løsningsforslag

RegneoppgaverAST1010,vår2017
(Sistoppdatert:29.03.2017)
OBS:Ikkefåpanikkomduikkefårtiloppgavenemedengang,elleromdustårheltfast:
• Iforelesningsnotatene1finnerduregneeksempler.
• Dukanogsåfåhjelpmedellersjekkesvarenepåoppgaverigruppetimene
(onsdag/torsdagfraogmed26./27.januar).
• Ettergruppetimeneleggesløsningsforslagtilgamleoppgaverinnbakerstidette
dokumentet2sammenmednyeoppgaver.
• PS:Alleoppgaveneskalløsesutenhjelpemidler,slikatdetblirrealistiskøvelsetil
eksamen.
Oppgave1
Planeten Lars går i bane rundt stjernen sin med store halvakse lik 2 AU.
Finn omløpstiden til denne planeten med Keplers 3. lov.
Stjernen til planeten Lars har det dobbelte av Solens masse, så  = 0.5 i dette solsystemet.
Vis tydelig hvordan du tenker/regner for å finne svaret, og husk riktige enheter.
Oppgave2
Planeten Sara går i bane rundt stjernen sin med store halvakse lik 4 AU.
Finn omløpstiden til denne planeten med Keplers 3. lov.
Du kan anta at stjernen til planeten Sara har nøyaktig samme masse som solen (og mye større
masse enn planeten).
Vis også her hvordan du tenker/regner for å finne svaret, og husk riktige enheter.
Oppgave3
Kometen C/2016 U1 NEOWISE går i bane rundt Solen med en omløpsperiode lik 1 000 år.
Finn store halvakse i banen til denne kometen med Keplers 3. lov.
Vis nok en gang hvordan du tenker/regner for å finne svaret, og husk riktige enheter.
1
https://www.uio.no/studier/emner/matnat/astro/AST1010/v17/timeplan/index.html#FOR
2
Oppdatertversjon:
http://www.uio.no/studier/emner/matnat/astro/AST1010/v17/undervisningsmateriale/regneoppgaver-ast1010.pdf
Oppgave4
Planeten Lars viser seg å ha en masse på 3 jordmasser.
Planetens radius er det dobbelte av jordens.
Vis tydelig hvordan du regner ut tyngdeakselerasjonen på overflaten av planeten Lars med
Newtons gravitasjonslov.
Hint: Når vi oppgir svaret i jord-gravitasjoner (g), kan du sette gravitasjonskonstanten G = 1.
Oppgave5
Den noe mindre planeten Lerkur har en masse på 3/4 jordmasser.
Planetens radius er nøyaktig den samme som jordens.
Vis tydelig hvordan du regner ut tyngdeakselerasjonen på overflaten av planeten Lerkur med
Newtons gravitasjonslov. Husk riktig enhet i svaret.
Oppgave6
I vårt eget solsystem har Mars en masse som er nesten dobbelt av Merkurs masse.
Hvordan kan det ha seg at tyngdeakselerasjonen på Mars’ overflate er den samme som på
Merkurs overflate?
Hint: Se på svarene i oppgave 4 og 5. Det kan også lønne seg å se på denne tabellen:
http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/
Oppgave7(utfordring)
Med litt avrunding kan vi si at månens radius er ca. 1/4 av jordens3.
Forklar hvorfor en måne som veier 1/16 jordmasse vil ha 1 g tyngdeakselerasjon på overflaten
(Hint: Sett inn tallene i Newtons gravitasjonslov og sjekk4 at svaret blir 1).
Når den virkelige tyngdeakselerasjonen på månens overflate viser seg å være 1/6 g, er månens
masse da mindre eller større enn 1/16 jordmasse?5
3
Egentlig0.2724jord-radier(27,24%avjordensradius).
& &
&
4
Hjelpsombrøkregeltildenneoppgavensomduikketrengeråpuggetileksamen: ⋅ = ' )
'⋅)
5
Frivilligekstraoppgavefordesomikkefårnokutfordringer:Hvaveiermånenijordmasser
(nårvibrukertilnærmingenpå1/4jord-radiussomioppgave7)?
