Formelsamling för matstat-delen av TMS063 Räknetekniker

Formelsamling för matstat-delen av TMS063
Händelser (events):
∪ union, ∩ snitt, komplement.
∪ ∩ ∩ | |
1 Disjunkta händelser:
∩ och ∩ 0
Totala sannolikhetslagen:
För disjunkta , , … , där ⋃ Ω
∩ ⋯ ∩ | ⋯ | Oberoende händelser A och B:
| och ∩ Bayes sats:
| !
för % 0
Räknetekniker (kombinatorik)
Multiplikationsregeln:
Om & alternativ i steg ' 1, … , (:
& ⋅ & ⋅ &* ⋅ … ⋅ &+
Antal permutationer bland n objekt:
&! & ⋅ & 1 ⋅ & 2 ⋅ … ⋅ 1
Permutationer av liknande objekt:
Om & & & ⋯ &+ :
&!
& ! & ! ⋯ &+ !
Välja r objekt bland n när:
• Ordningen spelar roll, utan återläggning
&!
& (!
• Ordningen spelar roll, med återläggning
&+
• Ordningen kvittar, utan återläggning
&
&!
. /
&
(
(! (!
• Ordningen kvittar, med återläggning
& ( 1!
&
(1
0
1
(
(! & 1!
Diskreta stokastiska variabler
Frekvensfunktion:
(1) 23 4 0 för alla 3
(2) ∑6 23 1
(3) 23 7 3
Kumulativ fördelningsfunktion:
(1) 83 7 9 3 ∑:; <: 23 (2) 0 9 83 9 1
(3) Om 3 9 = så gäller 83 9 8=
Väntevärde och varians:
> [email protected] A 323
:
B C7 ?7 > @
A3 > 23 ?7 @ [email protected] :
För en funktion D7: [email protected] ∑: D323
För konstanter a och b:
?E7 [email protected] [email protected] F
CE7 F E C7
Diskreta fördelningar
Diskret likformig fördelning:
Om 7 ∈ H3 , 3 , … , 36 I , 3 9 3 9 ⋯ 9 36 :
1
23 ,
' 1, … , &
&
3 36
[email protected] 2
C7 :J K:L MN K
Binomialfördelning OPQQ, R
&
23 . / S : 1 S6K:
3
[email protected] &S, C7 &S1 S
Geometrisk fördelning TUVR
23 1 S:K S
[email protected] 1/S, C7 1 S/S
Negativ binomial fördelning XOPQY, R
31
23 0
1 1 S:K+ S+
(1
[email protected] (/S, 7 (1 S/S
Hypergeometrisk fördelning ZTUVX, [, Q
\ ]\
]
23 0 1 0
1/0 1
3 &3
&
^K6
[email protected] &S, 7 &S1 S . ^K /
Poissonfördelning _VP`
a Kb c:
23 ,3 0,1,2, …
3!
> [email protected] c
B C7 c
Poissonapproximation av OPQQ, R
Om &S % 5 och &1 S % 5
'&&, S e f'c där c &S.
Normalapproximation
Av Binomialfördelningen:
7 ∼ '&&, S och &S % 5 och &1 S % 5
7 &S
e ]0,1
~
&S1 S
Med kontinuitetskorrektion:
Kontinuerliga stokastiska variabler
Täthetsfunktion:
(1) 23 4 0 för alla 3
i
(2) gKi 23h3 1
(3) E 9 7 9 F (4) 7 E 0
7 9 3 7 9 3 0.5 e Φ 0
j
gk 23h3
Av Poissonfördelningen:
7~f'c, c % 5
7c
~
e ]0,1
√c
Kumulativ fördelningsfunktion:
:
(1) 83 7 9 3 gKi 23h3
(2)
(3)
(4)
(5)
0 9 83 9 1
Om 3 9 = så gäller 83 9 8=
E 9 7 9 F 8F 8E
E 9 7 9 F E l 7 l F
i
323h3 Ki
B C7 ?7 > @
i
m 3 > 23h3 ?7
Ki
För en funktion D7:
i
@
[email protected]
[email protected] m D323h3
Ki
Kontinuerliga fördelningar
Likformig fördelning no, p
1
23 FE
E
F
> [email protected] 2
F
E
B C7 12
Normalfördelning Xq, rs 1
N
N
23 a K:Kv /w , ∞ l 3 l ∞
√2uB [email protected] >, C7 B 7>
7 9 3 Φ 0
1
B
Exponentialfördelning z{R`
23 ca Kb: ,
340
> [email protected] 1/c
B C7 1/c
7 l | | |7 % | 7 l | 1
Gemensamma fördelningar för X och Y
Väntevärde och varians:
> [email protected] m
:M.‚K6ƒ
6ƒKƒ
Diskreta variabler – frekvensfunktion:
(1) 2…† 3, = 4 0
(2) ∑: ∑‡ 2…† 3, = 1
(3) 2…† 3, = 7 3, ˆ =
Kontinuerliga variabler – täthetsfunktion
(1) 2…† 3, = 4 0
(2) gKi gKi 2…† 3, =h3h= 1
(3) För en region ‰ ∈ Š
i
i
7, ˆ ∈ ‰ ‹ 2…† 3, =h3h=
Marginalfördelning
2… 3 7 3 ∑‡ 2…† 3, = (diskreta)
2… 3 gKi 2…† 3, =h= (kontinuerliga)
i
Betingad fördelning
(1) 2†|: = ŒŽ :,‡
Œ :
(2) 2†|: = 4 0
(3) ∑‡ 2†|:‡ 1 (diskret)
gKi 2†|: =h= 1 (kont.)
(4) ˆ =|7 3 2†|: = (diskret)
i
ˆ ∈ |7 3 g! 2†|: =h= (kont.)
Kovarians
f7, ˆ B…† ?7 >… ˆ >† @
?7ˆ@ >… >†
Korrelation
‘…† f7, ˆ
C7Cˆ
B…†
B… B†
Räkneregler för väntevärde och varians:
Oavsett om X och Y är oberoende eller inte:
?7 ˆ@ [email protected] ?ˆ@
?7ˆ@ [email protected]?ˆ@ f7, ˆ
C7 ˆ C7 Cˆ 2f7, ˆ
C7 ˆ C7 Cˆ 2f7, ˆ
För oberoende variabler gäller
f7, ˆ 0
Parameterskattning
Momentmetoden
Parametrar ’ , ’ , … , ’+ skattas genom att lösa
ekvationssystemet med ( ekvationer
?7 @ 6
1
A 7 ,
&
“ 1,2, … , (
Maximum Likelihood-metoden
Likelihoodfunktion
6
”’ • 23 ; ’ 23 ; ’ ⋅ … ⋅ 236 ; ’
h ln ”
0
h’
Väntevärdesriktig (unbiased)
™’š› ’
Stickprovs-medelvärde och varians
7œ 6
1
A 7
&
 6
1
A7 7œ
&1
Konfidensintervall – ett stickprov
För q, rs känd:
7œ >
∼ ]0,1
~
B/√&
B
> 3̅ Ÿ ¡/ √&
Ensidigt intervall: byt ¡/ mot ¡ .
P-värde:
Den ”exakta” signifikansnivån.
21 Φ|  |om¥ : > § >
¢ 1 Φ  om¥ : > % > Φ  om¥ : > l > För q, rs okänd:
7œ >
¨
∼ |6K
/√&
> 3̅ Ÿ |¡/,6K

