פתרון לתרגיל

‫פתרון תרגיל בית ‪ – 9‬גופים קמורים‬
‫‪ K ,‬קמור‪ ,‬וזהו האליפסואיד המינימאלי המכיל את ‪ .K‬בתרגיל הקודם הוכחנו‬
‫שאלה ‪ :1‬נתון ש‬
‫‪O‬‬
‫הוא האליפסואיד המקסימלי ב ‪.K‬‬
‫ש‬
‫ממשפט ג'ון‪ ,‬נקבל שקיימים‬
‫לכל‬
‫וקבועים‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ולכן‬
‫בפרט נקבל ש‬
‫שאלה ‪ :2‬נתון ‪ K‬קמור כך ש‬
‫כך ש‬
‫וקיבלנו את הדרוש‪∎.‬‬
‫אליפסואיד מנפח מקסימלי בו‪ .‬נגדיר‬
‫נרצה להוכיח ש‬
‫‪,‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪ .‬נניח שלא כך‪ ,‬אז קיימים‬
‫‪,‬‬
‫ולקבל את אותו שוויון‪ .‬ע"י ההזזה של ‪ A‬ל‬
‫בה"כ ‪ A‬סימטרית‪ ,‬אחרת ניתן להחליף את ‪ A‬ב‬
‫‪ ,‬נקבל ש‬
‫‪.‬‬
‫עבור ‪ δ‬מתאים נמצא אליפסואיד ב ‪ K‬מהצורה‬
‫שעבור ‪ δ‬קטן מספיק‪ ,‬האליפסואיד הנ"ל אכן ב ‪ ,K‬ובפרט נפחו גדול מנפח‬
‫‪ .‬נראה‬
‫‪Tx=A'x+b :‬‬
‫‪ ,‬נסתכל על נקודות שקרובות ל ‪ U‬ב‪ ,Sn-1‬כלומר‬
‫יהי‬
‫ונקודות שרחוקות מ ‪ U‬ב ‪ .Sn-1‬ראשית נסתכל על נקודות‬
‫רחוקות מ ‪Sn−1 : dist(v, U) ≥ s/(||A'||+||T||)} .U‬‬
‫‪ .V = {v‬זוהי קבוצה קומפקטית שמקיימת‬
‫‪ .‬יהי‪:‬‬
‫‪ ,‬אזי עבור ‪ δ‬מספיק קטן נראה‪:‬‬
‫‪ ,‬נראה ש ‪ γ‬קטן מ ‪ :0‬קיים ‪ w‬כך ש ‪< 0‬‬
‫אבל לכל‬
‫‪,‬‬
‫‪ ,‬ובפרט‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ולכן‬
‫כאשר‬
‫‪ ,‬בפרט‬
‫‪ .‬ניקח‬
‫‪ δ‬ונקבל ש‪:‬‬
‫‪ ,‬וקיבלנו את הדרוש‪ .‬באופן דומה‬
‫‬
‫נראה שגם לכל נקודה ‪ v‬ב ‪ v ,Sn-1\V‬לא באליפסואיד עבור ‪ δ‬קטן מספיק‪ ,‬אבל גם נקבל (כמו במקרה‬
‫‪.‬‬
‫הסימטרי) ש‬
‫‪ ,‬ובנוסף‬
‫עתה‪,‬‬
‫‪ ,‬מאחר ש‬
‫לכן‬
‫‪ ,‬נקבל שבהכרח‬
‫אליפסואיד מקסימלי ב ‪ ,K‬בסתירה ליחידות האליפסואיד המקסימלי‪.‬‬
‫וקיבלנו את הדרוש‪∎ .‬‬
‫שאלה ‪ :3‬נתון‪:‬‬
‫‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫‪ ,‬ונתונה מידת לבג איזוטרופית ‪ μ‬שהתומך שלה הוא‬
‫הוא האליפסואיד‬
‫‪ ,‬קל לראות ש ‪ K‬מוכלת ב ‪ ,L‬ולכן מספיק להוכיח שהכדור‬
‫המקסימלי ב ‪ L -‬כדי להוכיח שהוא האליפסואיד המקסימלי ב ‪ .K -‬ניקח אליפסואיד כלשהו ב ‪:L‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ ei‬הוא האיבר ה ‪ i‬בבסיס הסטנדרטי‪ w ,‬מרכז האליפסואיד‪.‬‬
‫את הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫נגדיר על‬
‫‪ .‬נשים לב ש‬
‫‬
‫‪ ,‬ולכן‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬ובפרט‪ ,‬מהגדרת ‪ ,L‬מתקיים ש‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪μ‬‬
‫‬
‫‬
‫ולכן‬
‫‬
‫‬
‫‪ .‬מאי שוויון הממוצעים נקבל ש‪:‬‬
‫‬
‫המקסימלי ב ‪ ,L‬ולכן גם ב ‪∎ .K‬‬
‫‪ ,‬ולכן נקבל ש‬
‫הוא האליפסואיד‬
‫שאלה ‪ K :4‬קמור‪,‬‬
‫האליפסואיד המקסימלי בו‪.‬‬
‫ממשפט ‪ ,Dvoretzki – Rogers‬קיים בסיס אורתונורמלי ל ‪,Rn‬‬
‫המקיימים‬
‫‪ .‬נפריד למקרה בו ‪ n‬זוגי ובו ‪ n‬אי זוגי‪:‬‬
‫‪:n = 2k‬‬
‫ראשית נראה שעבור‬
‫‪:‬‬
‫מתקיים‬
‫‪ ,‬לכן‪ ,‬נבנה בסיס בצורה הבאה‪ :‬עבור כל‬
‫אם‬
‫‪ ,‬אז נגדיר‬
‫‪ ,‬ואם לא‪ ,‬נגדיר‬
‫‪ .‬נוכיח שהקבוצה‬
‫אם‬
‫‪:‬‬
‫ונגדיר‬
‫מקיימת את הדרוש‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬אז ברור שהנורמה האוקלידית שלו היא ‪ ,1‬אחרת‬
‫‪ ,‬אז לכל ‪ i‬ו‪j -‬‬
‫שנית‪ ,‬נשים לב שאם נגדיר לכל‬
‫בסיס‪ ,‬נותר להראות ש‬
‫שונים זה מזה ‪ Fi‬ו‪ Fj -‬מאונכים זה לזה‪ ,‬ובפרט הקבוצה‬
‫‪ ,‬אזי ברור שהם מאונכים‪ ,‬אחרת‪( :‬נסתכל על ‪)i<k+1‬‬
‫מאונכים זה לזה‪ :‬אם‬
‫מהווה בסיס‬
‫‪ ,‬ולכן הקבוצה‬
‫אורתונורמלי‪ .‬נותר להוכיח שהנורמות של הוקטורים בה חסומות ע"י ו‬
‫אם‬
‫‪ ,‬אז מתוך הבנייה של הבסיס נקבל ש‬
‫אחרת (נניח‬
‫‪:‬‬
‫‪ ,‬ובפרט‬
‫מקיים את הדרוש‬
‫‪ ,‬באופן דומה אם ‪:)i>k‬‬
‫‪ ,‬ובכיוון השני‪:‬‬
‫‪ ,‬ולכן הבסיס‬
‫מקיים את הדרוש‪.‬‬
‫‪ :n=2k+1‬נראה באופן דומה‪ ,‬רק שהפעם טענה‬
‫באותה צורה‪∎ .‬‬
‫תקפה עבור‬
‫‪ .‬בניית הבסיס תתבצע‬