Oppgave8
DendominerendebølgelengdeniSolensspektererca.500nm(grøntlys).
BrukWiensforskyvningslovtilåregneutdendominerendebølgelengdendersomvitidobler
Solenstemperatur.
Vistydelighvordandutenker/regneroghuskriktigenhetisvaret.
Oppgave9
BrukWiensforskyvningslovtilåregneutdendominerendebølgelengdendersomvihalverer
Solenstemperatur.
Vistydelighvordandutenker/regneroghuskriktigenhetisvaret.
Oppgave10
Solenstemperaturer5770K(ettalldubørhuske).Forågjøreregningenenklere,rundervi
avtemperaturentil6000Kirestenavdenneoppgaven.
BrukWiensforskyvningslovtilåregneuthvaSolenstemperaturvilleværtdersomden
dominerendebølgelengdenhaddevært250nm(ultrafiolettstråling).
Vistydelighvordandutenker/regneroghuskriktigenhetisvaret.
Hvordanvilleensolmeddennetemperaturensettutforossmennesker?
VillefargenpåhimmelenværtannerledesomSolenhaddehattdennetemperaturen?
Oppgave11
BrukStefan-Boltzmannslovtilåregneutfluksentiletsortlegememedentemperaturpå1
K.Vistydeligutregning.
Hvisduikkeerkomfortabelmedåhamedenukjentkonstant()isvaret,kanduidenneog
restenavoppgavenesette = 1.
Hvisdugjørdette,kandufålovtilådroppeenheterisvarenepåoppgaversombruker
dennekonstanten,mendamåduherognå,idenneoppgaven,svarepåhvilkenmåleenhet
vimålerfluksi.Ikkebareerdetviktigisegselv,menduvilogsåhabrukforåvitedettei
oppgave14.
(Hvisduderimotikkegjørdette,brukdennemåleenheteniallesvarenedinesomnormalt.)
Oppgave12
BrukStefan-Boltzmannslovtilåregneutfluksentiletsortlegememedentemperaturpå3
K.Vistydeligutregning.
Oppgave13
BrukStefan-Boltzmannslovtilåregneutfluksentiletsortlegememedentemperaturpå10
K.Vistydeligutregning.
Oppgave14
Hvilketsortlegemestrålerutmesteffekt(målesiwatt)avdisse?
Temperatur(K)
Overflate(m2)
Legeme1
1
81
Legeme2
3
1
Begrunnsvaret–forklartankegangendin.
Oppgave15(frivilligutfordring–ikkepensum)
Utleddenneformelenforenplanetstemperatursomvivisteiforelesningene6(hellerikke
pensum):
-.'/01 = 23. ⋅
23.
2
dereravstandenmellomsolenogplaneten(egentligstorehalvakse,menhertenkervien
planetbanesomerheltsirkulær,slikatstorehalvakse=radius)og23. ersolensradius.
BrukStefan-Boltzmannslovogfølgendeikke-pensum-formler:
Solenstotaleutstrålteeffekt(fluksgangerareal)er:
23. = 23. ⋅ 423. ; Fluksenmanfårienvissavstand()frasolen:
23.
<// =
4;
(dvs.atfluksenspresutoverpåoverflatenavenkulemedradius).
Totaleffektsomplanetentarinn:
<// = <// ⋅ ; (vitenkerheratdelenavplanetensomvendermotsolaerensirkelmedradius).
Viantarperfektstrålingsbalanse–likemangewattinnsomut:
=1 = <// ogplanetensutstråltesortlegeme-flukser(forenkuleformetplanet):
=1
-.'/01 =
4;
OBS:DumåbrukeStefans-Boltzmannslovbådepåsolenogplaneten.