√&
Ensidigt intervall: byt ut |¡/,6K mot |¡,6K .
För rs :
& 1 7 ∼ ©6K
B
& 1 & 1 9
B
9
© ¡
©¡
K ,6K
,6K
.
Ensidigt intervall: byt ª/2 mot ª i ©6K
Hypotestest av Xq, rs Test av , rs känd:
¥ : > > ,~ 7œ >
∼ ]0,1
B/√&
Alternativ:
Förkasta om:
¥ : > § >  l ¡/ eller  % ¡/
¥ : > l >  l ¡
¥ : > % >  % ¡
Test av , rs okänd:
7œ >
¥ : > > ,¨ ∼ |6K
/√&
Alternativ:
Förkasta om:
¥ : > § > | l |¡,6K eller| % |¡,6K
¥ : > l > | l |¡.6K
¥ : > % > | % |¡,6K
Test av rs :
¥ : B B ,7 & 1 ∼ ©6K
B
Alternativ:
Förkasta om:
¥ : B § B 3 l ©K¡/,6K
eller
3 % ©¡/,6K
¥ : B l B 3 l ©K¡,6K
¥ : B % B 3 % ©¡,6K
Proportioner:
¥ : S S ,~ 7 &S
e ]0,1
&S 1 S Alternativ:
Förkasta om:
¥ : S § S  l ¡/ eller  % ¡/
¥ : S l S  l ¡
¥ : S % S  % ¡
Hypotestest– två oberoende stickprov
För q¬ qs , rs¬
och
rss
kända:
¥ : > > h , ~ 7œ 7œ h
B B
­ & &
Alternativ:
Förkasta om:
¥ : > > § h  l ¡/ eller  % ¡/
¥ : > > l h  l ¡
¥ : > > % h  % ¡
För q¬ qs , rs¬ och rss okända men lika:
¥ : > > h , ¨ ƒ 7œ 7œ h
1
1
ƒ ®& &
& 1 & 1
& & 2
Alternativ:
Förkasta om:
¥ : > > § h | l |¡,6 M6
| % |
N̄
L
N K
,6L M6N K
¥ : > > l h | l |¡,6L M6N K
¥ : > > % h | % |¡,6L M6N K
Goodness-of-fit:
7
A
° ∼ ©KƒK
där &S .
Förkasta om 7 % ©¡,KƒK
.
eller
Formelblad för flervariabeldelen av TMS063
Trigonometri
cos3 = cos3 cos= sin3 sin=
sin3 = sin3 cos= cos3 sin=
1
cos3 cos= cos3 = cos3 =
2
1
sin3 sin= cos3 = cos3 =
2
1
sin3 cos= sin3 = sin3 =
2
tan3 = tan3 tan=
1 tan3 tan=
Integralkatalog
m 3 k h3 3 kM
,
E
1
m cos 3 h3 sin 3 
E § 1
m
m sin3h3 cos 3 
m
1
h3 tan 3 
cos 3
m a : h3 a : 
1
1
3
m h3 arctan ,E § 0
3 E
E
E
m
m
1
√E 3 1
√3 E
h3 arcsin
3
√E
h3 ln ¶3 1
m h3 ln|3| 
3
,
3 E%0
E¶ , E § 0
Användbart från tidigare kurser
Partiell integration:
m 23¸3 h3 23¹3 m 2 3¹3 h3
Variabelsubstitution:
j
»j
m 2¸3¸′3 h3 m 2º hº
k
»k
1
h3 cot 3 
sin 3
m E : h3 m
E:
, 0 l E § 1
ln E
2′3
h3 ln|23| 
23
1
E
3
m E 3 h3 3 E 3 arcsin

2
2
√E
m 3 E h3 E%0
1
33 E E ln ¶3 3 E¶ 
2