11.05.

Statikk og likevekt
Elastisitetsteori
11.05.2015
FYS-MEK 1110
11.05.2015
1
uke 20
forelesning:
elastisitetsteori
gruppe:
gravitasjon+likevekt
innlev. oblig 10
11
man
12
tir
ons
forelesning:
spes. relativitet
gruppe:
gravitasjon+likevekt
14
15
fre
forelesning:
spes. relativitet
gruppe:
spes. relativitet
25
20
forelesning:
repetisjon
gruppe:
spes. relativitet
1
ingen
forelesning
orakel 14-16
FØ394
2
gruppe:
repetisjon
27
ingen
forelesning
gruppe:
repetisjon
28
3
EKSAMEN
4
gruppe:
repetisjon
gruppe:
spes. relativitet
29
datalab 11 – 14
FV329
23
Pinse
gruppe:
spes. relativitet
22
ingen datalab
22
26
21
Himmelfart
tor
18
19
gruppe:
gravitasjon+likevekt
13
21
5
datalab 11 – 14
FV329
Eksamen: Onsdag, 3. Juni, 14:30 – 18:30
Tillatte hjelpemidler:
 Øgrim og Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller*
 Angell, Lian, Øgrim: Fysiske størrelser og enheter: Navn og symboler*
 Rottmann: Matematisk formelsamling*
 Elektronisk kalkulator av godkjent type.
* ikke nødvendig
Formelark er del av oppgaveteksten.
Tidligere eksamensoppgaver:
http://www.uio.no/studier/emner/matnat/fys/FYS-MEK1110/v15/eks/eks.html
FYS-MEK 1110
11.05.2015
3

F2
Eksempel: stige
krefter:
gravitasjon G
normalkreftene N1, N2
friksjonskreftene F1, F2
x retning:
y retning:

N2
O
N 2  F1  0

G
N1  F2  G  0
y
kraftmoment:
L
2
 O  N1L cos   F1L sin   G cos   0

x

F1

N1
3 ligninger men 4 ukjente: N1, N2, F1, F2
 problemet er ubestemt
Når begynner stigen å skli?
begge sider må begynne å skli samtidig
FYS-MEK 1110
11.05.2015
4

F2
Eksempel: stige
stigen sklir når 1 = 1 1 og 2 = 2 2
x retning: N 2  F1 
y retning:
1 N1
N1  F2  G  0
N1 
G  N1  2 N 2  N1  2 1 N1
kraftmoment:
N1L cos   F1L sin   G
L
cos   0
2
G
N1  F1 tan    0
2
G
N1   F1 tan   1 N1 tan 
2
tan  
1
1

N2
O

G 1  12 1  12

21
G
21
G
1  1 2

G
y

x

F1

N1
tan  
glatt gulv: 1 = 0
  90
hvis vinkelen er mindre begynner stigen å skli
(uavhengig av vekten til stigen)
FYS-MEK 1110
11.05.2015
1
2 1
glatt vegg: 2 = 0
5
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En stige (S) med masse  står mot veggen.
Friksjon mellom veggen og stigen er
neglisjerbar. En person (P) med masse 
klatrer opp stigen. Faren for at stigen sklir
blir

N2
1. større
2. mindre
3. er det samme

GS
y

GP
x

F1

N1
kraftmoment om kontaktpunkt på gulvet:
person klatrer opp
 større kraftmoment fra gravitasjon (positiv)
 trenger større kraftmoment fra 2 for at  = 0
 normalkraften 2 fra veggen øker
 friksjonskraften 1 øker slik at  = 0
 faren for at stigen sklir øker
FYS-MEK 1110
11.05.2015
6
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En kiste står på et skråplan. Massesenteret
er markert med et punkt. I hvilken av de fire
tilfeller velter kisten (hvis i det hele tatt)?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
FYS-MEK 1110
A
B
C
D
A og C
C og D
alle er stabilt
11.05.2015
7
b
Eksempel: kiste på skråplan
En homogen kiste med masse m, bredde b
og høyde h står på et skråplan med vinkel .
Hva er betingelser for likevekt?
krefter på kisten:
gravitasjon G
h
normalkraft N
x retning:  −  sin  = 0
y retning:  −  cos  = 0
friksjon f


N


G
O

c

f
kraftmoment om O:
ℎ

 +  sin  −  cos  = 0
2
2
ℎ

 + tan  − = 0
2
2
1
 = ( − ℎ tan )
2
FYS-MEK 1110
11.05.2015
kisten kan enten skli eller velte
hvis den velter er O den
eneste kontaktpunkt og  = 0
betingelse for at kisten velter:

tan  =
ℎ
8
b
Eksempel: kiste på skråplan
N  mg cos 
f  mg sin 
c
1
(b  h tan  )
2
h
f  N
kisten begynner å skli hvis:

N
mg sin    mg cos 
 kritisk vinkel:
kisten begynner å velte hvis:
samtidlig må være:
b
eksempel:
 0.5
h
FYS-MEK 1110
11.05.2015
O
tan   

samtidlig må være: c  0
c0

b
 tan 
h
 kritisk vinkel:
f  N

G
 tan   
c

f
ellers har kisten
allerede veltet
b
 tan 
h
ellers har kisten
allerede sklidd
  0.4
kisten sklir ved
  0.6
kisten velter ved acrit  arctan
acrit  arctan(  )  21.8
b
  26.6
h
 