Denneoppgavenerherkunforågienstørreutfordringtilstudentersomharerfaringmed
matematikkogmanipuleringavformler.Jegvillealdrifinnepåågidettetileksamen,men
håpeteratdesomharforkunnskapertildetvilfånoeinteressantåbrynesegpå.(Jegvil
ogsålageløsningsforslagtildenneoppgaven,selvomdenerheltfrivillig.)
6
Idenopprinneligeforelesningen(våren2017)haddejegglemtfaktoren2inevneren,men
detteernåblittoppdatert.
Oppgave16
Hvaerparallaksentilenstjernesomer2pcunnajorden?
Vistydeligutregningogbrukriktigenhetisvaret.
Oppgave17
Hvaerparallaksentilenstjernesomer4pcunnajorden?
Vistydeligutregningogbrukriktigenhetisvaret.
Oppgave18
Hvorlangtunnajordenerenstjernesomharparallaksepå2buesekunder?
Vistydeligutregningogbrukriktigenhetisvaret.
Oppgave19
Hvorlangtunnajordenerenstjernesomharparallaksepå10buesekunder?
Vistydeligutregningogbrukriktigenhetisvaret.
Oppgave20(frivilligutfordring)
Ifølgeformelen,hvorstorparallaksevinkelvilenstjernehahvisdener1AUunnaoss?
Vistydeligutregningogoppgisvaretigrader.
(Hint:Forågjøreregningenoverkommeligutenhjelpemidler,anbefalesdetåbrukeradianer
>[email protected]
tilåbegynnemed.Duvilogsåfåbrukforat
≈ 57,3.)
;A
HvorforharikkeSolendenneparallaksennårSolener1AUunnaoss?
(Hint1:Herkandethjelpeåtegneenfigur.PasspåatduikkeplassererSolentoforskjellige
steder.Toavsideneidetsomgenereltbleenrettvinklettrekantvilherhasammelengde.)
(Hint2:Nårviutledetparallakseformeleniforelesning,gjordevienantakelsesombare
gjelderentypevinkler.Erdennematematiskeantakelsengyldigher?)
Oppgave21
Engalakse50Mpcunnaossharenrødforskyvningsomtilsvarerenhastighetpå3000km/s.
BrukHubbleslovogregnuthvorstorrødforskyvningshastighetdennegalaksenvillehattom
denistedetvar100Mpcunnaoss.
Vistydeligutregningoghuskriktigenhetisvaret.
Oppgave22
Lysetshastigheterca.300000km/s.Hvorlangtunnamåengalakseværeforåbevegeseg
meddennehastigheten?(Hint:Brukopplysningeneioppgave21ogHubbleslov.)
Vistydeligutregningoghuskriktigenhetisvaret.
Oppgave23
MeddagensverdiavHubble-parameteren(@ )fårviatuniversetsalderblirca.14milliarder
år(viantaratuniversetutvidersegslikatgalaksenefjernersegfraossmedkonstant
hastighet).
Hvormyemindre/størrevilleHubble-parameterenhattdersomgalaksenehaddebeveget
segdobbeltsårasktbortfraoss(medakkuratdesammeavstandene)?
Vistydeligutregning.
Oppgave24
HvorgammeltvilleuniversetværtmedHubble-parameterenvikomframtilioppgave23?
Vistydeligutregningoghuskriktigenhetisvaret.
Oppgave25
HvilkenverdivilvimåleforHubble-parameterennåruniverseterdobbeltsågammeltsom
deteridag?
Vistydeligutregningoghuskriktigenhetisvaret.
Oppgave26
Sammenlignoppgave9,16og25.
Hvaerlikhetenmellomutregningeneidisseoppgavene?
Hardetreformlenenoetilfellessomkangjøredemlettereåhusketileksamen?
Løsningsforslagtilregneoppgavene
(oppdateresettergruppetimenhvoroppgaveneblirgjennomgått)
Oppgave1
Keplers3.lov:
; =  ⋅ >  ⋅  =  ⋅  ⋅  ⋅ 
Setterinnopplysningenegittioppgaven:
 ⋅  = 0.5 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
 ⋅  = 0.5 ⋅ 8
 ⋅  = 4
Prøvermegframmed = 1:
1 ⋅ 1 ≠ 4
Hvamed = 2?
