# OBSTOJ MAJHNIH J-HOLOMORFNIH DISKOV Uroš Kuzman

```UNIVERZA V LJUBLJANI
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
OBSTOJ MAJHNIH
J-HOLOMORFNIH DISKOV
Uroš Kuzman
študentom, pod mentorstvom prof. dr. Franca Forstneriča.
LJUBLJANA, 2008
Povzetek
V prvem poglavju se bomo spoznali z diferencialnimi formami, ki bodo v nadaljevanju dela služile kot tehnični pripomoček. Nato si bomo v drugem poglavju
ogledali kvazikonformne preslikave, nato pa še dva integralska operatorja, s katerima bomo reševali Beltramijevo enačbo, kvazikonformne preslikave karakterizira.
V tretjem poglavju vpeljemo pojem linearne kompleksne strukture, ki jo v četrtem
poglavju posplošimo do skoraj kompleksnih struktur. Na prostorih R2n s skoraj
kompleksnimi strukturami bomo definirali J-holomorfne preslikave in pokazali njihov obstoj s pomočjo rešitev Beltramijeve enačbe v primeru R2 , nato pa še obstoj
majhnih J-holomorfnih diskov v prostorih R2n .
Math. Subj. Class. (MSC 2000): 30C62, 58A10, 32Q65
Ključne besede: Diferencialne forme, kvazikonformne preslikave, Beltramijeva
enačba, Cauchy-Greeneov operator, skoraj kompleksne strukture, J-holomorfne preslikave
1
Abstract
In the first chapter we discuss definitions concerning Differential forms. Then
we discuss quasiconformal mappings and two integral operators necessary to solve
Beltrami equation. Third chapter is devoted to linear complex structure which we
extend to almost complex structure in the fourth chapter. We define J-holomorpic
mappings on spaces R2n and prove their existence. In particular we solve the problem
on R2 , using quasiconformal mappings, but in general we only prove the existence
of small J-holomorpic discs on R2n .
Math. Subj. Class. (MSC 2000): 30C62, 58A10, 32Q65
Keywords: Differential forms, quasiconformal mappings, Beltrami equation, CauchyGreene operator, almost complex structure, J-holomorpic mappings
2
Kazalo
Povzetek
1
Abstract
2
Poglavje 1. Diferencialne forme
1. Konstrukcija tangentnega in kotangentnega prostora
2. Operacije na diferencialnih formah
3. Integracija diferencialnih form
4
4
6
9
Poglavje 2. Kvazikonformne preslikave
1. Diferenciabilne kvazikonformne preslikave
2. Integralska operatorja
3. Reševanje Beltramijeve enačbe
12
12
15
21
Poglavje 3. Kompleksifikacija vektorskega prostora
1. Linearna kompleksna struktura
2. Standardna kompleksna struktura
26
26
29
Poglavje 4. Obstoj J-holomorfnih preslikav
1. J-holomorfne preslikave in skoraj kompleksna struktura
2. J-holomorfne preslikave v R2 in Beltramijeva enačba
3. Obstoj majhnih J-holomorfnih diskov
31
31
32
33
Literatura
38
3
POGLAVJE 1
Diferencialne forme
Spoznali bomo diferencialne forme, ki služijo kot tehnični pripomoček za integracijo na lokalno evklidskih prostorih. Diferencialne forme so v resnici posplošitev
Riemannovega integrala, ki v svoji strukturi nosijo tudi podatek o orientaciji integrala. Takšen objekt lahko integriramo tudi na podmnogoterostih ustreznih dimenzij. Formulacije se bomo sprva lotili algebraično, nato bomo spoznali nekatere
osnovne operacije in nazadnje prišli do posplošenega Stokesovega izreka, ki ga poznamo že iz analize vektorskih polj.
1. Konstrukcija tangentnega in kotangentnega prostora
Ena od idej konstrukcije tangentnega prostora je, da tangentne vektorje definiramo kot vektorje hitrosti neke poti v evklidskem prostoru. Oglejmo si nekoliko
natančnejšo formulacijo.
Definicija 1. Pot γ v prostoru Rn je gladka preslikava
γ : (−1, 1) → Rn .
Sedaj si oglejmo ekvivalenčno relacijo na množici poti v Rn v smislu tangentnih
prostorov.
Definicija 2. Naj bo p ∈ Rn in naj bosta γ1 in γ2 poti v prostoru Rn , za
kateri velja γ1 (0) = γ2 (0) = p. Tedaj je γ1 ekvivalentna γ2 natanko tedaj, ko je
γ˙1 (0) = γ˙2 (0). Z [γ]p označimo ekvivalenčni razred poti γ v točki p.
S pomočjo teh razredov definiramo tangentni prostor.
Definicija 3. Tangentni prostor prostora Rn v točki p je
n
o
Tp Rn = [γ]p : γ pot , γ(0) = p .
Sedaj si bomo ogledali še nekoliko bolj algebraično konstrukcijo tangentnega
prostora. Naj bo f gladka funkcija, definirana na neki okolici točke p, in γ pot skozi
p. Zgoraj smo identificirali tangentne vektorje z ekvivalenčnimi razredi funkcij, zato
označimo v = [γ]p . Sedaj definirajmo
!
n
n
X
X
d
∂f
∂
v(f ) := f (γ(t))|t=0 =
vj
(p) =
vj
|p (f ).
dt
∂x
∂x
j
j
j=1
j=1
Tako smo definirali R-linearen operator na funkcijah, ki po definiciji odvoda zadošča
Leibnitzovemu pravilu
v(f · g) = v(f ) · g(p) + f (p) · v(g).
V splošnem operatorje s to lastnostjo imenujemo derivacije. Z njihovo pomočjo
definiramo tangentne prostore bolj zapletenih struktur, za potrebe tega dela pa bo
dovolj naslednja konstrukcija.
4
1. KONSTRUKCIJA TANGENTNEGA IN KOTANGENTNEGA PROSTORA
5
Definicija 4. Tangentni prostor prostora Rn v točki p je
( n
)
X
∂
Tp Rn =
vj
|p : vj ∈ Rn .
∂x
j
j=1
Tako smo ekvivaletno definirali tangentni prostor kot prostor smernih odvodov
funkcij. V nadaljevanju bomo opustili dosledno notacijo evaluacije v točki p, kjer to
ne bo potrebno.
Naj bo sedaj f : Rn → Rm preslikava, podana s predpisom f = (f1 , f2 , . . . , fm )
in diferenciabilna v neki točki p ∈ Rn . Tedaj poznamo njen diferencial kot linearno
preslikavo df : Tp Rn → Tf (p) Rm . Prehodna matrika diferenciala preslikave matrike
glede na bazi smernih odvodov je natanko Jacobijeva matrika
 ∂f1 ∂f1
∂f1 
. . . ∂x
∂x1
∂x2
n
 ∂f2 ∂f2 . . . ∂f2 

∂xn 
Jf =  ∂x. 1 ∂x2
.
.. 
 ..
. 
∂fm
∂x1
∂fm
∂x2
...
∂fm
∂xn
Naj bo sedaj xj funkcija lokalne koordinate prostora Rn za nek j ∈ {1, 2, . . . , n}.
Poznamo torej njen diferencial dxj , ki pa ga lahko razumemo kot linearni funkcional,
ki deluje na tangentnem prostoru Tp Rn . Radi bi videli, da diferenciali te oblike
tvorijo bazo prostora, ki je dualen tangentnemu prostoru Tp Rn .
V nadaljevanju bomo za delovanje funkcionala ϕ na vektorju v ∈ Tp Rn uporabljali zapis
ϕ(v) = hϕ, vi .
o
n
Vzemimo za bazo tangentnega prostora Tp Rn množico vektorjev ∂x∂ 1 , ∂x∂ 2 , . . . , ∂x∂n .
Opazimo, da za zgoraj definirane diferenciale lokalnih koordinat velja
∂
∂xi
dxi ,
=
= δij ,
∂xj
∂xj
kjer je δij Kroneckerjev delta. Torej je množica {dx1 , dx2 , . . . , dxn } baza prostora
(Tp Rn )∗ = Tp∗ Rn , dualna bazi parcialnih odvodov v točki p. Elementi prostora
ω ∈ Tp∗ Rn so torej oblike
n
X
ω=
vj dxj .
j=1
Imenujemo jih linearni funkcionali ali forme.
Hitro opazimo, da je diferencial poljubne funkcije g, diferenciabilne v točki p,
linearna forma oblike
n
X
∂g
dgp =
(p)dxj ∈ T ∗ Rn .
∂x
j
j=1
Naj bo f preslikava, definirana kot zgoraj. Videli smo, da je diferencial linearna
preslikava med dvema tangentnima prostoroma, sedaj pa nas bo zanimal dual te
preslikave.
Definicija 5. Naj bo f : Rn → Rm preslikava, diferenciabilna v točki p ∈ Rn ,
v ∈ Tp Rn in ω ∈ Tf∗(p) Rm . Kodiferencial preslikave f je definiran s predpisom
δfp : Tf∗(p) Rm → Tp∗ Rn
2. OPERACIJE NA DIFERENCIALNIH FORMAH
6
hδfp (ω), vi = hω, dfp (v)i .
Oglejmo si zapis kodiferenciala v lokalnih koordinatah. Naj bodo y1 , y2 , . . . , yn
koordinate prostora Rm . Linearno formo zapišemo v obliki
ω=
m
X
vj dyj |f (p) .
j=1
Sedaj jo preslikamo s kodiferencialom in zaradi linearnosti dobimo
δfp (ω) =
=
m
X
j=1
m
X
vj δfp (dyj |f (p) )
vj d (yj ◦ f ) |p
j=1
=
=
m
X
vj dfj |p
j=1
m X
n X
j=1 i=1
∂fj
vj
∂xi
dxi .
Od tod sledi, da je matrika kodiferenciala δfp glede na bazi {dx1 , dx2 , . . . , dxn } v
Tp∗ Rn in {dy1 , dy2 , . . . , dym } v Tp∗ Rm ravno transponirana Jacobijeva matrika

 ∂f1 ∂f2
m
. . . ∂f
∂x1
∂x1
∂x1
 ∂f1 ∂f2 . . . ∂fm 
 ∂x2 ∂x2
∂x2 
.
 ..
.. 
 .
. 
∂f1
∂xn
∂f2
∂xn
...
∂fm
∂xn
Definicija 6. Naj bo ω diferencialna 1-forma na Rm , razreda C r , in f : Rn →
R preslikava razreda C r+1 . Povlek ω s preslikavo f v točki p ∈ Rn definiramo kot
m
(f ∗ ω)p = δfp (ωf (p) ).
2. Operacije na diferencialnih formah
V prejšnjem razdelku smo se lotili strogo algebraične konstrukcije linearnih form
kot kovektorjev tangentnega prostora. V tem razdelku pa bomo spoznali polje teh
linearnih funkcionalov nad neko odprto podmnožico U ⊂ Rn , oziroma diferencialne
forme. Spoznali bomo osnovne operacije za delo z diferencialnimi formami. Pri
tem bomo nekoliko opustili misel na njihovo algebraično vsebino, kot kovektorjev
tangentnega prostora v vsaki točki.
Definicija 7. Diferencialna 1-forma razreda C r na odprti množici U ⊂ Rn je
izraz oblike
n
X
ω=
aj (x)dxi ,
j=1
kjer so aj ∈ C r (U ) za j ∈ {1, 2, . . . , n} .
2. OPERACIJE NA DIFERENCIALNIH FORMAH
7
Diferencialne forme se v praksi uporabljajo največkrat kot tehnični pripomoček
pri integraciji, zato je ideja vpeljati operacijo, s katero bomo dobili forme višjega
reda in upoštevali spremembo orientacije pri integriranju. Zato vpeljemo bilinearno operacijo klinasti produkt ∧. Naj bosta dxi in dxj , i < j, bazna vektorja
kotangentnega prostora na Rn . Za klinasti produkt zahtevamo, da je
dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi .
