Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och
derivator
Inledning
Konkretisering av ämnesplan (länk)
http://www.ioprog.se/public_html/Ämnesplan_Matematik/Struktur_äm
nesplan_matematik/Struktur_ämnesplan_matematik.html
Inledande aktivitet
2.1 Ändringskvoter och begreppet derivata
Ändringskvoter (sid 66-70)
Om man tillryggalägger en viss sträcka Δs på en viss tid Δt så blir (såklart)
medelhastigheten eller den genomsnittliga förändringshastigheter
!!
v = !! På samma sätt kan man tala om den genomsnittliga förändringshastigheten
Δy
Δx
om y är en variabel som beror på x. Om funktionens graf är en rät linje känner ni
igen ovanstående som linjens lutning (k-värde). Observera att denna blir samma
överallt på en linje (men inte på kurvor/grafer i allmänhet). Om man slutligen
tänker sig att y=f(x) så ges den genomsnittliga förändringshastigheten då x går
från a till b av
f(b) − f(a)
−
Tänk efter så ni inser att de tre formuleringarna "fångar" samma sak!
I uppgifterna nedan handlar det om att just räkna ut diverse
förändringshastigheter. Värden kan man behöva räkna ut eller läsa av i graf eller
tabell.
Lös 2104, 2105, 2106, 2107, 2112, 2114 samt 2115, 2118 om man har lite
högre ambition.
Begreppet derivata (sid 71-76)
Här handlar det om derivatans geometriska tolkning som lutning av tangent till
kurva och fysikaliska som hastighet. Själva prim-beteckningen i f′ och namnet
derivata lär ha myntas av Lagrange på 1700-talet.
Här är en GeoGebraillustration av sekanter som närmare sig tangentlinjen genom
punkten (1,1) till kurvan f(x) =  !
GeoGebra
Lös samtliga a-uppgifter och 2133, 2135, 2136, 2138, 2141.
2.2 Gränsvärde och derivatans definition
Gränsvärde (sid 77-79)
Här handlar det om "närmanden", och man studerar vad som händer med
funktionsvärden när variabeln närmar sig ett givet värde. T.ex. kan man fråga sig
vad "som händer" med
f(x) =  ! då x närmar sig 2. Sätter man in värde på x som är allt närmre 2 ser man att x2
närmar sig 4. Denna observation skriver man
lim!→!  ! = 4 och man säger att gränsvärdet av  ! då x går mot 2 är 4. Observera att x aldrig
blir 2 och att  ! aldrig blir 4. Vad man påstår är istället att x2 kan komma hur
nära 4 som helst om bara värdet på x är tillräckligt nära 4.
För att räkna ut gränsvärdet kan man dock i de flesta fall helt enkelt sätta in det
tal som x närmar sig. Dock fungerar det inte om man, vid sådan insättning, skulle
få noll i en nämnare. Då får man "se upp" och angripa problemet på något annat
sätt, ofta genom en förenkling av det ursprungliga uttrycket.
Lös samtliga a-uppgifter (2204 och 2205 med räknedosa) och 2206, 2207, 2208
(rita graferna på räknaren eller hellre med GeoGebra), 2209.
GeoGebra
Derivatans definition (sid 80-82)
För att bestämma lutningen i en punkt har vi tidigare studerat sekanter till en
kurva. Genom att hålla en punkt fixerad och låta den andra närma sig den
fixerade punkten "obegränsat" erhåller man tangentens lutning som gränsvärdet
av sekanternas lutningar. Att formalisera detta (är h lika med 0 eller är det inte?)
tog flera hundra år och inblandade de allra största matematikerna. Ideen är i
vilket fall att definiera derivatan som gränsvärdet av differenskvoten då h går
mot noll, dvs
f’(x) = lim!→!
! !!! !!(!)
!
Att det står := istället för enbart = betyder att det är fråga om en definition och
alltså inget man kan räkna ut. När man sedan räknar i praktiken innebär det att
man räknar på med h, förenklar (om det går) och när h väl är borta från
nämnaren så sätter man det (h:et alltså) lika med noll. Man kan därmed lösa
många problem även om själva gränsvärdetsbegreppet får hänga i luften genom
hela gymnasiet.
Lös 2212, 2213, 2214abc (till man tröttnar), 2217, 2220.
2.3 Deriveringsregler I
Derivatan av polynom (sid 83-89)
Undersök vad ett polynom är, annars är risken att ni använder fel regler vid fel
tillfällen. Överhuvudtaget så behandlas bevisen för räkneregler för derivator
mycket sparsamt i gymnasiekursen, det handlar i princip om att motivera
allmänna "regler" med enkla exempel. Framöver är det fritt fram att använda
regler när ni deriverar, ni bör dock kunna härleda derivatan för
andragradsfunktioner och eventuellt tredjegradsfunktioner (om det skulle
efterfrågas).
Lös a-uppgifter efter behov. Därefter ger ni i kast med b- och c-uppgifter. Lös
även här efter behov/betygsmål
Derivatan av potensfunktioner (93-95)
En potensfunktion har formen f(x) =  ! där a är vilket tal som helst. Om a råkar
vara ett positivt heltal får vi ett polynom och vi vet att derivatan då blir f′(x) = a* !!! Det visar sig (men är ingalunda självklart) att samma deriveringsregel
gäller även om a inte är ett heltal, dvs
f(x) =  ! ⇒ f’(x) = a* !!! för alla värden på a. Observera att om
får vi
!