2 ⋅ 2 = 4
Serdermedatsvaretmåvære = 2år(huskenheteneJ).
Oppgave2
Viktig:StjernenherharsammemassesomSolen.Sidenverdienavkonstantenerbestemt
avstjernensmasse(nårstjernenermyestørreennplaneten,iallefall),måviherhasamme
verdiavsomivårtegetsolsystem: = 1.
; =  ⋅ > ; = 1 ⋅ 4> ; = 1 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4
; = 4 ⋅ 16
; = 64
Denneoppgavenkanløsesvidereakkuratsomoppgave1,medprøvingogfeiling.Menhvis
dubeherskerkvadratrøtterogtredjerøttergodt,kanduvågedegutpåenmeravansert
fremgangsmåte:
; = 64
Partallsrøtterharbådepositiveognegativeløsninger:
; = ± 64
 = ±8
Hvaskalvimenemedenomløpsperiodepå-8år?Denbestetolkningenjegkantenkemeg
pådette,eratplanetengårmotsattveiavdetjordengjørrundtSolen.Menomløpsperioden
måltpåenklokkeerakkuratdensammeogsåidettetilfellet–ibeggetilfellerblirden
 = 8år
(Kommentar:Vikunneselvsagtfunnetennegativløsningogsåmedprøvingogfeiling,
(−8) ⋅ (−8) = 64,menfordividetatomløpsperiodenskalværepositiverdetteenveldig
unaturligløsningåprøve.
Nårdutarrotenavhversidepåenlikning,skalimidlertidbeggefortegnmed,ogdubør
derforargumenterehvorfordennegativeerufysisk/utenbetydning.
Omduderimotprøverogfeilersomvigjordeioppgave1,trengerduikketenkepåå
utelukkenegativeløsningertileksamen–deteringengrunntilåprøvemednegativtidi
dettetilfellet.)
Oppgave3
ErdetsnakkomSolen,er = 1(iallefallsålengeenheteneerAUogår,ogdetvildevære
påeksamen):
; =  ⋅ > 1000; = 1 ⋅ > 1000 ⋅ 1000 =  ⋅  ⋅ 
1000000 =  ⋅  ⋅ 
Prøvermed = 10:
1000000 ≠ 1000 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10
Prøvermed = 100:
1000000 = 100 ⋅ 100 ⋅ 100
Serdermedatsvaretmåvære = 100AU(huskenheteneJ).
Oppgave4
Newtonsgravitasjonslov:
=
⋅
;
=
1⋅
⋅
Setter = 1:
Setterinntallene(ijordmasserogjord-radier)forplanetenLars:
1⋅3 3
=
= 2⋅2 4
PåoverflatenavplanetenLarsertyngdeakselerasjonen0,75g(75%avjordens).
Oppgave5
Fraforrigeoppgave:
=
1⋅
⋅
Setterinntallene(ijordmasserogjord-radier)forplanetenLerkur:
3
1⋅
4 = 1 ⋅ 0,75 = 0,75
=
1⋅1
1⋅1
PåoverflatenavplanetenLerkurertyngdeakselerasjonen0,75g(75%avjordens).
Oppgave6
Somoppgave4og5viser,harplaneteneLarsogLerkurakkuratsammetyngdeakselerasjon
påoverflaten,selvomdeharforskjelligmasse.Detteskyldesatradientilplanetenogså
spillerenrolle–detfinnes(uendelig)mangekombinasjoneravradiusogmassesomgir
sammetyngdeakselerasjon.
ForenutregningmedrealistisketallforMerkurogMars,senotatenetilforelesning8(jorda,
månenogMars).Forholdetmellommasseog ; erdetsammeforbeggeplanetene,noevi
kansjekkevedåsepådatafraNASA-tabellenoggjøreenutregning.Atviistedenbrukte
eksempel-planeteneLerkurogLarsvarforåfåenkleretall,somdetvivillefåttpåen
eventuelleksamensoppgave.
