Matematicke-fyzikalni-a-chemicke

MATEMATICKÉ,
FYZIKÁLNÍ
A CHEMICKÉ
TABULKY
pro střední školy
SPN
P E R I O D I C K Á SOUSTAVA PRVKŮ
1
IA
1
1,0079
Vodík
H
2,20
2
II A
ls 1
3
6,941 +
Lithium
Li
0,97
22,990
Sodík
Be
39,098
K
12
0
3,50 —
Elektronegativita podle
Allreda a Rochowa.
1
Konfigurace elektronů, které má atom prvku navíc proti
atomu nejbližšlho předchozího vzácného plynu. U vo­
díku a helia je uvedena úplná elektronová, konfigurace.
24,305
1,23
20
40,08
Vápník
0,91
4s1
3
III B
Ca
1,04
4s2
85,468
38
21
Titan
Ti
1,20
39
Rb
Sr
Y
5s1
0,99
5s2
132,91
Cesium
56
137,33
6s1
Ba
0,97
6s2
(223,02)
8i!
(226,03)
Radium
Fr
Ra
0,86
7s>
91,22
Zr
1,22
41
92,906
1,23
72 178,49 +
73
Hafnium
Tantal
138,91
La
1,08
89
(227,03)
Ac
Hf
1,23
180,95
Ta
1,33
95,94
Mn
1,60
Mo
1,30
27
Železo
Kobalt
Fe
1,64
3d‘4s2
44 101,07 +
45
Ruthénium
Rhodium
Tc
1^6
Ru
1,42
Wolfram
Rhenium
Osmium
Re
Os
104
105
106
1,70
43 (97,907)
75
4 f145d46ss
Co
Technecium
74 183,85 +
1,40
58,933
3d74s2
4d*5s*
W
9
VIII
26 55,847 +
4d*5s1
4 f145d36s*
(262)
54,938
3d64s2
4 fl45d26s2
(261)
25
H
VIII
4d75s»
186,21
1,46
4 f145d86s2
76
102,91
Rh
1,45
4d95s1
190,2
77 192,22 +
Iridium
1,52
4 fl45d, 6s*
Ir
1,55
4f145d76s2
(263)
Unnilquadium Unnilpentium Unnilhexium
1,00
6dl7s2
U nq
U np
U nh
5fl46d27s2
5 fH 6 ď W
5f146d47s2
58
140,12
| Cer
L a n th a n o id y
A k tin o id y
1,56
42
7
VII B
Mangan
Cr
Molybden
Nb
57
51,996
SďHs1
Niob
4d45sJ
Aktinium
0,97
1,45
4 d 25s2
5d!6s2
Francium
40
24
Chrom
V
4d*5s2
Lanthan
Baryum
0,86
50,942
3d84s2
Zirkonium
1,11
23
Vanad
13 2
3d24s2
88,906
Yttrium
«
VI B
.•»
VB
47,88 +
Sc
Sd^2
87,62
22
Skandium
Stroncium
0,89
4
IV B
44,956
Rubidium
7s»
—
2s22p4
3sJ
Draslík
87
Značka
1,47
1,01
3s1
Cs
— Kyslík
Hořčík
Na
55
Název prvku
Relativní atomová hmotnost (interval spo­
lehlivosti ± 1 a menSÍ na posledním dese­
tinném mlstč nebo ± 3 , je-li uvedeno ozna­
čení + ) j v závorce je uvedena hodnota Ar
nej stálejšího izotopu.
15,999 —
2sa
11
37
9,0122
— 8
Beryllium
2s1
19
4
Protonové číslo
59
140,91
Praseodym
Ce
1,06
Pr
1,07
60 144,24 +
61
Neodym
Promethium
Nd
1,07
Pm
(144,91)
1,07
62 150,36 +
63
Samarium
Europium
Sm
1,07
4 f25d°6sa
4 fa5d°6s2
4 f45d»6s2
4 f85d°6s2 .
4f«5d»6s2
90
91
92
93
94
232,04
(231,04)
Thorium
Protaktinium
Uran
Th
Pa
U
1,11
5f°6d27s2
S f^ d W
1,14
238,03
1,22
5 f36d17s2
(237,05)
(244,06)
Eu
151,96
1,01
4 f75d°6s2
95
(243,06)
Neptunium
Plutonium
Americium
Np
Pu
Am
1,22
5f46di7s*
1,22
5f*6d°7s2
5 f76d°7sa
1,2
18
O
2
4,0026
Helium
14
IV A
13
III A
5
10,81
Bor
2,01
2s22p1
13
26,982
28
58,69
Nikl
Ni
1,75
3d84s2
46
29 63,546 +
30
Méd
Zinek
Cu
1,75
3di<>4s1
106,42
47
107,87
Palladium
Stříbro
Pd
Ag
1,35
4d105s°
1,42
4d105s1
78 195,08 +
79
Platina
Zlato
Pt
1,44
4f145d96s1
Au
1,42
4 f145d106sl
64 157,25 +
65
Gadolinium
Terbium
Gd
l,ii
Tb
158,93
1,10
31
69,72
Zn
1,66
Ga
1,82
3d104s2
3d104s24p1
48
49
112,41
114,82
Kadmium
Indium
Cd
In
1,46
28,086
Si
32
4d105s25pl
1,74
72^9 +
3d104s24p2
50
Sn
81
Olovo
TI
Pb
4 f145d106s2
1,44
66 162,50 +
67
Holmium
1,10
207.2
3d104s24p3
121,75 +
Sb
1,82
208,98
Bismut
1,55
Bi
1,67
4,10
Se
2,48
35,453
Cl
2,83
Br
126,90
2,21
4d105s25ps
(209,99)
Astat
Po
At
1,96
Ho
164,93
1,10
68 167,26 +
69
Erbium
Thulium
Er
1,11
Tm
168,93
1,11
70 173,04 +
71
Ytterbium
Lutecium
Yb
1,06
Lu
174,97
1,14
4f*5d°6s2
4 f105d°6ss
4 fll5d°682
4 f135d°6s2
4 f135d°6s2
4 f145d°6s2
4 f145d16s2
96
97
98
99
100 (257,10)
101 (258,10)
102 (259,10)
103 (260,11)
(247,07)
(251,08)
(252,08)
Curium
Berkelium
Kalifornium
Einsteinium
Fermium
Mendelevium Nobelium
Lawrencium
Cm
Bk
Cf
Es
Fm
Md
No
Lr
5f76d17s2
5f"6d07s2
5f106d°7s2
SfH ód^s2
5 f126d°7s2
5 f136d°7s2
5 f146d°7s2
5f»46d‘7s2
'
3d104s24p®
54 131,29 +
Xe
4d105s25p‘
86
(222,02)
Radon
4f75dl6s2
(247,07)
Kr
Xenon
I
85
83,80
Krypton
2,74
Polonium
1,76
A
36
79,904
Jod
(208,98)
39,948
35
53
84
18
3s23pe
52 127,60 +
4d105s25p4
Ne
3s23p6
3d104s24ps
2,01
20,179
Argon
3d104sa4p4
Te
10
2s22p«
Brom
Tellur
4d105s25p3
83
78,96 +
ls 2
Neon
F
17
He
Rn
4 f145d106s26p1 4f145d106s26p2 4 f145d106s26p3 4 f145d106s26p< 4 fl45d106s26p5 4 f145d106s26p®
Dysprosium
Dy
82
2,44
Selen
Antimon
4d105s25p2
S
34
2,20
18,998
Chlor
33
74,922
9
2s22p5
32,06
3s23p4
118,69 51
1,72
3,50
16
17
VII A
Fluor
Síra
2,06
As
Thallium
1,44
P
O
3s33p8
Ge
2,02
15,999
2s*2p4
30,974
Arsen
80 200,59 +
Hg
3,07
Germanium
Rtuť
204,38
N
15
8
Kyslík
Fosfor
Cín
1,49
14,007
2sa2p3
3s23p2
Gallium
4d105sa
196,97
1,47
3sa3p1
65,38
2,50
Křemík
AI
12
II B
C
14
7
16
VI A
Dusík
2s32pa
Hliník
11
I B
12,011
Uhlík
B
10
VIII
6
15
VA
STÁTNÍ
PEDAGOGICK É
NAKLADATELSTVÍ
PRAHA
MATEMATICKÉ,
FYZIKÁLNÍ
A CHEMICKÉ
TABULKY
pro střední školy
STÁTNÍ
PEDAGOGICKÉ
NAKLADATELSTVÍ
PRAHA
Zpracovali
RN D r. Jiři Mikulčák, CSc. (matematickou část),
doc. RNDr. Ing. Bohdan Klimeš, CSc., RNDr. Jaromír Široký, CSc.,
RNDr. Václav Sůla, RN D r. František Zemánek (fyzikální a chemickou část)
Lektorovali RN D r. Vladimír Roskovec, CSc., doc. RNDr. Josef Pacák, CSc.,
JU D r. Jaroslav Barták
D o tisk 1. vydání
Schválilo ministerstvo školství ČSR dne 1. června 1987 č. j. 15 084/87-210 jako po­
mocnou knihu pro studijní obory středních škol.
© Jiří Mikulčák za kolektiv, 1988
OBSAH
P ře d m lu v a ............................................................................................
MATEMATICKÉ
9
TABULKY
1 M atem atické z n a č k y .........................................................................13
1.1 Užití typů latinské a b e ce d y ......................................................... 13
1.2 Řecká abeceda................................................................................ 13
1.3 Logika, množiny.............................................................................14
1.4 Aritmetika a a lg e b ra .....................................................................15
1.5 G e o m e trie .................................................................................... 18
2 P řehled nejdůležitějších vzorců a vztahů školské m atem atiky .
20
Úvod do matematické logiky a teorie m n o ž i n ........................... 20
2.2 Aritmetika a a lg e b ra .....................................................................21
1 Vlastnosti rovnosti č í s e l ......................................................... 21
2 Vlastnosti operací sčítání a násobení...................................... 22
3 Komplexní č í s l a ..................................................................... 22
4 Reálná č í s l a .............................................................................23
5 Mocniny a rozklad mnohočlenů..............................................26
6 Rovnice s jednou n e z n ám o u ..................................................27
7 Posloupnosti.............................................................................28
8 Kombinatorika.........................................................................30
9 Statistika a pravděpodobnost..................................................30
10 Goniometrické funkce............................................................. 32
2.3 Planimetrie a trigonom etrie......................................................... 34
2.4 S tereo m etrie................................................................................ 38
2.5 Vektorová a lg e b ra .........................................................................40
2.6 Analytická geometrie.....................................................................41
1 Lineární útvary v rovině a v p ro s to ru ...................................41
2 Kvadratické útvary v rovině a v prostoru...............................44
2.7 Diferenciální a integrální p o č e t ..................................................47
1 Derivace f u n k c e ..................................................................... 47
2 Primitivní funkce..................................................................... 48
3 Určitý in teg rál......................................................................... 49
2.1
3 O tabulkách f u n k c í.............................................................................50
3.1 Tabelování hodnot funkce............................................................. 50
3.2 Lineární interpolace f u n k c í......................................................... 51
3.3 Vyhledání hodnoty prom ěnné..................................................... 52
3.4 Aproximace čísel a výpočty s n i m i ..............................................52
3.5 Grafy funkcí a jejich u ž ití............................................................. 54
3.6 Úprava ta b u le k .............................................................................54
4 Různá č í s l a ........................................................................................55
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Rozklad čísel v součin p rv o čísel..................................................57
Hodnoty a logaritmy hodnot některých k o n sta n t....................... 61
F a k to riá ly .................................................................................... 61
Binomičtí součinitelé.....................................................................62
Mocniny čísla 2 ............................................................................ 62
5
I
4.6 Pravidelné m nohoúhelníky..........................................................63
4.7 Formáty p a p ír u ............................................................................. 63
5 Funkce x2, x ? .........................................................................................64
5.1 Druhá mocnina a o d m o cn in a ...................................................... 66
5.2 Třetí mocnina a odm ocnina..........................................................68
6 Převody jednotek velikostí ú h l ů ......................................................71
6.1 Převod stupňů na radiány..............................................................74
6.2 Převod stupňů na g r a d y ..............................................................75
6.3 Převod stupňů na d ílc e ................................................................. 76
6.4 Převod minut a vteřin na desetinné zlomky s tu p n ě ................... 76
7 G oniom etrické funkce.........................................................................77
7.1 sin a, cos a .................................................................................... 80
7.2 tg a, cotg a .................................................................................... 82
7.3 sin x ( i v radiánech)..................................................................... 86
7.4 cos x (x v radiánech)..................................................................... 87
7.5 tg x ( x v rad ián ech )..................................................................... 88
7.6 cotg x (jí v rad iá n ec h )................................................................. 88
8
Funkce e®, crx .....................................................................................90
9 L o g a r itm y ............................................................................................ 92
9.1 Přirozené logaritmy č í s e l ..............................................................94
9.2 Logaritmy dekadické..................................................................... 95
FYZIKÁLNÍ
A CHEMICKÉTABULKY
Ú v o d ............................................................................................................101
Některé státní normy (ČSN) důležité pro fyziku a ch e m ii....................... 102
1 Základní jednotky.................................................................................103
2 Zákonné měřicí jednotky..................................................................... 104
3 Definice některých jednotek .............................................. ...
104
4 Přehled veličin, značek a hlavních jed n o te k ...................................... 106
5 Násobky a díly je d n o te k ..................................................................... 109
6 Vedlejší je d n o tk y .................................................................................110
7 Jiné jednotky........................................................................................ 110
8 Mezinárodní praktická teplotní stupnice (1968)...................................112
9 Řady vyvolených č í s e l ......................................................................... 113
10 Acidobazické neutralizační indikátory.................................... . . . 1 1 4
11 Disociační konstanty kyselin a zásad ve vodných roztocích při 25 °C . 115
12 Součiny rozpustnosti látek při teplotě 25 °C ve vodných roztocích . . 117
13 Prvky a jejich v la s tn o s ti..................................................................... 118
14 Obsazení elektronových podslupek v a to m e ch ...................................121
15 Stabilní nuklidy a jejich v ý s k y t..........................................................124
16 Nejdůležitější elementární č á s tic e ......................................................127
17 Hmotnostní schodky jader některých p rv k ů ...................................... 128
18 Radioaktivní přeměnové ř a d y ............................................................. 129
19 Hustota, součinitel teplotní délkové roztažnosti a měrná tepelná ka­
pacita některých prvků při teplotě 20 ° C .......................................... 131
6
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
Vlastnosti důležitých anorganických sloučenin...................................132
Vlastnosti důležitých organických sloučenin...................................... 134
Hustoty pevných lá te k .........................................................................138
Mechanické vlastnosti pevných lá te k ..................................................139
Tvrdost některých l á t e k ..................................................................... 140
Tepelná vodivost některých pevných l á t e k ...................................... 141
Složení některých s l i t i n .....................................................................141
Rozpustnost pevných látek ve v o d ě ..................................................142
Měrné spalné teplo a výhřevnost p a l i v .............................................. 143
Termochemické ú d a je .........................................................................144
Délky, úhly a disociační entalpie vazeb v některých jednoduchých
molekulách............................................................................................ 147
Hustota, dynamická viskozita, tepelná vodivost, objemová roztažnost
a povrchové napětí kapalin při 20 °C .................................................. 149
Závislost tlaku a hustoty sytých vodních par na te p lo tě ................... 150
Závislost teploty varu vody na t l a k u ..................................................151
Tepelné konstanty k ap alin ................................................................. 152
Molární hmotnosti, normální hustoty a měrné plynové konstanty
p l y n ů ................................................................................................... 153
Tepelné konstanty p ly n ů .....................................................................154
Rozpustnost plynů ve vodě za normálního t l a k u ...............................155
Střední volná dráha molekul a jiné konstanty p l y n ů ....................... 155
Střední kvadratická rychlost pohybu molekul p l y n ů ....................... 156
V z d u c h ................................................................................................157
Rychlost šíření zvuku v různých l á t k á c h .......................................... 159
Přehled hladin akustického tlaku......................................................... 160
Temperované lad ěn í............................................................................ 160
Součinitelé smykového t ř e n í ............................................................. 161
Ramena valivého o d p o ru .....................................................................161
Měrný elektrický odpor v o d ič ů ......................................................... 162
Elektrické vlastnosti iz o la n tů ............................................................. 163
Termoelektromotorická napětí ......................................................... 164
Polovodivé prvky a lá tk y .....................................................................165
Elektrochemické ekvivalenty................................................................. 165
Standardní elektrodové potenciály při 25 °C vztahující se ke stan­
dardní vodíkové e le k tro d ě .................................................................166
Měrný elektrický odpor vodných roztoků při 18 ° C ....................... 167
Závislost magnetické indukce a poměrné permeability na intenzitě
magnetického pole................................................................................ 167
Magnetické permeability neferomagnetických lá te k ...........................168
Přehled televizních pásem..................................................................... 168
Přehled elektromagnetického z á ř e n í ..................................................169
Doporučená o s v ě tle n í.........................................................................170
Vlnové délky některých intenzivních čar ve spektrech....................... 171
Index lomu různých l á t e k ................................................................. 172
Ionizační práce volných a t o m ů ................... ^ ..................................173
Výstupní práce elektronů z kovů; mezní vlnové aélky fotoelektrického
je v u ....................................................................................................... 174
Závislost hmotnosti částice, hmotnosti a energie elektronu na rychlosti 175
Energie a hmotnosti fo to n ů ................................................................. 176
Slunce, Země, Měsíc.............................................................................177
Elementy trajektorií p la n e t................................................................. 178
Fyzikální charakteristiky p l a n e t ..........................................................178
Měsíce planet........................................................................................ 179
7
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
8
Údaje o některých významných p lanetkách...................................... 180
Některé komety a meteorické r o j e ......................................................181
Paralaxy a vzdálenosti blízkých hvězd..................................................181
Spektrální klasifikace hv ězd................................................................. 182
Základní fyzikální charakteristiky h v ě z d .......................................... 182
Galaxie (galaktická so u stav a)............................................................. 183
Místní skupina g a la x ií.........................................................................183
V e s m í r ................................................................................................184
Některé důležité astronomické k o n stan ty .......................................... 184
Přehled důležitých fyzikálních konstant.............................................. 185
Přehled důležitých fyzikálních vzorců .............................................. 186
Přehled vzorců pro chemické výpočty..................................................197
Značky pro elektrotechnická s c h é m a ta .............................................. 200
Rejstřík .............................................................................................. 203
PŘEDM LUVA
V technické praxi i ve všech védních oborech se při řešení problémů často
vyskytují různé konstanty, údaje, hodnoty určitých funkcí apod. Není možné
a ani nutné si všechny potřebné hodnoty pamatovat. Na pomoc řešitelům se
takové hodnoty zpracovávají do tabulek, aby se uspíšilo řešení daného problému.