Od koder takoj sledi
dxi ∧ dxi = 0, ∀i = 1, 2, . . . , n.
Definicijo po bilinearnosti razširimo na klinasti produkt dveh splošnih 1-diferencialih
form
!
!
n
n
n X
n
X
X
X
aj (x)dxj ∧
bj (x)dxj =
(ai (x) · bj (x) − aj (x) · bi (x))dxi ∧ dxj .
j=1
j=1
j=1 i<j
Opazimo, da je pomembna predvsem urejenost zaporedja diferencialov, kar pri integriranju nato sovpada z orientacijo. Sedaj se je potrebno dogovoriti za urejenost
pri notaciji. Definirajmo
Ik := {(j1 , j2 , . . . , jk ) : 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jk ≤ n}
množico urejenih k-teric množice {1, 2, . . . , n} . Za I = (j1 , j2 , . . . , jk ) ∈ Ik definiramo
dxI = dxj1 ∧ dxj2 ∧ . . . ∧ dxjk ,
pri čemer se med elementi Ik držimo leksikografske urejenosti, sedaj lahko definiramo
splošne diferencialne k-forme.
Definicija 8. Diferencialna k-forma, k ≤ n, razreda C r na odprti množici U ⊂
Rn je izraz oblike
X
aI (x)dxI ,
ω=
I∈Ik
r
kjer so aI ∈ C (U ) za I ∈ Ik .
Hitro opazimo, da je klinasti produkt diferencialne k-forme in diferencialne sforme diferencialna (k + s)-forma. V posebnem je tako tudi pri produktu diferencialne k-forme s funkcijo
X
X
h(x) ·
aI (x)dxI :=
h(x)aI (x)dxI
I∈Ik
I∈Ik
če si funkcijo h : R → R mislimo kot diferencialno 0-formo.
Oglejmo si sedaj naslednjo operacijo, in sicer operacijo diferenciacije. Za odvod
k-forme definiramo diferencialno k + 1-formo oblike
!
X
X
d
aI (x)dxI :=
daI (x) ∧ dxI .
I∈Ik
I∈Ik
Definicija je seveda dobra, saj lahko diferencial funkcije, ki smo ga spoznali v
prejšnjem razdelku, razumemo kot diferencialno 1-formo nad točkami iz U ⊂ Rn ,
če je le podana funkcija diferenciabilna. Naslednja trditev nam bo podala še nekaj
lastnosti odvoda.
2. OPERACIJE NA DIFERENCIALNIH FORMAH
8
Trditev 1. Naj bosta ω diferencialna k-forma in λ difenencialna m-forma, obe
razreda C 1 in definirani na odprti množici U ⊂ Rn .
(1) Za odvod klinastega produkta obeh form velja
d (ω ∧ λ) = dω ∧ λ + (−1)k ω ∧ dλ.
(2) Če je ω razreda C 2 , velja
d (dω) = 0.
Dokaz. Pri prvi točki trditve je dovolj pokazati enakost zgolj za formi oblike
ω = a(x)dxI in λ = b(x)dxJ , kjer sta I ∈ Ik in J ∈ Im in a, b ∈ C 1 (U ), saj
nadaljevanje sledi iz bilinearnosti klinastega produkta. Oglejmo si torej
d (adxI ∧ bdxJ ) = d (abdxI ∧ dxJ )
= bda ∧ dxI ∧ dxJ + adb ∧ dxI ∧ dxJ
= (da ∧ dxI ) ∧ (bdxJ ) + (−1)k (adxI ) ∧ (db ∧ dxJ )
= dω ∧ λ + (−1)k ω ∧ λ.
Pri tem smo upoštevali zgolj antikomutativnost klinastega produkta.
Podobno je za dokaz druge točke dovolj preveriti enakost za formo
ω = a(x)dxI ,
kjer I ∈ Ik in a ∈ C 2 (U ). Velja
d (dω) = d (da ∧ dxI )
!
n
X
∂a
= d
dxj ∧ dxI
∂xj
j=1
n
X
∂a
=
d
dxj ∧ dxI
∂xj
j=1
n X
n
X
∂ 2a
dxi ∧ dxj ∧ dxI .
=
∂xj ∂xi
j=1 i=1
Če uredimo, dobimo
X ∂ 2a
∂ 2a
−
dxi ∧ dxj ∧ dxI = 0,
∂xj ∂xi ∂xi ∂xj
i<j
saj je a ∈ C 2 (U ) in zato velja enakost mešanih odvodov.
Sedaj se spomnimo, da lahko na diferencial poljubne funkcije ω = df pogledamo
kot na diferencialno 1-formo. Funkcijo f imenujemo primitivna funkcija forme ω.
Za formo ω velja dω = d2 f = 0. Izkaže se, da je to ob manjših predpostavkah tudi
zadosten pogoj za obstoj primitivne funkcije neke diferencialne 1-forme. Oglejmo si
najprej primer, ko je ω = f (x, y)dx + g(x, y)dy diferencialna 1-forma v R2 . Denimo,
da velja
∂g ∂f
−
dx ∧ dy = 0.
dω =
∂x ∂y
Pogoj dω = 0 je torej ekvivalenten enakosti mešanih odvodov
∂g
∂f
=
.
∂x
∂y
3. INTEGRACIJA DIFERENCIALNIH FORM
9
Znano je, da je na enostavno povezanem območju Ω ⊂ R2 zgornja enakost zadosten
pogoj za obstoj diferenciabilne funkcije h, za katero velja
dh = ω
oziroma ∂h
= f in ∂h
= g. V splošnem pa lahko za poljubno diferencialno k-formo
∂x
∂y
iščemo diferencialno (k − 1)-formo, katere odvod bo začetna forma. Zadostne pogoje
za obstoj teh podaja naslednja lema.
Lema 1 (Poincaréjeva Lema). Za poljubno diferencialno k-formo ω razreda C ∞ ,
definirano na poljubni konveksni odprti podmnožici U ⊂ Rn , za katero velja dω = 0,
obstaja diferencialna k − 1-forma λ ∈ C ∞ (U ), da zanjo velja
dλ = ω.
Nazadnje pa si oglejmo še koordinatni zapis operacije povleka diferencialne
forme s preslikavo f , ki smo jo spoznali že v prejšnjem razdelku. Oglejmo si
preslikavo f : Rn → Rm razreda C 1 . Spoznali smo njen diferencial in kodiferencial,
uvedimo
∂f
dfi :=
dxi ,
∂xi
ki označuje komponento razvoja diferenciala po bazi kotangentnega prostora. Spomnimo se definicije povleka v neki točki p ∈ Rn iz prejšnjega razdelka
(f ∗ ω)p = δfp (ωf (p) ),
kjer je δfp transponirana Jacobijeva matrika.
Če je α diferencialna 0-forma oziroma funkcija, je povlek z f enak
f ∗ (α(x)) = α ◦ f (x).
Za diferencialno 1-formo je koordinatni zapis povleka enak
!
n
n
X
X
f∗
aj (x)dxj =
aj ◦ f (x)dfj .
j=1
j=1
Sedaj za I = (j1 , j2 , . . . , jk ) ∈ Ik definirajmo
dfI = dfj1 ∧ dfj2 ∧ . . . ∧ dfjk .
Tako dobimo še zapis povleka splošne diferencialne forme
!
X
X
∗
f
aI (x)dxI =
aI ◦ f (x)dfI .
I∈Ik
I∈Ik
3. Integracija diferencialnih form
Omenili smo že, da vpeljava diferencialnih form služi predvsem integraciji, saj
lahko diferencialne forme definiramo tudi na mnogoterostih in tako tam definiramo
integral. Za naše potrebe bomo zgolj definirali integral diferencialnih form na evklidskih prostorih in si ogledali verzijo Stokesovega izreka za diferencialne forme.
Naj bo D omejeno območje v Rn , tako da je mera množice ∂D enaka 0. Tedaj
obstaja Riemannov integral na D. Naj bo a ∈ C(D) in
ω = a(x)dx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn .
3. INTEGRACIJA DIFERENCIALNIH FORM
10
Integral diferencialne forme ω definiramo kot
Z
Z
ZZ Z
ω=
a(x)dx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn :=
. . . a(x)dx1 dx2 . . . dxn .
D
D
| {z D}
n
Skupaj z integracijo nas navadno zanima tudi uvedba novih spremenljivk v integral. V prvem razdelku smo videli definicijo kodiferenciala in kasneje povleka
diferencialne forme, ki ju je je podajala transponirana Jacobijeva matrika. Sedaj pa
bomo to uporabili pri dokazu naslednje trditve.
Trditev 2. Naj bosta D in D0 takšni območji v Rn , da imata ∂D in ∂D0 mero
enako 0. Naj bo f : D → D0 difeomorfizem razreda C 1 neke odprte okolice D na
0
0
okolico D , tako da je D = f (D). Če f ohranja orientacijo (Jf > 0), potem za
vsako zvezno diferencialno n-formo ω na D0 velja
Z
Z
ω=
f ∗ ω.
D0
D
Če pa je Jf < 0, pa velja
Z
Z
f ∗ ω.
ω=−
D0
D
Dokaz. Zapišimo zvezno diferencialno n-formo z a ∈ C(D0 )
ω = a(x)dx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn .
Po definiciji integrala diferencialnih form velja
Z
Z
a(x)dx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn =
D0
a(x)dx1 dx2 . . . dxn .
D0
Na prostor D vpeljemo lokalne koordinate y1 , y2 , . . . , yn . Za Riemanov integral ob
zamenjavi spremenljivk velja
Z
Z
a(f (y)) |Jf (y)| dy1 dy2 . . . yn .
a(x)dx1 dx2 . . . dxn . =
D0
D
Na drugi strani pa velja
Z
Z
Z
∗
f ω=
a(f (y))df1 ∧ df2 ∧ . . . ∧ dfn =
a(f (y))Jf (y)dy1 dy2 . . . dyn .
D
D
D
S tem je trditev dokazana, saj se integrala razlikujeta zgolj za predznak.
Ugotovili smo torej, da vselej velja
Z
Z
ω=
f ∗ ω,
D0
D
če f ohranja orientacijo.
Oglejmo si sedaj še verzijo Stokesovega izreka za diferencialne forme. Najprej si
oglejmo integral diferencialne m-forme ω po neki m-dimenzionalni podmnogoterosti
M, vloženi v Rn z vložitvijo i ∈ C 1 . Definiramo ga kot
Z
Z
ω :=
i∗ ω,
i(M )
M
pri čemer je desni integral že znan in je prehod smiselno definiran s povlekom. Sedaj
se spomnimo, da ima mnogoterost koherentno orientiran rob natanko tedaj, ko je le
ta orientiran z zunanjo normalo in zapišimo izrek.
3. INTEGRACIJA DIFERENCIALNIH FORM
11
Izrek 1 (Stokesov izrek). Naj bo D omejeno območje v Rn+1 , tako da je ∂D
razreda C 1 , orientiran koherentno in ima mero 0. Naj bo ω diferencialna n-forma
razreda C 1 . Tedaj velja
Z
Z
dω =
D
ω.
∂D
Dokaz izreka najdemo v [1], mi pa si zgolj oglejmo rezultat.
Oglejmo si aplikacijo izreka za n = 0. V tem primeru je diferencialna 0-forma
kar fukcija f , območje integracije pa krivulja γ : [0, 1] → Rn . Velja
Z
df = f (γ(1)) − f (γ(0)),
γ
kar poznamo kot osnovni izrek integralskega računa. Če si aplikacijo izreka
ogledamo za n = 1, ugotovimo naslednje. Če je
ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy,
je odvod enak
dω =
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
dx ∧ dy.
Stokesov izrek tako postane
ZZ I
∂Q ∂P
−
dxdy =
P (x, y)dx + Q(x, y)dy,
∂x
∂y
D
∂D
kar je znana Greenova formula.
POGLAVJE 2
Kvazikonformne preslikave
1. Diferenciabilne kvazikonformne preslikave
V razdelku se bomo seznanili s takoimenovanimi kvazikonformnimi preslikavami.
