Anteckningar FL 14&15 (pdf 1,3 MB)

1
Föreläsning 14 och 15: Diffraktion, Upplösning, Interferens
Repetition av diffraktion:
Ljusets vågnatur
Ljus kan ses som elektromagnetiska vågor som rör sig framåt. När vi ritar strålar så visar de åt vilket håll
vågorna rör sig:
2
 2

y  a sin
xt  
T
 

 = ljusets våglängd (färg), mäts ofta i nanometer = 10-9 m (synligt ca 400-700 nm)
 = 1/T = ljustets frekvens, mäts i Hertz = 1/sekund
c =  = ljusets hastighet, i vaccum och luft är hastigheten 300 000 km/s
Ee ~ a2, amplituden i kvadrat är proportionell mot ljusets irradians [W/m2] ofta kallad ljusets
”intensitet”, I
Vågfronter är tänkta linjer som binder samman ljus med samma fas, t.ex. topp med motsvarande topp.
Från en punktkälla ser detta ut som vågorna när man kastar en sten i vattnet.
När vågor passerar kanter
Naturen kan inte ha en våg som slutar abrupt, istället
sker en långsammare ”utslätning” av vågfronten vid
kanten av en öppning, vilket gör att ljuset ”böjs av” vid
skarpa kanter. Fenomentet kallas för diffraktion och kan
även ses för vågor på vatten (google-earth bilden bredvid
är från iopscience.iop.org):
2
Diffraktion i begränsande öppningar:
Eftersom ljuset böjs av vid kanterna blir diffraktionen större ju mindre hålet är (bild från cnx.org)
Utan diffraktion hade vi fått en perfekt skuggbild.
Enligt Huygens princip – betrakta varje del på vågfronten som en egen punktkälla och summera ihop
bidragen från alla punkter (interferens).
n’
Bilden ovan visar Fraunhofer diffraktion vilket stämmer under antagandet att d1 och d2 är mycket större
än öppningens diameter b och ljusets våglängd  (egentligen d1 och d2 >> b2/ annars sker istället
Fresnel diffraktion). Fraunhofer diffraktion är även det som fås efter att ljuset fokuserats till en bild
m.h.a. linser. I system med flera linser ges bildens suddighet av diffraktionen beräknad i den
öppning/lins som är aperturstopp.
3
Diffraktion ger suddighet i bilden som ökar när hålet blir mindre och när  blir större!!!

Cirkulärt hål ger en Airy disk:
sin  min 
1,22
nb
där vinkeln min är vinkeln bort till första mörka ringen
84% av ljuset finns i Airy diskens centrala fläck.

En spalt ger ett randmönster:
sin  min,m 

nb
m
där m är ordningen på miniumen (heltal)
Diffraktionen är den yttersta gränsen för hur skarp en bild kan bli; ”diffraktionsbegränsad” är det bästa
man kan få (jmfr med aberrationer).
4
Diffraktion i avbildande system
Vi kan tänka oss att linsen nedan, som gör en avbildning, delas upp i två linser: en som kollimerar ljuset,
och en som sedan fokuserar det (såsom visas i bilden längst ned). Vi tänker oss att aperturstoppet ligger
mellan dessa båda linser, och då kan vi räkna ut hur stor vinkeln theta blir pga diffraktion. Då kan vi
också räkna ut hur stor bilden av en punkt blir, pga diffraktion.
 Ɵ =
, 
′
b ≈ 2lsin u ≈ 2l’sin u’
′ ≈ ′ sin Ɵ =
1,22′
0,61
0,61 0,61 ′ 0,61
≈ ′
≈
≈
∙
≈
∙
′
 sin ′
′
 sin  ′

5
Upplösningsgräns:
Upplösning = förmågan att särskilja två punkter som befinner sig nära varandra.
Upplösning beror på hur bra bildkvalitet det optiska systemet kan ge, d.v.s. hur stor den suddiga fläcken
blir p.g.a. aberrationer och diffraktion.
Suddigheten p.g.a. aberrationer kan beräknas från ekvationer eller genom att titta på
punktspridningsfunktionen (PSF), alternativt tas utifrån gränsfrekvensen i
modulationsöverföringsfunktionen (MTF-kurvan).
Suddigheten från diffraktion i en cirkulär lins ges av Airydiskens storlek.
Upplösningskriterium = hur nära kan de två suddiga fläckarna vara varandra
och ändå kunna ses som två olika?
Det beror på... Ett vanligt kriterium är Rayleighkriteriet (gäller för diffraktionsbegränsade bilder):
Minsta upplösta w, w’,h eller h’ ges av:
′ =
1,22
ℎ′ =
1,22′
′
′
(liten vinkel)
=
0,61
′
=
0,61