Oppgave7(utfordring)
=
Setterinntallenegittioppgaven:
1⋅
⋅
1
16
=
1 1
⋅
4 4
1⋅
Brøkregel:
1
1
1
1⋅
16
16
16
=
=
=
= 1
1⋅1
1
1
4⋅4
16
16
1⋅
Detstemmeratenslikmånevillehattsammeoverflatetyngdekraftsomjorden:1g
&
Månensegentligetyngdekrafter6gangermindreenndette( g),såhvisviskalbrukeden
?
sammeradien,måmånensegentligemasseværetilsvarende(6ganger)mindre.
Heltnøyaktig(ekstrautfordringenifotnoten)ermånensegentligemasseda:
1
1
1
16
=
=
= 6
16 ⋅ 6 96
jordmasse–herbrukteviendaenbrøkregelsomduikketrengeråhusketileksamen.Dette
erikkelangtunnamånensegentligemasse(dukanselvsjekkedetiNASA-tabellen,omdu
insisterer)–enmernøyaktigmåneradiusistedetfor1/4avjordensvillegittetendamer
nøyaktigresultat.
Oppgave8
Wiensforskyvningslov:

V'W = 
ForSolen:
V'W =
Tidoblertemperaturen:
V'W =

= 500nm
5770K

500nm
=
= 50nm
10 ⋅ 5770K
10
Forklaring:Sidentemperaturenerinevneren,delervipå10nårtemperaturentidobles.Da
blirdendominerendebølgelengden50nm.
Oppgave9
Hvisviistedethalverertemperaturen:

500nm
V'W =
=
= 1000nm
0,5 ⋅ 5770K
0,5
Forklaring:Nårvidelerpåenhalv,erdetdetsammesomådoble.
Hvorfor?Fordihvisenhalvpersonskalfå500nm,måenhelfå1000nm.
Oppgave10
Runderavsolenstemperatur(ikkeheltnøyaktig):

V'W =
= 500nm
6000K
Hvaslagstemperaturvillegittoss250nm(halvpartenav500nm)somsvar?
Foråfåhalvertsvaret,månevnerenværedobbeltsåstor(åhalvereerådelepå2):


500nm
V'W =
=
=
= 250nm
12000K 2 ⋅ 6000K
2
Omsolenstemperaturhaddevært12000K,villeultrafiolettstrålingdominert.Mennesker
kanikkeseultrafiolettstråling,menidetsynligespekteretvillefiolettogblåttlysdominert.
Imidlertidsermenneskeøyetblåttbedreennfiolett,såenslikstjernevillesettblåutfor
mennesker.Ensliksolvillesendtutmerfiolettennblåttlys,ogkortebølgelengderspres
mestidetsynligespekteret.Vikanderforantaathimmelenvillehattetsterkereinnslagav
fiolettenndetviseridag,menommenneskeøyetvilleklartåsetydeligforskjelleretåpent
spørsmål.(Itilleggvillehimmelenværtmyelysere,fordienvarmerestjernestrålermer.)
Oppgave11
Stefan-Boltzmannslov:
Setterinn = 1K:
 =  ∙  ] =  ∙  ∙  ∙  ∙ 
 =  ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 
FluksenbliraltsålikkonstantenW/m2.
Alternativt,omdusetter = 1,blirfluksenlik1.
Måleenhetenforflukserwattperkvadratmeter.
Oppgave12
Setterinn = 3K:
 =  ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
 =  ∙ 9 ∙ 9
 =  ∙ 81
Herbliraltsåfluksenhele81gangerstørre:81 ∙ W/m2(eller81omdusatte = 1).
Oppgave13
Setterinn = 10K:
 =  ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10
 =  ∙ 100 ∙ 100
 =  ∙ 10000
Herblirfluksentitusengangerstørre:10000 ∙ W/m2(eller10000omdusatte = 1).