I na středních školách se řeší řada úloh z matematiky, fyziky, z astronomie,
z chemie i z jiných vědních oborů, jejichž řešení usnadňují předkládané ta­
bulky.
Tabulky obsahují přehled nejdůležitějších matematických značek, se kterými
se mohou studující setkat při studiu učebnic a doplňkové literatury. U každé
značky je uvedeno její čtení a její význam je doložen vhodným příkladem.
Důležitou pomůckou studentů se dále stane přehled vzorců středoškolské
matematiky. Radu vzorců si studující osvojí jejich častým užíváním; nahlédnu­
tím do vzorců se mohou přesvědčit o správnosti zapamatování vzorce. Na druhé
straně není třeba učit se zpaměti vzorcům, kterých se užije dvakrát nebo třikrát
za studia. V takovém případě stačí vědět, kde se vzorce naleznou a umět jich
správně použít. U vzorců je uvedeno i vysvětlení užitých symbolů, často však
jen pomocí obrázku.
Před vlastními tabulkami jsou vysvětleny základní principy sestavování ta­
bulek funkcí a jejich užívání. Prostudování těchto vysvětlivek usnadňuje uvědo­
mělé užívání tabulek a porozumění stručnějším vysvětlivkám před jednotlivými
tabulkami.
V první části matematických tabulek jsou uvedeny čtyřmístné hodnoty
funkcí. Těchto tabulek se užívá při přímých výpočtech pomocí algoritmů pí­
semného sčítání, odčítání, násobení a dělení a při výpočtech pomocí strojů.
Protože většina údajů v úlohách z praxe má tři platné číslice, jsou čtyřmístné
tabulky dostatečně přesné k výpočtu výsledků těchto úloh.
Tabulky logaritmů ve druhé části tabulek urychlují výpočty hodnot výrazů
s násobením, dělením, umocňováním a odmocňováním, není-li po ruce počí­
tačka.
Fyzikální a chemické tabulky nejsou navzájem odděleny, protože se v mnoha
případech překrývají a doplňují. Členění tabulek do menších oddílů je dáno
jejich obsahem.
K snazšímu hledání v tabulkách jsou na okrajích stránek postupně pod sebou
otištěny výhmatky se stručným označením tabelované funkce nebo skupiny
tabulek.
Přejeme všem uživatelům tabulek, aby je během studia poznali jako užiteč­
nou a nepostradatelnou pomůcku, usnadňující řešení úloh nejen v matematice,
ve fyzice, v chemii, ale i v dalších oborech, a to jak ve škole, tak i v praktické
činnosti.
Autoři
9
Značky
m
3
Míry
úhlů
sin x
tg x
ex
log x
/
1 MATEMATICKÉ
ZNAČKY
Značky
Nejdůležitější značky užívané v matematice jsou normovány normou ČSN 01 1001 Matematické značky.
Terminologie, jíž se užívá zejména ve školním vyučování, je předepsána příručkou „Názvy a značky školské
matematiky“. Tyto značky a termíny jsou uvedeny na prvním místě. Značky a starší termíny uvedené v tomto
přehledu v závorce poněkud přesahují rámec učiva střední školy; přehled obsahuje i značky užívané v od­
borné literatuře a v populárně vědeckých časopisech, jsou uvedeny i značky obvyklé v zahraniční literatuře.
V závorce za výkladem značky je stránka tabulek, na níž je další poučení o příslušném pojmu.
1.1 U žití ty p ů latin sk é abecedy
(stojaté písmo) jsou symboly pro konstanty, např. značky jednotek (m, g, k g ,...)
a definované funkce (sin, cos, tg, log,...)
(kurzíva, šikmé písmo) jsou symboly pro proměnné, body a přímky, výroky,
prvky množin, funkce
(gill polotučný kurzíva) jsou symboly pro vektory, orientované úsečky, matice
A, a, B, b, C, c , ...
A,a, B, b, C, c, ...
A, o, B, fa, C, c, ...
A,B,C,
T, R, S, 0, H,
(stojatý gill) jsou symboly pro množiny
...
(kurzíva gill) jsou symboly pro geometrická zobrazení
1.2 Řecká abeceda
Křížkem označená písmena se neužívají, aby se nezaměňovala s písmeny latinské abecedy.
Písmo
Název
stojaté
+A
+B
r
A
+E
+Z
+H
0
+1
a
ß
Y
8
£
Ç
r\
&
i
+K X
A X
+M V-
a
ß
y
ô
e
n
v
9
i
X
l
Název
stojaté
kurzíva
+A
+B
r
A
+E
+Z
+H
0
+/
+K
A
+M
Písmo
Číslo
alfa
béta
gamma
delta
epsilon
(d)zéta
éta
théta
(i)ióta
kappa
lambda
mý
1
2
3
4
5
7
8
9
10
20
30
40
+N v
S
+o +o
n Tt
+p
?
a
2
+T X
+Y +0
O 9
+x X
r
+
0
O)
Číslo
kurzíva
+ÍV v
E 1
+ 0 +0
n 71
+p Q
z a
+T X
+Y +v
0 <p
+-X X
ip
Q U)
ný
ksí
omikron
Pí
ró
sigma
tau
ypsilon
fí
chí
psí
ómega
50
60
70
80
100
200
300
400
500
600
700
800
Chybějící čísla 6, 90, 900 se zapisovala zastaralými písmeny; od 1 do 999 se číslice označovaly písmeny
s čárkou nahoře: a ' = 1; pro tisíce se užívala stejná písmena, ale s čárkou dole před písmenem: ,a = 1 000.
Na lince mají malá písmena normalizované řecké abecedy tuto polohu:
aß
jtço r(p ipu
13
1.3
Logika, m nožiny
Značka
Název nebo čtení
Příklady, vysvětlivky, doplňky
p, q, A, B
výroky
p: Trojúhelník ABC je pravoúhlý.
~l P
ÍP\ h
negace výroku p
non p
~]p: Trojúhelník ABC není pravoúhlý.
Není pravda, že ¿\ABC je pravoúhlý.
konjunkce
p a zároveň i q
P et q;
p: x < 1; q: x ^ 0
p a q: Pro číslo * platí:
x < 1 a zároveň (současně, přitom) i x Sí 0; je tedy
0 £ x < 1.
p: A ABC je pravoúhlý;
q: A ABC je rovnoramenný;
p v q: A ABC je pravoúhlý nebo rovnoramenný; to
znamená: A ABC je jen pravoúhlý nebo jen rovno­
ramenný nebo pravoúhlý i rovnoramenný současně.
Je-li číslo dělitelné devíti, pak je dělitelné i třemi.
p předpoklad, q tvrzení
p je postačující podmínkou pro q;
q je nutnou podmínkou pro p.
Np)
p a q
(p&q>
p . q , Kpq)
pv q
(P + q, Apq)
p=> q
(p-+ q>
p => q)
disjunkce
p nebo q;
p vel q
(u některých autorů
alternativa)
implikace
p implikuje q;
z p plyne q',
jestliže platí p, pak platí i q
q>
P = q>
p~q>
Epq)
ekvivalence;
p platí tehdy a jen tehdy,
když platí q\
p platí právě tehdy,
když platí q
Číslo je dělitelné šesti, právě když je zároveň dělitelné
dvěipa i třemi.
p je nutnou i postačující podmínkou pro q
(a obráceně).
(p y q)
úplná disjunkce
Platí jen p nebo jen q, ale neplatí p i q současně (str. 20).
Vx
(£;
(*))
kvantifikátor obecný,
univerzální;
pravšechna x platí...
V x > 0 ; x + — ^>2 čteme:
*
1
Pro všechna x > 0 platí x -\-----> 2.
x
V a e R, V b e R; (a + b) (a — b) = a 2 — b2.
3x
(V; S.s
(E*))
kvantifikátor existenční;
pro některá x;
existuje aspoň jedno x,
pro které platí...
3x > 0; x + — = 2 čteme: Existuje aspoň jedno x > 0,
x
1
pro které platí x -|---- = 2 .
3!
kvantifikátor existenční
s jednoznačností;
existuje právě jeden
3! x; x + 2 = 5 čteme:
Existuje právě jedno x takové, že x + 2 = 5.
p o q
X
Značka
Název nebo čtení
Příklady, vysvětlivky, doplňky
A = {a, b, c}
zápis množiny
dané výčtem prvků
A = {a, b, c} je zápis množiny, která obsahuje prvky
a, b, c a žádné jiné.
{xeR; V(x)}
množina všech reálných
čísel, která vyhovují V(x)
{xeR ; x2 — 4 = 0} = {2, —2}
e
je prvkem;
je elementem
2 e {2, 3, - 4 , 8}
i
(i)
není prvkem;
není elementem
prázdná množina
- 3 ¿{2, 3 , - 4 , 8}
0
{x e R; x + 1 = x} = 0
M c N: množina M je podmnožinou množiny N.
{2, 4} <= {1, 2, 4}
M U N: sjednocení množiny M a množiny N.
{2, 3} U {1, 3} = {1, 2, 3}
M n N: průnik množiny M s množinou N.
{2, 3, 4} n {1, 2, 3} = {2, 3}
M = {1,2,3,4}, N = {1, 3, 5}
M - N = {2, 4}
A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, 3},
A A B = (A — B) U (B — A) = {1, 4}
c
inkluze;
je částí; je podmnožinou
U
sjednocení
n
průnik
M -N
rozdíl M a N
A
symetrický rozdíl množin
U Ai
í-i
sjednocení systému množin
Ai, A2, ..., A„
(JA< = Ax U A2 U ... U A„
¿-i
HA,
í-1
průnik systému množin
Ai, A2, ..., An
('I Ai — Ai n A2 n ... n An
•-i
Ab
doplněk množiny
A v množině B
počet prvků množiny A
Je-li A c B , pak Ag = B — A.
1A |
Ax B
kartézský součin
množin A a B
Značky
A = {a, b, c}, | A | = 3
množina všech uspořádaných dvojic [x,y] takových, že
x e A a zároveň y e B
1.4 A ritm e tik a a a lg e b ra
N
Z
Q
R
C
množina všech
- přirozených čísel
- celých čísel
- racionálních čísel
- reálných čísel
- komplexních čísel
rovnítko;
rovná se;
je rovno
No = N U {0} = Zjf
Zó = {x e Z ; í g O }
Qjf = { x e Q ; x 2: 0 }
R~ = {x e R; x < 0}
(viz str. 22)
3 .5 = 15
15
Značka
Název nebo čtení
Příklady, vysvětlivky, doplňky
není rovno;
nerovná se;
je různé od
3#5
kongruence
je po zaokrouhlení rovno
a = b (mod tri) a je kongruentní s b podle modulu m
Značky
je přibližně rovno
<
odpovídá
je menší než
>
je větší než
je menší nebo rovno
je nejvýše rovno
je větší nebo rovno
je nejméně rovno
je mnohem (řádově)
menší než
je mnohem (řádově)
větší než
637 = 640
4 400 « 5 000
1 cm ^ 1 km (např. na mapě)
-3 <5
x>0
12 ^ 12, x ^ 100
1000
2 <200
5 000 > 5 0 0
O
závorky
- okrouhlé
t]
- hranaté
[3, 2] souřadnice bodu; uspořádaná dvojice, např.
komplexní číslo
{}
< >
- složené
{2, 3} množina, která má prvky 2 a 3
označení pořadí početních výkonů
5 . [ 3 a - (2a — b)]
(a»)“_i posloupnost členů a„ nebo (a«; n = 1, 2,...),
n \°°
1 2
3
~ n + í ) n ,ie P°slouPnost i } , j ,
(
<>
- úhlové
uzavřený interval
O
otevřený interval
o
polouzavřený interval
<a, b) ... a
zleva neomezený
(— oo, b) ... x < b
<a, + oo)... x ^ a
0,2
zprava neomezený
periodická čísla
0 celá, dvě periodické
0,2 = 0,222 2 ...
0,643
0 celá, 643 periodických
0,643 = 0,643 643 ...
0,328
0 celá, 3 desetiny,
28 periodických
0,328 = 0,328 28...
3.14
5.6E + 04
v počítačích a počítačkách
v počítačích a počítačkách
zápis čísla v semilogaritmickém tvaru
16
{a, by ... a ^ x ^ b
(a, b) ... a < x < b
x < b, zleva uzavřený, zprava otevřený
čísla ryze
periodická
číslo neryze periodické,
3 předperioda
desetinná tečka místo desetinné čárky; 3.14 = 3,14
5.6 E + 04 = 5,6 . 104 = 56 000
5.6 E - 02 = 5,6 . 10-2 = 0,056
Značka
Název nebo čtení
Příklady, vysvětlivky, doplňky
|- 3 |- 3 j
+
absolutní (prostá)
hodnota a
plus
minus
X,
krát; násobeno
Značky
|i | = l
(str.23)
znak sčítání: 3 + 2
znak určitých kladných čísel: + 7 > 0
znak odčítání: 2a — a
znak určitých záporných čísel: —4 < 0
znak opačného čísla:
—a je číslo opačné k Sslu a
znak násobení: a . b = a X b
m . n skalární součin vektorů (str. 40)
m x n vektorový součin vektorů (str. 41)
krát, násobeno (v počítačích) 2 * A = 2a
**
t
umocněno (v počítačích)
děleno
ku
děleno
(v počítačích, počítačkách)
-> /
lomeno
A * * 2 = a2
A f 2 = a2
znak dělení: a : b, b # 0
v poměrech a úměrách:
a: b = c : d
A -í-B = a : i
12 -j- 4 = 3
3
zlomková čára: — v písmu, 3/5 v tisku;
v programovacích jazycích je ,,/eí znak pro dělení
b|a
b dělí a
bX a
D(a, b, c)
b nedělí a
«(a, b, c)
největší společný dělitel
čísel a, b, c
nejmenší společný násobek
čísel a, b, c
5 | 15
5 je i2
£>(18,24) = 6
«(18,24) = 72
%
značka procent
3 % z j je
°L
značka promile
3 % o z / ' je
100
1000
3 ppm z j je
ppm
100
1 000 000
an
«-tá mocnina čísla a;
a umocněno na «-tou
a3 = a .a .a (str.24)
r .v
odmocnítko;
druhá odmocnina
n
n
r .v
n-tá odmocnina
v písmu: /4 = 2
v tisku: t(a + b ) * = \ a + b\
n
pro a ^ 0, b ^ 0 je ]/a = b o bn = a
(!)
binomický koeficient
(kombinační číslo)
n nad k
©
- O
- o - 10«"- 30»
17
Značka
Název nebo čtení
Příklady, vysvětlivky, doplňky
ni
n faktoriál
41 = 1. 2 . 3 . 4 = 24
2 «1
součet (suma) všech at,
kde í jsou přirozená čísla
od 1 do n
i- 1
n
součin všech <n, kde i
jsou přirozená čísla od 1 do n
Značky
■-i
n
■•-i
m
2 (H — a\ + 02 + «3 + «4 + as
1.
~~ a i ' ° 2 *az
n-y 0
n blížící se nule
v limitách (str. 47)
n - y oo
n rostoucí nade všechny
meze
v limitách (str. 29)
1.5 G e o m e trie
«-» A B
h> A B
přímka AB
polopřímka AB
<-> ABC
rovina ABC
a = «-►ABC
i—►pM
polorovina pM
p hraniční přímka, M vnitřní bod poloroviny
i—►ABC
i-» qX
»-* A B C X
polorovina ABC
poloprostor qX
poloprostor A B C X
*-* AB hraniční přímka, C vnitřní bod poloroviny
q hraniční rovina, X vnitřní bod poloprostoru
KL
| KL |
•
úsečka KL
délka úsečky KL
| Ap |
vzdálenost bodu A
od přímky p
| pq |
vzdálenost dvou
rovnoběžek p a q
vzdálenost rovnoběžných
rovin a, fi
| a/S |
<£ A VB
konvexní úhel A VB
0 : A VB
nekonvexní úhel A VB
\<£AVB |
velikost $ A VB
| Pq |
i •<£pQ |
odchylka přímek/), q
odchylka přímky p
od roviny q
odchylka rovin a, /S
| <£ a/3 |
18
p=
AB
A počáteční bod polopřímky,
B vnitřní bod polopřímky
<-* ABC hraniční rovina, X vnitřní bod poloprostoru
K, L krajní body úsečky
| K L | = 5 cm; | K L \ — 5 znamená, že úsečka KL má
délku 5 jednotek, např. v analytické geometrii, kde
jednotka délky je dána na osách souřadnic
<$AVB =
VAB fl i-» VBA
A VB je sjednocení polorovin opačných k polorovinám
A VB a BVA
VP, q; 0° ^ | Š p q |Ž 9 0 °
0° g | < PQ | š 90°
0° ^ | <í a/? | ^ 90°
Značka
Název nebo čtení
Příklady, vysvětlivky, doplňky
•
_
6
je rovno
je totožno
není rovno
je různé od
leží na ( v )
je prvkem
Značky
A = B bod A je roven bodu B
body A a B splývají
bod A je totožný s bodem B
A
B bod A je různý od bodu B
body A a B nesplývají
A e p bod A leží na přímce p
bod A je prvkem přímky p
A e q bod A leží v rovině q
bod A je prvkem (bodem) roviny q
p c a přímka p leží v rovině «
přímka p je podmnožinou roviny «
p n q
leží v
je podmnožinou
není podmnožinou
neleží v
p průnik q
a 11 ^
a průnik /3
ol
II
je rovnoběžná s
1
je kolmá k
souhlasně
(nesouhlasně)
rovnoběžno
je podobný
je shodný
a \ \b , a || a, a ||/3
a _L b, a_l_a, a_L/S
např. u orientovaných úseček
C
$
t t ( tl)
P«^
/X
AVB
ti h.
R
orientovaný úhel
q (t /9 přímka q neleží v rovině /?
p Í1 q = {A} průnikem přímek p a q je bod A
průsečíkem různoběžek p a q je bod A
H p — p průsečnid rovin a, f) je přímka p
A ABC ~ A M NP
A ABC Sž A TU V
A
AVB má počáteční rameno >-» V A
a koncové rameno i-* VB
pravý úhel
velikost pravého úhlu
0 ' ••
stupeň, minuta a vteřina
(ve stupňové míře)
| <£ A VB | = 15°30'45"
A
KS; r)
trojúhelník
kružnice o středu S
a poloměru r
A ABC
KM-, | M t |): kružnice k o středu M a s poloměrem,
který je roven vzdálenosti bodu M od tečny t
AVB
oblouk kružnice
A, B krajní body, V vnitřní bod oblouku kružnice
5>
2 PŘEHLED NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH VZORCŮ
A V Z T A H Ů Š K O L S K É MATEMAT- I KY
2.1
Vzorce
Úvod do m a te m a tic k é logiky a te o r ie m nožin
Výrok
Výrok je každé sdělení, u něhož nastane právě jedna ze dvou možností: bud
je pravdivé, nebo je nepravdivé. (Pravdivost výroků označujeme číslem 1,
nepravdivost číslem 0 .)
