïîìîùüþ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà Ln (x) äîêàçàòü, ÷òî
ñèñòåìà óíêöèé {Ln (x)} îðòîãîíàëüíà íà (0, +∞) ñ âåñîì ρ(x) = e−x .
10.6. Ôóíêöèþ f (x) = x3 ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå íà èíòåðâàëå (0, +∞) ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà.
Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
10.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóòêå [−1, 1] ñ âåñîì ρ(x) = 1 − x2 . Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
10.8. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíå åäèíè÷íîé ñåðû è òàêóþ, ÷òî:
¯
³π
´
∂u ¯¯
=
sin
−
φ
sin θ.
∂r ¯r=1
4
10.9. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè ñåðè÷åñêîãî ñëîÿ 1 < r < 2 è òàêóþ, ÷òî:
u|r=1 = sin 2φ sin2 θ,
u|r=2 = cos 2φ sin2 θ.
10.10. Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê òåïëà Q íàõîäèòñÿ â ïðèñóòñòâèè íåïðîâîäÿùåãî øàðà. Íàéòè ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû âíå øàðà.
10.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè øàðà ðàäèóñà r0 , íà ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî ïîääåðæèâàåòñÿ
òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
³
π´ 2
u|t=0 = sin 2φ +
sin θ cos θ, 0 ≤ r < r0 , 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π.
6
10.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå, âûçâàííûå ìàëûìè êîëåáàíèÿìè åãî ñòåíêè,
íà÷àâøèìèñÿ â ìîìåíò t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö ñòåíêè íàïðàâëåíû ïî ðàäèóñàì, à
âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
APnm (cos θ) cos mφ cos ωt.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
Âàðèàíò  11
11.1. Âû÷èñëèòü
Z0
(1 + x)Pn (x)dx.
−1
11.2. àçëîæèòü óíêöèþ f (θ) = sin2 θ â ðÿä Ôóðüå íà ó÷àñòêå 0 < θ < π ïî îðòîãîíàëüíîé
ñèñòåìå {Pn (cos θ)}. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
11.3. Íàéòè èçîáðàæåíèå óíêöèè
√
H2n+1 ( x).
2
11.4. Ôóíêöèþ f (x) = e−x ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà íà èíòåðâàëå
(−∞, +∞). Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
11.5. Ïîëüçóÿñü òåîðåìàìè ñìåùåíèÿ è äèåðåíöèðîâàíèÿ îðèãèíàëà, äîêàçàòü, ÷òî
Ln (x) =
ex dn n −x
(x e ).
n! dxn
11.6. Ôóíêöèþ f (x) = x4 ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå íà èíòåðâàëå (0, +∞) ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà.
Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
11.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóòêå [0, 2] ñ âåñîì ρ(x) = 2x − x2 . Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
11.8. åøèòü âíåøíþþ çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ øàðà (r ≥ a) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì:
u|r=a = 1 + sin θ cos θ sin φ + sin5 θ cos 5φ.
11.9. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè ñåðè÷åñêîãî ñëîÿ 1 < r < 2 è òàêóþ, ÷òî:
¸¯
·
∂u ¯¯
= 5 sin2 θ sin 2φ, u|r=2 = − cos θ.
3u +
∂r ¯r=1
11.10. Âíóòðè ñåðû, íà ïîâåðõíîñòè êîòîðîé ïðîèñõîäèò òåïëîîáìåí ñî ñðåäîé íóëåâîé òåìïåðàòóðû, ïîìåùåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ìîùíîñòè Q. Íàéòè ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå
òåìïåðàòóðû âíóòðè ñåðû.
11.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè øàðà ðàäèóñà r0 , åñëè íà åãî ïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ñî ñðåäîé, òåìïåðàòóðà êîòîðîé ðàâíà íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
³
π´ 3
u|t=0 = sin 3φ +
sin θ, 0 ≤ r < r0 , 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π.
4
11.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå, âûçâàííûå ìàëûìè êîëåáàíèÿìè åãî ñòåíêè,
íà÷àâøèìèñÿ â ìîìåíò t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö ñòåíêè íàïðàâëåíû ïî ðàäèóñàì, à
âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
f (θ) cos mφ cos ωt.
Èíäèâèäóàëüíîå çàäàíèå
12.1. Âû÷èñëèòü
Âàðèàíò  12
Zπ
(cos3 θ − sin2 θ)Pn (cos θ) sin θdθ.
0
12.2. àçëîæèòü Ôóíêöèþ f (x) = 5 − 2|x| â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà íà èíòåðâàëå
(−1, 1). Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
12.3. Íàéòè èçîáðàæåíèå óíêöèè
√
1
√ H2n ( x).
x
12.4. Ôóíêöèþ f (x) = x2m+1 ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ýðìèòà íà èíòåðâàëå
(−∞, +∞). Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
12.5. Îïåðàòîðíûì ìåòîäîì äîêàçàòü, ÷òî
L1/2
n (x) =
√
(−1)n
H2n+1 ( x).
2n+1
n!2
12.6. àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = sh x â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëàãåððà. Âû÷èñëèòü íåñêîëüêî ïåðâûõ êîýèöèåíòîì ðÿäà.
12.7. Ïîñòðîèòü ñèñòåìó îðòîíîðìèðîâàííûõ ïîëèíîìîâ Qn (x), îðòîãîíàëüíûõ íà ïðîìåæóòêå [0, 1] ñ âåñîì ρ(x) = x2 (1−x)2 . Âûïèñàòü ÿâíûé âèä ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ. Óêàçàíèå:
èñïîëüçîâàòü îáîáùåííóþ îðìóëó îäðèãà.
12.8. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè åäèíè÷íîé ñåðû è òàêóþ, ÷òî:
¯
∂u ¯¯
= sin10 θ sin 10φ, u|r=0 = 1.
∂r ¯r=1
12.9. Íàéòè óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ âíóòðè ñåðè÷åñêîãî ñëîÿ 1 < r < 2 è òàêóþ, ÷òî:
¯
∂u ¯¯
u|r=1 = sin θ sin φ(5 + 6 cos θ),
= 12 sin 2θ sin φ.
∂r ¯r=2
12.10. Íàéòè ïîòåíöèàë òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî ìåæäó ïðîèçâîäÿùèìè çàçåìëåííûìè
êîíöåíòðè÷åñêèìè ñåðàìè r = a è r = b. Îïðåäåëèòü òàêæå ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíûõ
çàðÿäîâ.
12.11. åøèòü çàäà÷ó îá îñòûâàíèè òîëñòîé ñåðè÷åñêîé îáîëî÷êè r1 ≤ r ≤ r2 íà âíåøíåé è
âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòÿõ êîòîðîé ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà øàðà ðàâíà
³
π´
u|t=0 = sin2 θ cos 2φ −
+ sin θ sin φ, r1 ≤ r < r2 , 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π.
4
12.12. Íàéòè êîëåáàíèÿ ãàçà â ñåðè÷åñêîì ñîñóäå, âûçâàííûå ìàëûìè êîëåáàíèÿìè åãî ñòåíêè,
íà÷àâøèìèñÿ â ìîìåíò t = 0, åñëè ñêîðîñòè ÷àñòèö ñòåíêè íàïðàâëåíû ïî ðàäèóñàì, à
âåëè÷èíà ñêîðîñòåé ðàâíà
f (t)Pn (cos θ) cos mφ,
f (0) = f ′ (0) = 0.