Exempel: Avstånd mellan punkt och plan.

Avstånd mellan punkt och plan
Exempel 8. Låt Π: 2 − 3 −  = 6 och (1,1,0). Bestäm avståndet mellan Π och . Bestäm
även den punkt 1 i Π som ligger närmast .
Lösning.

• Bestäm den normal till Π som går genom .

• Dess skärningspunkt med Π blir den sökta 1 .
1
0
• Avståndet mellan Π och  är 1 .
Planets normalvektor  = 2, −3. −1 , blir riktningsvektor,

1
2

normalens ekvation blir då  = 1 +  −3 .

0
−1
Bestäm skärningspunkten; 1 = 1 + 2, 1 − 3, − sätts in i ekvationen 2 − 3 −  = 6
Vi får 2(1 + 2) − 3(1 − 3) − (−) = 6 ⇔ 2 + 4 − 3 + 9 +  = 6 1 ⇔ 14 = 7
⇔ =
1
2
1 =
1
1
1
1
1
1
1 = 1 + 2 ∙ , 1 − 3 ∙ , −( ) = 2, − , −
= (4, −1, −1)
2
2
2
2
2
2
1 1
3 1
1
2, − , −
− 1,1,0 = 1, − , −
= (2, −3, −1)
2 2
2 2
2
1
och 1 = 2 4 + 9 + 1 =
14
.
2