Omenjene preslikave so naravna posplošitev konformnih preslikav. Prav tako je bilo
ugotovljeno, da je za mnoge izreke, ki držijo za konformne preslikave, dovolj predpostavka o kvazikonformnosti, hkrati pa so enostavnejše za uporabo kot tehnično
sredstvo. V nadaljevanju dela bomo tudi ugotovili, da prav te preslikave igrajo pomembno vlogo pri reševanju nekaterih eliptičnih diferencialnih enačb. Nenazadnje
pa je moč te preslikave posplošiti tudi v več spremenljivk, konformne preslikave pa
ob tem prehodu postanejo degenerirane.
Prvi je vprašanje kvazikonformnih preslikav osnoval H. Grötzsch leta 1928, ko je
zastavil naslednje vprašanje. Če je R pravokotnik, ki ni kvadrat, in Q kvadrat, vemo,
da ni konformne preslikave iz Q v R, ki bi preslikala oglišča v oglišča. Namesto tega
iščemo preslikavo iz Q v R, ki bi bila najbližje konformnosti.
Naj bosta Ω1 , Ω2 ⊂ C območji in w = f (z) zvezno odvedljiv homeomorfizem
med njima, kjer bomo uporabili zapis z = x + iy, w = u + iv. V neki točki z0 ∈ Ω1
lahko zapišemo diferenciala
du = ux dx + uy dy
dv = vx dx + uy dy,
ki ju lahko predstavimo tudi v kompleksnem zapisu
dw = fz dz + fz̄ dz̄.
Geometrično predstavljata afino preslikavo iz ravnine (dx, dy) v ravnino (du, dv).
Ta preslikava slika kroge s središčem v izhodišču v med seboj podobne elipse. Naša
želja je izračunati razmerje med osema teh elips in njihovo smer.
V realni notaciji lahko zapišemo zvezo
du2 + dv 2 = Edx2 + 2F dxdy + Gdy 2 .
Izbrali smo Riemannovo metriko, kjer so E = u2x + vx2 , F = ux uy + vx vy in G =
u2y + vy2 koeficienti prve fundamentalne forme. Kvadratna korena lastnih vrednosti
tako dobljene simetrične kvadratne forme sta dolžini obeh polosi elipse. Lastni
vrednosti sta ravno rešitvi enačbe
(E − λ)(G − λ) − F 2 = λ2 − λ(E + G) + EG − F 2 = 0,
torej vrednosti
λ1,2 =
E+G±
p
(E + G)2 − 4(EG − F 2 )
.
2
12
1. DIFERENCIABILNE KVAZIKONFORMNE PRESLIKAVE
13
Tako lahko s koeficienti prve fundamentalne forme izrazimo razmerje med osema a
in b preslikanih elips
p
12
E + G + (E − G)2 + 4F 2
a
λ1
√
=
=
.
b
λ2
2 EG − F 2
Vendar pa hitro ugotovimo, da je kompleksna notacija veliko bolj priročna za
reševanje omenjenega problema. Ker velja
1
fz = (ux + vy + i(vx − uy ))
2
1
fz̄ = (ux − vy + i(vx + uy )) ,
2
opazimo, da je Jacobijeva determinanta kompleksne preslikave f , kot preslikave med
dvodimenzionalnima realnima prostoroma, podana z izrazom
J = ux vy − uy vx = |fz |2 − |fz̄ |2 .
Predpostavimo, da je v našem primeru J pozitiven (preslikava ohranja orientacijo),
torej, da velja |fz̄ | < |fz | . Oglejmo si še enkrat kompleksno notacijo diferencialov
preslikave f
dw = fz dz + fz̄ dz̄.
Ker velja |dz| = |dz̄| , z uporabo trikotniških neenakosti ocenimo
(|fz | − |fz̄ |) |dz| ≤ |dw| ≤ (|fz | + |fz̄ |) |dz| .
Obe meji dosežemo, saj sta to ravno lastni vrednosti, katerih produkt je Jacobijeva
determinanta, zato smiselno zaključimo, da je razmerje obeh dolžin polosi elips enako
a
|fz | + |fz̄ |
=
.
b
|fz | − |fz̄ |
Definicija 9. Naj bosta Ω1 , Ω2 ⊂ C območji, f : Ω1 → Ω2 preslikava razreda
C (C) in z ∈ Ω1 .
(1) Dilatacija preslikave f v točki z je izraz
1
Df (z) =
|fz | + |fz̄ |
.
|fz | − |fz̄ |
(2) Maksimalna dilatacija preslikave f je enaka Kf = supz∈Ω1 Df (z).
(3) Preslikava f je kvazikonformna, če je Kf omejena.
(4) Preslikava f je K-kvazikonformna, če je Kf ≤ K.
Opomba 1. Iz izpeljave je razvidno, da velja Df ≥ 1. Velja pa tudi, da je v neki
točki Df = 1 natanko tedaj, ko je fz̄ = 0. Če je torej Df = 1 v vseh točkah območja
Ω1 , je preslikava konformna.
Definicija podana zgoraj najbolje ilustrira glavno lastnost kvazikonformnih preslikav, ki je torej, da je razmerje med obema osema v vseh točkah enakomerno omejeno. Vendar pa bomo v nadaljevanju uporabljali nekoliko bolj priročno definicijo
in količine.
Definicija 10. Naj bosta Ω1 , Ω2 ⊂ C območji, f : Ω1 → Ω2 preslikava razreda
C (C) in z ∈ Ω1 .
1
1. DIFERENCIABILNE KVAZIKONFORMNE PRESLIKAVE
14
(1) Kompleksna dilatacija preslikave f v točki z je izraz
µf (z) =
fz̄
.
fz
(2) Mala dilatacija preslikave f v točki z je izraz df (z) = |µf (z)|.
(3) Druga kompleksna dilatacija preslikave f v točki z je izraz
fz̄
νf (z) = ¯ .
fz̄
Opomba 2. V poljubni točki z ∈ Ω1 velja zveza med dilatacijo in malo dilatacijo
Df =
1 + df
1 − df
df =
Df − 1
.
Df + 1
Zato lahko ekvivalentno definiramo k-kvazikonformne preslikave, kjer je df ≤ k =
K−1
. Pogoj o omejenosti faktorja K nam da zahtevo, da je k < 1, preslikava pa je
K+1
konformna natanko tedaj, ko je k = 0 v vseh točkah območja Ω1 .
Opazimo, da sta obe definiciji kvazikonformnosti vezani na predpostavko, da je f
razreda C 1 (C). Seveda je moč omenjeno predpostavko prilagoditi in idejo kvazikonformnosti posplošiti na večje razrede funkcij. Vendar pa bo za potrebe nadaljnega
dela pogoj zvezne odvedljivosti zadovoljiv. Zgoraj smo namreč ugotovili, da so kkvazikonformne preslikave rešitve Beltramijeve enačbe
fz̄ = µf fz ,
kjer je kompleksna dilatacija µf enakomerno omejena z vrednostjo k < 1. In prav z
reševanjem te enačbe so bomo ukvarjali v nadaljevanju diplomske naloge.
Pred tem pa si oglejmo še nekaj lastnosti kompozituma kvazikonformnih preslikav, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju. Zanima nas mala dilatacija preslikave f ◦ g. Zaradi poenostavitve zapisa bomo uvedli novo spremenljivko ζ = f (z).
Običajno verižno pravilo porodi enakosti
(f ◦ g)z = (gζ ◦ f )fz + (gζ̄ ◦ f )f¯z
(f ◦ g)z̄ = (gζ ◦ f )fz̄ + (gζ̄ ◦ f )f¯z̄ .
Ko rešimo sistem enačb, dobimo rešitvi
gζ ◦ f =
1
(g ◦ f )z f¯z̄ − (g ◦ f )z̄ f¯z
J
1
((g ◦ f )z̄ fz − (g ◦ f )z fz̄ ) ,
J
kjer je J Jacobijeva determinanta. Če zgornji sistem delimo in upoštevamo, da velja
fz = f¯z̄ in fz̄ = f¯z , dobimo enakosti
gζ̄ ◦ f =
gζ
(g ◦ f )z̄ fz − (g ◦ f )z fz̄
◦f =
,
gζ̄
(g ◦ f )z f¯z̄ − (g ◦ f )z̄ f¯z
torej velja
fz µf ◦g − µf
µg ◦ f = ¯
.
fz̄ 1 − µf µg◦f
2. INTEGRALSKA OPERATORJA
15
2. Integralska operatorja
V tem razdelku bomo spoznali dva integralska operatorja in nekatere njune lastnosti. Omenjena operatorja bosta predstavljala glavni tehnični pripomoček pri
reševanju Beltramijeve enačbe v naslednjem poglavju in osrednjega izreka v četrtem
poglavju diplomskega dela.
Prvi izmed dveh operatorjev, ki jih bomo spoznali, je regularen operator, ki
deluje na kompleksnih funkcijah razreda Lp (C).
Definicija 11. Naj bo funkcija h ∈ Lp (C) za p > 2. Zanjo definiramo Cauchy
- Greeneov operator:
1
P h(ζ) = −
π
ZZ
h(z)
C
1
1
−
z−ζ z
dxdy
Opomba 3. Cauchy - Greeneov operator je v resnici normalizirana konvolucija
funkcij h in z1 .
ZZ
1
1
1
h(z)
P h(ζ) =
h∗
(ζ) −
dxdy
π
z
π
C z
V naslednjih lemah bomo pokazali lastnosti operatorja, ki jih bomo potrebovali
Definicija 12. Naj bo U ⊂ Rn odprta množica. Funkcija f : U → C je
Hölderjevo zvezna z eksponentom α, če obstaja konstanta C, da za vsak par x, y ∈ U
velja
|f (x) − f (y)| ≤ C |x − y|α .
Lema 2. Za h ∈ Lp (C), p > 2, je funkcija P h Hölderjevo zvezna z eksponentom
1 − p2 .
Dokaz. Naj bo q konjugirani eksponent k p, p1 + 1q = 1, tedaj zaradi predpostavke
p > 2 zanj velja 1 < q < 2. Naj bo ζ 6= 0,
1
1
ζ
− =
∈ Lq (C),
z−ζ z
z(z − ζ)
saj je integral funkcije |z(z − ζ)|−q konvergenten v okolici 0, ζ in ∞. Konvergenco v
obeh polih dobimo iz dejstva, da je q < 2, kar je zadosten pogoj za obstoj integrala
v dvodimenzionalnem prostoru C. V neskončnosti pa je dovolj predpostavka q > 1,
saj je tu obnašanje integrala reda |z|−2q ∼ r−2q+1 . Torej lahko uporabimo Hölderjevo
neenakost
ZZ
1
ζ
h(z)
dxdy |P h(ζ)| = π
z(z − ζ)
C
|ζ|
1
.
≤
khkp π
z(z − ζ) q
2. INTEGRALSKA OPERATORJA
16
S preprosto zamenjavo spremenljivk z = wζ dobimo
Z Z
1q
1
−q
|z(z − ζ)| dxdy
z(z − ζ) =
C
q
Z Z
1q
−2q+2
−q
=
|ζ|
|w(w − 1)| dxdy
C
2
1
−2
= |ζ| q w(w − 1) ,
q
pri čemer je norma funkcije
ocena
1
w(w−1)
konstanta, odvisna le od q oziroma p. Torej velja
1
|P h(ζ)| ≤
π
2
1
−1
q
w(w − 1) khkp |ζ|
q
1− p2
= Cp khkp |ζ|
,
ki je izpolnjena tudi v primeru ζ = 0. Sedaj definirajmo funkcijo h1 (z) = h(z + ζ1 ).
Zanjo velja
ZZ
1
1
1
P h1 (ζ2 − ζ1 ) = −
h(z + ζ1 )
−
dxdy
π
z + ζ1 − ζ2 z
C
ZZ
1
1
1
h(z)
−
= −
dxdy
π
z − ζ2 z − ζ1
C
= P h(ζ2 ) − P h(ζ1 ).
