הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל, הפקולטה להנדסת מכונות

‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬
‫תרגול מס' ‪– 5‬בקרה בחוג פתוח‪ ,‬תגובה דינמית (המשך) ‪ -‬פתרון‬
‫‪d‬‬
‫‪y‬‬
‫‪P s‬‬
‫‪u‬‬
‫‪C s‬‬
‫‪r‬‬
‫איור ‪ :A‬מערכת בקרה בחוג פתוח‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫מערכת כלשהי מבוקרת בחוג פתוח (איור ‪ )A‬כך שהתגובה מתנהגת לפי מודל ייחוס תת מרוסן מסדר שני ללא אפסים‪,‬‬
‫‪K pn2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.  s   Tr  s   2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪s  2n s  n2‬‬
‫ציירו את התחום בו נמצאים קטבי המערכת כך שבתגובה לכניסת מדרגה מתקיימות הדרישות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬תדר תנודה טבעי בתחום‪1r s  n  2r s :‬‬
‫‪ .2‬זמן דעיכה ל ‪ST≤3.08[sec] :δ=2%‬‬
‫‪ .3‬תגובת יתר‪OS  10% :‬‬
‫פתרון שאלה ‪1‬‬
‫קטבי המערכת הם‪. s  n  n 1   2 j :‬‬
‫‪ .1‬התדר הטבעי הוא הגודל של הקטבים‪ , s  n ,‬לכן במישור המרוכב מדובר בחצאי מעגלים שמרכזם בראשית‪.‬‬
‫לפיכך‪ ,‬עבור ‪ 1r s  n  2r s‬על הקטבים להימצא בין חצי מעגל ברדיוס ‪ 1‬לחצי מעגל ברדיוס ‪.2‬‬
‫‪1‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪ .2‬נרשום את התנאי על זמן הדעיכה במונחים של תדר טבעי ויחס ריסון‪:‬‬
‫‪n  1.3‬‬
‫‪ 3.08 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ST2% ‬‬
‫המכפלה ‪ n‬היא הגודל של החלק הממשי של קטבי המערכת‪ .‬לפיכך‪ ,‬על הקטבים להימצא משמאל לקו האנכי ‪.-1.3‬‬
‫‪ .3‬נרשום את התנאי על תגובת היתר במונחים של תדר טבעי ויחס ריסון‪:‬‬
‫‪  0.6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln  0.1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  ln 2  0.1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ln  OS ‬‬
‫‪ 2  ln 2  OS ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.1   ‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪OS  e‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫יחס הריסון מגדיר את המנה בין החלק הממשי והחלק המדומה של הקטבים‪ .‬לכן במישור המרוכב אלו קרניים שיוצאות‬
‫מהראשית ויוצרות זווית קבועה ‪ ‬עם הציר הממשי השלילי‪ ,‬כאשר ‪ .   cos ‬עבור ‪   0.6‬על הקטבים להימצא‬
‫בין הקרניים היוצרות ‪.   arccos  0.6   53‬‬
‫‪‬‬
‫היכן קרניים אלו יחתכו את המעגל ברדיוס ‪ , 2cos53  1.2 ?2‬כלומר במקרה זה התנאי על ה ‪ OS‬כבר מוכל‬
‫בתוך התנאים האחרים‪.‬‬
‫תגובת מדרגה של מערכת בעלת פרמטרים בתחום המקווקו‪ ,‬למשל‪ 0.737  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.92‬‬
‫‪s 2  2 1.4s  1.92‬‬
‫‪Step Response‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪System: P‬‬
‫‪Peak amplitude: 1.03‬‬
‫‪Overshoot (%): 3.26‬‬
‫‪At time (seconds): 2.43‬‬
‫‪System: P‬‬
