6.1 Trigonometriska kurvor

6.1 Trigonometriska kurvor
Sinusformade kurvor och kurvan av tangens
Ange grafens ekvation

 =  sin  + 
Amplituden  = 4
Konstanten  = 3

Hur finner vi 

 =  sin  + 
sin  har perioden 360°
sin 2 har perioden 180°

sin 2

har perioden 720°
sin  har perioden
360°

360°
360°
= 400° ↔  =
↔  = 0,9

400°
 = 4 sin 0,9 + 3
Amplituden  = 4
Konstanten  = 3
Skissa en kurva

 = 5 sin 2( + 45°) − 4
Amplituden är 5

Konstanten är −4
Perioden
2  + 45° går från 0° till 360°
2  + 45° = 0° +  × 360°
2  + 45° = 360° +  × 360°
 + 45° = 0° +  × 180°
 + 45° = 180° +  × 180°
 = −45° +  × 180°
 = 135° +  × 180°
Skissa en kurva

 = 5 sin 2( + 45°) − 4
Amplituden är 5


Konstanten är −4
Perioden är 180°
Kurvan är translaterad 45° till vänster

() = 5 sin 2
() = 5 sin 2( + 45°) − 4
Kurvan  = tan 

tan  =
sin 
cos 
tan  är alltså ej definerad då
cos  = 0
→  ≠ 90° +  × 180°



tan⁡
Tangens upprepar sig alltså i perioder om 180°
Exempel
Lös ekvationerna fullständigt.
tan 2 = 0,9
sin  = −3,1 cos 
Kurvan  =  × sin  +  × cos 

 = sin  + 3 cos 

Denna kurva borde kunna skrivas som en sinus
kurva translaterad 60° till vänster och med
amplituden 2.
Borde kunna ge  = 2 sin( + 60°)
Visa att kurvorna är samma
 =  × sin  +  × cos 
 =  × sin( + )⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
 > 0⁡⁡⁡ > 0
 =  × sin  +  × cos ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
 =  sin  × cos  +  cos  × sin ⁡
 =  cos 
 =  sin 
  cos 

=
↔ = tan 
  sin 

2 = 2 cos2 
2 = 2 sin2 
Kvadrera originalekvationerna
2 + 2 = 2 cos2  + 2 sin2 
Addera ekvationerna
2 + 2 = 2 (cos 2  + sin2 )
Faktorisera och trigonometriska ettan
=
2 + 2
Dagens uppgifter

1. Visa att tan 45° = 1 och tan −45° = −1
med hjälp av enhetscirkeln.
2. Beskriv Steams antal inloggade
användare  som en funktion av tiden .
3. Vilka vardagliga slutsatser kan man dra
av att studera Steam kurvan.

tan⁡
Flera uppgifter på s.203, 205 och 207