Logické operátory
Negace výroku
Negací výroku a je výrok 1 a, který popírá to, co výrok a tvrdí. Je-li výrok
a pravdivý, je výrok 1 a nepravdivý, a naopak; přehledně zapisujeme:
a
1
0
1a
0
1
Negace výroků s kvantifikátory
výrok------každý ... je ...
alespoň jeden ... je ...
alespoň n ... je ...
nejvýše n ... je ...
negace výroku
alespoň jeden ... není ...
žádný ... není ...
nejvýše(«— 1) ... je ... ( « > 1)
alespoň {n + 1) ... je ... (« 2 1 )
negace výroku •<----- — výrok
Složené výroky
Pravdivost či nepravdivost výroků
a složených výroků
Symbol
a
1
1
0
0
b
1
0
1
0
Konjunkce
a Ab
1
0
0
0
Disjunkce (alternativa)
a Vb
1
1
1
0
Implikace
a => b
1
0
1
1
Ekvivalence
ao b
1
0
0
1
Úplná disjunkce
a v b
0
1
1
0
20
Důkazy
Nepřímý důkaz
Důkaz sporem
Místo a=> b dokazujeme ~]b=> ~]a (obměna implikace).
1. Vyslovíme negaci výroku v, tj. výrok ~\v.
2 . Z ~\v odvodíme logický důsledek z, který neplatí.
3. Uzavřeme, že neplatí výrok 1 v, tedy platí výrok v.
Důkaz matematickou
indukcí
Vzorce
Věta: Pro každé přirozené číslo n íg no platí v(n).
Důkaz: 1. Dokážeme, že platí f(«o).
2. Pro každé k^triQ dokážeme:
jestliže platí v(k), pak platí i v(k + 1).
Množiny
Počet prvků sjednocení
dvou množin
Jsou-li A a B disjunktní množiny, pak
|A U B | = | A | + | B |.
Nejsou-li množiny A a B disjunktní, pak
| A U B | = | A | + | B 1— | A Í1 B |.
2.2 A ritm e tik a a alg eb ra
1 V la s tn o s ti r o v n o s t i S ís e l
Dichotomie
Pro každá dvě čísla a, b platí právě jeden z těchto dvou vztahů:
a = b, a
b. •
Rovnost je
- reflexívní
a—a
- symetrická
Je-li a = by je také b = a.
- tra n s itivní
Je-li a = b a b = c, je také a = c.
Monotonie sčítání a násobeni Pro všechna a, b, c, d platí:
Je-li a = b, pak a + c = b + c.
Je-li a = by pak a . c — b .c.
Je-li a = b a c — d, pak a + c = b + d.
Je-li a = by pak a2 = b2.
Pro všechna « ^ O a ^ O platí:
Je-li a = by pak ya — \ b .
Součin rovný nule
Pro všechna a, b platí:
Je-li ab - 0, pak a = 0 nebo 6 = 0.
21
2 Vlastnosti operací sčítání a násobení
Vzorce
sčítání
násobení
U
uzavřenost vzhledem
k operaci
Součet čísel a + b
je číslo
Součin čísel a . b
je číslo
K
A
komutativnost
asodativnost
a + b= b+ a
a . b= b.a
(a + b) + c — a + (b + c)
(a . b) . c = a . {b . c)
N
existence neutrálního
prvku
a + 0= 0+a=a
a. 1= 1.a
I
existence inverzního
prvku
a + (— a)
Pro a ^ 0 a
distributivnost násobení
vzhledem ke sčítání
Existuje-li rozdíl (podíl)
= 0
D
(a + b ) .c
a— b— x0 a
=
==
b+ x
=
a
. — =
a
ac + bc
Pro b
0
-7- = x 0 a = bx
b
3 K o m p lex n í čísla
Definice komplexních čísel
a = [ai, <22] (uspořádané dvojice reálných čísel, pro které jsou definovány
rovnost, součet a součin tak, jak je uvedeno v dalším textu)
ai reálná část komplexního čísla
a 2 imaginární část komplexního čísla
Rovnost komplexních čísel
Imaginární jednotka
[ai, 02] = [¿>1, 62], právě když ai = ¿>1 a zároveň a 2 = 62
i = [0, 1]
Mocniny imaginární jednotky i2 = — 1, i3 = —i, í 4 = 1;
i4i+m = im, k, m přirozená čísla, m < 4
Reálné číslo
[ai, a2], když a 2 = 0, tedy [ai, 0]
Imaginární číslo
Ryze imaginární číslo
[ai, a2], když ai = 0, a 2 ^ 0 , tedy [0, a2]
Absolutní hodnota
a = [ai, a2] => | a | = ]/a? + a\ = jfa. a
Komplexní jednotka
Komplexní číslo a, pro které platí | a | = 1
Argument
Úhel a, pro který platí cos a =
Algebraický tvar
[ai, az] = ai + a 2Í
Goniometrický tvar
Exponenciální tvar
[au aŤ\ — | a | (cos a + i sin «)
[au az] = | a | eťa, e základ přirozených logaritmů
22
[ai, az], a 2 # 0
|a |
a zároveň sin oc = - ~ ~
|a |
Číslo komplexně sdružené
Součet komplexních čísel
Součin komplexních 6'sel
Podíl komplexních čísel
Mocnina komplexního čísla
Je-li a = [ai, a2], je a = [au —az] = ai — azi.
a + b = [au 02] + [bu bž\ = [ai + bu az + ¿>2]
= (ai + azi) + (b\ + ¿21) = (ai + 61) + («2 + bz) i
a .b
Je-li
— [«1, a2] . [¿i, 62] = [ť»i6i — azbz, aybz + a 26i]
— (ai + azi ) . (¿>1 + 62 i) = (aiii — azbz) + (aibz + azbi) i
= | a | (cos a + i sin a ) . | b | (cos -f- i sin /?) =
= | a j . | b | [cos (a + /3) + i sin (a + 0)]
aB
Vzorce
I b I2
ai + a2i
62Í)
(ai + <z2i) (bi — ¿ 2Í)
(ai + azi) (¿1
b
b\ + bzi
(¿i + bzi) (bi — 62Í)
+ ¿1
Pro n reálné a r(cos q -f i sin g) ^ 0
[ r . (cos q + i sin g)]” = r ” . (cos ttQ + i sin ng)
Moivreův vzorec
(cos <p + i sin <p)n — (cos rup + i sin n<p)
Odmocniny komplexního
čísla
Je-li a — | a | (cos a + i sin a), kde 0 g a < 2n, pak existuje právě
n odmocnin z čísla a:
y—
t/í— 7- (
a + 2kn
..
a + 2k u \
]/a = ]/\a \ ^cos -------------- \-is m — — ----- J ,
kde k = 0, 1, 2,
n — 1.
4 Reálná čísla
Nerovnosti
Trichotomie
Tranzitivnost nerovností
Pro libovolná reálná čísla a, b nastane právě jeden ze tří případů: a < b%
,
a = i a > b.
Je-li a < b a b < c, pak platí a < c.
Monotonie sčítání a násobení Je-li a < b a c libovolné, pak platí a + c < b -f c.
Je-li a < b a c > 0, pak platí ac < bc.
Je-li a < b a c < 0, pak platí ac > bc.
Sčítání nerovností
Je-li a < b a c < d, pak platí a -f- c < b + d.
Násobení nerovností
Je-li 0 < a < b a 0 < c < d, pak platí ac < bd.
Absolutní hodnota
Je-li a — 0, pak | a | = 0 .
Je-li a > 0 , pak | a 1 = a.
Je-li a < 0 , pak | a 1 = —a.
Je-li k > 0 a |a | < k, pak —k < a < k.
Je-li - k < a < k a k > 0, pak [ a | < k.
Je-li k > 0 a \x — a | A, pak
x e <a - k , a + ky, neboli a — k ^ x ^ a + k.
Aproximace čísel
Zavedení
Neznáme-li číslo A přesně, pak hodnoty čísla A jsou z intervalu <ai, az>,
kde au az jsou racionální čísla;
ai dolní aproximace,
az horní aproximace
Přípustná hodnota čísla A
Každé reálné číslo x, pro které platí a\ í j x ^ az
23
Vzorce
Střední aproximace a čísla A a = ai
°2
Absolutní chyba aproximace a =
ai
Zápis čísla /I
pomocí střední aproximace
a absolutní chyby
^4 = a ± a
a — cl ^ A ^ a +
Relativní chyba čísla A
Součet a rozdíl čísel
A = a±a
£\A — — , a ^ O
a
A + B = (a + b) ± (a + /9)
A — B — (a — 6) ± (a + /?)
Součin čísel A . B
A . B = ab ±
. ab
přibližné vzorce
p° díi£“ 4
Relativní chyba součinu
a podílu
4 - Ť ± fe + 4 )T
¿\{A . B) = £±A + A B
(*)-
A |-s* J = A A + A #
M ocniny a odm ocniny reálných čišel
Definice mocniny
Pro každé reálné a a n přirozené
Pro každé reálné
Součin mocnin
0
Pro každé reálné a ^ O
a n přirozené
a
Pro každé reálné a > 0,
r celé číslo a s přirozené číslo
Je-li a > 1, pak an > 1.
a ‘ = ]/ar
Mocnina mocniny
Mocnina součinu
Pro všechna reálná a a b, pro
která jsou definovány mocniny
s exponenty
r, s, r + i , r.Sy r — s
Mocnina podílu
b^O
Podíl mocnin
Definice odmocniny
Součin odmocnin
24
an = a . a ..
0
Pro a ^ 0, 6 ^ 0
a n přirozené
=
ar .a? — ar+*
(ar)‘ = a»--*
(a . č»)' = ar . br
(i)'-*
ar i a8 = ar~s
n
]/a = ¿i, právě když bn — a
ýa . ýé = ýa 6
n
Podíl odmocnin
n
b^O
1íb
v
m
“\ I rt
tnn
mt
Odmocnina z odmocniny
Pro
Umocnění odmocniny
Pro a > O, j celé,
n přirozené
Rozšiřování odmocnitele
Pro a ^ 0
a n, p přirozená
l/a = R
Krácení odmocnitele
Pro a > 0, m celé
a n, k přirozená
|/a*ro = l/a“
Geometrický průměr čísel
Pro a a b kladná
x — 1lab
a^
O, m, « přirozená
| / y j = y,'a
/«
\8
n
np
tr
Logaritmy
Definice logaritmu
o základu z
Pro z > 0, z ^ 1
a n> 0
logi n — l, právě když z 1 = n,
tedy z [agzn — n
Hodnoty logaritmu
Pro každé z > 0,
logz z = 1
logz 1 = 0
logz z° = a
Logaritmus součinu
Pro a > 0, b > 0
logz (ab) = logz a + log* b
Logaritmus podílu
Pro a > 0, b > 0
logz-T" = logz a — logz b
Logaritmus mocniny
Pro a > 0, n reálné
Pro n > 0 a z = 10
logz an — rt. logz a
Logaritmus dekadický
Vzorce
n
IVa) = V ?
Logaritmus přirozený
Pro n > 0 a z = e
(e = 2,718 2 8...)
Převod logaritmů s různými
základy
log» x = loga x . log«, a
'f /
^
O
log n = logio n = l,
tedy 10* = «,
IQlogi.» — n
ln n = lne n = /,
tedy e* = n,
elnn = n
Převod logaritmů dekadických ln a — log a . ln 10 = log a . 2,302 59
na přirozené a obráceně
log a = ln a . log e = ln a . 0,434 29 (str. 92)
Racionální čísla a lom ené výrazy
a
Zlomek
— , a e Z , 6 e N (V literatuře, v níž je O eN , musí být b e N a zároveň
b
6 # 0.)
a
c
Rovnost zlomků
-r- = — právě tehdy* když ad = bc
o
a
Porovnávání zlomků
a
c
--- < — , právě když ad < bc
o
a
— > - r > P^vě když ad > bc
b
a
25
Zlomky i lomené výrazy
a . c
- součet a rozdíl
Vzorce
a
c
a d + bc
n
ac
- součin
7 * 7 " u ’ b* * a+°
- dělení zlomkem
nebo výrazem
b
c
ac
a :— = a . — =
, b ^ 0, c ^ 0
c
b b
složený zlomek nebo výraz
—
a
a
d
ad
Procenta
Zavedení
1 % z čísla a je
100
p % z čísla a je
Označení údajů v úlohách
100 ,J
z - základ ... 100 %
p - počet procent ... např. 24 % ... p — 24
i - procentová část
Výpočet
pomocí výpočtu 1 % ze z
_
- procentové části
1
- počtu procent
~
z
100
' P
p = j - m = ž:m
z = - .100
P
Vzorce finanční aritmetiky na str. 29.
- základu
5 M ocniny a rozklad m nohočlenů
(a ± b)2 = a 2 ± 2ab + A2
(a ± A)3 = a 3 ± 3a2A + 3aA2 ± A3
(a + b y = a» + ( j ) a »-!6 + (j ) a”~2A2 + ... + ( „ _ ! i ) abn -1 + 6»
a 2 — A2 = (a + b) (a — 6)
a 2 + ¿>2 = (a + iA) (a — iA)
a 3 + A3 = (A + b) (a2 - ab + A2)
a3 — A3 = (a — A) (a2 + aA + A2)
a" + A” = (a + A) (a“ -1 — an-2A + an_3A2 — ... + A"*1) pro » liché
an — A" = (a — A) (a” *1 -f a"~2A + a” ' 3A2 + ... + An_1) pro n liché i sudé
a" — An = (a + A) (an_1 — an_2A + a” ~3A2 — ... + An_1) pro w sudé
(a + A + c)2 = a 2 + A2 + e2 + 2aA + 2ac + 2bc
x 2 + px + q = (x — r) (x — s); r a s jsou kořeny rovnice
x 2 + px -f- q — 0 ; pro r a s platí:
r + s = —p, rs — q
26
6 Rovnice s Jednou n e z n ám o u
Kořen rovnice l(x) — p(x)
Rovnice anulovaná
Každé číslo a z přípustného nebo daného číselného oboru, pro které platí
l{d) = p{a).
l{x) — p{x) — 0, F{x) = 0
Vzorce
Algebraická rovnice n-tého stupně s reálným i koeficienty
Definice
anxn + a »-!.*"-1 + ... + aix + ap = 0
ai(i = 0, 1, 2,
n) koeficienty, x neznámá
dn
Rovnice reciproké
Clfl = =
Rovnice binomická
— normovaná
-------kořeny
0
a-n = <*>, Gn-i = ai, an-z = a%, ... nebo
—
í ^n- 1
—
—
# 1*
fl»
—2 —
—
& 2y
•••
obecně an-k —
nebo an-k = — a*
Je-li a ^ O , b ^ 0, « přirozené ... axre -f- b — 0
Je-li m ^ O , n přirozené ... xn — m
. 360° , . . , 360'
60° \
Pro m > i0 x = ]/m ^cos k -------- h i sin k
n
» /*
k = 0, 1, 2,
n— 1
«
í/i----í í
/180° , , 360° \ , . . /180° , 360°\1
Pro m < 0 x = VT»*I |cos
— |- k — —j + 1 srn ^ — h * — ^ J
k = 0 ,1 , 2, ..., n — 1
Kvadratická rovnice s reálným i koeficienty
Definice
Diskriminant
Kořeny
Pro a # 0
ax2 + bx + c — 0
D = b2— 4ac
Pro D > 0
— b + ]/D
dva reálné různé kořeny
------- 2a-------b -M Ď
*2 =
Pro Z) = 0
dvojnásobný reálný kořen
Pro D < 0
dva imaginární komplexně
sdružené kořeny
Xl
*2 =
Rozklad v kořenové činitele
Vztah mezi kořeny
a koeficienty
2a
-b
x=
2a
-b + i] /m
2a
-b -i] /\Ď \
2a
Jsou-li r a s kořeny rovnice ax2 + bx -f c = 0,
pak ax2 + bx -f c = a(x — r) (x — s) = 0
b
c
r - f - i = ------ ; r . s = —
a
a
27
axz + c — 0
Rovnice ryze kvadratická
- kořeny
J e -li------^ 0
a
m >0
Vzorce
J e -li------< 0
a
m< 0
/
Xl
Xz
x2 — m
-R
xi = ]/m
—V-T
c
a
Xl = i
*i = i |/| m |
x2=—i yrm
X2 = — l 1/ |— —
Rovnice kvadratická bez
absolutního členu
ax2
- kořeny
*1 = 0 , xt = —
Rovnice normovaná
- diskriminant
x 3 + px + q = 0 (a = 1)
D = pz — 4q
Jsou-li r a 5 kořeny, D — (r — j)2.
- rozklad v kořenové činitele
Jsou-li r, j kořeny, (x — r)(x — s) = 0.
X2 = — j/ffl
bx = 0
- vztahy kořenů a koeficientů r + s = —p, r . s = q
Rovnice kvadratická s kom plexním i koeficienty
Definice
a*2 + bx + c = 0
a, b, c jsou komplexní čísla, z nichž,
aspoň jedno je imaginární
D = b2 — 4ac
D je komplexní číslo
Diskriminant
Kořeny
X
Lineární rovnice
Definice
a*
x
Kořen
Rozbor rovnice
ax + b = 0
-b + fĎ
2a
s e ----------------------í--------
= 0
— b
Je-li s = 0 i í = 0, pak kořenem rovnice je každé x
Je-li a = 0 a b ^ 0, pak rovnice nemá žádný kořen.
Je-li a ^ 0 , je rovnice lineární.
7 Posloupnosti
Posloupnost aritm etická
Definice rekurentní
Je-li d (diference) libovolné reálné číslo, an+i — a„ + d.
n-tý člen
an = ai + (rt — l ) d
Součet prvních « členů
ín = y (<n + an)
Pro libovolné dva členy platí
Jsou-li r, s přirozená,
28
an =
On-l + tfn+i
ar = a, + (r — j) á.
Posloupnost geometrická
Definice rekurentní
Je-li q (kvocient) libovolné reálné číslo, an+i = a» . q.
n-tý člen
an — a i . q”-1
Součet prvních n členů
Pro q ^ 1
Pro libovolné dva členy platí
ar = a8 . qr
\ an | = ]/tfn+ i. an-1
qn — 1
1 — qn
s„ = a i ------- — = ai —------q— 1
1— q
sn = n . a%
Pro <7 = 1
Vzorce
Vzorce finanční aritm etiky
Vzrůst hodnoty
Částka, hodnota se za určité období zvětší vždy op % z předchozí hodnoty.