Oppgave14
Detteerlegemeneioppgave11og12,somvialleredeharregnetutfluksenfor:
Temperatur(K)
Overflate(m2) Fluks(W/m2)
Effekt(W)
Legeme1
1
81
1
81
Legeme2
3
1
81
81
Vifinnerdentotaleeffekten(W)vedågangesammenfluks(W/m2)medareal(m2).
Detvisersegatdetlille,littvarmerelegemetstrålerutlikemyeeffektsomdetsvære,litt
kalderelegemet(detmåmyearealtilforåkompensereforenlitentemperaturendring).
Oppgave15(frivilligutfordring–ikkepensum)
Stefam-Boltzmannslovforplaneten:
]
-.'/01 =  ∙ -.'/01
-.'/01 =
Bruker-.'/01 =
_`a
]Ab c
^
-.'/01

:
-.'/01 =
^
=1
=
4; 
^
<//
4; 
(pga.strålingsbalanse).Videreutnytterviat<// = <// ⋅ ; :
-.'/01 =
^
<// ⋅ ;
=
4; 
^
<//
4
_
ogsiden<// = defc :
]A'
-.'/01 =
^
23.
4; ∙ 4
Men23. = 23. ⋅ 423. ; :
-.'/01 =
^
23. ⋅ 423. ;
=
4; ∙ 4
^
23. ⋅ 23. ;
; ∙ 4
]
BrukernåStefan-BoltzmannslovforSolen(23. =  ∙ 23.
):
-.'/01 =
^
]
 ∙ 23.
⋅ 23. ;
=
; ∙ 4
^
]
^
23.
⋅ 23. ;
23. ;
= 23. ⋅
; ∙ 4
; ∙ 2;
^
Utnyttertilsluttat  ; =  ;/] =  &/; = :
-.'/01 = 23. ⋅
23.
2
hvilketskullebevises.
Detviharfunnetuteraltsåatenplanetblirvarmerejovarmeresolener,jonærmeresolen
dener,ogjostørresolener(enstørresolmedsammetemperatursenderutmertotal
effekt,ogvildermedgjøreplanetenevarmere).
Oppgave16
Parallakseformelen:
Setterinn = 2pc:
1
= 
1
2= 
Hvaskalmandele1påforåfå2somsvar(seogsåoppgave9)?
2
1
=
1 0,5
Nåravstandeneroppgittiparsec,erparallaksevinkelenibuesekunder.Enstjerne2pcunna
jordenharenparallaksevinkelpå0,5buesekunder.
Oppgave17
Setterinn = 4pc:
1
4= 
Hvaskalmandele1påforåfå4somsvar?
4
1
=
1 0,25
Enstjerne4pcunnajordenharenparallaksevinkelpå0,25buesekunder.
Oppgave18
Parallakseformelen:
Setterinn = 2buesekunder:
1
= 
1
= 2
Nårparallaksevinkeleneroppgittibuesekunder,eravstandeniparsec.Enstjernemed
parallaksevinkel2buesekunderer0,5pcunnajorden.
Oppgave19
Setterinn = 10buesekunder:
=
1
10
Enstjernemedparallaksevinkel10buesekunderer0.1pcunnajorden.
Oppgave20(frivilligutfordring)
Setterinn = 1AU:
Serat
1
1= 
1
1= 1
mensidenavstandenvargittiAU,måparallaksevinkelenværeoppgittiradianer.Forå
regnedetteomtilgrader:
360∘
1 =
≈ 57,3∘ 2
Vifårenparallaksevinkelpå57,3gradermedparallakseformelenher.
AtSolenikkehardenneparallaksevinkeleneråpenbart,forenenkelfigurvilviseatSolen
flytterseg90graderpåetkvartår.(IdettetilfelletvilTOavvinkleneitrekantenbli90
grader,ogdensisteblir0grader:Trekantenvårbliregentligbaretolinjeroppåhverandre.