=
′
ℎ=
ℎ′


′ =
=
1,22
1,22

(brytningslagen)

=
0,61
 sin 
=
0,61

6
Interferens:
Superposition = att lägga samman ljus.
Konstruktiv interferens: Topp + Topp &
Dal + Dal = mkt ljus
Destruktiv interferens: Topp + Dal & Dal+
Topp = inget ljus
Krav för att interferens ska kunna ske:
Ljuset ska vara koherent, d.v.s. med samma våglängd och konstant fasskillnad
Ljuset måste komma från samma ljuskälla
Trick: Skapa två punktkällor genom att belysa en skärm med två spalter i = Youngs dubbelspalt (en
annan tillämpling är antireflex-skikt):
I bildplanet är I tot
med fasskillnad
 I 1  I 2  2 I 1  I 2 cos 
 
2

 n  x  ev. extra fasskillnad
På olika höjder i bildplanet är skillnaden i optisk väg n´x=n´(x1-x2) för ljuset från öppning 1 och 2 olika,
vilket ger en varierande fasskillnad; på vissa ställen konstruktiv ( = 2m, m=heltal: 0, ±2, ±4, ±6)
och på andra destruktiv interferens ( = m, m=udda heltal: ±, ±3, ±5).
För att interferens ska ske måste dessutom ljusets koherenslängd vara längre än vägskillnaden.
7
Gitter
Föregående bild var inte riktigt sann... Med två smala spalter får vi både interferens och diffraktion!
Bilden blir ett interferensmönster vars intensitet bestäms av diffraktionsmönstret från spalterna
(spalterna är lika och ger därför samma mönster), alltså blir inte alla interferensmax lika starka p.g.a.
diffraktion i varje spalt.
Skillnaden i optisk väg för punkten P blir:
OPD  n  x  n  b  c  sin 
2
  
 n  b  c  sin 

Ger ljus rand (konstruktiv interferens) när:
d.v.s.
sin  max  m 

n  b  c 
med m=heltal (0, ±1, ±2, ±3)
Ger mörk rand (destruktiv interferens) när:
d.v.s.
sin  min  m 
  m  2
  m  

2n  b  c 
med m=udda heltal (±1, ±3, ±5)
Dessutom mörkt vid diffraktionsmin: sin  min 

nb
m
med m=heltal (±1, ±2)
8
Gitter = många spalter regelbundet fördelade

Samma diffraktionsmönster

Smalare interferenstoppar med snabbare variationer
Om mer än en våglängd: Rött bryts mer än blått!
Diffraktiv optik
Gitter kan användas istället för prisma för att bryta ljuset och dela upp det i våglängder. Om man sätter
samman flera prismor med olika avböjelsevinkel får man en funktion som liknar en vanlig lins. På
samma sätt kan man sätta samman flera gitter med olika täthet (linjer/mm):
Diffraktiv optik = gitter med varierande täthet som fungerar som linser.
y
f´1
9
Styrkan på diffraktiv optik
De olika ordningarna har olika långa fokallängder:
m=0, bryts ej d.v.s. oändlig fokallängd
tan  max,m 
 Fm 
y

  max,m  sin  max,m  m 
f m
n   b  c 
n

 m
f m
y  b  c 
Diffraktiv optik har omvänd kromatisk aberration (rött bryts mer än blått):
Avböjelsevinkel i prisma:
Avböjelsevinkel i gitter: 
  (n prisma  1)  toppvinkel
 sin  max,1 
ger Abbetal runt 60

n  b  c 
ger Abbetal runt -3,5
Användning av diffraktiv optik
Kombinera vanlig lins med diffraktiv optik (i t.ex. en kontaktlins eller en intraokulär lins).
Fördelar:


Bifokalitet
Reducerad kromatisk aberration
10
Holografi
Att återskapa vågfronten från ett objekt (punktkällan i figuren nedan) – ger tredimensionella bilder vid
korrekt belysning!