Je-li ao počáteční hodnota, pak hodnota an po n obdobích je
an
P
Pokles hodnoty
Částka, hodnota se za určité období zmenší vždy o p % z předchozí hod­
noty. Je-li ao počáteční hodnota, pak hodnota an po n obdobích je
Střádání
Na počátku každého úrokovacího období se pravidelně ukládá částka a;
na konci období se k úsporám připisuje úrok ve výši p % úspor. Po n ob­
dobích vzroste vklad na částku an:
^ - » ( r T = r)>
Umořování půjčky
kdcr- ( 1 + w ) -
Má-li být půjčka K, úrokovaná p procenty, splacena pravidelnými splát­
kami za n let, pak splátky s jsou dány vzorcem
Nekonečná posloupnost a řady
Limita posloupnosti
lim an = a, právě když ke každému kladnému reálnému číslu e existuje
H-MX)
Nekonečná řada
n e N tak, že všechny členy dané posloupnosti počínaje členem an+1 patří
do intervalu (a — e, a + e).
O
O
Je-li (an) posloupnost, pak ai + az + <*3 + ... = 2 a« se nazývá neko­
nečná řada.
"“ 1
Posloupnost částečných součtů íi = ai, s%= ai + <*2, *3 = ¿U + <*2 + «3, •••
Součet nekonečné řady
Je-li (sn) konvergentní, tj. je-li lim s„ = s, pak j se nazývá součet ne­
konečné řady.
”~*'oc
Součet nekonečné
geometrické řady
Je-li | q \ < 1,
s — —^—— .
^
Číslo e
l i m ( l - f - - '| = e — 2,718 28
n-oo \
n/
29
8 K om binatorika
Vzorce
Počet ¿-členných variací
bez opakování z n prvků
Pro ¿
n
přirozená
V(k, ti) = n(n — 1) (n — 2 )... (w — ¿ + 1)
nl
n přirozené
«= 0
w! = 1 . 2 . 3 ......... (n— 1). n
Počet ¿-členných variací
s opakováním z ti prvků
Počet permutací ti prvků
bez opakování
0! = 1
V \k , n) = nk
P(„) =
Počet permutací n prvků
s opakováním
Mezi n prvky
je r prvků sobě
rovných.
Počet ¿-členných
kombinací bez opakování
z n prvků
Pro ¿ ^ n
F (« , n) = n!
K(k, n) =
n!
PW
(n — ¿ )! ¿!
n(n — 1) (n — 2) ... (n — ¿ + 1)
¿T ~
Počet ¿-členných kombinací
s opakováním z n prvků
Binomický koeficient
(kombinační číslo)
K \ k , n ) = { ^ +kk
Pro ¿ n
přirozená
n\ _
túji—
!)
1)(n — 2) ... (» — ¿ + 1)
¿1
(n -k )ik l
©-»•O-- (;)-.©
(!)-(.-»)
důležité hodnoty
= 1
vlastnosti
©+(*:.)-(žíO
Pascalův trojúhelník
binomická věta
Viz str. 62, tabulka 4.4
(a -f- 6)", viz str. 26
9 S tatistika a pravděpodobnost
Statistický soubor
konečná neprázdná množina M
- rozsah souboru
n, počet všech prvků množiny M
- absolutní četnost hodnot
znaku x
tu, číslo, které udává, kolikrát se v souboru vyskytuje hodnota znaku *<
- relativní četnost hodnot
znaku *
tli
. tli
— , v procentech — . 100
ti
n
Modus
30
Mod (x), x , ... nejčastěji se vyskytující hodnota mezi xi, xz,..., x*, tj. hod­
nota s největší četností m
Medián
Med (x ), x , ... prostřední člen mezi hodnotami xi, jsou-li uspořádány
podle velikosti
Průměrná hodnota znaku x
(aritmetický průměr)
x=
- mají-li hodnoty xt
četnost m
(vážený aritmetický průměr)
X1 + X 2 + ... +%n
—
n
1 v
= ~
n
Z
i
x<
x m i + x 2n2 + ... + Xkttt
X
=
2
n
Xitli
Vzorce
Směrodatná odchylka hodnot s — \ — 2 (*< — #)z
znaku
' n <=i
maku x
Rozptyl hodnot znaku x
í2 = n
2
(*» -
* )2
r --------, kde
Koeficient korelace
hodnoty znaku x,
yi,y*, —, y n
hodnoty znaku y
51*2
k = ^
l i {xí — x ) { y i — 9 )
*1 = 1/ ; - 2
(*< - *)2
* 2 = 1 /^ -
(jy t- ý )2
r n
i« i
2
V n ,»i
Pravděpodobnost
Definice pravděpodobnosti
jevu A
Jestliže nějaká činnost nebo pokus vedou k n možným výsledkům (množina
Q) a jestliže náhodný jev A je určen množinou, která obsahuje tn, m ^Ln,
těchto výsledků, potom pravděpodobností náhodného jevu A je číslo
P(A ) = f .
Jev A
- jistý
- nemožný
- náhodný
v případě m — n
v případě »2 = 0
v případě 0 < m < n
P(A) = P (0) = 1
P(A) = P(0) = 0
0 < P(A) < 1
P(A') = 1 — P(A) neboli P(A) + P(A') = 1
Jev doplňkový A
Pravděpodobnost, že nastane P(A U B) = P(A) + P(B)
aspoň jeden z náhodných
jevů A, B, když A n B = í
Geometrická pravděpodobnost Je-li m{A) míra (velikost) množiny A, /w(í2) míra množiny O a A <= Q,
jevu A
pak P(A) =
* ; m(A), m(íi) jsou vyjádřeny v týchž jednotkách obsahu
m(Ll)
nebo délky.
Jevy A a B <= íi jsou nezávislé, jestliže platí P(A Í1 B) = P (A ). P(B).
Nezávislost jevů
Pravděpodobnost, že při
«-násobném nezávislém
opakování jev A (jehož
pravděpodobnost je P(A))
nastane právě ¿-krát
31
10 G o n i o m e t r i c k é f u n k c e
Definice funkcí
x velikost úhlu otočení
Ol do i-> OL,
L bod na jednotkové kružnici se středem O
sin x = y L
cos x = XL
Vzorce
tg x =
srn x
cos x
--------- ,
x =£ 90° + k . 180°
cos x
sin x
cotg x =
sec x =
1
cos X
X ^ kK,
x ^ k . 180°
x ^ ^
+ kn
k celé číslo
x ^ 9 0 ° + k . 180°
cosec x =
Periodičnost funkcí
Hodnoty funkcí pro některé
hodnoty x
32
srn x
x ^ b z
x ^ k . 180°
sin (x
cos (x
Pro x, pro která jsou
tg (x
tg x a cotg x definovány cotg (x
Pro k celé
+ 2kn) = sin x
+ 2kn) = cos x
+ krc) — tg x
+ kn) = cotg x
Hodnoty funkcí pomocí
hodnot funkcí z intervalu
\ ° > T / ’ <0°’ 90°>
l / ( « ± * ) l - = l / ( 2* ± * ) l = l/(* )l
1/(180° ± 90 I — 1/(360° ± 9>) I = \f(<p)
,(S±,)-U£±,)
= I cof(*)
/(90° ± ? ) l = |/(270° ±<p) | = | co% ) |,
kde
Vzorce
/
sin
cos
tg
cotg
cof
cos
sin
cotg
tg
(0°, 90°)
( ! - )
(90°, 180°)
(* • ¥ )
(180°, 270°)
(270°, 360°)
+
_
_
Znaménka hodnot funkcí
sin *
cos *
tg *
cotg *
+
+
+
+
—
+
+
—
---
+
—
---
(viz též grafy funkcí v kapitole 7, str. 79 a 89)
Hodnoty funkcí záporného
argumentu
Pro každé *, pro které je funkce
definována
Vztahy mezi funkcemi
téhož argumentu
Pro každé x
sin (—x) — —sin x
cos (—*) = cos x
tg (—*) = —tg x
cotg (—x ) = —cotg X
sin2* + cos2* = 1
tg * . cotg x = 1
■Pro každé
keZ
Funkce součtu argumentů
Pro každé x a y
sin (x -j-y)
sin (x — y)
cos (* +j>)
cos (* — y)
— sin * cosjy + cos xsin y
= sin * cos y — cos * sin y
= cos * cos y — sin * sin y
= cos x cos y + sin x sin y
tg * + tg 3>
Pro všechny hodnoty
tg (* + .y ) = 1 — tg * tg y
argumentů x, y , pro které
jsou funkce tangens a zlomky
tg * — tg y
definovány
. * ( * - ? ) = 1 + t g , tg3,
Funkce dvojnásobného
argumentu
Pro každé x
Pro každé x ^ k . ~
4
Funkce polovičního
argumentu
sin 2* = 2 sin * cos *
cos 2* = cos2* — sin2*
2 tg *
tg 2* =
1 — tg2*
il-F
— cos *
Pro každé x
cos
i\-f-
4 * cos *
33
Pro každé x # k . n, k e Z
Součet a rozdíl funkcí
Pro každé x a y
Vzorce
— COS X
tg
+
COS X
x+>
x —y
sin x + sin y =
2 sin —- — cos —
sin x — sin y =
2 cos — -^-sm —~
cos x
2 cos — ^ - c o s — ■—
x + y . x —y
x+ v
cos y =
x —y
x + v . x —v
cos x — cos y = —2 sin — ^— sm — —-
2.3
P la n im e trie a trig o n o m e trie
Úhly
vedlejší
doplňkové
vrcholové
součet primy
úhel
součet pravý
úhel
shodné
přilehlé
součet 180°
CZ
a + ß -f y = 180°
Vnější úhly
a ' = ß + 7) CZ
Věty o shodnosti trojúhelníků sss, usu, sus, Ssu
z .v
Obsah
34
shodné
shodné
Trojúhelník
Cyklická záměna
Součet úhlů
střídavé
souhlasné
■a
a . Va
CZ; S — —ab sin y, CZ
- Heronův vzorec
S = y*(í — a) (s — b)(s— c) , s = U + 2
abc
4Š
Poloměr kružnice opsané
Poloměr kružnice vepsané
Věta sinová
- užití
Věta kosinová
- užití
Věta tangentová
, CZ
5
b f
\
« " T
a : b : c — sin a : sin (i : sin y
c
>4\
a — b
° — 2r
sin a
sin /3
sin y
Trojúhelník určen podle vět usu, Ssu
a2 = b2 c2 — 2bc cos a, CZ
Trojúhelník určen podle vět sss, sus
,
a—b
a — j8
® 2
« + /?
5 T T = ^ ^ + ?•■
CZ
tg T ----- ---
'g
- užití
Trojúhelník určen podle věty sus
Úhly
tg l = 7 ^ , c Z ; s i n f = y 5 E M E i r , c z
a
1 / s(s — a)
__
cos — = y — bc
5
’ cos a
- užití
Vzorce
S '
a ' / aV
/j2 _1_ r%— /j2
2 bc
, CZ
Trojúhelník určen podle věty sss
Trojúhelník rovnostranný
Strany
Úhly
a = b= c
a = /? = y — 60°
Výška
. - f y *
Obsah
Poloměry kružnic
r-ý V š,
í - f v r
Trojúhelník pravoúhlý
Úhly ostré
a +
= 90°
a
b
sm a = — , cos a = —
c
c
a
b
tg a = T , cotg a = —
o
Obsah
S =
Poloměr kružnice opsané
r =
ab
a
B
35
Pythagorova věta
Eukleidova věta
- pro výšku
- pro odvěsny
Vzorce
c2 = a2 + b2
v 2c = ca . cb
a2 = c .c a, b2 — c .ci,
Obdélník
Obvod
o — 2(a + b)
Obsah
S=ab
Úhlopříčka
u = ]/a2 + b2
u
Poloměr kružnice opsané
Čtverec
Obvod
o = Aa
Obsah
S = a2
Úhlopříčka
u = a |/2
Poloměry kružnic
m
a
r =
2 ’ ^ = 2
c
a + c
Rovnoběžník
Obvod
Obsah
Lichoběžník
Obsah
Střední příčka
a + c
í
= — =—
Pravidelný n-úhelník viz též str. 63
Obvod
o = na
Obsah
S=n
Počet úhlopříček
—
Součet vnitřních úhlů
(« — 2). 180°
36
2
^
ť
2
Kružnice a kruh
Délka kružnice
o — 2tcr = nd
Obsah kruhu
S = nr 2 = 7c - 74
2nr
a ~ 360° **
Délka kruhového oblouku
<p
( r*
íT A lílr A o ť
11 V i l u
Vzorce
1T A c t i i n t ^ A T r Á
Obsah kruhové úseče
Obsah kruhové výseče
Mocnost bodu ke kružnici
Obvodový a středový úhel
Elipsa
Označení
Obsah
Obvod
Konstrukce algebraických výrazů
Čtvrtá geometrická úměrná
a: b — c
bc
x=
37
Konstrukce pomocí
Pythagorovy věty
x = |la2 + b2
Vzorce
&
0-11
a :x —x :b
x 2 = ab
II
Střední geometrická úměrná,
geometrický průměr
/ /
/ /
/ /
//
V b
V.
X
\
F'
V objem, S povrch, Sp obsah podstavy, Spi obsah pláště, v výška tělesa,
u tělesová úhlopříčka, r poloměr
H ranol
V = Sp . v
S = 2SP *S"pi
K vádr
V — abc
S = 2(ab + ac + bc)
u = |ta2 + b2 + c2
K = fl8
S = 6a2_
u = a |/3
Válec
2
^
V = 7crzo
= ——
v
4
5 = 2nr(r + v)
Jehlan
V = j S v .v
T/
S — Sp + 5pi
38
^
x = ]/a2 — b2
a> b
2.4 S te re o m e trie
Krychle
\
E'
Pravidelný jehlan
Vztahy mezi délkami na pravidelném čtyřbokém jehlanu
Vzorce
Komolý jehlan
Rotační kužel
Komolý rotační kužel
Koule a plocha kulová
Vrchlík, kulová úseč
F =
S = 4nr 2
S — 2nrv
Kulový pás, kulová vrstva
■
k v
v = ^ ( 3 ^ + 3 ^ + tf2)
2.5
V ek to ro v á alg eb ra
Umístění vektoru.
u = AB, u = B — A
Vzorce
Jedno umístění vektoru u
má počáteční bod A, koncový bod B
v rovině
A
v prostoru
A[ax, az]
B[b1} b2]
A\ai, az, 03]
B[bi, ¿2, ¿>3]
Souřadnice
počátečního bodu A
koncového bodu B
Souřadnice vektoru u,
u = B—A
(symbolická rovnice)
u = (lil, u2)
u = («1, u2> «3)
ui — bi — ai
u> = 62 — az
Mi = ¿1 — a\
ui = ¿2 — az
W3 = ¿3 — 33
Rovnost vektorů
u a v
a zároveň uz = 02
U = V O U\ = Ol
a zároveň uz — vz
a zároveň U3 = 03
1u 1 = y w + u f
| o | = 1 u\ + u\ + «1
Velikost vektoru
Součin vektoru a reálného
čísla k
Opačný vektor ~ u
k vektoru u
Rovnoběžnost vektorů u II v
&U = (&Mi, fe/2, &W3)
k u — (ktil, kuz)
—U = (—Ml, —«2, —MS)
— o = ( — Ml, — uz)
u || v O v = k u
u ]| v o
keR,
k
0
Součet vektorů
w = u + v
w = (zvi, Wz)
Lineární kombinace vektorů
vz, ... v„
Skalární součin vektorů u . v
w = (mi + 01, uz + »2)
H>1 = Kl + Ol
«02 = M2 + 02
v = ku
k > O rovnoběžnost souhlasná
£ < O rovnoběžnost nesouhlasná
w = (mi + 01, M2 + 02, M3 + »8)
U>1 = «1 + »1
K>2 = Uz + 02
«>8 = MS + Os
aiV i + azYz + ■•■ + a nv n ,
ai e R.
