# Page 1 KGLGNIHAVER | DANIVIARK QKGNGMI

```Eksamensspørgsmål:
Eksponentiel vækst
Indhold
Definition: ............................................................................................................................................................................. 1
Eksempel 1:........................................................................................................................................................................... 1
Begyndelsesværdien b ........................................................................................................................................................... 2
Fremskrivningsfaktoren a ..................................................................................................................................................... 2
Eksempel 2:........................................................................................................................................................................... 2
Formlerne for a og b............................................................................................................................................................. 3
Eksempel 3:........................................................................................................................................................................... 3
Bevis for formlen for a: ......................................................................................................................................................... 3
Bevis for formlen for b .......................................................................................................................................................... 4
Eksempel 4:........................................................................................................................................................................... 5
Tegning af graf for en eksponentiel funktion ........................................................................................................................ 5
Eksempel 5:........................................................................................................................................................................... 5
Logaritmisk skala.................................................................................................................................................................. 6
Forklaring på at grafen er lineær i et enkelt logaritmisk koordinatsystem: ......................................................................... 6
Logaritmeformler .................................................................................................................................................................. 6
Fordoblings- og halveringskonstant ..................................................................................................................................... 7
DIVERSE FORMLER FOR VÆKST ..................................................................................................................................... 8
Lineær vækst ......................................................................................................................................................................... 8
Eksponentiel vækst ................................................................................................................................................................ 8
Potens-vækst ......................................................................................................................................................................... 8
Definition:
En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en
regneforskrift, der kan skrives således:
f(x) = b ax
eller
y = b ax , idet a og b er positive tal.
Eksempel 1:
Indiens befolkning var i 1900 ca. 138 millioner, og er siden vokset med ca. 2% om
året..
Vi siger, at befolkningstallet hvert år fremskrives med 2%.
Den årlige fremskrivningsfaktor er 1,02
Efter 1 år er befolkningstallet:
Efter 2 år er befolkningstallet:
Efter 3 år er befolkningstallet:
Efter 4 år er befolkningstallet:
Efter x år er befolkningstallet:
138 mio ·1,02
138 mio ·1,022
138 mio ·1,023
138 mio ·1,024
=
=
=
=
140,8 mio
143,6 mio
146,4 mio
149,4 mio
138 mio ·1,02x
Befolkningstallet kan beskrives med funktionen f(x) = 138 · 1,02
Hvor x er antal år efter 1900
© PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf
Eksponentiel vækst
side
1 /8
x
Vi læger mærke til, at befolkningstallet i Indien vokser eksponentielt (næsten).
Vi siger, at befolkningstallet kan beskrives med den eksponentielle model:
f(x) = 138 ·1,02x.
Dette minder meget om kapitalfremskrivning, hvor formlen er:
n
K = K0 · (1+r)
Læg mærke til, at n er et helt tal.
I regneforskriften for Indiens befolkning behøver x ikke at være et helt tal.
Begyndelsesværdien b
b i regneforskriften kaldes begyndelsesværdien, fordi f(0) = b·a0 = b·1 = b
Fremskrivningsfaktoren a
a i regneforskriften kaldes fremskrivningsfaktoren svarende til en tilvækst i x på1.
Ofte siges blot fremskrivningsfaktoren.
Hvis a er mellem 0 og 1, er f aftagende.
I den eksponentielle model for Indiens befolkning er a = 1,02.
Hver gang, der går ét år, fremskrives Indiens befolkning med 2%.
Man beregner en fremskrivning på 2% ved at gange med 1,02, nemlig den
årlige fremskrivningsfaktor.
Den 2-årige fremskrivningsfaktor er 1,02·1,02 = 1,022.
Den 7-årige fremskrivningsfaktor for Indiens befolkning er 1,027
Eksempel 2:
50g radioaktivt stof, der henfalder med 5% om dagen kan beskrives med en
eksponentiel funktion. Der er en daglig tilvækst på -5% uanset hvilken dag, der
betragtes.
Det er en eksponentielt aftagende funktion og regneforskriften er. y = 50·0,95 x , hvor x
er antal dage siden begyndelsen, da der var 50g.
© PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf
Eksponentiel vækst
side
2 /8
Formlerne for a og b
Hvis man kender 2 funktionsværdier, kan man beregne a ved formlen:
a =
x2  x1
y
y
2
1
Herefter kan b findes ved hjælp af formlen:
b = y1 · a-x1
eller
b=
y1
/ ax1
Eksempel 3:
a  17
x
-2
17
y
11
0,9

(2) 0,9
11
=
19 0,9
11
= 0,8766… = 0,877
b = 11·0,8766…-(-2) = 11·0,8766…-(-2) = 11·0,8766…2 = 8,4519… = 8,452
Regneforskriften bliver således: y = 8,452 · 0,877x
Bevis for formlen for a:
a =
x2  x1
y
y
2
1
Vi er i den situation, at vi kender 2 funktionsværdier y1 og y2 ,
svarende til x-værdierne x1 og x2.
Det stiller vi op i et sildeben:
x
y
x1
x2
y1
y2
Ud fra regneforskriften fås:
y1 = b · ax1 og
y2 = b · ax2
© PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf
Eksponentiel vækst
side
3 /8
Den nederste af de 2 ligninger divideres med y1
b · a x2
y2
---------
=
y1
-------------------
y1
x
y1 i nævneren til højre erstattes med b · a 1 , der har samme værdi.
b · a x2
y2
----------
=
y1
-------------------------x1
b·a
Brøken til højre forkortes med b
ax2
y2
---------
=
y1
--------------x1
a
Ved hjælp af potensregler for division fås:
y2
= ax2 - x1
---------
y1
Vi tager nu en passende rod på begge sider. Tallet
og vi får:
x2  x1
y
y
2
= a
x2-x1 bestemmer hvilken rod vi tager,
hvilket skulle bevises.
1
Bevis for formlen for b
b = y1 · a-x1 eller
b=
y1
/ ax1
x
Vi bemærker, division med a 1 er det samme som multiplikation med a
De 2 formler er således faktisk ens og blot skrevet på lidt forskellig måde.
Ud fra regneforskriften fås:
y1
x1
x1
y1 = b · a

/a =b
© PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf
hvilket skulle bevises.
Eksponentiel vækst
side
4 /8
-x1
Eksempel 4:
Vi betragter 2 funktionsværdier y1 og y2 , svarende til x-værdierne x1 og x2.
5
4
x
y
a
8
6
=
=
4
b =
/1,1447…
3
5
(1/3)
= 1,1447… = 1,145
1,5 = 1,5
= 2,0350… = 2,035
f(x) = 2,035·1,145x
og regneforskriften bliver
Herefter kan vi fx beregne
f(10) = 2,035 ·1,14510
Tegning af graf for en eksponentiel funktion
Hvis man vil tegne en eksponentiel funktion kan man med fordel benytte et såkaldt
enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Hertil benyttes enten enkeltlogaritmisk papir eller
regneark.
Hvis støttepunkterne flugter en linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, kan man
konkludere, der med god tilnærmelse er tale om en eksponentiel funktion.
Enkelt-logaritmisk koordinatsystem vil blive forklaret lidt senere.
Eksempel 5:
Ilt-trykket falder, når man kommer op i bjergene. Her ses nogle måleresultater.
Højde
Ilt-tryk
0
150
x
y
500
140
1000
131
1500
123
2000
115
2500
107
3000
100
Disse måleresultater er indtegnet nedenfor i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
Det ses, støttepunkterne i dette
enkeltlogaritmiske koordinat-system
flugter en linje, og vi siger, at ilt-trykket
som funktion af højden kan beskrives ved
en eksponentiel model.
1000
100
10
0
5
10
15
20
25
30
© PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf
35
Eksponentiel vækst
side
5 /8
Logaritmisk skala
I et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er tallene på y-aksen
placeret således, at grafen for en eksponentiel funktion bliver en ret
linje. Hvordan det kan være, skal vi se om lidt.
Den tal-skala, der er på y-aksen, kaldes en logaritmisk skala og xaksen er helt sædvanlig.