Torej velja
2
|P h(ζ2 ) − P h(ζ1 )| ≤ Cp kh1 kp |ζ2 − ζ1 |1− p
2
= Cp khkp |ζ2 − ζ1 |1− p .
Drugi izmed operatorjev, ki ju bomo potrebovali v nadaljevanju dela, je singularen opreator, ki ga porodi odvajanje Cauchy-Greeneovega operatorja. Za gladko
funkcijo h s kompaktnim nosilcem definiramo Beurlingov operator kot
T h(ζ) = (P h(ζ))ζ .
Formalno je operator torej podan z
ZZ
1
h(z)
−
dxdy,
2
π
C (z − ζ)
a takoj opazimo, da gre za integral, ki absolutno divergira (pol druge stopnje). Zato
potrebujemo za dobro definiranost operatorja nekoliko natančnejšo definicijo.
Definicija 13. Za funkcijo h ∈ C02 (C) definiramo Beurlingov operator
ZZ
1
h(z)
T h(ζ) = lim −
dxdy.
2
→0
π
|z−ζ|> (z − ζ)
2. INTEGRALSKA OPERATORJA
17
Lema 3. Za poljubno funkcijo h ∈ C01 (C) velja
(P h)ζ̄ = h
(P h)ζ = T h.
Dokaz. Za začetek si oglejmo preprosto zamenjavo koordinat z → z + ζ
ZZ 1
h(z)
h(z)
P h(ζ) = −
−
dxdy
π
z−ζ
z
C
ZZ
1
h(z)
= −
dxdy + konst.
π
C z −ζ
ZZ
1
h(z + ζ)
= −
dxdy + konst.
π
z
C
Sedaj na izraz dxdy
lahko pogledamo kot na nesingularno mero in ker ima funkcija
z
h kompakten nosilec, lahko odvod nesemo pod integral in dobimo
ZZ
hζ̄ (z + ζ)
1
dxdy
(P h)ζ̄ = −
π
z
C
ZZ
1
hz̄ (z + ζ)
= −
dxdy
π
z
C
ZZ
hz̄ (z)
1
dxdy.
= −
π
C z −ζ
Če sklep ponovimo, pa dobimo enakost
1
(P h)ζ = −
π
ZZ
C
hz (z)
dxdy.
z−ζ
Naj bo sedaj D = {z ∈ C : |z − ζ| < } in C = C − D . Uporabimo dejstvo, da
velja
h(z)dz
hz̄ (z)
d
dz̄dz.
=
z−ζ
z−ζ
Z uporabo Stokesovega izreka dobimo
ZZ
ZZ
1
hz̄ (z)
1
hz̄ (z)
−
dxdy =
dzdz̄
π
2πi C z − ζ
C z − ζ
ZZ
1
h(z)dz
d
= −
2πi C
z−ζ
Z
1
h(z)
=
dz
2πi ∂D z − ζ
Z
Z
1
1
h(z) − h(ζ)
h(ζ)
=
dz +
dz
2πi ∂D
z−ζ
2πi ∂D z − ζ
Ker je funkcija h razreda C 1 , velja
h(z) − h(ζ) hz (ζ)(z − ζ) + hz̄ (ζ)(z − ζ) + O(|z − ζ|) =
∼ O(1).
z−ζ
z−ζ
2. INTEGRALSKA OPERATORJA
18
Torej velja
Z
1
2πi
∂D
h(z) − h(ζ) →0
dz ∼ O() → 0.
z−ζ
Drugi integral pa je po Cauchyjevi integracijski formuli enak
Z
Z
1
h(ζ)
1
1
dz = h(ζ)
dz = h(ζ).
2πi ∂D z − ζ
2πi ∂D z − ζ
Tako je dokazan prvi del leme.
Na drugi strani pa velja
hz (z)
h(z)
h(z)dz̄
=
−
dzdz̄.
d
z−ζ
z − ζ (z − ζ)2
Spet uporabimo Stokesov izrek in dobimo
ZZ
ZZ
1
1
h(z)
hz (z)
h(z)dz̄
−
dxdy =
+
d
dzdz̄
π
2πi C
z−ζ
(z − ζ)2
C z − ζ
Z
ZZ
h(z)
1
h(z)
1
dz̄ −
dxdy.
= −
2
2πi ∂D z − ζ
π
C (z − ζ)
V limiti velja
1
−
π
ZZ
C
h(z)
→0
dxdy → T h(ζ),
2
(z − ζ)
zato je dovolj pokazati, da je prvi integral ničeln, ko gre → 0. Če zopet napravimo
razcep
Z
Z
1
h(z) − h(ζ)
1
h(ζ)
−
dz̄ −
dz̄,
2πi ∂D
z−ζ
2πi ∂D z − ζ
po analognem razmisleku kot zgoraj vidimo, da je prvi integral v limiti enak 0. Tako
nam ostane zgolj drugi integral, ki rešimo z vpeljavo nove spremenljivke z = ζ +eiθ :
Z
Z
Z
h(ζ)
1
h(ζ) 2π eiθ
h(ζ) 2π −2iθ
e
dθ = 0.
dz̄ = −
dθ = −
2πi ∂D z − ζ
2πi 0 eiθ
2πi 0
Lema 4. Za funkcije h ∈ C02 (C) je Beurlingov operator dobro definiran in je
T h ∈ C 1 (C), ter velja
kT hk2 = khk2 .
Dokaz. Iz dokaza leme 3 je razvidno
ZZ
ZZ
1
hz (z)
1
hz (z)
P hz̄ (ζ) = −
dxdy −
dxdy = h(ζ) − h(0)
π
π
z
C z −ζ
C
ZZ
ZZ
1
hz̄ (z)
1
hz̄ (z)
P hz (ζ) = −
dxdy −
dxdy = T h(ζ) − T h(0)
π
π
z
C z −ζ
C
Če je h ∈ C02 lahko uporabimo lemo 3 za funkcijo hz in velja
(T h)ζ̄ = (P hz + T h(0))ζ̄ = (P hz )ζ̄ = hz
(T h)ζ = (P hz + T h(0))ζ = (P hz )ζ = T hz = P hzz + T hz (0).
Ker je h ∈ C 2 (C), je torej (T h)ζ̄ ∈ C 1 (C). Analogno je hzz ∈ C(C), operator
P pa to lastnost ohrani po lemi 2 in tako velja (T h)ζ ∈ C(C). Zaključimo torej,
2. INTEGRALSKA OPERATORJA
19
da je T h ∈ C 1 (C). Podobno lahko iz rezultatov prejšnje leme zaključimo, da je
P h ∈ C 2 (C).
Opazimo, da za h s kompaktnim nosilcem velja P h ∼ O(1) in T h ∼ O(|ζ|−2 ),
ko ζ → ∞, saj
ZZ
1
ζ h(z)
ζ→∞
P h(ζ) = −
dxdy → O(1)
π
supp h z(z − ζ)
ZZ
|ζ|2
h(z)
ζ→∞
2
|ζ| T h(ζ) = −
dxdy → O(1).
2
π
(z
−
ζ)
supp h
Naj bo sedaj D disk s središčem v izhodišču in radijem R, dovolj velikim, da velja
supp h ⊂ D. Oglejmo si sedaj normo
ZZ
2
kT hk2 =
|T h|2 dxdy.
D
Ker velja fz = f¯z̄ in
d (P h)(P h)ζ̄ dζ̄ = (P h)ζ (P h)ζ̄ dζdζ̄ + (P h)(P h)ζ̄ζ dζdζ̄,
lahko zgornji izraz s pomočjo leme 3 preoblikujemo v
ZZ
1
kT hk2 = −
(P h)ζ (P h)ζ̄ dζdζ̄
2i D
ZZ
ZZ
1
1
d (P h)(P h)ζ̄ dζ̄ +
(P h)(P h)ζ̄ζ dζdζ̄.
= −
2i D
2i D
Na prvem integralu uporabimo Stokesov izrek in oceni, da na robu diska velja P h ∼ 1
in T h ∼ R12 . Tako ocenimo
ZZ
Z
Z
1
1
1
1
=
∼
d
(P
h)(P
(P
h)(P
∼ .
h)
d
ζ̄
h)
d
ζ̄
ζ̄
ζ̄
2i
2i
2
R
D
∂D
∂D R
Ker je h ∈ C 2 (C), po lemi 3 velja
ZZ
ZZ
1
1
(P h)(P h)ζ̄ζ dζdζ̄ =
(P h)h̄ζ dζdζ̄.
2i D
2i D
Zaključek bomo spet naredili s pomočjo Stokesovega izreka, zato si oglejmo
d (P h)h̄dζ = −(P h)ζ̄ h̄dζdζ̄ − (P h)h̄ζ̄ dζdζ̄.
Velja torej
1
2i
ZZ
ZZ
ZZ
1
1
(P h)h̄ζ dζdζ̄ = −
d((P h)h̄dζ) −
(T h)ζ̄ h̄dζdζ̄
2i D
2i D
D
Z
ZZ
1
1
= −
(P h)h̄dζ −
|h|2 dζdζ̄
2i ∂D
2i D
Ker je supp h ⊂ D, je prvi integral enak 0, drugi pa je enak kar khk2 . Če sedaj v
posameznih korakih pošljemo R → ∞, smo s tem dokazali željeno enakost.
Ker je razred C02 (C) gost v L2 (C), lahko s pomočjo te leme operator T smiselno
zvezno razširimo na funkcije razreda L2 (C). Vseeno pa želimo operrator T razširiti
na prostore Lp (C). Ključ do tega rezultata je naslednja lema.
2. INTEGRALSKA OPERATORJA
20
Lema 5 (Zygmund-Calderónova lema). Naj bo h ∈ Lp (C). Tedaj zanjo velja
ocena
kT hkp ≤ Cp khkp ,
za vse p > 2, in je Cp konstanta odvisna le od p, ter zanjo velja Cp → 1, ko p → 2.
Dokaz leme najdemo v [6], mi pa si sedaj oglejmo še posplošene odvode v prostorih Lp .
Definicija 14. Naj bo funkcija h lokalno integrabilna na območju Ω. Tedaj sta
funkciji hz in hz̄ odvoda h v smislu distribucij, če sta lokalno integrabilni in zadoščata
enakostima
ZZ
ZZ
hz ϕdxdy = −
hϕz dxdy
Ω
Ω
ZZ
ZZ
hz̄ ϕdxdy = −
hϕz̄ dxdy
Ω
Ω
za vse gladke funkcije ϕ s kompaktnim nosilcem.
V nadaljevanju bomo potrebovali distribucijske odvode funkcij, preslikanih s
Cauchy-Greeneovim operatorjem, ki jih podaja naslednja lema.
Lema 6. Naj bo h ∈ Lp (C) in p > 2. Potem veljata enakosti
(P h)ζ̄ = h
(P h)ζ = T h
v smislu distribucij.
Dokaz. Po lemi 3 enakosti veljata (celo v smislu funkcij) za vse funkcije h
razreda C02 (C). Naj bo sedaj h funkcija razreda Lp (C). Obstaja zaporedje funkcij
n→∞
hn ∈ C02 (C) za katero velja khn − hkp −→ 0, , saj je C02 (C) gost podprostor prostora
Lp (C). Po Zygmund - Calderónovi lemi zanj velja
n→∞
kT hn − T hkp ≤ Cp khn − hkp −→ 0.