Vi,
U. V — U \V \
Úhel vektorů
COS 99 =
COS(p —
Kolmost vektorů
40
U .V = MlOl + M2O2 + M3O3
+ U «V 2
MlOl + UzVz
" I * I v- I
U.V
M -M
COS (p —
MlOl + «202 + M3O8
\u \ . \
y
\
O á <p š 180°
uj_vou.v = 0
l / l v o MlOl + UzVz = 0
| u l v o MlOl + M2O2 + M3O3 = O
w —u X v
Vektorový součin
- souřadnice
- velikost w
- poloha w
- směr w
W =
(« 2 0 8 — V 2U3 ,
U a V l — V s U ly
U 1V 2 — V 1U2)
| w | = | u | . | v | . sin <p, <p je úhel vektorů u, v
v ř l u a zároveň w _L v
pravidlo pravé ruky
Vzorce
2.6 A nalytická g e o m e trie
1 Lineární útvary v rovině a v prostoru
v rovině
v prostoru
Souřadnice bodů
A[ai, <12], S[íi, í2]
A[ai, az, as]> Sfris sz, *3]
Souřadnice bodu X
X[x,y]
X[x,y,z]
Délka úsečky AB
| A B | = ]/(éi - ai)2 + (bz - a2)2
| A B | ==
= |/(il —fll)2+ (^2—a2)2+(^8 —fl3)2
0
A
B
, .. - ,
S = — - — symbolická rovnice
Střed S
úsečky AB
íl==
H-
ai + ¿1
2
«i + bi
Sl~
az + bz
az + bz
2 -
2
S2~
s8 =
2
a s + b$
Param etrické vyjádření přímky
Směrový vektor o
přímky AB
u= B—A
«1 = 61 — ai
u z — bz — a 2
u — (ui, «2)
ui — b i — a i
Uz = bz — <32
us — bz — as
u = («1, u%, us)
41
X = A + tu
Přímka daná bodem A
a směrovým vektorem u
ře R
Vzorce
Přímka daná body A, B
x = a i + t(b i — a{)
x = ai + t{bi — ai)
y = a2 + t(b2 — a2)
y — a 2 + t(bz — 02)
z — az + *(¿>3 — az)
Polopřímka AB
X — A + tu , t ^
X ~ A -j- tu y t á
X = A -}- t u , 0 á
X — A ~f" tU y m iS
Polopřímka opačná k >— AB
Úsečka AB
Úsečka na přímce AB
Odchylka co přímek se
směrovými vektory u a v
U l V l - f U2V 2 |
1/'«? +
t^ 1
t ¿¿n
I u\vi
COS co =
R
. |/t>? +
Podmínka kolmosti přímek
4-U2V2 + U3V3
+ Mí + «3 . 1/»1 + »2 + »3
u .v = 0
MlWl +
«2 »2 =
O
| ttlW l +
v — m .u ,
d = m . «i
«2 0 2 +
m ^ O
j v i = m . u\
V2 = ffJ . «2
V2 = tn .U2
i
42
o
0 ^ co ^ 90"
cos co =
Podmínka rovnoběžnosti
přímek
o
1)3 — w . «3
«3 0 3 =
O
Neparametrické rovnice přím ky
Koeficienty v rovnici přímky,
přímky p,
přímky q
Úseky přímky na osách
souřadnic
a, b, c
Cípy b-py Cp
aq, bq, Cq
p na ose x, q na ose y
Vzorce
Směrnice přímky dané
body A, B
(*->AB X y)
k — tg <P>
90°
,
¿2 — <*2
- ----- -- »
¿»i — ai
Rovnice přímky
- obecný tvar
ax + by -f c = 0 , alespoň jeden z koeficientů a, b různý od nuly
- - směrnice
k = —£ ~ ,
- - normálový vektor
- směrový vektor
n = (a, b)
u = (¿>, —a)
- úsekový tvar
fp + -q = 1
- směrnicový tvar
y = kx + q; k = tg<p= ^ - =
aii
k—
«2
ui
,
b^O
- dané bodem A a směrnicí k y — as = k(x — a{); y — k (x — a{) + a2
- normálový tvar
ax + by + c
= 0,
znaménko jmenovatele opačné, než má c
± ]/az + A2
i\ M p \i = --------I " ”1 + *OT2 + c
l/a* + i 2
Vzdálenost bodu M
od přímky p
Poloroviny s hraniční
přímkou ax + by -f c = 0
ax + A y + c S i O l
a x + b y + c ^ 0 ) Poiorovuly °Pačné
Odchylka cd přímek
COS (O =
p, q
tg (O =
Podmínka kolmosti
přímek />, q
Podmínka rovnoběžnosti
přímek
Posunutí soustavy souřadnic
| QjAq
1 -(-
bpbq |
pokud kp, kq existují a
P _L í o apUq + bvbq — 0
kpkq -- -- 1
aq — m .a p a zároveň bQ— m . b py
nebo
— Ap
V původní soustavě souřadnic Oxy je
0'[tn,«]. V nové soustavě
X'[x',jy'] a platí x — x — m,
y = y — n.
m ^O
# —1
Rovina v prostoru
Určení roviny
Parametrické vyjádření
- roviny
Vzorce
bodem A[ai, 02, as] a směrovými vektory u = («i, «2, u$) a v = (©1, V2, V3),
z nichž žádný není násobkem druhého.
X = A -f tu + sv
t, s e R
* = ai + tui + sv 1
y = az + tuz + sv2
z = 03 + tu3 + svs
- poloroviny pC
p(A, u)
C $p , v = C—A
X =yí+ru+ív
t, s € R a zároveň j ^ 0
- poloprostoru
QD
g(/í, u, v)
D $ q , w = D — ¿4
.Y = /I + ru + jv + nv
í, j , r e R a zároveň r Si 0
Rovnice roviny
- normálový vektor
ax + ^ + Cir-f-ťf= 0 ,
n = (a, b, c) ť* (0, 0, 0)
Odchylka rovin q, a
nQ, na normálové vektory rovin
cosa =
alespoň jeden z koeficientů a, b, c různý od nuly
I apaj + bgba
cgca
V ^ T X + Ž -Y a l+ b l+ c l
Odchylka « přímky p(A, u)
od roviny p
cos
=
, a = 90° — /?
Iu . . « .
Podmínka kolmosti rovin g, a g 1 or o nc . n„ = 0
a ^ o + ¿e6<r + Cpi,, = 0
.
| a « i -f bm2 + cms + d \
Vzdálenost bodu M
! M q I ---------- ------------------------od roviny g
V* + * + *
2 Kvadratické útvary v rovin ě a v prostoru
Kuželosečky
Parabola
- označení prvků
V vrchol, F ohnisko, o osa, d řídid přímka,
2p > 0 parametr,
I V F \ = j , x+,y+ (x~,y-) kladné (zá­
porné) poloosy souřadnic
44
y2=
2px
— -2px
F e y + x2 =
2py
F e y ~ x 2 = —2py
V[m, n], o f f x+ (y — n)2 = 2p(x — m)
Rovnice vrcholová
F [0 ,0 ] F e x +
Fex~
- obecná
- parametrické
Vnitřní oblast paraboly
o \ \ x, A ýí 0
Tečna paraboly v bodě
T[xo, y 0]
011 y+ (x ~~ m)2= 2p{y — «)
y 2 + Ax + By + C = 0
K [ 0 ,0 ], a > 0 x = f 2, y = at
F ey+
2py > x 2
F [ 0 , 0] F e x +
yoy = p(x + xo)
V[m,n\, o f f x* (yo — n)(y — n) = p(x -f *o — 2m)
Vzorce
Kružnice
- označení
r > 0 poloměr, S střed kružnice
Středová rovnice
S[ o, 0]
Rovnice obecná
Sfwi, n]
x 2 y 2 — r2
( x — m)2 + ( y — n)2 = r 2
M 2 + N 2 — 4L > 0
x 2 + y 1 + Mx + N y + L = 0
s L ^ - y w ] ,
- parametrické
S[0, 0]
x = r cos y ,
Vnitřní oblast kružnice
S[0, 0]
Kruh
S[0, 0]
S[0, 0]
x2 + y 2 < r2
x2 -f .y2 sí r 2
Tečna knižnice v bodě
T[xo,yo]
5 [ w , n]
r = -i- I/aí 2
N 2 — 4L
= r sin cp
xox + yoy = r 2
(x o — » * )( x — w ) - f C v o — « )C y — « ) =
f2
Elipsa
- označení
a > b > 0 poloosy, a = | A S | hlavní poloosa s ohnisky E, F, b = | CS |
vedlejší poloosa, S střed elipsy, e excentricita
Excentricita
e = | F S | = | S E j = ]/a2 - b2
Rovnice osová
A S <= x, CS <= y
•SfO, 0]
ii-L ^ 1 - 1
a2 ^ b2
n]
A S || x, C S \ \ y
Vzorce
- obecná
- parametrické
Vnitřní oblast elipsy
(x — m)2 ( y — n)2 _
a2
b2
( x — tri)2 | ( y — n)2 = j
A S ||y , C S || x
b2
aů
Předchozí rovnice lze upravit na tvar
A x 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, kde A ^ B, A > 0, B > 0.
S[0, 0]
0° ^ q>< 360°
AS<= x, C 5 c 3;
x = a cos (p, y = b sin
v*
u2
S[0, 0]
Tečna v bodě T[xo, j>o]
S[0, 0 ]
- ^ + ^b2 = 1
b2xo* + a^oy = a 2i 2
n]
Hyperbola
- označení
62(*o — m) (x — m) + a2(y 0 — n ) ( y — n) = afy
0 < a < e, a = \ A S | = | B S | hlavní poloosa s ohnisky E, F;
b > 0 vedlejší poloosa, (neleží však na ní žádný bod hyperboly);
e excentrická, S střed hyperboly
y =0'
\^ c r
0
Vedlejší poloosa
Rovnice osová
S[0, 0]
EF a x
5[m, n]
EF || *
1
* = | FS | = | 5 B |
li
Excentricita
Qr*
II
A
46
\
a2
a2
b2
( x — m)2
a2
( y - n )2
b2
( x - m )2 , ( y - n )2
b2
^
a2
Předchozí rovnice lze upravit na tvar
Ax- — By 2 -f C X + Dy -f- £ = 0, kde A > 0, B > 0.
E F \ \y
- obecná
\ /0= S
/
B
- parametrické
Vnitřní oblast hyperboly
Tečna v bodě T[xo,yo\
S[0, 0]
EF <= x
0° á <p < 360°
<p # 90% 270 ’
x=
cos 7.
S[0, 0]
5[0,0]
a2
i2 '
*0*
.yojy
= 1
62xo* — a2.yo.y — a2i 2
S[w, h]
b-(xo — m) (x — m) - a2(jy 0 — n) (>■
= a 2*2
E F \\x
—b
a
Směrnice asymptot (EF c: x)
Rovnice rovnoosé hyperboly
s asymptotami v osách
soustavy souřadnic nebo
rovnoběžnými s osami
souřadnic
hlavní osa v přímce
se směrnicí k — 1
S[0, 0]
* r = y fl2
•S[m, m]
(x — m) (y — ti) = - a 2
hlavní osa v přímce
se směrnicí k = — 1
S[ 0, 0]
S[m, tt]
(.x — m ) ( y — n) = — y a 2
Kulová plocha
- označení
Rovnice
Tečná rovina kulové plochy
v bodě T[xo,yo,zo]
x(S, r), 5 střed kulové plochy, r poloměr
S[0, 0]
x2 + y 2 + z 1 = r 2
S [m , M, ?]
(x - w)2 + ( y - n)2 +
S fm ,«,
(a r
- ?)2 = r 2
(x0 — m) (x — tri) + (y 0 — ti) Cy — »)
+ (*o — q) (z — q) = r 2
2.7 D iferenciální a in te g rá ln í p o čet
1 D erivace funkce
Derivace funkce v bodě xo
y — /(x)
y = /'( * > ) = lim
X—
*xn
Derivace funkce
y=m
Derivace součinu konstanty c y = c ./(x)
a funkce
/(*) — /(xo)
*0
/(x + A ) - /( x )
y
= / ' ( * ) = lim
/»-►0
y = c ./'(x )
Derivace součtu a rozdílu
funkcí*
Derivace součinu funkcí
Derivace podílu funkcí
g(x)
Derivace složené funkce
Derivace některých
elementárních funkcí
/ =/'(*) •£(*) +/(■*) •g \ x )
/(*)
> * ( * )# 0
*(*)
1
Vzorce
y = cif’(x) ± a g (x )
y = ci/(*) ± c2£(.v)
či, ci konstanty
y = m .g { x )
.y =
, g ix)^ 0
y
y =f(g(x))
y = k, k konstanta
y = xn
pro ta x, pro která je x n
definováno
y = sin x
y = cos x
y = tg*,
=
OK*))2
g\x)
GK*))2
_
y = / T O )*ř'w
y = 0
3»' = wx” ’1
_y = cos x
y = — sin x
y
1
COS2X
- - -----------------
n
x # (2fc + 1) —
y = cotg x, x ^ k n
f \x) • £(*) - f ( x ) . g\x)
y = — sin-x
y = eT
y = ax, a > 0,
Rovnice tečny ke grafu
funkce v bodě [xo, / ( xo)]
Lokální extrémy funkcí
48
y — ax ln a
y = ln x, x > 0
y - —
y = loga x
a > 0, a # 1, x > 0
.y = x ln a
y= f(x)
y — / ( jco) = /'(* o ) (x — x 0)
v bodě [x0,/(x 0)]
lokální minimum
lokální maximum
/'(xo) = 0 a zároveň /*(xo) > 0
/'(xo) = 0 a zároveň /"(xo) < 0
2 P r im itiv n í funkce
Definice
1
F(x)=/(x);
1
J
/(* ) dx = F(x) + c,
c konstanta
Primitivní funkce k součinu
konstanty a funkce
y = a,
a konstanta
a .fix ) dx = a . j f(x) dx
Primitivní funkce k součtu
a rozdílu funkcí
y = af(x) ± bg(x)
a, b konstanty
[af(x) ± bg(x)\ dx =
Primitivní funkce některých
elementárních funkcí
y = a, a konstanta
a dx — a j dx = ax -f c
= a | /(x) dx ± b J ¿(x) dx
Vzorce
rn+l
y = xn, n =/= —1
x n dx =
« + 1
^ = 7
dx
— = ln x + c
x
y = cos x
cos x dx = sin x -f c
y — sin x
sin x dx = —cos x + c
1
____1_
^
cos2* 3 ” ' v_” 1 */ 2
1
dx = tg x + c
COS2 X
1
y = - 4-- , x ^ k - K
srn2*
/
+ C.
su rx
dx = —cotg x -f- c
e* dx = e® + c
y = ez
y — ax, a > 0,
1
ax dx =
ln a
+ c
3 Určitý in te g r á l
Definice
F(x) primitivní funkce kfix),
a, b reálná čísla, meze
b
Záměna mezí
Meze sobě rovné
f{x) dx = [F(*)]> = F(b) - F(a).
a
| /(*) d* = — J /(x) dx
J/(x)dx = 0
a
b
Rozdělení
intervalu, a < c < b
c
b
J fix ) dx = J f(x) dx + J /(*) dx
<2
a
c
b
Obsah plochy omezené
grafem funkce y = /(*),
osou * a přímkami
5 = J /(*) dx
x = a, x — b;
v <a, b}
nezáporná
/t o
Objem rotačního tělesa,
vytvořeného rotací popsaného
obrazce kolem osy *
= 7T J > ( x ) djc
49
3 O TABULKÁCH
3.1
FUNKCÍ
T ab elo v án í h o d n o t funkce
Definice funkce reálné prom ěnné
Na množině D(/) je dána funkce / , jc-li ke každému číslu x z dané množiny D(/) (oboru funkce) při­
řazeno právě jedno číslo y množiny R. Čísla x e D(/) se nazývají hodnoty prom ěnné nebo hodnoty
argum entu, čísla j r e R se nazývají hodnoty funkce. Píšeme y = f ( x ) .
Pokyny
Tabulka funkce
Hodnoty proměnné a jim příslušné hodnoty funkce se zapisují do tabulek, které jsou buď sloupcové, nebo
plošné.
Tabulka sloupcová
Ve sloupcových tabulkách jsou v jednom sloupci hodnoty proměnné a ve druhém sloupci hodnoty funkce,
a to tak, že hodnota proměnné a k ní příslušná hodnota funkce jsou v témž řádku. Příkladem je tabulka 1,
zachycující část hodnot proměnné a hodnot funkce y = x 2. Např. 1042 = 10 816.
Tabulka plošná
V tabulce plošné je hodnota funkce příslušná určité hodnotě proměnné uvedena v průsečíku řádku, který
má v záhlaví několik prvních číslic hodnoty proměnné, a sloupce, který má v záhlaví zbývající číslice hodnoty
proměnné. Příkladem plošné tabulky je tabulka 2.
Tabulka 2
n
0
1,0
1,000
1,020
1,040
1,061
1,1
1,2
1,3
1,210
1,440
1,690
1,232
1,464
1,716
1,254
1,488
1,742
1,277
1,513
1,769
1
2
3
4
5
6
7
1,082
1,103
1,124
1,145
1,166
1,188
1,300
1,538
1,796
1,323
1,563
1,823
1,346
1,588
1,850
1,369
1,613
1,877
1,392
1,638
1,904
1,416
1,664
1,932
Tabulka 1
n
n2
100
10 000
101
102
103
10 201
10 404
10 609
104
105
106
10 816
11 025
11 236
9
8
Tabulka 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
5
7
10
12
14
17
19
22
Dvojcifemá skupina - např. 1,2 z čísla 1,23 - je v prvním sloupci a platí pro celý řádek, na jehož počátku
je uvedena; třetí číslice - 3 - je uvedena v záhlaví sloupce. Hodnota funkce příslušná číslu 1,23 je uvedena
v průsečíku řádku 1,2 se sloupcem 3. Příslušná hodnota funkce je tedy 1,513.
Každou tabulku, která obsahuje hodnoty proměnné a k nim příslušné hodnoty funkce, budeme stručně
nazývat tabulka funkce. Budeme tedy hovořit o tabulce druhých mocnin, o tabulce goniometrických
funkcí apod.
50
Hodnoty prom ěnné
Je-li funkce definována na nekonečné množině, např. pro všechna reálná čísla, není možné v žádných
tabulkách všechny hodnoty zapsat. Hodnoty proměnné omezíme počtem platných číslic; v našich tabulkách
jsou hodnoty proměnné třímístné.
Hodnoty proměnné náleží pak do určitého intervalu z oboru funkce. Např. v tabulkách druhých mocnin
jsou tříciferné hodnoty proměnné z intervalu <1,00; 9,99); v tabulce goniometrických funkcí jsou hodnoty
proměnné z intervalu <0°00'; 90°). Interval je volen tak, aby pomocí známých vlastností funkcí bylo možné
určit hodnoty funkce i pro hodnoty proměnné z jiných intervalů oboru funkce.
Krok tabulky
Hodnoty proměnné rostou v tabulkách obvykle rovnoměrně, tj. tak, že rozdíl dvou po sobě následujících
hodnot proměnné je stálý. Tento rozdíl se nazývá krok tabulky. Např. krok tabulky druhých mocnin je
1,01 — 1,00 = 0,01, krok tabulky goniometrických funkcí je 10'.
Hodnoty funkce
Hodnoty funkce v tabulkách jsou většinou jen aproximace hodnot. Mnohacifemá a iracionální čísla jsou
totiž v tabulkách zaokrouhlena. Jsou-li např. zaokrouhlena na čtyři platné číslice (např. 1,513), říkáme, že
tabulky jsou čtyřmístné.
Tabulková diference
Rozdíl dvou po sobě následujících hodnot funkce se nazývá tabulková diference a označuje se písmenem
D (někdy d, popřípadě A). Na rozdíl od kroku tabulky není diference stálá, ale mění se podle průběhu
funkce. Diference je důležitá pro lineární interpolaci.
3.2 L ineární in terp o la c e funkcí
Má-li hodnota proměnné v tabulkách 3 platné číslice, můžeme (za jisté podmínky, kterou nebudeme vy­
světlovat) z tabulek určit i hodnotu funkce pro hodnotu proměnné se čtyřmi platnými číslicemi tzv. lineární
interpolací. (Obdobně z tabulek, v nichž hodnoty proměnné jsou čtyřmístné, můžeme lineární interpolací
určit hodnotu funkce pro pěticifernou hodnotu proměnné.)
Při lineární interpolaci rostoucích funkcí předpokládáme, že v určitém malém intervalu < a, b > oboru
funkce jsou přírůstky hodnot funkce přímo úměrné přírůstkům hodnot proměnné. To znamená, že zvětší-li
se hodnota proměnné a o n desetin rozdílu b — a, zvětší se hodnota funkce f(á) o n desetin rozdílu
_
D
f(b) —/(a) = D (tj. diference). Číslo dn = — n se nazývá oprava hodnoty funkce pro n.