‫‪Settling time (seconds): 3.07‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5‬‬
‫)‪Time (seconds‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪, Tr  s  ‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫שאלה ‪( 2‬הגרפים מופיעים בדף השאלות)‬
‫א‪ .‬התאימו בין מפות הקטבים של התהליכים ‪ a15‬לתגובות המדרגה שלהם‪. b15 ,‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף א'‬
‫ההתאמות הן‪:‬‬
‫‪a1  b5 , a2  b4 , a3  b3 , a4  b2 , a5  b1‬‬
‫‪‬‬
‫מערכות ‪ a1‬ו ‪ a5‬הינן מסדר ראשון‪ ,‬לכן לתגובת המדרגה יהיה שיפוע גדול מאפס ב ‪( t=0‬אז זה רק ‪ b1‬או ‪.) b5‬‬
‫ל ‪ a1‬קוטב יותר איטי (יותר קרוב לציר המדומה) מאשר ל ‪ ,p=-1/τ . a5‬לכן ל ‪a1‬‬
‫קבוע זמן גדול יותר ‪  1‬‬
‫מאשר ל ‪   0.1 a5‬ותגובת המדרגה של ‪ a5‬מהירה יותר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מערכות ‪ a24‬הן מסדר שני‪ ,‬לכן לתגובת המדרגה שלהן יש שיפוע אפס ב ‪ .t=0‬ל ‪ a2‬ו ‪ a4‬שני קטבים מרוכבים‬
‫ולכן הן תת מרוסנות‪ .‬נבדוק את ההבדל בין שתי המערכות‪:‬‬
‫כיוון ש ‪ ,cosθ=ζ‬יחס הריסון של ‪ a2‬גדול יותר‪ ,‬לכן תגובת המדרגה של ‪ a2‬בעלת ‪ OS‬קטן יותר והיא תונדת פחות‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬קטבי ‪ a2‬רחוקים יותר מהציר המדומה‪ ,‬ולכן תגובתה מתכנסת מהר יותר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫למערכת ‪ a3‬שני קטבים ממשיים‪ ,‬לכן היא על מרוסנת ואין לה תגובת יתר או תנודות‪.‬‬
‫ב‪ .‬כעת לתהליכים בסעיף א' נוסף אפס ב ‪ -3‬והתקבלו תגובות מדרגה חדשות‪ .‬חזרו על סעיף א'‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ב'‬
‫למערכת המקורית נוסף אפס ב ‪ .-3‬ההתאמות הן‪:‬‬
‫‪a1  b5 , a2  b4 , a3  b3 , a4  b2 , a5  b1‬‬
‫‪4‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪‬‬
‫תוספת אפס למערכת מסדר ‪ 1‬פירושה שתגובת המדרגה מתחילה מערך שונה מאפס‪ .‬לכן תגובות ‪ b1‬ו ‪b5‬‬
‫מתאימות למערכות ‪ a1‬ו ‪ . a5‬ניתן לחשב זאת ממשפט הערך ההתחלתי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪lim s Pa1  s   lim 3‬‬
‫‪  0.33 ; lim s Pa5  s   lim 3‬‬
‫‪  3.33‬‬
‫‪s  s‬‬
‫‪s  s  1‬‬
‫‪s  s‬‬
‫‪s  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪s 1 3‬‬
‫‪10‬‬
‫כמו כן‪ ,‬תגובה ‪ b1‬מהירה יותר מתגובה ‪ b5‬גם כי קבוע הזמן של ‪ a5‬יותר קטן מזה של ‪( a1‬בגלל הקוטב הרחוק) וגם‬
‫כי שהאפס במערכת ‪ a5‬קרוב יותר לציר המדומה (בניגוד למערכת ‪ ) a1‬ולכן משפיע יותר על התגובה (מזרז אותה)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫תוספת אפס למערכת מסדר ‪ 2‬גורמת לשיפוע ברגע ‪ t=0‬להיות גדול מאפס‪ .‬כמו כן‪ ,‬באופן כללי‪ ,‬האפס מגדיל ‪OS‬‬
‫ומקטין ‪ . T p‬במקרה שלנו‪ ,‬האפס נמצא קרוב מאוד לאחד הקטבים (כמעט צמצום) ולכן הוא כמעט מבטל את‬
‫השפעת קוטב זה‪ .‬לפיכך‪ ,‬המערכת ‪ a3‬תתנהג כמעט כמו מערכת מסדר ראשון עם קוטב ב ‪.-10‬‬