9
Elastisitetsteori
Hvordan blir faste stoffer deformert når de påvirkes av krefter?
Vi har så langt modellert deformasjoner med fjærkrefter:
x
x
F  k x
FYS-MEK 1110
11.05.2015
10
bjelke i likevekt: F1  F2
F1
vi tenker oss en
imaginær snittflate
F2
F
F
F
F
vi tenker oss en snittflate
på en atomær skala
x0
kraft mellom to atomer i x retning:
fjærkraft
F  k ( x  x0 )
bra tilnærming for små ∆
kubisk krystall
FYS-MEK 1110
11.05.2015
11
kraft på en snittflate med areal A  N y l N z l
F  k ( x  x0 ) N y N z

F
A

F k x k

 
A l l
l

spenning
E
k
l
materialegenskap
  E
FYS-MEK 1110
11.05.2015
x
l
tøyning
Elastisitetsmodul
Youngs modul
enhet:
N
 Pa
2
m
Hookes lov
12
Elastisitetsmodul
eksempler:
stål
2  1011 Pa = 200 GPa = 200 kN/mm2
bly
19 GPa
silikon
0.05 GPa
Eksempel
Et lodd på 1 kg henger i en ståltråd
med 1 mm diameter og lengden 1 m.
Hva er forlengelsen av tråden?
F mg
1 kg  9.81 m/s 2
spenning:  
 2 
 1.25  107 Pa
-4 2
2
A r
  (5  10 ) m
 E
x
L

1.25  107 Pa
-5
x  L 

1
m

6
.
25

10
m  62.5  m
11
E
2  10 Pa
FYS-MEK 1110
11.05.2015
13
Spennings-tøyningskurve
plastisk deformasjon
sammentrekning
brudd
elastisk
deformasjon
Hookes lov:


E
FYS-MEK 1110
11.05.2015
14
tøyning i x retning:  x 
x  x

x
E
tøyning i y retning:  y 

y
x
  x  
y
E
x

tverrkontraksjonstall
Poissons tall
volumendring:
V  ( x  x)( y  y)( z  z)  xyz
 xy (z)  x(y) z  (x) yz
V x y z
x




(1  2 )
V
x
y
z
x
FYS-MEK 1110
11.05.2015
  0.5 volum er konstant
  0.20.3 for de fleste materialer
15
Skjærdeformasjon
normalspenning:
 xx 
Fx
x
E
Ax
x
skjærspenning:
 xy 
Fx
x
G
Ay
y
G: skjærmodul
skjærmodulen G er relatert til
elastisitetsmodulen E og
tverrkontraksjonstallet 
for isotrope materialer:
G
E
2(1  )
FYS-MEK 1110
11.05.2015
16
Vridning
to motsatte kraftmomenter 
vrir en tråd om en vinkel 
torsjonsmodul:
Dr 



relatert til skjærdeformasjon
Dr 
FYS-MEK 1110
 GR 4
2l
11.05.2015

G: skjærmodul
17
Bøying av en bjelke
midtlinjen: den nøytrale linjen
ovenfor komprimeres bjelken
nedenfor forlenges bjelken
forlengelsen l i avstand x
fra den nøytrale linjen:
l x

l
R
l  ( R  x)  R  x  x
Hookes lov:  ( x)  E
l
R
l
x
E
l
R
spenning i bjelken
FYS-MEK 1110
11.05.2015
18
en bjelke med høyde h og bredde b:
nettokraft er null, men
det virker et kraftmoment om 
h

 

   ri  Fi   r  dF
b
i
  x ( x)dA 
A
I A   x 2 dA
E 2
E
x
dA

IA
R A
R
flatetreghetsmoment
A
bøyningen er gitt ved:
1


R I AE
: kraftmoment fra ytre krefter
: materialegenskap
 : geometrisk
jo større flatetreghetsmoment,
jo større motstand mot bøyning
FYS-MEK 1110
11.05.2015
 ( x)  E
l
x
E
l
R
: avstand fra nøytral linje
19
Eksempel:
flatetreghetsmoment for en 24 cm trevirke:
F
 1 h3 1 h3  bh3
 
I A   y dA  b  y dy  b

3
8
3
8

 12
A
h / 2
h/2
2
2
y
x
h
b
to orienteringer:
4  23
8
I1 
cm 4  cm 4
12
3
F
2  43
32
I2 
cm 4  cm 4  4 I1
12
3
FYS-MEK 1110
11.05.2015
20
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En massiv bjelke og en I-bjelke av
samme material og dimensjon er
innspent i den ene enden og den
andre enden er fri. Hvilen bjelke
bøyes mest?
1. massiv bjelke
2. I-bjelke
3. det samme for begge
FYS-MEK 1110
11.05.2015
tverrsnitt av bjelkene
h
b
b
21
H
h
H
b
2
B
IA 
B  H  10 cm
b  9.4 cm
h  8 cm
1
BH 3
12
B
IA 
1
( BH 3  bh3 )
12
I A  833 cm 4
I A  432 cm 4
A  100 cm 2
A  24.8 cm 2
1


R I AE
FYS-MEK 1110
11.05.2015
22