Např. z tabulky druhých mocnin vyplývá, že
3,242 =
^ O » 50’ ) D — 0,06
3,252 = 10,56. /
51
Pokyny
Hledáme-li 3,2472, pak přírůstku 0,007, tj. sedmi desetinám z rozdílu sousedních hodnot proměnné, odpo7
0,06
vídá přírůstek — rozdílu hodnot funkce; oprava je tedy <h =
. 7 = 0,042 = 0,04. To znamená, že
Pokyny
3,2472 == 10,50 + 0,04 = 10,54. Hodnota funkce vypočtená lineární interpolací, může mít absolutní chybu
nejvýše rovnou jednotce řádu poslední platné číslice; tzn., že 3,2472 = 10,54 i 0,01.
K usnadnění lineární interpolace jsou v tabulkách uvedeny na konci každého řádku zaokrouhlené opravy
d„ pro n = 1,2, ..., 9 (viz tab. 3).
Opravy platí pro celý řádek i v případě, kdy se diference o jednotku posledního místa liší; přesnější výsle­
dek bychom proto někdy dostali lineární interpolací.
Tam, kde nelze opravy vypočítat jednotně pro celý řádek, je někdy řádek rozdělen na části a opravy jsou
vypočteny pro každou část zvlášť (viz např. tabulku 9.2).
V tabulce 5.2 je tečkovanou čarou mezi hodnotami funkce a vypočtenými opravami naznačen interval,
ve kterém interpolace pomocí vypočtených oprav může vést k chybě větší, než je jednotka posledního místa;
v tomto intervalu je proto vhodnější najít přesnější hodnoty interpolací podle vzorce
Interpolace funkcí klesajících
Je-li a < b a /( a ) > f(b), je funkce klesající. Pak f(b) — f(a) = D < 0. Když vypočítáme nebo
najdeme opravu dn —
| D |, musíme opravu dn od hodnoty /(a ) odečíst!
3.3 Vyhledání hodnoty prom ěnné
Až dosud jsme vysvědovali vyhledání hodnoty funkce k dané hodnotě proměnné. Tabulky umožňují
i řešení obrácené úlohy: k dané hodnotě funkce určit příslušnou hodnotu proměnné. Pokud je hodnota
funkce přímo uvedena v tabulce, stačí vypsat příslušnou hodnotu proměnné ze záhlaví příslušného řádku
a sloupce. Není-li hodnota funkce přímo v tabulce, je možné hodnotu proměnné získat lineární interpolací
nebo použít nejbližší hodnotu funkce.
Interpolace p ři určování hodnoty prom ěnné
Je-li dáno f(h) takové, že f(a) < f(h) < f(b), kde /(a ) a f(b) jsou sousední tabelované hodnoty funkce,
pak /(A) — /(a ) je oprava dn a f(b) — j(a) = D je. tabulková diference. Protože platí
dn
;
joD • n 9 j® n —“#
• iqD •
V našich tabulkách jsou opravy uvedeny na kond řádku; k vypočtené opravě dH najdeme příslušné n
přímo v nadpisu sloupce.
U funkcí rostoucích připisujeme n k hodnotě a jako další číslid hodnoty proměnné; u funkcí klesajících
ji v jednotkách řádu k — 1 (kde k je řád poslední platné číslice) od a odčítáme.
3.4 A proxim ace čísel a výpočty s nimi
Aproximace hodnot funkce
V běžných úlohách z praxe mají údaje obvykle tři a maximálně čtyři platné číslice. V takovém případě
neodpovídají vícemístné hodnoty funkce uvedené v tabulkách přesnosti údajů. Je-li např. úhel dán jen
52
i přesností na desítky minut, např. a = 32°40', znamená to, že úhel a je z intervalu <32°35', 32°45').
Pak pro sin a platí
sin 32°35' < sin a < sin 32°45'
neboli
0,5386 < sin a < 0,5409.
Je zřejmé, že v uvedeném příkladu se shodují jen první platné číslice a po zaokrouhlení dvě platné číslice:
0,54. Nemá proto význam uvádět sin 32°40' (je-li hodnota proměnné zaokrouhlena na desítky minut) přes­
něji než 0,54, další číslice jsou nespolehlivé. Vyhledáme tedy v tabulkách sin 32°40' = 0,5398 a zaokrouh­
líme na dvě platné číslice: 0,54.
Ve vysvětlivkách k jednotlivým tabulkám je proto uvedeno, kolik platných číslic má hodnota funkce,
má-li hodnota proměnné určitý počet platných číslic.
Pokyny
Zaokrouhleni hodnot funkce
V některých případech je tedy potřeba zaokrouhlit hodnotu funkce na menší počet platných číslic, než
udává tabulka. V takovém případě by mohly vznikat chyby při zaokrouhlování čísel, která mají na posledním
platném místě číslici 5.
Číslice 5 na posledním m iste
Je-li nad číslicí 5 na posledním platném místě pruh (5), vznikla pětka zaokrouhlením (např. 1,49 = 1,5). Máme-li tedy při zaokrouhlování číslici 5 vypustit, pak předchozí číslici ponecháme (nezvětšujeme ji o jednotku).
Např. 46,65 = 46,6. Není-li vypouštěná číslice 5 nijak označena, pak při zaokrouhlování předchozí číslici
o jednotku zvětšíme. Např. 37,45 == 37,5. Stejně zaokrouhlujeme, je-li nad vypouštěnou číslicí 5 tečka (5);
to je v případě, kdy hodnota je přesná a za číslicí 5 jsou samé nuly. Např. 1,52 = 2,25 j pak 2,25 = 2,3.
Výpočty s aproxim acem i čísel
Hodnoty funkcí uvedené v tabulkách jsou obvykle zaokrouhlené. Musíme proto s nimi počítat jako s apro­
ximacemi čísel. Přesná, matematicky zdůvodněná pravidla se probírají v učebnicích matematiky. Pro běžnou
praxi stačí tato jednodušší, ovšem hrubší pravidla:
U součtu aproxim ací čísel určím e ten nejnižší řá d sčítanců, který m á platné číslice ve všech
sčítancích. Na tento řá d výsledek zaokrouhlím e. Např. v součtu
8,6 45
24,5
16,3 4
49,4
8 = 49,5
jsou platné číslice v desetinách všech sčítanců; za desetinami naznačíme svislou čarou platné číslice, sečteme
počínaje setinami a výsledek zaokrouhlíme na desetiny.
Obdobně postupujeme u rozdílu:
637,8
- 52,1 5
585,6
5 = 585,7
Součin má tolik platných číslic, kolik jich m á činitel s nejm enším počtem platných číslic.
Má-li např. 3,8 dvě platné číslice a 24,3 tři platné číslice, pak součin 3,8 .24,3 má jen dvě platné číslice.
I když tedy vypočteme přímo, pomocí logaritmů nebo počítačkou jako součin číslo 92,34, zaokrouhlíme je
na dvě platné číslice: 92.
Obdobně podíl 24,3 : 3,8 má jen dvě platné číslice, tedy podíl je 6,4.
Při um ocnění aproxim ace čísla m á m ocnina tolik platných číslic, kolik platných číslic m á
základ.
Odmocnina z aproxim ace čísla m á tolik platných číslic, kolik platných číslic m á odmocňované
číslo.
53
P ři složitějších výpočtech zaokrouhlujeme dílčí výsledky tak, aby měly o jednu platnou číslici více, než
udávají předchozí pravidla; další výpočty provádím e s těmito zaokrouhlenými výsledky a s čísly, která
m ají jen o jednu platnou číslici více, než bude zapotřebí ve výsledku. Známe-li některý údaj s libo­
volnou přesností, pak k získání výsledku s k platnými číslicemi počítáme s údajem zaokrouhleným na k + 1
platnou číslici.
3.5 Grafy funkcí a jejich užití
G rafem funkce y = /(x ) nazývám e m nožinu všech bodů o souřadnicích [x, _y], kde x jsou hod­
noty prom ěnné a y jim příslušné hodnoty funkce. Pomocí tabulek snadno narýsujeme grafy tabeloPokyny
vaných funkcí tak, že k dvojcifemým hodnotám proměnné najdeme dvojciferné hodnoty funkcí a body
narýsujeme na milimetrový papír.
Grafy nejdůlcžitějších funkcí jsou u tabulek jednotlivých funkcí narýsovány. Grafy mohou sloužit k rych­
lému vyhledáni přibližné hodnoty funkce při odhadech nebo při kontrole správnosti výpočtu, ke sledování
průběhu funkce a ke grafickému řešení některých rovnic, které jinými metodami na střední škole řešit ne­
dovedeme.
Grafické řešení rovnic
Řešíme-li graficky rovnici /(x) = p(x), narýsujeme grafy funkcí y = /(x) a y = p{x) a určíme souřad­
nice průsečíků obou grafů. Má-li průsečík souřadnice [xo, .yo], pak platí yo = /(xo) a yo = p(x o), takže
/(*>) = P (x o ) ;
to však znamená, že xo je kořenem rovnice
/(x) = p{x) .
13
3
Např. rovnici 4x® — 13x — 6 = 0 upravíme na tvar x3 = — x - f —
13
3
4
2
a narýsujeme grafy funkd .y = x3 a y = — x + — .
Můžeme využít grafu funkce y = x3 na str. 70
nebo šablony grafů funkd Logarex 25 516.
3
y
Průsečíky obou grafů mají x-ové souřadnice — — , — — , 2,
3
takže kořeny rovnice jsou — — , — — , 2.
3.6
1
2
2
Ú prava tabulek
Před každou tabulkou funkce nebo před skupinou tabulek je výklad o tom, jak s tabulkou pracovat, pak
následují tabulky a grafy funkd.
54
4.1 Rozklad čísel v součin prvočísel
Tabulka obsahuje rozklady čísel 1—1 000 v součin prvočísel. Využije se při krácení zlomků, při určování
nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele.
Tabulka slouží i k vyhledávání všech prvočísel m enších než 1 000; jsou vytištěna polotučně ve sloupci
rozkladů.
4.2 Hodnoty a logaritm y hodnot některých konstant
Při výpočtech obsahů a objemů geometrických útvarů se často vyskytují výrazy s některými odmocninami
nebo se zlomky čísla n. K urychlení výpočtů jsou takové výrazy a jejich logaritmy obsaženy v tabulce 4.2.
Např. objem koule se počítá podle vzorce
V = jT zr* ;
4
v tabulce 4.2 najdeme, že — tc = 4,1888, takže počítáme
V = 4,1888 . r 3 .
4.3 Faktoriály
Tabulku užíváme např. k určení počtu permutací n prvků podle vzorce
V
P(ri) — n\ — n .( n — 1 ) ..........3 . 2 . 1
4.4 Binomičtí součinitelé
Tabulku užíváme k určení počtu ¿-členných kombinací z n prvků podle vzorce K(k, n) = ( ” ) a k výpočtu mocnin dvojčlenů podle binomické věty (viz vzorce na str. 26).
4.5 Mocniny čísla 2
Tabulky mocnin používáme např. při zapisování čísel ve dvojkové soustavě.
4.6 Pravidelné m nohoúhelníky
V
pravidelném mnohoúhelníku označíme
q ... poloměr kružnice vepsané
o ... obvod
r ... poloměr kružnice
S ... obsah
opsané
n ... počet stran
a ... délku strany
55
Je-li pro pravidelný n-úhelník dáno jedno z čísel a, r, g, o, S, vypočteme pomocí tabulky zbývající čísla.
Např. do kruhu o poloměru r = 10,0 cm je vepsán pravidelný sedmiúhelník. Vypočtěte a, q, o, S.
Řešení
Podle tabulky 4.6 platí:
r : a = 1,1524,
o : r = 6,0744
takže
5 : i* = 2,7364
g : r =- 0,9010
a = r : 1,1524,
o — r . 6,0744
S = r2 . 2,7364
q = r . 0,9010
tj.
a = 10,0cm : 1,1524 = 8,68cm
o = 10,0 cm . 6,0744 ^ 60,7 cm
5 = 100 cm2 . 2,7364 = 273 cm2
g = 10,0 cm . 0,9010 == 9,01 cm
Obdobně řešíme úlohy s jiným zadáním n-úhelníku.
4.7
Form áty papíru
Normalizované formáty papíru jsou si geometricky podobné a mají poměr stran x : y = 1 : }'2 =
= 1 : 1,414. Je to poměr strany čtverce a jeho úhlopříčky y = x \2 .
F orm áty téže řady vznikají postupným půlením delší strany, takže obsahy ploch sousedních for­
mátů téže řady jsou v poměru 1 : 2.
Hlavní řada A vychází z formátu, jehož plocha má obsah 1 m2. Jeho strany jsou x = 0,841 m, y =
= 1,189 m. Formáty hlavní řady A jsou formáty technických výkresů, sešitů aj.
Formáty doplňkové řady B jsou v geometrických středech mezi formáty hlavní řady A; formáty doplň­
kové řady C jsou v geometrických středech mezi formáty řady A a řady B.
56
4.1 Rozklad čísel v součin prvočísel
n
součin
n
součin
n
1 — 249
součin
n
součin
n
součin
50
2 .5 2
100
2 2.5 2
150
2 .3 .5 2
200
23. 5*
3.17
22. 13
53
2.33
5.11
23. 7
101
102
101
2.3.17
103
151
23. 19
32. 17
2.7.11
5.31
22.3.13
201
202
3.67
9
157
2.79
3.53
203
204
205
206
207
208
209
7.29
22. 3.17
5.41
2.103
23
32
51
52
53
54
55
56
57
58
59
10
2.5
11
12
11
22. 3
13
2.7
3.5
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
22
5
2.3
7
3.19
2 .2 9
59
103
104
105
106
107
108
109
23. 13
3 .5 .7
2.53
107
22.3 3
109
151
152
153
154
155
156
157
158
159
60
2 2. 3.5
110
2.5.11
160
25. 5
210
2 .3 .5 .7
61
62
63
64
65
111
112
32. 13
2.59
7.17
161
162
163
164
165
166
167
168
169
7.23
2 .3 4
163
22.41
3.5.11
2.83
167
2 3 .3 .7
211
212
113
114
115
116
117
118
119
3.37
24.7
113
132
213
214
215
216
217
218
219
211
22. 53
3.71
2.107
5.43
23.3 3
7.31
2.109
3.73
2.101
3*. 23
2*. 13
11.19
24
66
17
2 .3 2
19
67
69
61
2.31
32. 7
2#
5.13
2.3.11
67
22. 17
3.23
20
2 2. 5
70
2 .5 .7
120
23. 3.5
170
2.5.17
220
22. 5 .11
21
22
3.7
13.17
2 .3 .3 7
223
2.13
7.11
2.3 .1 3
79
2 .3 2. 7
127
27
3.43
2 .3 .2 9
52. 7
2“. 11
33
2 2. 7
29
171
172
173
174
175
176
177
178
179
32. 19
22. 43
173
2.37
3 .5 2
22. 19
123
124
125
126
127
128
129
ll2
2.61
3.41
221
222
23
2 3. 3
71
23. 3 2
73
121
122
23
24
25
26
27
28
29
71
72
73
74
75
76
77
78
79
30
2 .3 .5
80
2*.5
130
2.5.13
31
32
33
34
35
36
81
82
83
84
85
3«
2.41
83
88
23. 11
89
89
131
132
133
134
135
136
137
138
139
131
37
38
39
31
25
3.11
2.17
5.7
22.3 2
37
2.19
3.13
40
23.5
90
2 .3 2. 5
41
42
43
44
45
46
47
48
49
41
2 .3 .7
43
91
92
93
7.13
4.23
3.31
2 2. 11
94
95
96
97
98
99
13
14
15
16
17
18
19
2.11
52
32. 5
2.23
47
2* .3
72
68
2.3 .1 9
5.23
22. 29
3.59
2.89
179
223
224
225
226
227
228
229
227
22. 3.19