‫‪‬‬
‫תגובה ‪ b2‬שהייתה מאוד תונדת ועם ‪ OS‬די גדול תקבל ‪ OS‬גדול עוד יותר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫תגובה ‪ b4‬שהייתה בעלת ‪ OS‬נמוך‪ ,‬תקבל ‪ OS‬מאוד גבוה כי האפס של ‪ a2‬מאוד דומיננטי יחסית לקטבים (אך‬
‫התנודתיות תישאר קטנה כי ‪ ‬גבוה)‪.‬‬
‫ג‪ .‬כעת לתהליכים בסעיף א' נוסף קוטב ב ‪ ,-5‬והתקבלו תגובות מדרגה חדשות‪ .‬חזרו על סעיף א'‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ג'‬
‫למערכת המקורית נוסף קוטב ב ‪ .-5‬ההתאמות הן‪:‬‬
‫‪a1  b5 , a2  b4 , a3  b3 , a4  b2 , a5  b1‬‬
‫הוספת קוטב הופכת מע' מסדר ראשון לשני ומע' מסדר שני לשלישי‪ .‬ככל שההפרש בין דרגת המונה והמכנה גדול יותר‬
‫כך הגרף ב ‪ t=0‬שטוח יותר (יותר נגזרות מתאפסות)‪ .‬לכן תגובות ‪ b24‬מתאימות למע' מסדר ‪ .3‬תגובת המדרגה של‬
‫‪( a3‬שלושה קטבים ממשיים) תהיה כמו תגובתה ללא הקוטב הנוסף‪ ,‬רק יותר מונמכת ואיטית יותר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מערכות ‪ a1‬ו ‪ a5‬הינן מסדר שני ועל מרוסנות‪ ,‬אך במע' ‪ a1‬הקטבים קרובים יותר לציר המדומה מאשר ב ‪a5‬‬
‫והתגובה תהיה איטית יותר‪ .‬ככלל‪ ,‬הוספת קוטב מאיטה תגובה‪ ,‬אך ב ‪ a1‬הקוטב הנוסף רחוק מאוד מהקוטב המקורי‬
‫‪‬‬
‫לכן כמעט ולא ישפיע‪.‬‬
‫במע' ‪ a4‬הקוטב רחוק יותר מהקטבים המרוכבים‪ ,‬לכן הוא ינמיך מעט את תגובת היתר אך עדיין נראה תנודות‪.‬‬
‫במע' ‪ a2‬הקוטב הנוסף דומיננטי יותר‪ ,‬ואם במע' המקורית היה ‪ OS‬נמוך‪ ,‬אז כעת בכלל לא נצפה ל ‪.OS‬‬
‫‪‬‬
‫תגובת ‪ a2‬צפויה להיות מהירה יותר מתגובת ‪ a3‬כי ל ‪ a3‬יש קוטב ב ‪ -2.9‬ש ל ‪ a2‬אין (וכך נבדיל בין ‪ b3‬ל ‪.) b4‬‬
‫‪5‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫איור ‪ :1‬המערכת בשאלה ‪3‬‬
‫נתונה המערכת שבאיור ‪ .1‬למיכל נכנס נוזל עם ספיקה נפחית ]‬
‫הנוזל במיכל הינו‬
‫]‬
‫[ ) ( ושטח החתך של המיכל הוא‬
‫‪ .‬הקשר (בקירוב ליניארי) בין הספיקה היוצאת לבין‬
‫) ( ‪ .‬הכניסה מוגדרת כ ) (‬
‫הגובה במיכל נתון ע"י ) (‬
‫) ( ‪ .‬נתונים מספריים‪] :‬‬
‫]‬
‫[‬
‫[) (‬
‫[‬
‫]‬
‫[‬
‫‪ ,‬ויוצאת ספיקה ]‬
‫[) (‬
‫‪ .‬גובה‬
‫) ( והיציאה מוגדרת כ‬
‫) (‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את המשוואה הדינמית ומצאו את פונקציית התמסורת ) ( של המערכת‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 3‬סעיף א'‬
‫מאזן ספיקות (שימור נפח הנוזל במיכל) והקשר להתנגדות השסתום‪ ,‬הם‪:‬‬
‫‪h t ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪qin  t   qout  t   Ah  t  , qout  t  ‬‬
‫נציב את הגדרת הכניסה והיציאה‪ ,‬נפעיל התמרת לפלס ונקבל‪:‬‬
‫‪u t   y t ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ Ay  t   ARy  t   y  t   u  t  ‬‬
‫‪s ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ARs  1‬‬