Od tod sledi
ZZ
n→∞
ZZ
hn ϕdxdy −→
hϕdxdy
C
C
ZZ
n→∞
ZZ
(T hn )ϕdxdy −→
C
(T h)ϕdxdy
C
Ker pa so funkcije hn ∈ Lp (C), po lemi 2 lahko zaključimo
ZZ
ZZ
ZZ
n→∞
hn ϕdxdy = −
(P hn )ϕζ̄ dxdy −→ −
(P h)ϕζ̄ dxdy
C
C
ZZ
ZZ
n→∞
hn ϕdxdy = −
C
C
ZZ
(P hn )ϕζ dxdy −→ −
C
(P h)ϕζ dxdy
C
3. REšEVANJE BELTRAMIJEVE ENAČBE
21
3. Reševanje Beltramijeve enačbe
V prvem poglavju tega dela smo spoznali Beltramijevo enačbo, ki karakterizira
kvazikonformne preslikave. V tem razdelku bomo nanjo pogledali kot na diferencialno enačbo ter analizirali njene rešitve. Oglejmo si najprej nehomogeno Beltramijevo enačbo
fz̄ = µfz + σ,
kjer je µ kompleksna funkcija za katero velja kµk∞ ≤ k < 1. Zaradi lastnosti
obeh operatorjev, ki smo ju spoznali v prejšnjem razdelku, bomo enačbo reševali
pri predpostavki, da je p > 2 in velja kCp < 1, kjer je Cp konstanta iz ZygmundCalderónove leme, ki omejuje Beurlingov operator. Ta zahteva je zaradi lastnosti
p→2
Cp → 1 dobro pogojena. Najprej spoznajmo prostor, na katerem bomo poiskali
rešitve nehomogene Beltramijeve enačbe.
Definicija 15. Naj bo Bp Banachov prostor funkcij f , za katere velja:
(1) Funkcija f je Hölderjevo zvezna z eksponentom 1 − p2 na C.
(2) f (0) = 0.
(3) Obstajata distribucijska odvoda fz in fz̄ , ter sta razreda Lp (C).
Norma na prostoru Bp je definirana s predpisom
kf kBp = sup
z1 ,z2 ∈C
|f (z1 ) − f (z2 )|
p
|z1 − z2 |1− 2
+ kfz kp + kfz̄ kp .
Preden se lotimo dokaza obstoja rešitev Beltramijeve enačbe zapišimo še lemo,
ki jo bomo potrebovali v dokazu.
Lema 7. Naj za f : D → C velja fz̄ = 0 na D, v smislu distribucij. Tedaj je f
holomorfna na D.
Lema je posledica bolj znane Weylove leme, dokaz zanjo najdemo v knjigi [4].
Izrek 2. Naj bo σ ∈ Lp (C), tedaj ima enačba
fz̄ = µfz + σ
enolično rešitev f µ,σ ∈ B p . To je hkrati edina rešitev nehomogene Beltramijeve
enačbe, ki zadošča pogojema f (0) = 0 in fz ∈ Lp (C).
Dokaz. Začnimo z dokazom enoličnosti. Pokažimo, da je edina rešitev homogene enačbe
fz̄ = µfz ,
ki zadošča predpostavkam f (0) = 0 in fz ∈ Lp (C), trivialna rešitev f ≡ 0. Za tako
rešitev homogene enačbe zaradi omejenosti µ velja, da je tudi fz̄ ∈ Lp (C). Torej
lahko definiramo funkcijo
F = f − P fz̄ ,
kjer je P Cauchy-Greeneov operator. Po lemi 6 iz prejšnjega razdelka da je
Fz̄ = fz̄ − (P (fz̄ ))z̄ = fz̄ − fz̄ = 0,
v smislu distribucij. Zato je funkcija F po lemi 7 holomorfna. Oglejmo si še odvod
Fz = fz − (P fz̄ )z = fz − T fz = fz − T (µfz ).
Po Zygmund - Calderónovi lemi zato velja ocena
kF 0 kp ≤ kfz kp + Cp kµk kfz kp ≤ (1 + kCp ) kfz kp .
3. REšEVANJE BELTRAMIJEVE ENAČBE
22
Torej je kF 0 kp < ∞, kar pomeni, da mora biti F 0 = 0 in F konstantna. Sedaj
se spomnimo, da velja f (0) = 0 in je operator P normaliziran, kar pomeni, da je
(P fz̄ )(0) = 0. Velja torej F (0) = 0, od koder zaključimo, da je F konstantno enaka
0. Torej nam enakost f = P fz̄ zgornjo neenačbo preoblikuje v
kfz kp ≤ kCp kfz kp ,
kar pa je zaradi predpostavke kCp < 1 izpolnjeno le pri fz ≡ 0. Torej imamo
konstantno funkcijo f , ki zaradi pogoja f (0) = 0 zavzame konstantno vrednost 0.
Ugotovili smo torej, da ima nehomogena enačba največ eno rešitev, saj je homogeni
del trivialen.
Sedaj si oglejmo dokaz obstoja rešitve naše enačbe. Operator h → T (µh) je
linearen in ima na prostoru Lp (C) normo omejeno z kCp < 1. Zatorej je obrnljiv
operator h → h − T (µh). Ker je σ ∈ Lp (C) je po Zygmund-Calderónovi lemi tudi
T σ element istega prostora. Torej obstaja h ∈ Lp (C), rešitev enačbe
h − T (µh) = T σ.
Za rešitev Beltramijeve enačbe definirajmo
f µ,σ = P (µh + σ).
Najprej je razvidno, da je funkcija µh + σ razreda Lp (C), kar nam zagotavlja omejenost µ. Torej je P (µh + σ) po lemi 2 dobro definirana in zvezna funkcija, saj je
p > 2. Za njene odvode velja
(f µ,σ )z̄ = (P (µh + σ))z̄ = µh + σ
(f µ,σ )z = (P (µh + σ))z = T (µh + σ) = h.
Pri tem smo uporabili lemo 6 o odvodih operatorja P iz prejšnjega razdelka in
dejstvo, da je h rešitev zgornje enačbe. Iz obeh relacij je razvidno, da f zadošča
nehomogeni Beltramijevi enačbi, opazimo pa tudi, da sta oba odvoda razreda Lp (C).
Iz konstrukcije je po Zygmund - Calderónovi lemi razvidno
khkp = kT (µh) + T σkp ≤ kCp khkp + Cp kσkp ,
od koder zaključimo, da je
khkp ≤
Cp
kσkp .
1 − kCp
Sedaj uporabimo še lemo 2 o Hölderjevi zveznosti operatorja P in dobimo
|f µ,σ (z1 ) − f µ,σ (z2 )| ≤ |P (µh − σ)(z1 ) − P (µh − σ)(z2 )|
2
≤ C |µh(z1 ) − µh(z2 ) + σ(z1 ) − σ(z2 )|1− p
1− p2
2
≤ C kµk khkp + kσkp
|z1 − z2 |1− p
1− p2
2
Cp
≤ C kσkp 1 +
|z1 − z2 |1− p
1 − kCp
kar potrdi, da je rešitev f µ,σ Hölderjevo zvezna z eksponentom 1 − p2 . Ker velja še
f µ,σ (0) = 0, je definirana funkcija res rešitev nehomogene Beltramijeve enačbe iz
prostora Bp .
3. REšEVANJE BELTRAMIJEVE ENAČBE
23
Pokazali smo obstoj rešitve nehomogene enačbe na dokaj splošnem razredu funkcij. S tem rezultatom si bomo pomagali pri reševanju homogene Beltramijeve enačbe,
ki je povezana s kvazikonformnimi preslikavami, ki smo jih obravnavali v prvem razdelku. Enačbo želimo rešiti v splošnem, vendar bomo za začetek privzeli, da ima µ
kompakten nosilec.
Izrek 3. Naj bo µ merljiva kompleksna funkcija s kompaktnim nosilcem za katero
velja, da je kµk∞ ≤ k < 1. Potem obstaja f µ , enolična rešitev enačbe
fz̄ = µfz ,
za katero velja f µ (0) = 0 in fzµ − 1 ∈ Lp (C).
Dokaz. Definirajmo funkcijo
f µ = z + f µ,µ ,
kjer je f µ,µ rešitev nehomogene Beltramijeve enačbe z nehomogenim delom enakim
µ. Taka rešitev po izreku 2 obstaja in je enolična, saj ima µ kompakten nosilec
in je enakomerno omejen, torej razreda Lp (C). Funkcija f µ je rešitev homogene
Beltramijeve enačbe, saj velja
(f µ )z̄ = (z + f µ,µ )z̄ = (f µ,µ )z̄ = µ(f µ,µ )z + µ = µ(f µ,µ + z)z = µfzµ .
Ker rešitev izpolnjuje tudi pogoja
(f µ )z − 1 = (f µ,µ )z ∈ Lp (C)
in f µ (0) = 0, je po izreku 2 taka rešitev enolična.
Opomba 4. Funkcijo f µ definirano s predpisom
f µ = P (µ(h + 1)) + z,
kjer je h rešitev enačbe
h = T (µh) + T µ,
Ugotovili smo torej, da obstaja normalna rešitev Beltramijeve enačbe. V nadaljevanju bomo vzpostavili zvezo med odvedljivostjo funkcije µ in odvedljivostjo
rešitve f µ . Za izpeljavo zveze bomo potrebovali naslednjo lemo.
Lema 8. Naj bosta funkciji p in q zvezni na enostavno povezanem območju Ω ⊂ C
in naj obstajata njuna odvoda v smislu distribucij, za katera velja pz̄ = qz . Tedaj
obstaja funkcija f ∈ C 1 (Ω), za katero velja fz = p in fz̄ = q.
Znova gre za nekoliko bolj posplošeno obliko Weylove leme, dokaz pa najdemo v
knjigi [2].
Izrek 4. Naj bo µ merljiva kompleksna funkcija s kompaktnim nosilcem, za
katero velja, da je kµk∞ ≤ k < 1. Če obstaja njen distribucijski odvod µz in je µz ∈
Lp (C), potem je normalna rešitev Beltramijeve enačbe f µ homeomorfizem razreda
C 1 (C).
Dokaz. Želimo torej določiti λ, da bo veljalo
fz = λ
fz̄ = µλ.
3. REšEVANJE BELTRAMIJEVE ENAČBE
24
V skladu z lemo 8 mora veljati
λz̄ = (µλ)z = λz µ + λµz .
Nekoliko preoblikujmo to enakost:
λz̄
λz
= µz + µ
λ
λ
(log λ)z̄ = µz + µ(log λ)z .
Enačbo tega tipa smo reševali v izreku 2, tako najdemo ustrezen λ = eσ , kjer je
σ = f µ,µz .
S konstrukcijo primernega λ smo pokazali, da je rešitev f µ ∈ C 1 (C). Oglejmo si
še njeno Jacobijevo determinanto
|fzµ |2 − |fz̄µ |2 = (1 − |µ|2 )e2σ .
Očitno je strogo pozitivna, kar pomeni, da je lokalno obrnljiva na celem C. Po
konstrukciji velja, da ob predpostavki z → ∞ velja f µ (z) → ∞, oglejmo pa si tudi
lokalno obnašanje funkcije v okolici točke ∞. Ker ima µ kompakten nosilec velja
2
2
µ(h+1) ∈ Lp in po lemi 2 velja P (µ(h+1)) ∼ O(|z|1− p ). Torej je f µ ∼ z +O(|z|1− p ).
Uvedimo nove koordinate z = ζ1 in si oglejmo obrat funkcije f µ v okolici 0 :
fµ
1
∼
1
ζ
1
ζ
ζ
1
2 =
2 .
p)
1 1− p
1
+
O(|ζ|
+ O ζ Razvidno je, da je f µ lokalno obrnljiva tudi v okolici ∞. Torej je f µ lokalni homeomorfizem med dvema sferama, oziroma tudi krovna preslikava. Ker slika v
mnogoterost istega roda (spet na sfero), je stopnja preslikave enaka 1, torej je homeomorfizem.
Pokazali smo torej, da ob predpostavki, da obstaja posplošeni odvod funkcije
µ, najdemo rešitve Beltramijeve enačbe razreda C 1 (C), ki ustrezajo diferenciabilnim
kvazikonformnim preslikavam iz prvega razdelka tega poglavja. Izkaže se, da bi se
lahko otresli tudi te predpostavke in za funkcijo µ zahtevali, da je zgolj merljiva, a
bi tedaj za rešitve dobili nekoliko posplošeno obliko kvazikonformnih preslikav, ki se
jim bomo na ta način izognili. Vseeno pa se želimo otresti predpostavke, da ima µ
kompakten nosilec.