229
180
22.3 2. 5
230
2.5 .2 3
181
2 .7 .1 3
3.61
23.23
5.37
2.3.31
11.17
22. 47
33.7
231
232
233
234
235
236
237
238
239
3.7.11
23.29
233
2.67
33. 5
23. 17
137
2.3.23
139
181
182
183
184
185
186
187
188
189
140
22 . 5.7
190
2.5.19
240
2 \3 .5
3.47
2.71
11.13
2“.32
5.29
2.73
241
2.II2
38
2.97
3 .5 .1 3
22. 7 2
241
242
243
244
245
246
97
2 .7 2
32. 11
147
148
149
3 .7 2
22. 37
149
191
192
193
194
195
196
197
198
199
191
2.47
5.19
2 5. 3
141
142
143
144
145
146
197
2 .3 2. 11
199
247
248
249
86
2 2. 3.7
5.17
2.43
87
3.29
22. 31
53
22 . 3 .11
7.19
2 6. 3
193
2 5. 7
32.5 2
2.113
2 .3 2. 13
5.47
22. 59
3.79
2 .7 .1 7
239
2 2. 61
5 .7 2
2.3.41
13.19
23. 31
3.83
57
250—491
n
čísla
součin
n
součin
n
součin
n
součin
n
součin
250
2.5»
300
2*. 3.5*
350
2.5*.7
400
2«. 5*
450
2.3*. 5>
251
252
253
254
255
256
251
22. 3 a. 7
11.23
2.127
3.5 .1 7
2»
301
302
303
304
305
306
7.43
2.151
3.101
351
352
353
3*. 13
2M 1
353
24. 19
5.61
2.3*. 17
354
355
356
257
2.3.43
7.37
307
308
309
307
4.7.11
3.103
357
358
359
407
408
409
401
2.3 .6 7
13.31
2 *. 101
3«. 5
2.7 .2 9
11.37
2*.3.17
409
451
452
453
454
455
456
257
258
259
2 .3 .5 9
5.71
2*. 89
3.7 .1 7
2.179
359
401
402
403
404
405
406
457
458
459
11.41
22. 113
3.151
2.227
5.7.13
23. 3.19
457
2.229
33. 17
260
2*. 5.13
310
2.5.31
360
2*. 3*.5
410
2.5.41
460
2-, 5.23
192
411
412
413
414
415
416
417
418
419
3.137
2*. 103
7.59
2.3*. 23
5.83
25. 13
3.139
2.11.19
419
461
462
463
464
465
466
467
468
469
461
2.3.7.11
463
24. 29
3.5.31
2.233
467
22. 32. 13
7.67
261
262
263
264
265
266
32. 29
2.131
263
311
312
313
311
2». 3.13
313
361
362
363
2». 3.11
5.53
2 .7 .1 9
3.89
2*. 67
269
2.157
3*.5.7
2*. 79
317
2.3.53
11.29
364
365
366
267
268
269
314
315
316
317
318
319
367
368
369
2.181
3.11*
2*.7.13
5.73
2.3.61
367
2«.23
3*. 41
270
2 .3 3. 5
320
2». 5
370
2.5.37
420
2 * .3 .5 .7
470
2.5.47
271
272
273
274
275
276
321
322
323
3.107
2.7.23
17.19
371
372
373
7.53
2*. 3.31
373
324
325
326
2*. 3«
5*. 13
2.163
374
375
376
3.109
2*. 41
7.47
377
378
379
7.61
2*.107
3.11.13
471
472
473
474
475
476
477
478
479
3.157
23. 59
11.43
2.3.79
52.19
22. 7.17
327
328
329
2.11.17
3.5*
2*. 47
13.29
2 .3 3. 7
379
421
422
423
424
425
426
427
428
429
421
277
278
279
271
2«. 17
3.7 .1 3
2.137
5*. 11
2*.3.23
277
2.139
3*. 31
280
2». 5.7
330
2.3.5.11
380
2*.5.19
430
2.5.43
•180
~2^~. 3TŠ
281
282
283
284
285
286
287
288
289
281
2.3.47
283
331
2*. 83
3*. 37
2.7.31
3 .5 .2 9
2*. 109
481
482
483
484
485
486
13.37
2.241
3.7.23
5.7.11
2.193
3*.43
2*. 97
389
431
432
433
434
435
436
437
438
439
431
2 4. 3*
433
2.167
5.67
2*.3.7
337
2.13*
3.113
381
382
383
384
385
386
387
388
389
3.127
2.191
383
7.41
2*. 3*
1?2
331
332
333
334
335
336
337
338
339
19.23
2 .3 .7 3
439
487
488
489
5.97
2.3»
487
23. 61
3.163
290
2.5 .2 9
340
2*.5.17
390
2 .3 .5 .1 3
440
2 *.5.11
490
2.5.7*
291
292
293
294
295
296
297
298
299
3.97
2*. 73
293
341
342
343
344
345
346
347
348
349
11.31
2.3*.19
7*
2*. 43
3.5 .2 3
2.173
347
2*.3.29
349
391
392
393
394
395
396
397
398
399
17.23
441
442
443
444
445
446
447
448
449
32 .72
491
492
493
494
495
496
497
498
499
491
22. 3.41
17.29
2.13.19
3 * .5 .11
2*. 31
7.71
2.3.83
499
58
2*. 71
3 .5 .1 9
2.11.13
2.3.7*
5.59
2». 37
3*. 11
2.149
13.23
2 7. 3
2 3.72
3.131
2.197
5.79
2*. 3*.11
397
2.199
3 .7 .1 9
2.211
3*. 47
2J.53
5*. 17
2.3.71
2.13.17
443
2*.3.37
5.89
2.223
3.149
2«. 7
449
32. 53
2.239
479
2 *. 11*
500 —749
11
součin
n
součin
n
součin
n
součin
n
součin
500
2 2.5 3
550
2 .5 2. 11
600
23 .3 .5 2
650
2 .5 2.13
700
22 . 52.7
501
502
503
504
505
506
507
508
509
3.167
2.251
503
19.29
23. 3.23
7.79
2.277
3.5.37
22.139
557
2 .3 2.31
13.43
601
602
603
604
605
606
607
608
609
601
2.7.43
32 .67
22.151
5.11 2
2.3.101
607
26.19
3 .7 .2 9
651
652
653
654
655
656
657
658
659
3.7.31
22. 163
653
32.73
2.7 .4 7
659
701
702
703
704
705
706
707
708
709
701
2 .3 3. 13
19.37
23 .32.7
5.101
2 . 11 .&3
3.132
22.127
509
551
552
553
554
555
556
557
558
559
510
2 .3 .5 .1 7
560
2 * .5.7
610
2.5.61
660
22.3.5.11
710
2.5.71
511
512
513
7.73
2»
33. 19
2.257
5.103
22 . 3.43
3.11.17
2.281
563
661
662
663
661
2.331
3.13.17
2 2.3.47
5.113
2.283
3«.7
2».71
569
611
612
613
614
615
616
617
618
619
13.47
2.307
3.5.41
23 . 7.11
617
2.3.103
619
664
665
23. 83
5.7 .1 9
2.32.37
669
23.29
22.167
3.223
711
712
713
714
715
716
717
718
719
32.79
23. 89
23.31
2 .3 .7 .1 7
5.11.13
22. 179
11.47
2 .7 .3 7
3.173
561
562
563
564
565
566
567
568
569
520
23.5.13
570
2 .3 .5 .1 9
620
22.5.31
670
2.5 .6 7
720
2 4 .3 2. 5
521
522
523
521
2 .3 2. 29
523
571
22.11.13
3.191
621
622
623
33. 23
2.311
7.89
671
672
673
11.61
25 .3 .7
2.7.41
52.23
2 «. 32
674
675
676
577
2.172
3.193
624
625
626
627
628
629
24.3.13
5*
2.313
527
528
529
22.131
3.52.7
2.263
17.31
2*.3 .11
232
3.11.19
22.157
17.37
677
678
679
22.132
677
2.3.113
7.97
721
722
723
724
725
726
7.103
2.192
3.241
524
525
526
571
572
573
574
575
576
577
578
579
530
2.5.53
580
22. 5.29
630
2.32.5.7
680
531
532
533
534
535
536
537
538
539
32.59
22.7.19
13.41
2 .3 .8 9
5.107
23. 67
7.83
2.3 .9 7
11.53
23.73
32. 5.13
2.293
587
22 .3 .7 2
19.31
631
632
633
634
635
636
637
638
639
631
23. 79
3.211
2.317
5.127
2 2.3 .5 3
72.13
2.11.29
32.71
681
682
683
684
685
3.179
2.269
72 . l l
581
582
583
584
585
586
587
588
589
540
22 .3 8.5
590
2.5 .5 9
640
541
542
543
541
2.271
3.181
591
592
593
544
545
546
2S. 17
5.109
2 .3 .7 .1 3
547
22. 137
32. 61
594
595
596
3.197
2*.37
593
2 .3 3. 11
5.7.17
22. 149
641
642
643
644
645
646
597
598
599
3.199
2.13.23
599
647
648
649
514
515
516
517
518
519
547
548
549
22 . 32 .17
613
666
667
668
2.3.109
5.131
2*.41
673
2.337
2 ° .11
3 .5 .4 7
2.353
7.101
22.3.59
709
3.239
2.359
719
727
728
729
22.181
52.29
2.3.11*
727
23.7 .1 3
3«
23. 5.17
730
2 .5 .7 3
3.227
2.11.31
683
689
3.229
24.43
13.53
731
732
733
734
735
736
737
738
739
17.43
22.3.61
733
2.367
3 .5 .7 2
25. 23
11.67
2.32.41
739
27.5
690
2 .3 .5 .2 3
740
22.5.37
641
2.3.107
643
691
692
693
694
695
696
691
22.173
32.7.11
3.13.19
2.7.53
743
2.347
5.139
23. 3.29
697
698
699
17.41
2.349
3.233
741
742
743
744
745
746
747
748
749
22. 7.23
3.5 .4 3
2.17.19
647
28.34
11.59
686
687
688
33.52
2 2. 32 .19
5.137
2 .7 3
23. 3.31
5.149
2.373
32.83
22.11.17
7.107
59
750 — 1 000
n
součin
n
součin
n
součin
n
součin
n
součin
750
2.3.53
800
2». 5*
850
2.5*.17
900
2*. 3*. 5*
950
2.5*.19
751
752
753
754
755
756
757
758
759
751
24.47
3.251
2.13.29
5.151
2*. 3*. 7
3*. 89
2.401
11.73
2*. 3.67
5.7.23
2.13.31
3.269
23.101
809
851
852
853
854
855
856
857
858
859
23.37
2*. 3.71
853
2*.113
5.181
2.3.151
907
2*. 227
3*.101
951
952
953
954
955
956
957
958
959
3.317
2s . 7.17
953
2.7.61
3*. 5.19
2*. 107
857
2.3 .1 1 .1 3
859
901
902
903
904
905
906
907
908
909
17.53
2.11.41
3 .7 .4 3
757
2.379
3.11.23
801
802
803
804
805
806
807
808
809
760
23.5.19
810
2 .3 4. 5
860
2*. 5.43
910
2 .5 .7 .1 3
960
2 «.3.5
761
762
763
761
2.3.127
7.109
2*. 191
3*. 5.17
2.383
811
812
813
814
815
816
811
2*. 7.29
3.271
861
862
863
864
865
3.7.41
2.431
863
911
24. 3.19
11.83
2.457
3.5.61
2*. 229
961
962
963
964
965
966
13.59
19.43
2.409
3*.7.13
867
869
3.17*
2*.7.31
11.79
911
912
913
914
915
916
917
918
919
7.131
2.3*.17
919
967
968
969
31*
2.13.37
3*.107
2*. 241
5.193
2 .3 .7 .2 3
967
2 S. 11*
3.17.19
764
765
766
2.11.37
5.163
24. 3.17
866
2». 3*
5.173
2.433
2 .3 2. 53
5.191
22. 239
3.11.29
2.479
7.137
767
768
769
2 *.3
769
817
818
819
770
2.5.7.11
820
2*. 5.41
870
2 .3 .5 .2 9
920
23.5.23
970
2.5 .97
771
772
773
774
775
776
777
778
779
3.257
2*.193
773
2.3*.43
5*.31
2*. 97
3.7.37
2.389
19.41
821
822
823
824
825
826
827
828
829
821
2.3.137
823
871
872
873
13.67
2*. 109
3*. 97
921
922
923
971
972
973
2*.103
3 .5 * .11
2 .7.59
827
2*. 3*. 23
829
874
875
876
877
878
879
2.19.23
5*.7
2*. 3.73
924
925
926
877
2.439
3.293
927
928
929
3.307
2.461
13.71
2 2.3.7.11
5*. 37
2.463
32. 103
2S.29
929
977
978
979
971
2s. 3S
7.139
2.487
3 .5 2. 13
24. 61
977
2.3.163
11.89
780
22.3 .5 .13
830
2 .5.83
880
24 . 5.11
930
2.3.5.31
980
2*. 5.7»
781
782
783
3.277
2«. 13
7*. 17
2.3.139
5.167
2*.11.19
881
882
883
884
885
931
932
933
2*.13.17
3 .5 .5 9
2.443
934
935
936
787
22. 197
3.263
33.31
2.419
839
887
889
887
2*. 3.37
7.127
937
938
939
7*. 19
2*. 233
3.311
2.467
5.11.17
2 3 . 3*. 13
937
2 .7 .6 7
3.313
981
982
983
984
985
986
987
988
989
3*.109
2.491
983
23.3.41
5.197
2.17.29
787
788
789
831
832
833
834
835
836
837
838
839
881
2.3*.7*
883
784
785
786
11.71
2.17.23
3*. 29
2«. 7*
5.157
2.3.131
790
2 .5.79
840
23.3.5.7
890
2.5.89
940
2*. 5.47
990
2.3*.5.11
791
792
793
794
795
796
7.113
2*. 3*.11
13.61
2.397
3.5.53
2*. 199
797
2 .3 .7 .1 9
17.47
841
842
843
844
845
846
847
848
849
29*
2.421
3.281
34.11
2*.223
19.47
2.3.149
5.179
27.7
941
942
943
944
945
946
941
2.3.157
23.41
2«. 59
3*.5.7
2.11.43
7.11*
24.53
3.283
897
898
899
3.13.23
2.449
29.31
947
948
949
947
2*.3.79
13.73
991
992
993
994
995
996
997
998
999
991
2*. 31
3.331
5.13*
2.3*. 47
891
892
893
894
895
896
1 000
2 3 .5*
797
798
799
60
2*.211
868
886
888
974
975
976
3 .7 .4 7
2*.13.19
23.43
2.7.71
5.199
2«.3.83
997
2.499
33.37
4.2 H odnoty a logaritm y hodnot některých konstant
n
1,4142
0,7071
}l2
1/ 2/2
n
log n
n
log n
0,1505
1/3
1,7321
0,2386
0,8495-1
1/3/2
0,8660
0,9375-1
V3/3
0,5774
0,7614-1
1^3/4
0,4330
j/3/6
0,2887
0,6365-1
0,4604-1
0,4971
1/tc
0,7982
1,0992
l / 2 ir
1/4 jr
0,3183
0,1592
0,2018-1
0,0796
0,9008-2
2,7183
0,3679
e
0,5029-1
log «
1/e
0,4343
0,5657-1
1/í /tt
y1/271
0,5642
0,3989
0,7514-1
0,2821
0,7979
0,4504-1
0,9019-1
271
3,1416
6,2832
4tt
12,5664
tc/2
0,1961
2/ k
0,6366
0,8039-1
rc/3
1,5708
1,0472
Vi /4 tt
]/2fn
0,0200
3In
0,9549
0,9800-1
V3/tc
0,9772
0,9900-1
ir/4
0,7854
0,8951-1
4 /tz
1,2732
1,1284
0,0625
0,5236
0,7190-1
6/tt
1,9099
V ď/ tt
it/12
0,2618
1/12/7c
0,1405
0,2910
1,7581
1/180/tt
7,5694
0,8791
tt/360
0,0175
0,0087
12/tt
180/jt
1,3820
1,9544
7t/180
0,4180-1
0,2419-2
0,1049
0,2810
0,5820
1 4j n
TI16
2,0592
V 360/ti
47r/3
4,1888
0,3779-1
j/ 3 / 4 tt
ir
0,9408-3
360/tt
0,6221
3 / 4 tt
Hodnoty k . 2tt, kde k — 1, 2, 3,
3,8197
57,296
114,59
0,2387
10,705
0,6204
0,6009-1
Čísla
1,0296
0,7926-1
10, jsou uvedeny na str. 86 , 87 dole.
4.3 Faktoriály
0!
1!
2!
1
1
2
6
3!
4!
5!
61
7!
8!
9!
10!
24
120
21!
22!
1!
2!
1
2
3!
4!
5!
2 .3
23.3
2 3 .3 .5
23!
24!
25!
11 !
12!
13!
14!
15!
51 090942 171709 440000
1124 000727 777607 680000
25852 016738 884976 640000
620448 401733 239439 360000
15 511210 043330 985984 000000
23!
24!
25!
21!
22!
720
5040
40320
362880
3 628800
6!
7!
8!
9!
10!
2 4.3 2.5
2 4 .3 2 .5 .7
27.3 2 .5 .7
2 7.3 4 .5 .7
2 8.3 4.5 2.7
11!
12!
13!
14!
15!
2 18.3 9.5 4 .73.11 .13.17.19
219.3 9.5 4 .73. I I 2. 13.17.19
2 19.3 9.5 4 .73. I I 2. 13.17.19.23
222. 310. 5 4. 73 . n 2 . 13.17.19.23
222. 310. 56. 73 . u 2. 13 . 17 . 19.23
39 916800
479 001600
6227 020800
87178 291200
1 307674 368000
26!
27!
28!
29!
30!
16!
17!
18!
19!
20!
403 291461 126605 635584 000000
10888 869450 418352 160768 000000
304888 344611 713860 501504 000000
8 841761 993739 701954 543616 000000
265 252859 812191 058636 308480 000000
2 8 .3 4 .5 2. 7 . 11
2 10.3 5.5 2. 7 . 11
210.35.52.7.11.13
2U.35.5 2.7 2.11.13
2n .38.53.7 2.11.13
26!
27!
28!
29!
30!
20 922789 888000
355 687428 096000
6402 373705 728000
121645 100408 832000
2 432902 008176 640000
16!
17!
18!
19!
20!
215.3«.5 3. 72.11.13
215 .36 .53 .72 .1 1 .1 3 .1 7
216.3 8.5 3.7 2.1 1 .1 3 .17
218.3 8.5 3.7 2.1 1 .1 3 .1 7 .19
218.3 8.5 4.7 2.11.13.17.19
2 2 3 .3 1 0 .5 6 .7 3 .n 2 .1 3 2 .1 7 .19.23
2 2 3 .3 1 3 .5 6 .7 3 .n 2 . 132 .1 7.1 9 .2 3
2 25 .313.56. 7 4. 112 .132 .1 7 .1 9 .23
2 25. 318 .5 6 .74 .1 1 2 .13 2 .1 7. 19 . 2 3 .2 9
2 26.314. 5 7 . 74 . 1 1 2 .1 3 2 .1 7 . 19 . 2 3 .2 9
61
4.4
n
Binom ičtí součinitelé
(S)
(?)
1
2
3
1
1
1
2
3
1
3
1
4
5
1
1
1
4
5
6
6
10
15
4
10
20
1
5
15
1
6
1
9
1
1
1
7
8
9
21
28
36
35
56
84
35
70
126
21
56
126
7
28
84
1
8
36
1
9
1
10
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
6
7
8
4.5
©
©
©
©
©
(?)