‫קיבלנו מערכת מסדר ראשון עם קבוע הזמן ‪.   AR  5sec‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫ב‪ .‬תכננו בקר כך שהחוג הפתוח יתנהג לפי מודל הייחוס‪:‬‬
‫‪,   0.8‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ s   Tr  s   2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪s  2n s  n2‬‬
‫‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 3‬סעיף ב'‬
‫התהליך אמנם יציב אך קבוע הזמן גדול וצפויה תגובה איטית‪ ,‬ואילו אנו מעוניינים שהמערכת תגיע לגובה מסוים בזמן‬
‫קצר‪ .‬לכן מבקרים את המערכת עם מודל ייחוס (היפוך מקורב של התהליך) שמאפשר שליטה על מהירות התגובה‪.‬‬
‫‪n2  s  1‬‬
‫‪. C  s   Tr  s  P  s   2‬‬
‫הבקר יהיה מהצורה‪:‬‬
‫‪s  2n s  n2‬‬
‫‪1‬‬
‫את הפרמטר ‪ n‬נבחר כרצוננו על מנת להאיץ את התגובה‪ .‬באיור ‪ 2‬נתונות תגובות מדרגה של המערכת המבוקרת עם‬
‫הבקר הנ"ל עבור ערכי ‪ n‬שונים‪.‬‬
‫‪Step Respone‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫)‪Without C(s‬‬
‫‪n = 1‬‬
‫‪0.4‬‬
‫)‪Output, y(t‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪n = 2‬‬
‫‪n = 4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪n = 8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪Time, t (seconds‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫איור ‪ :2‬תגובות המערכת בחוג פתוח לכניסת מדרגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬בדקו כיצד זירוז התגובה משפיע על מאמץ הבקרה‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 3‬סעיף ג'‬
‫נצייר את תגובת אות הבקרה עבור ערכי ‪ n‬הנ"ל וכן את מפת הקטבים של הבקר (איור ‪.)3‬‬
‫‪7‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪Step Respone‬‬
‫‪18‬‬
‫‪n = 1‬‬
‫‪n = 2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪n = 1‬‬
‫‪14‬‬
‫‪n = 2‬‬
‫‪n = 8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪n = 4‬‬
‫‪n = 8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪Time, t (seconds‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-5‬‬
‫)‪Real Axis (seconds -1‬‬
‫איור ‪ :3‬ימין – מאמץ הבקרה בתגובה לכניסת מדרגה‪ ,‬שמאל – מפת קטבים ואפסים של ‪u/r‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן לראות כי ככל שהפרמטר‬
‫שנדרש להכניס למיכל) גדול יותר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫גדול יותר‪ ,‬כך הקטבים של הבקר‪ ,‬שהם גם הקטבים של ) ( ‪ ,‬רחוקים יותר מהראשית ולכן‬
‫כמו כן‪ ,‬ככל ש‬
‫גדל‪.‬‬
‫נהיה יותר ויותר דומיננטי ולכן ה‪-‬‬
‫התגובה מהירה יותר‪ .‬מאידך‪ ,‬האפס‬
‫גדול יותר‪ ,‬כך התגובה מהירה יותר אך מאמץ הבקרה הנדרש (הספיקה‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫איור ‪ :4‬המערכת בשאלה ‪4‬‬
‫באיור ‪ 4‬נתונה מערכת הכוללת שתי משקולות בעלות מסה ‪ m  1 kg ‬אשר קשורות על ידי חוט העובר דרך גלגלת‪.‬‬