Izrek 5. Naj bo µ merljiva kompleksna funkcija za katero velja, da je kµk∞ ≤
k < 1. Tedaj obstaja enoličen kvazikonformni homeomorfizem wµ ravnine nase s
kompleksno dilatacijo µ in fiksnimi točkami 0, 1, in ∞.
Dokaz. Če ima funckija µ kompakten nosilec, je po prejšnjem izreku iskana
preslikava kar
f µ (z)
wµ = µ .
f (1)
Predpostavimo sedaj, da je µ = 0 v okolici izhodišča. Tedaj ima funkcija
z2
1
µ̃(z) = 2 µ
z̄
z
3. REšEVANJE BELTRAMIJEVE ENAČBE
25
kompakten nosilec. Torej obstaja rešitev f µ̃ pripadajoče Beltramijeve enačbe. Če
definiramo funkcijo
1
wµ (z) = µ̃ 1 ,
f z
za njene odvode velja
1
1
µ
µ
(w )z =
fz
2
z
z 2 f µ̃ z1
1
1
µ
(wµ )z̄ =
.
2 fz̄
1
z
z¯2 f µ̃ z
Če sedaj naredimo premenjavo koordinat z → ζ1 , izrazimo odvoda f µ̃ in ju vstavimo
v pripadajočo Beltramijevo enačbo z dilatacijo µ̃, dobimo enakost
(wµ )z̄ = µ (wµ )z .
Torej imamo rešitev, ko je µ neničelna le na okolici točke ∞.
Nazadnje si oglejmo še splošno funckijo µ. Zapišemo µ = µ1 + µ2 , kjer ima µ1
kompakten nosilec, µ2 pa je enaka 0 v okolici izhodišča. Iščemo funkcijo λ, za katero
bo veljalo f λ ◦ f µ2 = f µ oziroma f λ = f µ ◦ (f µ2 )−1 . Če upoštevamo rezultate iz
prvega razdelka tega poglavja, mora za dilatacijo funkcije f λ veljati
fzµ2 µ − µ2
fzµ2
µ1
λ = ¯µ
= µ
.
2
2
f z̄ 1 − µ2 µ
f z̄ 1 − µ2 µ
Funkcija λ ima kompakten nosilec, saj je taka tudi funkcija µ1 . Tako smo dobili
rešitev za splošen µ kot kompozitum dveh preslikav.
POGLAVJE 3
Kompleksifikacija vektorskega prostora
1. Linearna kompleksna struktura
Za vektorske prostore iste dimenzije vemo, da so homeomorfni v topološkem smislu. V tem razdelku pa se bomo nadalje ukvarjali s strukturo, ki nam bo podala
smiseln prehod iz realnega vektorskega prostora sode dimenzije v primeren kompleksen vektorski prostor. Najprej si ta problem oglejmo na najpreprostejšem primeru,
ko je realni vektorski prostor enak kar R2 . Takrat
je prehod v kompleksno ravnino C
√
dobro poznan kot množenje s številom i = −1. Tako dobimo identifikacijo ravnine
C s parom realnih števil in preslikavo
ϕ : (x, y) → x + iy.
Naj bo linearna preslikava j : R2 → R2 podana z matričnim zapisom v standardni
bazi
0 −1
j=
.
1 0
Opazimo, da komutira diagram
j
R2 → R2
↓ϕ
↓ϕ
·i
C → C
Sedaj želimo to idejo posplošiti na realne vektorske prostore sode dimenzije, zato pa
bomo potrebovali primerno linearno preslikavo.
Definicija 16. Naj bo V realen vektorski prostor. Kompleksna struktura na V
je linearen endomorfizem J ∈ EndR (V ) z lastnostjo J 2 = −Id.
Direktna posledica definicije je, da mora biti realen vektorski prostor, na katerem
definiramo kompleksno strukturo, sode dimenzije.
Trditev 3. Edini lastni vrednosti kompleksne strukture J sta števili i in −i.
Dokaz. Naj bo (λ, v) poljuben lastni par preslikave J. Zanj velja
Jv = λv.
−v = J 2 v = λJv = λ2 v,
kar nam pove, da sta možni lastni vrednosti zgolj omenjeni števili.
Z uvedbo kompleksne strukure J tako dobimo bijektivno korespondenco med
realnimi vektorskimi prostori sode dimenzije in kompleksnimi vektorskimi prostori.
Denimo, da imamo kompleksno strukturo J na realnem vektorskem prostoru V ,
(a + ib) · v → a · v + b · Jv,
26
1. LINEARNA KOMPLEKSNA STRUKTURA
iz realnega dobimo kompleksen vektorski prostor V .
množenje vektorja s kompleksnim številom, definiramo
27
Obratno, če že poznamo
Jv := i · v
in s tem dobimo kompleksno strukturo na V . Če je sedaj {e1 , e2 , . . . , en } baza V
nad C, je {e1 , Je1 , e2 , Je2 . . . , en , Jen } baza V nad R.
Trditev 4. Poljubni dve kompleksni strukturi sta konjugirani. To pomeni, da
za poljubni kompleksni strukturi J in J 0 , definirani na vektorskem prostoru V sode
dimenzije, obstaja A ∈ EndR , za katerega velja
J 0 = AJA−1 .
Dokaz. Naj bo {e1 , Je1 , e2 , Je2 , . . . , en , Jen } baza realnega vektorskega prostora
V , porojena z J, in {e01 , J 0 e01 , e02 , J 0 e02 , . . . , e0n , J 0 e0n } baza istega prostora, porojena z
J 0 . Definiramo A ∈ EndR V s predpisom
Aej = e0j , A(Jej ) = J 0 e0j .
Tedaj velja
AJA−1 e0j = AJej = J 0 e0j
AJA−1 J 0 e0j = AJ 2 ej = −Aej = −e0j = J 0 (J 0 e0j ).
Torej velja
AJA−1 = J 0 .
Imejmo sedaj par (V, J), kjer je V realen vektorski prostor dimenzije 2n in J
kompleksna struktura na V . Definirajmo kompleksifikacijo V
V C := V ⊗R C = {v + iw; v, w ∈ V } .
Realna dimenzija novega prostora je 4n, operator J pa lahko smiselno razširimo na
novi prostor s predpisom
J(v + iw) = Jv + iJw.
Trditev 5. Naj bo V realen vektorski prostor, dimenzije 2n, in J kompleksna
struktura definirana na V. Tedaj velja
V C = V (1,0) ⊕ V (0,1) ,
kjer je V (1,0) lastni podprostor operatorja J za lastno vrednost i in V (0,1) lastni podprostor operatorja J za lastno vrednost −i.
Dokaz. Naj bo {e1 , Je1 , e2 , Je2 , . . . , en , Jen } realna baza V, tedaj je to kompleksna baza prostora V C . Definirajmo vektorje
1
e0j := (ej − iJej )
2
1
ē0j = (ej + iJej ) ,
2
za j = 1, 2, . . . , n. Velja
Je0j = ie0j
J ē0j = −iē0j ,
1. LINEARNA KOMPLEKSNA STRUKTURA
28
za j = 1, 2, . . . , n. To so torej bazni vektorji obeh podprostorov V (1,0) in V (0,1) . Velja
pa tudi
ej = e0j + ē0j
Jej = i(e0j + ē0j ),
za j = 1, 2, . . . , n. S tem je trditev dokazana, saj lahko vsak element prostora V C
zapišemo kot direktno vsoto dveh elementov iz željenih prostorov.
Opomba 5. Prostor V lahko na naraven način vložimo v V C kot realni del V C .
Vektor
n
X
v=
aj ej + bj Jej , aj , bj ∈ R
j=1
lahko v kompleksnem zapišemo kot
v=
n
X
αj e0j
+ ᾱj e¯0j = 2Re
j=1
n
X
!
αj e0j
,
j=1
pri čemer je αj = aj + ibj , za j = 1, 2, . . . , n. Opazimo, da je
Torej s preslikavo ϕ(v) = 2Re(v) dobimo komutativen diagram
Pn
j=1
αj e0j ∈ V (1,0) .
J
V
→
V
↑ϕ
↑ϕ .
·i
V (1,0) → V (1,0)
Oglejmo si še dual kompleksnega vektorskega prostora.
Trditev 6. Naj bo V ∗ dual realnega vektorskega prostora V , dimenzije 2n, in
{θ1 , τ1 , θ2 , τ2 , . . . , θn , τn } dualna baza V ∗ , ki pripada {e1 , Je1 , e2 , Je2 , . . . , en , Jen } ,
bazi vektorskeg prostora V . Naj bo J ∗ ∈ EndR (V ∗ ) dual preslikave J. Tedaj velja:
(1) Operator J ∗ je kompleksna struktura na realnem vektorskem prostoru V ∗ .
(2) J ∗ τj = θj in J ∗ θj = −τj , za j = 1, 2, . . . , n.
Dokaz. Dokažimo najprej drugo točko. Vemo, da za poljubna ω ∈ V ∗ in e ∈ V
po definiciji dualne preslikave velja
hω, Jei = hJ ∗ ω, ei .
Dovolj je, da željeni enakosti za J ∗ pokažemo na baznih vektorjih vektorskega prostora V :
hJ ∗ τi , ej i = hτi , Jej i
hJ ∗ τi , Jej i = hτi , −ej i
hJ ∗ θi , ej i = hθi , Jej i
hJ ∗ θi , Jej i = hθi , −ej i
=
=
=
=
δij = hθi , ej i
0 = hθi , Jej i
0 = hτi , ej i
−δij = hτi , Jej i .
Pri tem smo upošetvali zgolj J 2 = −Id in lastnost dualne baze.
Dokaz prve točke je sedaj preprost, saj imamo bazo dualnega prostora, za katero
velja
J ∗ (J ∗ θj ) = J ∗ τj = −θj , ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}
J ∗ (J ∗ τj ) = −J ∗ θj = −τj , ∀j ∈ {1, 2, . . . , n} .
Torej je (J ∗ )2 = −Id.
2. STANDARDNA KOMPLEKSNA STRUKTURA
29
Sedaj si oglejmo še prostor V ∗C , ki ga kot V C razcepimo na direktno vsoto
V ∗C = V ∗(1,0) ⊕ V ∗(0,1) ,
podprostora pa generiramo z baznimi vektorji
ωk = θk + iτk
ω̄k = θk − iτk ,
ki so tudi lastni vektorji preslikave J ∗ za lastni vrednosti i in −i. Velja pa tudi:
V ∗(1,0) = (V (1,0) )∗
V ∗(0,1) = (V (0,1) )∗ ,
saj je
1
1
ωk , e0j = hθk + iτk , ej − iJej i = (hθk , ej i + hτk , Jej i) = δkj
2
2
1
1
ω¯k , ē0j = hθk − iτk , ej + iJej i = (hθk , ej i + hτk , Jej i) = δkj .
2
2
2. Standardna kompleksna struktura
Oglejmo si linearno kompleksno strukturo podano z matriko


0 −1

 1 0




0 −1


.
1 0
Jst = 


...





0 −1 
1 0
Če definiramo preslikavo ϕ : R2n → Cn s predpisom
ϕ(x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn ) = (x1 + iy1 , x2 + iy2 , . . . , xn + iyn ),
zanjo velja, da komutira diagram
J
st
R2n →
R2n
↓ϕ
↓ϕ .
·i
C → C
Oglejmo si strukturo Jst še na Tp R2n , za nek p ∈ R2n . Za bazo slednjega smiselno
vzamemo
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
,
,
,...,
,
,
∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y2
∂xn ∂yn
seveda izračunane v točki p. Tako delovanje standardne kompleksne strukture na
tem prostoru opišemo s predpisom
∂
∂
∂
∂
Jst
=
, Jst
=−
.