Jegerforlattilåtegnedet,mendereskjønnerforhåpentligvistegningalikevel.)
OmviistedentegnerenfigurmedTOsoler,hvorjordagåribanerundtdeneneogden
andreer1AUunna7,fårvienparallaksevinkelpå45grader.Selvomdetteerurealistisk
fysisksett,erdettenærmerehvordanparallakseformelenermentåbrukes,menvifår
fortsattikkeriktigsvar–hvorfor?
Denmatematiskeårsakenertilnærmingenvibruktetilåutledeparallakseformelenbare
fungerernårvinkelen(gittiradianer)ersværtliten:
sin  ≈ 
Envinkelpåenhelradian(57,3grader)erdefinitivtingenlitenvinkel,derforerdetingen
grunntilåforventeatformelenskalgietfornuftigsvarforgjenstandersånærtjorden.
7
Iallefalltilåbegynnemed,nårJordenogdetosoleneerpålinje.NårJordenogdeto
solenedannerenlikebeinttrekantvilavstandenhaøkttilca.1,42AU(kanvisesmed
Pytagoras’formel).Forfjernestjernermedenmyemindreparallaksevinkelvilenslikendring
iavstandværeubetydeligliten–endaengrunntilåinsisterepåsmåvinkler.
Oppgave21
Hubbleslov:
Setterinntallenegittioppgaven:
Hvaskjernåravstandendobles?
 = @ ⋅ 
3000 = @ ⋅ 50
 = @ ⋅ 100
[email protected] eruforandret,måhastighetenogsådobles:
6000 = @ ⋅ 100
Engalakse100Mpcunnaossvildahaenhastighetpå6000km/s.
(OBS:Detgåranå[email protected] = 60km/sperMpc,mendetteerikkestrengttatt
nødvendigforåløseoppgaven.Detholderådoblepåhversideavlikhetstegnet.Ogdetskal
nevnesatdenreelleverdienernoehøyere,ca.67,74km/sperMpcifølgePlanck-satellitten.)
Oppgave22
Setterinntallenegittioppgaven:
Sammenlignermedoppgave21:
300000 = @ ⋅ 
3000 = @ ⋅ 50
Denvenstresidener100-doblet,såvimå100-dobledenhøyresidenogså:
300000 = @ ⋅ 5000
[email protected] liggerenslikgalakse5000Mpcunnaoss.(Denreelleavstandener
[email protected] .)
Oppgave23
Hubbleslov:
 = @ ⋅ 
Dobleshastighetenmåviogsådoblepådenandresidenavlikhetstegnet:
2 ⋅  = 2 ⋅ @ ⋅ 
skalværeuendret,sådennyeHubble-parameterenmåværelik2 ⋅ @ ,detvilsiendobling
avHubble-parameteren.
Oppgave24
Universetsaldermedkonstantehastigheter:
@ =
1
@
DoblerHubble-parametereniforholdtildagensverdi(seoppgave23):
1
1
=
= ⋅ @ 2 ⋅ @ 2
Idettetilfelletfåruniversethalvpartenavdagensalder,ca.7milliarderår.
Oppgave25
Dobleruniversetsalder:
2 ⋅ @ =
1

MeddagensHubble-parametermåtteviogsådobletdenandresiden:
2
2 ⋅ @ = @
Såvikansammenlignedetohøyresideneover:
1
2
=  @
Halverertellerognevnerpåhøyreside:
1
1
=
 0,5 ⋅ @
hvilketbetyrat:
 = 0,5 ⋅ @ Sånåruniverseter28milliarderårgammelt,erHubble-parameterenhalvpartenavdagens.
Oppgave26
Ialleoppgavenehalverervinevneren(, , ),slikatsvaret(V'W , , )blirdoblet.
Wienslov,parallakseformelenogHubblesloverallepådensammeformen!
(SelvomWienslovharenkonstantsomikkeer1itellerenpåhøyreside.)