!
!
a = ! får vi f(x) =  ! =  och om a=-1
f(x) = !, funktioner som vi nu alltså kan derivera.
Den som siktar på högsta betyget kan sätta sig in i bevisen på sida 93, för övriga
räcker det att kunna använda deriveringsregeln.
Lös samtliga uppgifter, utom eventuellt c-uppgifterna.
2.4 Deriveringsregler II
Derivatan av exponentialfunktionen (sid 98-101)
Exponentialfunktioner har formen
f(x) = C* ! där C och a är konstanter. Blanda inte ihop dessa med potensfunktionerna, de
har bland annat olika "regler" vid derivering. Man kan tänka sig många olika
värden på basen a och kan tycka att a =10 är mest naturligt då man får f(x) = C⋅10! , vilken hänger ihop med 10-logaritmen lg som vi stött på tidigare. Det
visar sig dock att talet
e≈2.718282828459045…
faktiskt är enklare att arbeta med. Det viktigaste skälet (just nu) är att
f(x) =  ! ⇒ f’(x) =  !
dvs med basen e blir exponentialfunktionen sin egen derivata! Boken noterar
också (utan bevis) att:
f(x)=ekx⇒f′(x)=kex
f(x) =  !" ⇒ f’(x) = k* !" vilket alltså betyder att om man har konstant gånger x i exponenten så kommer
konstanten ner som faktor medan exponenten blir oförändrad.
Talet e dyker upp i många en del andra sammanhang som dock ligger utanför
kursens ramar.
Lös a-uppgifter tills deriveringsregeln sitter. Därefter kan man roa sig med 2413,
2415 och 2416. Resten struntar vi i.
Naturliga logaritmer (sid 102-104)
Eftersom derivatan av  ! blir särskilt enkel så kan det vara lämpligt att arbeta
med basen i som någon sorts "standardbas". När man väl bestämt sig för detta är
det lika naturligt att arbeta med logaritmer i basen e (som i basen 10). En sådan
skrivs logaritm skrivs ln a, där ln a alltså är det tal som e ska upphöjas med för
att man ska få a. Om basen e är naturlig så är det lika bra att kalla ln för den
naturliga logaritmen.
Logaritmlagarna (och bevisen av dem) är oberoende av bas, och alltså gäller
ln(a⋅b) = ln a + ln b
ln(a/b) = ln a – ln b
lnap = p*ln a
Lös a-uppgifter efter behov, därefter b- och c-uppgifterna, Man kan gott kika
igenom samtliga om man har högre betygsambitioner.
Derivatan av exponentialfunktionen
y = 
Denna derivata kommer man åt med en omskrivning (som kanske känns långsökt
men som faktiskt är användbar i många sammanhang) och derivatan med e i
basen. Vi gör följande omskrivning
ax=elnax=exlna
!
 ! =  !" ! =  !∗!" ! Här är ln a en konstant och kan tänkas på som k = ln a. Man använder sedan
deriveringsregeln från sida 99 och får sammantaget
D( ! ) = D( !∗!" ! )
= ln  ∗  !∗!" ! = ln a *  ! där man i sista steget skriver om på basen a igen. Deriverar man alltså en
exponentialfunktion med annan bas än e kommer man förutom funktionen själv
få med en faktor ln a (som alltså är en konstant).
Lös a-uppgifterna och 2247c, 2448b, 2449 och 2452.
Tillämpningar och problemlösning (sid 107-110)
Här laser man texter, översätter till matematik och tillämpar gamla kunskaper.
Lös 2457, 2458, 2461, 2463, 2465, 2467, 2468, 2471 och eventuellt 2472,
2473 och 2474.
2.5 Grafisk och numerisk derivering
Olika differenskvoter (sid 111-113)
I derivatans definition fixerar man den punkt man söker derivatan i och
bestämmer sekantlutningar till punkter i "närheten" på kurvan. Oftast illustrerar
man detta genom att välja en punkt h enheter till höger på kurvan. Det finns
emellertid inget som hindrar att man väljer punkten h enhet till vänster. Man får
då
f’(x) = lim!→!
! ! !!(!!!)
!
Observera ordningen i täljaren.
Ett annat sätt att angripa problem med lutningen i en punkt på en kurva är att
betrakta ett intervall symmetriskt kring den aktuella punkten och successivt
minska detta intervall. Man får
f’(x) = lim!→!
! !!! !!(!!!)
!"
Observera att skillnaden mellan x+h och x-h är 2h, därav nämnaren. Om det är
fråga om att göra numeriska approximationer av derivatan är ofta den
sistnämnda symmetriska varianten bäst.
Lös 2503, 2504, 2506 samt eventuellt 2510, 2513.
Grafritande räknare och derivators värde (114-116)
Undersök så att ni kan "derivera" på grafritaren, både med inbyggd funktion och
direkt i en graf. Givetvis är GeoGebra ett mycket bättre verktyg.
GeoGebra
Lös 2515, 2517, 2519cd och eventuellt 2522.