∂xj
∂yj
∂yj
∂xj
V prejšnjem razdelku smo spoznali tudi prostor (Tp R2n )C ∼
= (Tp Cn )C . Poznamo celo
njegov razcep
(Tp Cn )C = (Tp Cn )(1,0) ⊕ (Tp Cn )(0,1)
2. STANDARDNA KOMPLEKSNA STRUKTURA
30
in bazne vektorje obeh podprostorov
∂
1
∂
∂
=
−i
∂zj
2 ∂xj
∂yj
∂
1
∂
∂
=
+i
,
∂z j
2 ∂xj
∂yj
ki so po teoriji prejšnjega razdelka med drugim tudi lastni vektorji Jst za lastni
vrednosti i oziroma −i. Opazimo pa tudi zvezo
∂
∂
∂
=
+
∂xj
∂zj ∂z j
∂
∂
∂
=i
−
.
∂yj
∂zj
∂z j
Tako lahko po opombi iz prejšnjega razdelka realno kombinacijo zapišemo kot
!
n
n
n
X
X
X
∂
∂
∂
∂
∂
+ bj
=
+ αj
= 2Re
,
aj
αj
αj
∂xj
∂yj
∂zj
∂z j
∂zj
j=1
j=1
j=1
kjer je αj = aj + ibj .
Znanje iz prejšnjega razdelka sedaj uporabimo še na dualnem prostoru (T R2n )∗ .
Dualna baza zgornji bazi originalnega prostora bo seveda
{dx1 , dy1 , dx2 , dy2 , . . . , dxn , dyn } ,
kompleksna struktura pa je že porojena z dualom preslikave Jst . Tudi tokrat nas bo
zanimala predvsem kompleksna različica (T R2n )∗C ∼
= (T Cn )∗C , katere bazo dobimo
kot
dzj = dxj + idyj
dz j = dxj − dyj .
Iz prejšnjega razdelka vemo, da je to dualna baza kompleksne različice baze tangentnega prostora, diferencial kompleksne funkcije pa lahko tako zapišemo tudi kot
X
n n X
∂fj
∂fj
∂fj
∂fj
df =
dxj +
dyj =
dzj +
dz j .
∂xj
∂yj
∂zj
∂z j
j=1
j=1
Izvedli smo zamenjavo realnih form dx in dy s kompleksnimi dz in dz̄, poiskali
kompleksno izrazitev diferenciala, zamenjali običajne baznih vektorje tangentnega
prostora s kompleksnimi. Tako smo opravili celostno identifikacijo prostora (R2n , Jst )
s prostorom (C, i).
POGLAVJE 4
Obstoj J-holomorfnih preslikav
1. J-holomorfne preslikave in skoraj kompleksna struktura
V prejšnjem poglavju smo se ukvarjali zgolj z linearno kompleksno strukturo J,
definirano na vektorskem prostoru V = Tp R2n . V nadaljevanju pa bomo potrebovali
polje takih preslikav oziroma skoraj kompleksno strukturo definirano na neki odprti
podmnožici D ⊂ R2n .
Definicija 17. J ∈ End(T R2n |D ) imenujemo skoraj kompleksna struktura nad
odprto množico D ⊂ R2n , če je na vsakem vlaknu linearna kompleksna struktura.
Naj bo D ⊂ R2 odprta. Preslikava f = u + iv : D → C je po klasični definiciji
holomorfna na D natanko tedaj, ko v vsaki točki p ∈ D zadošča sistemu CauchyRiemannovih enačb:
∂v ∂u
∂v
∂u
=
,
=− .
∂x
∂y ∂y
∂x
Holomorfnost ekvivalentno podamo tudi s sistemom
∂f
∂f
=i .
∂y
∂x
Slednja zveza nam porodi še eno obliko zadostnih pogojev za holomorfnost, izraženo
z diferencialom df . Vemo, da je diferencial funkcije f v neki točki p linearna preslikava. Linearno preslikavo Jst , ki identificira množenje z i v R2 , pa smo tudi spoznali
v prejšnjem poglavju. Holomorfnost zahteva komutiranje te operacije in običajnega
množenja z i v C, torej, da je
df ◦ Jst = i df,
oziroma, da komutira diagram
dfp
Tp D →
↓ Jst
Tu C
↓i .
dfp
Tp D → Tu(p) C
∂
Seveda gre za ekvivalentno definicijo, saj je zgornja enakost, uporabljena na ∂x
,
natanko ekvivalentna oblika Cauchy-Riemannovega sistema. Podobno sedaj definiramo J-holomorfne preslikave.
Definicija 18. Naj bo D odprta podmnožica prostora R2 . Tedaj je preslikava
f : D → R2n J-holomorfna, če zanjo velja
df ◦ Jst = J(f ) ◦ df,
v vsaki točki D, kjer je J skoraj kompleksna strukura nad f (D).
31
2. J-HOLOMORFNE PRESLIKAVE V R2 IN BELTRAMIJEVA ENAČBA
32
2. J-holomorfne preslikave v R2 in Beltramijeva enačba
V tem razdelku si bomo posebej ogledali J-holomorfne preslikave v prostoru
R . Obstoj le-teh bomo dokazali s pomočjo Beltramijeve enačbe, katere rešitve smo
poiskali v drugem poglavju.
Ugotovili smo, da J-holomorfno preslikavo f : (R2 , Jst ) → (R2 , J) karakterizira
enačba
df ◦ Jst = J(f ) ◦ df,
mi pa si bomo ogledali preslikave v nasprotni smeri g : (R2 , J) → (R2 , Jst ) ∼
= (C, i),
ki jih po analogiji karakterizira enačba
2
dg ◦ J = Jst ◦ dg = i dg.
Najprej si oglejmo obliko skoraj kompleksne strukture v R2 .
Lema 9. Naj bo J zvezna skoraj kompleksna struktura, definirana na odprti
D ⊂ R2 . Tedaj velja
∂
∂
∂
J( ) = a(x, y)
+ b(x, y) ,
∂x
∂x
∂y
∂
a(x, y)2 + 1 ∂
∂
)=−
− a(x, y) ,
∂y
b(x, y) ∂x
∂y
kjer sta a, b : D → R zvezni funkciji in b 6= 0 na D.
J(
Dokaz. Naj bo
J=
a c
b d
kompleksna struktura v neki točki podmnožice D. Enakost J 2 = −Id porodi sistem
enačb
a2 + bc = −1 = bc + d2 , b(a + d) = 0 = c(a + d).
Če je b = 0, hitro opazimo, da prva enačba nima realnih rešitev, zato mora veljati a =
2
−d. Iz prve enačbe pa izrazimo c = − a b+1 . S tem smo dobili vse možne kompleksne
strukture izražene s parametroma a in b, ki ju nad D nadomestimo z ustreznima
zveznima funkcijama.
Če sedaj zgornjo enačbo holomorfnosti uporabimo na baznih vektorjih in izrazimo s funkcijama a in b, dobimo
∂
∂g
∂g
∂g
dg ◦ J( ) = a(x, y)
+ b(x, y)
=i ,
∂x
∂x
∂x
∂x
∂
a(x, y)2 + 1 ∂g
∂g
∂g
)=−
− a(x, y)
=i .
∂y
b(x, y) ∂x
∂y
∂y
Hitro opazimo, da gre za linearno odvisni enačbi (v kompleksnem smislu), saj z
b(x,y)
množenjem druge z − a(x,y)+i
dobimo prvo enačbo. Reševali bomo torej zgolj prvo
enačbo. Če upoštevamo zvezi
∂g
∂g ∂g
=
+ ,
∂x
∂z ∂ z̄
∂g
∂g ∂g
=i
−
,
∂y
∂z ∂ z̄
dg ◦ J(
3. OBSTOJ MAJHNIH J-HOLOMORFNIH DISKOV
33
dobimo enačbo
a(x, y) + i(b(x, y) − 1)
gz .
−a(x, y) + i(b(x, y) + 1)
Ugotovimo, da je pri b(x, y) > 0 enačba Beltramijeva, saj velja
a(x, y) + i(b(x, y) − 1) < 1.
|µg | = −a(x, y) + i(b(x, y) + 1) gz̄ =
Pri b(x, y) < 0 pa velja
a(x, y) + i(b(x, y) − 1) > 1.
|µg | = −a(x, y) + i(b(x, y) + 1) Oglejmo si konjugirano Beltramijevo enačbo
gz̄ = ḡz = µ̄gz = µ̄ḡz̄
1
ḡz̄ = ḡz .
µ̄
V zgornjem primeru je torej ḡ rešitev Beltramijeve enačbe s koeficientom µ̄1 < 1.
V drugem poglavju smo ugotovili, da je rešitev Beltramijeve enačbe z odvedljivim µ homeomorfizem razreda C 1 . Ker je tudi konjugiranje zgolj zrcaljenje preko
realne osi, lahko brez škode za splošnost predpostavimo, da obstaja J-holomorfna
preslikava g : (R2 , J) → (R2 , Jst ), ki je hkrati zvezno odvedljiva in obrnljiva, z
zvezno odvedljivim inverzom, za vsako skoraj kompleksno strukturo J, ki je razreda vsaj C 1 . Če si sedaj ogledamo inverz f = g −1 , je to J-holomorfna preslikava
f : (R2 , Jst ) → (R2 , J).
3. Obstoj majhnih J-holomorfnih diskov
V tem razdelku si bomo ogledali J-holomorfne preslikave v splošnem prostoru
R2n . Globalne eksistence ne moremo zagotoviti. Dokazali pa bomo obstoj nekaterih
J-holomorfnih preslikav u : D → (R2n , J), kjer z D označimo enotski disk prostora
C. V nadaljevanju bomo te preslikave imenovali J-holomorfni diski. Izkaže se, da
bomo za dokaz njihovega obstoja potrebovali isti integralski operator, kot smo ga
že spoznali pri reševanju Beltramijeve enačbe v drugem poglavju. Pokazali bomo
obstoj J-holomorfnih diskov blizu ničelnega diska. Najprej si oglejmo prostor, na
katerem bomo iskali rešitve.
Definicija 19. Naj bo n ∈ N in vektor α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn0 . Naj bo
|α| = α1 + α2 + . . . + αn . Definirajmo operator
Dα f =
∂ |α|
.
∂xα1 ∂xα2 . . . ∂xαn
Definicija 20. Naj bo C k,α (U ) Banachov prostor funkcij f : U → R2n , za katere
velja:
(1) Funkcija f je razreda C k (U ).
(2) Parcialni odvodi k−tega reda so na U Hölderjevo zvezni z eksponentom α.
Norma na prostorih C k,α je definirana s predpisom
kf kC 0,α := sup
x,y∈U
|f (x) − f (y)|
,
|x − y|α
3. OBSTOJ MAJHNIH J-HOLOMORFNIH DISKOV
34
kf kC k := max sup |Dα f (x)| ,
|α|≤k x∈U
kf kC k,α := kf kC k + max kDα f kC 0,α .
|α|=k
Najprej bomo dokazali, da lahko poljubno skoraj kompleksno strukturo nad V
lokalno vidimo kot majhno perturbacijo skoraj kompleksne strukture identično enake
Jst , definirane nad enotsko kroglo B ⊂ R2n .
Lema 10. Naj bo J skoraj kompleksna struktura razreda C 1 na V ⊂ R2n . Za
vsako točko p ∈ V in δ > 0 obstajata okolica U točke p, in koordinatni difeomorfizem
(lokalne koordinate) z : U → B, da zanj velja z(p) = 0, dz(p) ◦ J(p) ◦ dz −1 (0) = Jst ,
za sliko z∗ (J) := dz ◦ J ◦ dz −1 pa velja
kz∗ (J) − Jst kC k,α (B) < δ.
Dokaz. Z zgolj linearno zamenjavo koordinat lahko najdemo koordinatni difeomorfizem neke okolice p na B z lastnostjo z(p) = 0 in dz(p) ◦ J(p) ◦ dz −1 (0) = Jst . Za
nek > 0 si sedaj oglejmo preslikavo d : p 7−→ −1 p, definirano na R2n . Definirajmo
nov koordinatni difeomorfizem z := d ◦ z. Zanj najprej velja
z (p) = d (z(p)) = d (0) = 0.