‫המשקולת השמאלית מחוברת לחוט דרך קפיץ בעל קבוע ‪ . k  1 N m‬כפי שמתואר בציור‪ ,‬קיים מגע בין המשקולות‬
‫כאשר מקדם החיכוך הויסקוזי במגע זה הוא ‪ . c  0.5 N sec ‬תזוזת המשקולת הימנית מסומנת ב ‪ u‬ומוגדרת ככניסה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫תזוזת המשקולת הימנית מסומנת ב ‪ y‬ומוגדרת כיציאה‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫)‪Imaginary Axis (seconds-1‬‬
‫‪12‬‬
‫)‪Control Effort, u(t‬‬
‫‪n = 4‬‬
‫‪Pole-Zero Map‬‬
‫‪8‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0.5s  1‬‬
‫ניתן להראות שהמערכת מתוארת על ידי התמסורת‬
‫‪s  2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪s  0.5s  1‬‬
‫‪. P s ‬‬
‫א‪ .‬ציירו את תגובת המדרגה של התהליך‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 4‬סעיף א'‬
‫למערכת קיים אפס ימני‪ ,‬לכן בתגובת המדרגה נקבל ‪ ,undershoot‬כמתואר באיור ‪.5‬‬
‫‪Step Response‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪25‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.2‬‬
‫)‪Time (seconds‬‬
‫איור ‪ :5‬תגובת מדרגה של התהליך בשאלה ‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬מציעים לבקר את התהליך בחוג פתוח עם מודל ייחוס‬
‫‪ s   Tr1  s  ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ s 1‬‬
‫והאם ניתן להשתמש בו?‬
‫‪ .‬איזה בקר יענה על הדרישה‬
‫פתרון שאלה ‪ 4‬סעיף ב'‬
‫‪s 2  0.5s  1‬‬
‫הבקר שיענה על הדרישה הוא‪:‬‬
‫‪ s  1 0.5s  1‬‬
‫‪. C  s   Tr1  s  P 1  s  ‬‬
‫בקר זה סיבתי אך לא יציב‪ ,‬לכן לא ניתן להשתמש בו בחוג פתוח‪ .‬נקבל התבדרות של אות הבקרה למרות שהיציאה‬
‫מתנהגת לכאורה על פי מודל הייחוס‪.‬‬
‫‪n2  0.5s  1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .  s   Tr 2  s   2‬תכננו בקר שיענה על הדרישה וציירו את‬
‫ג‪ .‬כעת מודל הייחוס הרצוי הינו‬
‫‪r‬‬
‫‪s  2n s  n2‬‬
‫תגובת המדרגה של המערכת עבור ‪   2‬ו ‪. n  1, 2‬‬
‫‪9‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 4‬סעיף ג'‬
‫האפס הימני מופיע במודל הייחוס ולכן הבקר לא צריך לצמצם אותו‪ .‬נקבל בקר יציב‪:‬‬
‫‪s 2  0.5s  1‬‬
‫‪s 2  2n s  n2‬‬
‫‪ n2‬‬
‫‪. C s‬‬
‫‪Step Response‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪w n=1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪w n=2‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪20‬‬
‫‪25‬‬
‫‪10‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.2‬‬
‫)‪Time (seconds‬‬
‫‪Step Response‬‬
‫‪4‬‬
‫‪w n=1‬‬
‫‪w n=2‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Time (seconds‬‬
‫איור ‪ :6‬עליון – תגובת מדרגה של ‪ ,y/r‬תחתון – אות הבקרה (תגובת ‪)u/r‬‬
‫מהגרפים רואים כי דרישת תגובה מהירה יותר גוררת ‪ undershoot‬גדול יותר (האפס הימני יותר דומיננטי עבור‬
‫קטבים רחוקים יותר מהראשית) ומאמץ בקרה גדול יותר‪.‬‬
‫‪10‬‬