MAA2.1 koe ja ratkaisut välivaiheineen (PDF)

MAA2 Koe 27.11.2013
Jussi Tyni
Muista kirjata oma nimesi ja ryhmäsi! Tee pisteytysruudukko ensimmäisen konseptin yläreunaan.
Lue ohjeet huolella!
A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi
joihin vastaat!
A1.
a) Mikä on funktion f(x) määrittelyjoukko, jos f ( x) 
5
2x  5
b) Muuta tulomuotoon: 4a  8a  4
2
A2.
a) Ratkaise yhtälö: 2 −
b) Sievennä:
A3.
4−1
4
≤2
x2  6x  9
x2  9
Ratkaise yhtälöt:
a)
3x 2  6 x  9
b)
x2  3x  10  0
MAA2 Koe 27.11.2013
Jussi Tyni
Muista kirjata oma nimesi ja ryhmäsi! Tee pisteytysruudukko ensimmäisen konseptin yläreunaan.
Lue ohjeet huolella!
B-osio. Saa käyttää laskinta! Valitse seuraavista viidestä tehtävästä neljä
joihin vastaat!
B4.
a) Millä vakion a arvoilla yhtälöllä
niin sanottu kaksoisjuuri?
2 x2  ax  1 on tasan yksi juuri,
b) Millä vakion c arvolla yhtälöllä ei ole yhtään juurta, kun yhtälö on
x2  12 x  c  0
B5.
Määritä a:lle arvo siten, että funktioiden
f ( x)  2 x 2  ax  1 ja
g ( x)   x 2  2 x  2 kuvaajat eivät leikkaa missään.
B6.
Kaksi autoa ajoivat saman matkan, jonka pituus oli 180 km. Autot
lähtivät liikkeelle samanaikaisesti, ja auto A, jonka keskinopeus oli 10
km/h suurempi kuin auton B, oli perillä 15 minuuttia aikaisemmin.
Määritä kummankin auton keskinopeus.
B7.
Suorakulmion pinta-ala on 30m ja piiri on enintään 24 m. Millaisia
arvoja suorakulmion sivut voivat saada?
B8.
Kun kytketään rinnan kaksi vastusta, joiden resistanssit ovat R1 ja R2 ,
niiden muodostaman järjestelmän kokonaisresistanssi noudattaa yhtälöä
2
1
1
1
. Miten vastukset R1 ja R2 on valittava, kun


R R1 R2
kokonaisresistanssiksi halutaan R=12  ja toisen vastuksen resistanssin
on oltava 10  suurempi kuin toisen?
Käyppä kokeen jälkeen kattomassa n. 11:30 miten tehtävät olisi pitänyt
tehdä osoittessa: http://jussityni.wordpress.com/
MAA2 Koe 27.11.2013
Jussi Tyni
Muista kirjata oma nimesi ja ryhmäsi! Tee pisteytysruudukko ensimmäisen konseptin yläreunaan.
Lue ohjeet huolella!
RATKAISUT:
1. a) Määrittelyjoukko, jos f ( x) 
5
. Ongelmia aiheuttavat jakaja ja
2x  5
neliöjuuren sisusta. Nollalla ei saa jakaa, joten 2 x  5  0  2 x  5  x 
5
.
2
Neliöjuuren sisusta ei saa olla negatiivinen, joten
5
2 x  5  0  2 x  5  x   . Kun molemmat ehdot yhdistetään, niin
2
5
x


Määrittelyjoukko:
2
b) 4a  8a  4  (2a  2) Binomin neliön palautuskaava.
2
2
a) 2 x 
2.
b)
4x 1
7
 2 4  8 x  (4 x  1)  8  8 x  4 x  1  8  4 x  7  x 
4
4
x2  6 x  9
( x  3)2
x3


2
x 9
( x  3)( x  3) x  3
3. a) 3x  6 x  9  0
2
6  62  4  3  (9) 6  36  108 6  144 6  12
x



23
6
6
6
=>
x1  1
x2  3
b) x  3x  10  0 => Nollakohdat x=-2 ja x=5. Ylöspäin aukeava
paraabeli, joten jos halutaan positiivisia funktion arvoja, epäyhtälö toteutuu
2
kun
x  2 ja x  5 .
4. a) yhtälöllä 2 x  ax  1 on tasan yksi juuri kun sen diskriminantti, eli
ratkaisukaavan neliöjuuren sisusta = 0. Muokataan ensin yhtälö toisen asteen
yhtälön perusmuotoon:
2
MAA2 Koe 27.11.2013
Jussi Tyni
Muista kirjata oma nimesi ja ryhmäsi! Tee pisteytysruudukko ensimmäisen konseptin yläreunaan.
Lue ohjeet huolella!
2 x 2  ax  1  0
a  a 2  4  (2)  (1) a  a 2  8
x

2  (2)
4
Nyt
a2  8  0  a2  8  a  8  a  4  2
a2 2
b) Yhtälöllä ei ole yhtään juurta, kun diskriminanttia on negatiivinen, eli toisen
asteen yhtälön ratkaisukaavassa ei pystytä laskemaan neliöjuurta.
x 2  12 x  c  0
(12)  (12) 2  4 1 c 12  144  4c
x