En logaritmisk skala kan defineres på den måde, at den adskiller
sig fra en almindelig tal-skala ved, at hvert tal y på skalaen
y
erstattes med 10 . Bemærk Log(10y) = y
0 er erstattet af 1, som er lig 100 .
3 er erstattet af 103, som er lig 1000 og Log(1000) = 3.
Således bliver 1000 placeret i afstanden Log(1000) fra 1.
Generelt placeres ethvert positivt tal y i afstanden Log(y) fra 1.
Den tal-skala mest til venstre er en sædvanlig tal-skala.
Den midterste tal-skala er den tilsvarende logaritmiske-skala.
Den 3. tal-skala er magen til den midterste, altså også logaritmisk. Tallene er blot skrevet
på en anden måde.
Forklaring på at grafen er lineær i et enkelt logaritmisk koordinatsystem:
Vi skal kende følgende logaritmeformler:
Logaritmeformler
Formel
Log(a·b) = Log(a) + Log(b)
Eksempel
Log(5 · 3) = Log 5 + Log(3)
Log(ax) = x·Log(a)
Log(53) = 3·Log(5)
Der gælder:
y = b· ax og Log y = Log ( b· ax ) = Log b + Log ( ax ) = Log b + x· Log a
Altså: Log y = Log b + x· Log a
Hvilket vil sige, at Log y er en lineær funktion af x.
Hvis grafpunkterne (x, y) derfor afsættes i afstanden Log y fra 1, bliver grafen en ret linje,
og det er netop, hvad vi gør, når vi bruger enkeltlogaritmisk koordinatsystem
Derfor gælder, at alle eksponentielle funktioner har en lineær graf i et enkelt logaritmisk
koordinatsystem.
© PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf
Eksponentiel vækst
side
6 /8
Der gælder endvidere, at ingen andre funktioner har en lineær graf i et enkeltlogaritmisk
koordinatsystem. Det vil vi dog ikkebevise.
Man kan således ved at tegne en funktion i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem afgøre,
om funktionen er eksponentiel.
Fordoblings- og halveringskonstant
Ved eksponentielt voksende funktioner tales også om en fordoblingskonstant
(fordoblingstid) T2. Det er den forøgelse i x, der giver anledning til en fordobling.
Tilsvarende tales om en halveringskonstant (halveringstid) T½ ved eksponentielt aftagende
funktioner.
Fordoblings og halveringskonstanterne kan ofte aflæses direkte af grafen ved at finde
den x-tilvækst, der giver anledning til en fordobling/halvering.
Der gælder følgende formler:
T2 =
Log (2)
Log (a)
og
T½ =
Log (0,5)
Log (a)
I ovenstående eksempel 3 findes T½ således:
T½ = Log (0,5) / Log(0,8766…) = 5,2610… = 5,261
Bevis for den første formel forløber således.
Lad x betegne fordoblingskonstanten for en eksponentiel funktion
Der må gælde:
2b = bax
2 = ax
Log 2 = Log ax
Log 2 = x·Log a
Log (2)
Log (a)
= x
Altså fordoblingskonstanten er:
Log (2)
Log (a)
Formlen for halveringskonstanten bevises på tilsvarende måde.
© PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf
Eksponentiel vækst
side
7 /8
DIVERSE FORMLER FOR VÆKST
Regneforskrift
a
Lineær vækst
Eksponentiel vækst
Potens-vækst
y  ax  b
y  ba x
y  bx a
a
( y2  y1 )
( x2  x1 )
a  ( x2  x1 ) (
y2
)
y1
a
( Log ( y2 )  Log ( y1 ))
( Log ( x2 )  Log ( x1 ))
b
T2 
Fordoblingskonstant
T½ 
Halveringskonstant
Log (2)
Log (a)
Log (0,5)
Log (a)
Hvis x fremskrives
med p% = r,
så er
fremskrivningsfaktoren
for x: (1+r)
og
fremskrivningsfaktoren
for y: (1+r)a
Procentvis ændring
af y bliver:
( (1+r)a – 1) · 100%
Anbefalet
koordinatsystem
Sædvanligt
Enkelt logaritmisk
© PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf
Eksponentiel vækst
Dobbelt logaritmisk
side
8 /8
```