Oglejmo si še njegove diferenciale
dz (p) = d(d ◦ z)(p) = −1 dz(p),
−1 −1
−1
dz−1 (p) = d(z −1 ◦ d−1
)(p) = dz (d (p)) = dz (p).
Torej velja
dz (p) ◦ J(p) ◦ dz−1 (0) = dz(p) ◦ J(p) ◦ dz −1 (0) = Jst .
Za sliko (z )∗ (J) pa torej velja ocena
(z )∗ (J)(p) = dz(p) ◦ J(p) ◦ dz −1 (p) ∼ Jst + O( |p|).
Za dovolj majhen izberemo torej okolico U = z−1 (B).
Sedaj si oglejmo ekvivalentno formulacijo J-holomorfnosti funkcije u : D → R2n .
Definirajmo operatorja
1 ∂u
∂u
∂u
1 ∂u
∂u
∂u
=
− Jst
=
+ Jst
,
.
∂z
2 ∂x
∂y
∂ z̄
2 ∂x
∂y
∂
To sta v resnici kar operatorja ∂z
in ∂∂z̄ v kompleksnem, če smo napravili identifikacijo
2
prostora C s prostorom (R , Jst ). Takoj opazimo tudi obratno zvezo
∂u
∂u ∂u ∂u
∂u ∂u
=
+
,
= Jst
+
.
∂x
∂z
∂ z̄ ∂y
∂z
∂ z̄
Sedaj v enačbo
du ◦ Jst = J(u) ◦ du,
vstavimo bazni vektor
in dobimo
∂
∂
(du ◦ Jst )
= (J(u) ◦ du)
∂x
∂x
∂u
∂u
= J(u) .
∂y
∂x
∂
∂x
3. OBSTOJ MAJHNIH J-HOLOMORFNIH DISKOV
35
∂
Če v isto enačbo vstavimo še bazni vektor ∂y
, dobimo enačbo
∂
∂
(du ◦ Jst )
= (J(u) ◦ du)
∂y
∂y
∂u
∂u
= J(u) ,
−
∂x
∂y
ki pa je zaradi lastnosti J(u)2 = −Id ekvivalentna prvi. Z novima operatorjema
preoblikujemo prvo enačbo v
∂u ∂u
∂u ∂u
Jst
+
= J(u)
+
∂z
∂ z̄
∂z
∂ z̄
∂u
∂u
= (Jst − J(u)) .
∂ z̄
∂z
Če sedaj prepostavimo, da je operator J(u) + Jst obrnljiv, lahko zgornjo zvezo
zapišemo v obliki
∂u
∂u
+ QJ (u)
= 0,
∂ z̄
∂z
kjer je QJ (u) = (Jst + J(u))−1 (Jst − J(u)). Po lemi 10 je brez škode za splošnost
J(0) + Jst = 2Jst in je tako operator J(u) + Jst , ob predpostavki, da je skoraj
kompleksna struktura J zvezna, obrnljiv še na neki majhni okolici ničelnega diska v
prostoru C α,k (D). Torej zgornja kvazilinearna parcialna diferencialna enačba opisuje
J-holomorfne diske v okolici ničelnega diska oziroma, kot jih bomo imenovali v
Pred nadaljevanjem si oglejmo še eno lastnost Cauchy-Greeneovega operatorja
iz drugega poglavja.
(Jst + J(u))
Izrek 6. Za poljubni števili k ∈ N in 0 < α < 1 velja, da je Cauchy-Greeneov
operator P zvezna preslikava
P : C k,α (D) → C k+1,α (D).
Dokaz izreka najdemo v [5]. Rezultat izreka bomo uporabili na nelinearnem
operatorju
∂
ΨJ (u) = Id + P QJ
u.
∂z
Po zgornjem izreku gre za dobro definiran zvezen endomorfizem prostora C k,α (D)
natanko tedaj, ko je skoraj kompleksna struktura J (posledično tudi operator QJ )
razreda C k−1,α (D), saj Cauchy-Greeneov operator znova zviša red, ki se zniža zaradi
odvajanja.
Za nas bo predvsem pomemben odvod tega operatorja po spremenljivki z̄, ki je
po lemi 6 enak
∂u
∂u
[ΨJ (u)]z̄ =
+ QJ (u) .
∂ z̄
∂z
Ugotovimo torej, da je u nek majhen J-holomorfen disk natanko tedaj, ko je preslikava ΨJ (u) holomorfna v klasičnem smislu (Jst -holomorfna). Radi bi videli, da gre
za bijektivno korespondenco oziroma, da je operator ΨJ obrnljiv.
3. OBSTOJ MAJHNIH J-HOLOMORFNIH DISKOV
36
Izrek 7. Naj bosta X in Y Banachova prostora, U ⊂ X odprta množica in
φ : U → Y zvezno odvedljiva preslikava. Naj bo x0 ∈ X in predpostavimo, da je
odvod Dφ(x0 ) : X → Y preslikave φ bijektiven. Potem obstaja okolica U0 ⊂ U
točke x0 , da je zožitev preslikave φ na njej injektivna, množica V0 := φ(U0 ) je odprta
podmnožica prostora Y , preslikava φ−1 : Y → X je zvezno odvedljiva in za vse y ∈ V0
−1
velja D (φ−1 ) (y) = (Dφ (φ−1 (y))) . Če je preslikava φ razreda C k za neko naravno
število k, je taka tudi preslikava φ−1 .
Ta izrek je zgolj analog izreka o izreka o inverzni preslikavi v evklidskih prostorih,
dokaz zanj najdemo v [7].
Za obrnljivost si moramo torej ogledati odvod operatorja ΨJ v neki točki u ∈
C k,α (D). Oglejmo si najprej limito
ΨJ (u + tv) − ΨJ (u)
=
lim
t→0
t
∂
∂
−1
(Id + P QJ (u + tv) )(u + tv) − (Id + P QJ (u) )(u)
= lim t
t→0
∂z
∂z
∂
QJ (u + tv) − QJ (u) ∂u
= Id + P QJ (u)
v + P lim
.
t→0
∂z
t
∂z
Torej je odvod operatorja ΨJ v točki u preslikava
∂
∂u
v 7−→ Id + P QJ (u)
(v) + P S(v) ,
∂z
∂z
pri čemer smo s S označili odvod QJ . Na tem mestu potrebujemo zvezno odvedljivost skoraj kompleksne strukture J, ki porodi zveznost operatorja S. Če znova
uporabimo izrek 6, opazimo, da je v tem primeru zvezen tudi odvod operatorja ΨJ .
Označimo sedaj z u0 : D → R2n preslikavo, identično enako 0. Po lemi 10 brez
škode za splošnost velja, da je J(u0 ) ≡ Jst in QJ (u0 ) ≡ 0. Tako je odvod operatorja
ΨJ v točki u0 enak Id in torej bijektiven.
Po izreku o inverzni preslikavi lahko v prostoru C k,α (D), za k ∈ N, k ≥ 2, najdemo
neko majhno okolico točke ΨJ (u0 ) = u0 tako, da je operator ΨJ tam obrnljiv. S tem
smo dobili bijektivno korespondenco med majhnimi, običajnimi holomorfnimi diski
in majhnimi J-holomorfnimi diski.
Posledica 1. Naj bo k ∈ N, k ≥ 2, 0 < α < 1 in J skoraj kompleksna struktura
razreda C k−1,α , definirana v okolici 0 ∈ R2n . Za poljubno točko p ∈ R2n , ki leži
dovolj blizu 0, in poljubno majhen vektor V = (v1 , v2 , . . . , vk ) ∈ R2n×k , obstaja Jholomorfna preslikava up,V : D → R2n razreda C k,α , za katero velja up,V (0) = p in
∂ l up,V
(0) = vl za vse 1 ≤ l ≤ k.
∂xl
Dokaz. Za q ∈ R2n in W = (w1 , w2 , . . . , wk ) ∈ R2n×k definirajmo funkcijo
hq,W (z) = q +
k
X
1
wl z l .
l!
l=1
Sedaj izberimo tako okolico izhodišča v prostoru R2n×(k+1) , da bo za vsak (q, W ) iz
te okolice veljalo, da je hq,W element okolice ničelnega diska v prostoru C k,α (D), ki
je dovolj majhna, da je na njej inverz operatorja ΨJ dobro definiran. Tako lahko
vsaki funkciji hq,W iz te okolice priredimo majhen J-holomorfen disk
uq,W = Ψ−1
J (hq,W ),
3. OBSTOJ MAJHNIH J-HOLOMORFNIH DISKOV
37
ki je razreda C k,α .
Za poljubna, dovolj majhna p ∈ R2n in V = (v1 , v2 , . . . , vk ) ∈ R2n×k želimo sedaj
najti J-holomorfen disk uq,W , za katerega bo veljalo
∂uq,W
∂ 2 uq,W
∂ k uq,W
uq,W (0),
(0),
(0), . . . ,
(0) = (p, V ) .
∂x
∂x2
∂xk
Z drugimi besedami, želimo najti majhno okolico izhodišča prostora R2n×(k+1) , na
kateri bo dobro definiran inverz preslikave Φj , ki je podana kot kompozitum naslednjih preslikav
Ψ−1
∂ 2 uq,W
∂ k uq,W
∂uq,W
J
(0),
(q, W ) → hq,W → uq,W → uq,W (0),
(0), . . . ,
(0) .
∂x
∂x2
∂xk
Preslikava (q, W ) → hq,W je linearna in zvezna, njen odvod je zato enak kar njej
sami. Enak zaključek lahko naredimo za preslikavo
∂ 2 uq,W
∂uq,W
∂ k uq,W
(0),
uq,W → uq,W (0),
(0), . . . ,
(0) .
∂x
∂x2
∂xk
Skupaj z zvezno odvedljivostjo preslikave Ψ−1
J , ki jo dobimo po izreku o inverzni
preslikavi, lahko zaključimo, da je tudi kompozitum treh preslikav zvezno odvedljiv.
Njegov odvod v točki 0 ∈ R2n×(k+1) pa je enak preslikavi
∂ 2 hq,W
∂ k hq,W
∂hq,W
(0),
(0), . . . ,
(0) .
(q, W ) → hq,W → hq,W → hq,W (0),
∂x
∂x2
∂xk
To je po definicji funkcije hq,W kar identična preslikava. Če znova uporabimo izrek o
inverzni preslikavi, lahko torej najdemo majhno okolico točke ΦJ (0) = 0 ∈ R2n×(k+1) ,
kjer je ΦJ obrnljiv. Ta okolica se s Φ−1
preslika v okolico izhodišča v prostoru
J
2x×(k+1)
R
. Ker je točka (p, V ) po predpostavki izreka dovolj blizu izhodišča, je up,V
iskani J-holomorfni disk.
Literatura
[1]
W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book Company,
Singapur, tretja izdaja, 1976
[2] L. V. Ahlfors, Lectures on quasiconformal mappings, Van Nostrand, Princeton,
1966
[3] L. V. Ahlfors, L. Bers, Riemann’s Mapping Theorem for Variable Metrics, The
Annals of Mathematics, 72 (1960), 385-404
[4] O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer - Verlag, New York 1981
[5] I. N. Vekua, Generalized analitic functions, Pergamon Press, London, 1962
[6] A. P. Calderon, A. Zygmund, On the existence of certain singular integrals,
Acta Math., 88 (1952), 85-139
[7] J. Tonejc, Lokalna karakterizacija skoraj kompleksnih struktur, doktorska dizertacija, Ljubljana, 2007
[8] J. C. Sikorav, Some properties of holomorphic curves in almost complex manifolds, v Holomorphic curves and symplectic geometry, Birkhauser, (1994), 165-189
[9] S. Ivashkovich, J. P. Rosay, Schwarz-type lemmas for solutions of ∂-inequalities
and complete hyperbolicity of almost complex structures, Annales de l’institut
Fourier, 54 (2004), 2387-2435
[10] K. Diederich, A. Sukhov, Plurisubharmonic exhaustion functions and almost
complex Stein structures, arXiv:math.CV/0603417v1, 2006
38
```