2 1
2
Nyt
144
72
144  4c  0  144  4c 
c
c
4
2
 36  c
5. Funktioiden f ( x)  2 x  ax  1 ja g ( x)   x  2 x  2 kuvaajat
eivät leikkaa missään, jos f(x) saa aina korkeampia arvoja kuin -4, koska
kuvaajasta nähdään että g(x):n kuvaajan huippu on korkeudella -4 ja se on
alaspäin aukeava. f(x) on ylöspäin aukeava. Nyt siis
2
2
f ( x)  2 x 2  ax  1  4
2 x 2  ax  5  0
Eli voidaan tarkastella funktiota 2 x2  ax  5 jonka pitää olla suurempi kuin 0, eli
sillä ei saa olla juuria => Diskriminantin pitää olla negatiivinen!
2 x 2  ax  5  0
D : a 2  4  2  5  a 2  40
a 2  40  0 ylöspäin aukeava paraabeli
nollakohdat : a 2  40  0
a 2  40
a   40   4 10  2 10
MAA2 Koe 27.11.2013
Jussi Tyni
Muista kirjata oma nimesi ja ryhmäsi! Tee pisteytysruudukko ensimmäisen konseptin yläreunaan.
Lue ohjeet huolella!
Hyväksyn vastaukseksi myös, jos on muodostanut f(x):stä funktion joka on
ylöspäinaukeava, ja joka ei leikkaa x-akselia ollenkaan (ei nollakohtia), niin
silloinhan f ja g eivät leikkaa toisiaan, mutta tällä virityksellä ei saa ihan täysiä
pisteitä.
6. Määritetään koko homma matkan s=180 km kautta. Huomatkaa, että
15 min 
1
h . v=nopeus ja t=aika.
4
s
 s  vt  180km  vt
Auto A:
t
s
km
1
v


s

vt

180
km

(
v

10
)(
t

h)
Auto B:
t
h
4
v
180 km saadaan molemmilla lausekkeilla, joten lausekkeiden arvojen täytyy
olla samat!
Täten:
1
vt  (v  10)(t  )
4
1
10
vt  vt  v  10t 
vt
4
4
1
10
10
0  v  10t 
10t  
4
4
4
10 1
10t   v 4
4 4
40t  10  v
Nyt tiedetään mitä nopeuden v pitää olla ajan suhteen. Sijoitetaan tämä v
vaikka alkuperäiseen 180 km = vt lausekkeeseen, niin siitä on helppo ratkasta
t.
180km  vt 
180km  (40t  10)t
180  40t 2  10t
0  40t 2  10t  180
MAA2 Koe 27.11.2013
Jussi Tyni
Muista kirjata oma nimesi ja ryhmäsi! Tee pisteytysruudukko ensimmäisen konseptin yläreunaan.
Lue ohjeet huolella!
Toisen asteen yhtälö, josta ratkaistaan ratkaisukaavalla:
t1  2
t2  2, 25
Aika ei tietenkään voi olla negatiivinen, joten t on 2 h. Ratkaistaan nyt autojen
keskinopeudet:
180km  v  2 : 2
Auto A:
90km / h  v
Auto B: Ajaa 10 km/h hitaampaa, joten keskinopeus on 80 km/h.
7. Mallikuva
xy  30 ja
2 x  2 y  24
xy  30 : y
Nyt x 
30
30
 2   2 y  24
y
y
60
 2 y  24  y ( y on posit.ker toja, koska se on sivun pituus !)
y
60  2 y 2  24 y
2 y 2  24 y  60  0
2. asteen käyrä, ylöspäinaukeava paraabeli, on negatiivinen, eli pienempi kuin
0 nollakohtien välissä:
Nollakohdat
y1  6  6  3,55
y2  6  6  8, 45
 3,55  y  8, 45
MAA2 Koe 27.11.2013
Jussi Tyni
Muista kirjata oma nimesi ja ryhmäsi! Tee pisteytysruudukko ensimmäisen konseptin yläreunaan.
Lue ohjeet huolella!
Nyt sivu x oli x 
x1 
30
, joten x:lle:
y
30
30

 8, 45
y1 6  6
30
30
x1 

 3,55
y2 6  6
joten myös 3,55  x  8, 45
Siis sivut x ja y molemmat voivat saada arvoja välillä 3,55m – 8,45 m.
8.
1 1
1
12
12
12 x
 
12  1  
x  x  12 
x  10  x( x  10)  12( x  10)  12 x
12 x x  10
x x  10
x  10
 x2  10 x  12 x  120  12 x  x2 14 x 120  0 . Toisen asteen yhtälön
ratkaisukaavasta x=20 tai x=-6. Vastus ei voi olla ohmimäärältään
negatiivinen, joten x=20 ja silloin vastus1 = 20 ohmia ja vastus2 = 30 ohmia.