©
©
(.o)
1
n
1
2
3
'
4
5
6
7
8
9
1
10
Mocniny čísla 2
n
2"
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
8
16
32
64
128
256
512
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2”
1 024
2 048
4 096
8 192
16 384
32 768
65 536
131 072
262 144
n
2»
n
2"
n
2n
19
20
21
22
23
24
25
26
27
524 288
1 048 576
2 097 152
4 194 304
8 388 608
16 777 216
33 554 432
67 108 864
134 217 728
28
29
30
31
32
33
34
35
36
268 435 456
536 870 912
1 073 741 824
2 147 483 648
4 294 967 296
8 589 934 592
17 179 869 184
34 359 738 368
68 719 476 736
37
38
39
40
41
42
43
44
45
137 438 953 472
274 877 906 944
549 755 813 888
1 099 511 627 776
2 199 023 255 552
4 398 046 511 104
8 796 093 022 208
17 592 186 044 416
35 184 372 088 832
4.6 Pravidelné m nohoúhelníky
n
r:a
r :
q
q:
a
í? : *
o :r
o:g
S
5 :r*
S : q*
3
4
5
0,5774
0,7071
0,8507
2,0000
1,4142
1,2361
0,2887
0,5000
0,6882
0,5000
0,7071
0,8090
5,1962
5,6569
5,8779
10,3923
8,0000
7,2654
0,4330
1,0000
1,7205
1,2990
2,0000
2,3776
5,1962
4,0000
3,6327
6
7
8
9
1,0000
1,1524
1,3066
1,4619
1,1547
1,1099
1,0824
1,0642
0,8660
1,0383
1,2071
1,3737
0,8660
0,9010
0,9239
0,9397
6,0000
6,0744
6,1229
6,1564
6,9282
6,7420
6,6274
6,5515
2,5981
3,6339
4,8284
6,1818
2,5981
2,7364
2,8284
2,8925
3,4641
3,3710
3,3137
3,2757
10
1,6180
1,0515
1,5388
0,9511
6,1813
6,4984
7,6942
2,9389
3,2492
11
12
13
14
15
1,7747
1,9319
2,0893
2,2470
2,4049
1,0422
1,0353
1,0299
1,0257
1,0223
1,7028
1,8660
2,0286
2,1906
2,3523
0,9595
0,9659
0,9709
0,9749
0,9781
6,1981
6,2117
6,2222
6,2306
6,2373
6,4598
6,4308
6,4084
6,3908
6,3767
9,3656
11,1962
13,1858
15,3345
17,6424
2,9735
3,0000
3,0207
3,0372
3,0505
3,2299
3,2154
3,2042
3,1954
3,1883
16
17
18
19
2,5629
2,7211
2,8794
3,0378
1,0196
1,0173
1,0154
1,0138
2,5137
2,6748
2,8356
2,9963
0,9808
0,9830
0,9848
0,9864
6,2429
6,2475
6,2513
6,2546
6,3652
6,3557
6,3478
6,3411
20,1094
22,7355
25,5208
28,4452
3,0615
3,0706
3,0782
3,0846
3,1826
3,1779
3,1739
3,1705
20
3,1962
1,0125
3,1569
0,9877
6,2574
6,3354
31,5688
3,0902
3,1677
24
48
96
192
384
3,8306
7,6449
15,2816
30,5591
61,1162
1,0086
1,0021
1,0005
1,0001
1,0000
3,7979
7,6285
15,2734
30,5550
61,1141
0,9914
0,9979
0,9995
0,9999
1,0000
6,2653
6,2787
6,2821
6,2829
6,2831
6,3193
6,2922
6,2854
6,2837
6,2833
45,5745
183,085
733,124
2933,28
11733,9
3,1058
3,1326
3,1394
3,1410
3,1415
3,1597
3,1461
3,1427
3,1419
3,1417
63
5 F U N K C E x^x3
5.1
D ruhá m ocnina a odm ocnina
V tabulce 5.1 jsou uvedeny hodnoty funkce y = x2, zaokrouhlené na čtyři platné číslice, pro x rostoud
po 0,01 v intervalu <1,00; 10,09).
Má-li číslo jen dvč (tři) platné čislice, pak i jeho druhá mocnina má jen dvě (tři) platné číslice.
Vyhledávání hodnot je popsáno na str. 52.
Příklady:
2,2462
5,018 ... řádek 2,2, sloupec 4
+ 27 ... sloupec 6 oprav
5,045
9,3002 == 86,49 ... řádek 9,3, sloupec 0
Má-li 9,3 jen dvč platné číslice, je 9,32 r= 86.
Máme-li určit druhou mocninu čísla n, které není z intervalu <1,00; 10,09), napíšeme n jako součin
»o • 10*, kde no je číslo z intervalu <1,00; 10,09) a k je celé číslo. Pak n2 = n%. 102*.
Příklady:
80822 = (8,082 . 103)2 = 8,0822 . 10« = 65,32 . 10«
0,015072 = (1,507 . 10-2)2 = 1,5072 . 10-“ = 2,272 . 10~4
Tabulka 5.1 slouží také k hledání druhých odm ocnin čísel.
Najdeme-li v tabulce hodnot číslo, jehož druhou odmocninu hledáme, čteme v záhlaví příslušného řádku
první dvě platné číslice a v záhlaví příslušného sloupce třetí platnou ďslid. Není-li dané číslo v tabulce,
najdeme odmocninu z čísla nejbližšího k danému číslu nebo určíme čtvrtou platnou d slid pomod tabulek
oprav v pravé části tabulek.
Příklady:
1/9,734 = 3,12
9,734
... řádek 3,1, sloupec 2
^2345 = 1,531
2,341
... řádek 1,5, sloupec 3
4
... k diferend 4 nejbližší oprava 3 ve sloupd 1
Uvedeným postupem hledáme druhé odmocniny čísel z intervalu <1,00; 99,80). Máme-li určit druhou
odmocninu z čísla n, které není z uvedeného intervalu, vyjádříme n jako součin no . 102*, kde «0 je z in­
tervalu <1,00; 99,80) (má před desetinnou čárkou jednocifernou nebo dvojdfemou skupinu číslic).
Pak
j/«o. 102* = ^«o . 10*.
Příklady:
^885,7 = V'8,857. 102 = j/8,857 . 10 = 29,76
ý š 857" = j/88,57 . 102 = ^8837 . 10 = 9,411. 10 = 94,11
y57004 955 = y49,55 . 10-4 = ^49,55 . 10'2 = 7,039 . 1 0 '2 = 0,070 39
Druhá odmocnina má právě tolik platných číslic, jako odmocňované číslo. Např. ^43,00 = 6,558,
J/43 = 6,6.
Na str. 70 je sestrojen graf funkce y = x2, pomod něhož můžeme odhadovat druhé mocniny a druhé
odmocniny, a který umožňuje grafické řešení kvadratické rovnice (str. 54).
64
5.2 T ře tí m ocnina a odm ocnina
V tabulce 5.2 jsou uvedeny hodnoty funkce y — xz, zaokrouhlené na čtyři platné číslice, pro x rostoucí
po 0,01 v intervalu <1,00; 10,09).
Úprava tabulky a postup při hledání třetích mocnin a třetích odmocnin je obdobný jako při hledání dru­
hých mocnin a odmocnin.
Význam tečkované čáry mezi hodnotami funkce a vypočtenými opravami je vysvětlen na str. 52.
Máme-li určit třetí mocninu čísla n, které není z intervalu <1,00; 10,09), napíšeme ti jako součin « o -10*,
kde no je číslo z intervalu <1,00; 10,09) a k je celé číslo; pak n3 — t il . I®3*Máme-li určit třetí odmocninu z čísla n, které není z intervalu <1,00; 997,0), vyjádříme n jako součin
«o. 103Ar, kde no je z intervalu <1,00; 997,0) (má před desetinnou čárkou jednocifernou až třícifernou
skupinu číslic); pak
. 3 ___________
}/TIq
.
103*
3 _
=
}/„0 . 10* .
Třetí mocnina a třetí odmocnina čísel, která mají čtyři (tři, dvě, jednu) platné číslice, má rovněž čtyři
(tři, dvě, jednu) platné aslice.
P říklad y :
2,3673
13jl4 + 0jl2 = 13,26
67,83» = (6,783 . 10)3 = 6,7833 . 103 ^ 312,1 . 103 = 312 100
8,043 = 520 (8,04 i 520 mají po třech platných číslicích)
3 _______
^482,5 ==7,843
481,9 ... řádek 7,8, sloupec 4
6 ... diference 6 ve sloupci 3 oprav
3 _________ 3 ____________________3 ______________
|/0,2182 = |/218,2 . ÍO-3 = ]/218,2 . 10-1 = 6,02 . 10“1 = 0,602
Na str. 70 je sestrojen graf funkce y — x:i, pomocí něhož můžeme odhadovat třetí mocniny a třetí od­
mocniny a který umožňuje grafické řešení rovnic třetího stupně (viz př. na str. 54).
5.1
D ruhá m ocnina
Většímu n odpovídá větší n*.
tl
0
1,0
1,000
1,020 1,040 1,061
1,082 1,103 1,124
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,210
1,440
1,690
1,232 1,254 1,277
1,464 1,488 1,513
1,716 1,742 1,769
1,960
2,250
2,560
1,7
1,8
1,9
1
2
4
6
8 10 13
15 17 19
1,300 1,323 1,346
1,538 1,563 1,588
1,796 1,823 1,850
1,369 1,392 1,416
1,613 1,638 1,664
1,877 1,904 1,932
2
2
3
5
5
5
9 11 14
10 12 15
11 13 16
16 18 21
17 20 22
19 22 24
1,988 2,016 2,045
2,280 2,310 2,341
2,592 2,624 2,657
2,074 2,103 2,132
2,372 2,403 2,434
2,690 2,723 2,756
2,161 2,190 2,220
2,465 2,496 2,528
2,789 2,822 2,856
3
3
3
7
7
8
6 9
6 9
7 10
12 14 17
12 15 19
13 16 20
20 23 26
22 25 28
23 26 30
2,890
3,240
3,610
2,924 2,958 2,993
3,276 3,312 3,349
3,648 3,686 3,725
3,028 3,063 3,098
3,386 3,423 3,460
3,764 3,803 3,842
3,133 3,168 3,204
3,497 3,534 3,572
3,881 3,920 3,960
3
4
4
7 10
7 11
8 12
14 17 21
15 18 22
16 19
24 28 31
26 30 33
27 31 35
2,0
4,000
4,040 4,080 4,121
4,162 4,203 4,244
4,285 4,326 4,368
4
8 12
16 20 25
29 33 37
2,1
2,2
2,3
4,410
4,840
5,290
4,452 4,494 4,537
4,884 4,928 4,973
5,336 5,382 5,429
4,580 4,623 4,666
5,018 5,063 5,108
5,476 5,523 5,570
4,709 4,752 4,796
5,153 5,198 5,244
5,617 5,664 5,712
4
4
5
9 13
9 13
9 14
17 21 26
18 22 27
19 23 28
30 34 39
31 36 40
33 38 42
2,4
2,5
2,6
5,760
6,250
6,760
5,808 5,856 5,905
6,300 6,350 6,401
6,812 6,864 6,917
5,954 6,003 6,052
6,452 6,503 6,554
6,970 7,023 7,076
6,101 6,150 6,200
6,605 6,656 6,708
7,129 7,182 7,236
5 10 15
5 10 15
5 11 16
20 24 29
20 25 31
21 26 32
34 39 44
36 41 46
37 42 48
2,7
2,8
2,9
7,290
7,840
8,410
7,344 7,398 7,453
7,896 7,952 8,009
8,468 8,526 8,585
7,508 7,563 7,618
8,066 8,123 8,180
8,644 8,703 8,762
7,673 7,728 7,784
8,237 8,294 8,352
8,821 8,880 8,940
5 11 16
6 11 17
6 12 18
22 27 33
23 28 34
24 29 35
38 14 49
40 46 51
41 47 53
3,0
9,000
9,060 9,120 9,181
9,242 9,303 9,364
9,425 9,486 9,548
6 12 18
24 30 37
43 49 55
3,1
3,1
3,2
3,3
9,610
9,672 9,734 9,797
9,860 9,923 9,986
10,24
10,89
10,30 10,37 10,43
10,96 11,02 11,09
10,50 10,56 10,63
11,16 11,22 11,29
10,05 10,11 10,18
10,69 10,76 10,82
11,36 11,42 11,49
6 13 19
1 1 2
1 1 2
1 1 2
25 31 38
3 3 4
3 3 4
3 3 4
44 50 56
5 5 6
5 5 6
5 5 6
3,4
3,5
3,6
11,56
12,25
12,96
11,63 11,70 11,76
12,32 12,39 12,46
13,03 13,10 13,18
11,83 11,90 11,97
12,53 12,60 12,67
13,25 13,32 13,40
12,04 12,11 12,18
12,74 12,82 12,89
13,47 13,54 13,62
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
6
6
6
6
6
7
3,7
3,8
3,9
13,69
14,44
15,21
13,76 13,84 13,91
14,52 14,59 14,67
15,29 15,37 15,44
13,99 14,06 14,14
14,75 14,82 14,90
15,52 15,60 15,68
14,21 14,29 14,36
14,98 15,05 15,13
15,76 15,84 15,92
1 2
1 2
1 2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
4,0
16,00
16,08 16,16 16,24
16,32 16,40 16,48
16,56 16,65 16,73
1
2
2
3
4
5
6
6
7
4,1
-»,2
4,3
16,81
17,6-1
18,49
16,89 16,97 17,06
17,72 17,81 17,89
18,58 18,66 18,75
17,14 17,22 17,31
17,98 18,06 18,15
18,84 18,92 19,01
17,39 17,47 17,56
18,23 18,32 18,40
19,10 19,18 19,27
1 2
1 2
1 2
2
3
3
3
3
3
4
1
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
4,4
4,5
4,6
19,36
20,25
21,16
19,45 19,54 19,62
20,34 20,43 20,52
21,25 21,34 21,44
19,71 19,80 19,89
20,61 20,70 20,79
21,53 21,62 21,72
19,98 20,07 20,16
20,88 20,98 21,07
21,81 21,90 22,00
1 2
1 2
1 2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
7
6
7
7
7
8
8
8
4,7
4,8
4,9
22,09
23,04
24,01
22,18 22,28 22,37
23,14 23,23 23,33
24,11 24,21 24,30
22,47 22,56 22,66
23,43 23,52 23,62
24,40 24,50 24,60
22,75 22,85 22,94
23,72 23,81 23,91
24,70 24,80 24,90
1 2
1 2
1 2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
5,0
25,00
25,10 25,20 25,30
25,40 25,50 25,60
25,70 25,81 25,91
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5,1
5,2
5,3
26,01
27,04
28,09
26,11 26,21 26,32
27,14 27,25 27,35
28,20 28,30 28,41
26,42 26,52 26,63
27,46 27,56 27,67
28,52 28,62 28,73
26,73 26,83 26,94
27,77 27,88 27,98
28,84 28,94 29,05
1 2
1 2
1 2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8 9
8 9
9 10
5,4
5,5
29,16
30,25
29,27 29,38 29,48
30,36 30,47 30,58
29,59 29,70 29,81
30,69 30,80 30,91
29,92 30,03 30,14
31,02 31,14 31,25
1 2
1 2
3
3
4
4
6
6
7
7
8
8
9 10
9 10
n
0
2
3
4
5
6
7
8
5
6
6
7
8
7
8
9
9
1
23
Posune-li se v čísle n desetinná čárka o jedno m ísto, posune se desetinná čárka v čísle n s o dvě místa.
66
7
9
1,145 1,166 1,188
4
5
8
3 1 4
3
4
6
2
2
3
5
1
1
2
9
5.1
D ruhá m ocnina
y =
x*
Většímu n odpovídá větší n 2.
1 2
3
4
5
6
7 8
31,02 31,14 31,25
32,15 32,26 32,38
1
1
2
2
3
3
4
5
6
6
7
7
8
8
32,95 33,06 33,18
34,11 34,22 34,34
35,28 35,40 35,52
33,29 33,41 33,52
34,46 34,57 34,69
35,64 35,76 35,88
1
1
1
2
2
2
3
4
4
5 6
5 6
5 6
7
7
7
8 9 10
8 9 11
8 10 11
36,12 36,24 36,36
36,48 36,60 36,72
36,84 36,97 37,09
1
2
4
5
6
7
9 10 11
37,33
38,56
39,82
41,09
42,38
43,69
45,02
46,38
47,75
37,58
38,81
40,07
41,34
42,64
43,96
45,29
46,65
48,02
37,70 37,82 37,95
38,94 39,06 39,19
40,20 40,32 40,45
38,07 38,19 38,32
39,31 39,44 39,56
40,58 40,70 40,83
7
8
8
9 10 11
9 10 11
9 10 11
41,47 41,60 41,73
42,77 42,90 43,03
44,09 44,22 44,36
5 6 8
5 7 8
5 7 8
9 10 12
9 10 12
9 11 12
45,43 45,56 45,70
46,79 46,92 47,06
48,16 48,30 48,44
41,86
43,16
44,49
45,83
47,20
48,58
4
4
4
1 3 4
1 3 4
1 3 4
1 3 4
1 3 4
1 3 4
5 6
5 6
5 6
6,9
37,21
38,44
39,69
40,96
42,2$
43,56
44,89
46,24
47,61
5 7 8
5 7 8
6 7 8
9 11 12
10 11 12
10 11 13
7,0
49,00
49,14 49,28 49,42
49,56 49,70 49,84
49,98 50,13 50,27
1
4
6
7 8
10 11 13
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
50,41
51,84
53,29
54,76
56,25
57,76
59,29
60,84
62,41
50,55
51,98
53,44
54,91
56,40
57,91
59,44
61,00
62,57
50,98
52,42
53,88
55,35
56,85
58,37
3 4
3 4
3 4
1 3 4
2 3 5
2 3 5
2 3 5
2 3 5
2 3 5
6
6
6
10 11 13
10 12 13
10 12 13
6
6
6
7 9
7 9
7 9
7 9
8 9
8 9
59,91 60,06 60,22
61,47 61,62 61,78
63,04 63,20 63,36
51,41
52,85
54,32
55,80
57,30
58,83
60,37
61,94
63,52
6
6
6
8 9
8 9
8 10
11 12 14
11 13 14
11 13 14
8,0
64,00
64,16 64,32 64,48
64,64 64,80 64,96
65,12 65,29 65,45
2
3
5
6
8 10
11 13 14
8,1
8,2
65,61
67,24
68,89
66,10
67,73
69,39
71,06
72,76
74,48
66,26 66,42 66,59
67,90 68,06 68,23
69,56 69,72 69,89
5
5
5
5
5
5
8 10
8 10
8 10
11 13 15
12 13 15
12 13 15
7 8 10
7 9 10
7 9 10
12 14 15
12 14 15
12 14 16
75,86 76,04 76,21
77,62 77,79 77,97
79,39 79,57 79,74
76,39 76,56 76,74
78,15 78,32 78,50
79,92 80,10 80,28
76,91 77,09 77,26
78,68 78,85 79,03
80,46 80,64 80,82
5
5
5
7
7
7
9 11
9 11
9 11
12 14 16
12 14 16
8,9
75,69
77,44
79,21
3
3
3
2 3
2 3
2 3
2 4
2 4
2 4
7
7
7
71,23 71,40 71,57
72,93 73,10 73,27
74,65 74,82 75,00
66,75
68,39
70,06
71,74
73,44
75,17
2
2
2
70,56
72,25
73,96
65,77
67,40
69,06
70,73
72,42
74,13
13 14 16
9,0
81,00
81,18 81,36 81,54
81,72 81,90 82,08
82,26 82,45 82,63
2
4
5
7
9 11
13 14 16
9,1
9,2
9,3
82,81
84,64
86,49
83,91
85,75
87,61
89,49
91,39
93,32
2
2
2
4 5
4 6
4 6
7 9 11
7 9 11
7 9 11
88,36
90,25
92,16
94,09
96,04
98,01
83,54
85,38
87,24
89,11
91,01
92,93
84,09 84,27 84,46
85,93 86,12 86,30
87,80 87,98 88,17
9,4
9,5
9,6
82,99 83,17 83,36
84,82 85,01 85,19
86,68 86,86 87,05
88,55 88,74 88,92
90,44 90,63 90,82
92,35 92,54 92,74
89,68 89,87 90,06
91,58 91,78 91,97
93,51 93,70 93,90
2
2
2
4 6
4 6
4 6
8 9 11
8 10 11
8 10 12
13 15 16
13 15 17
13 15 17
13 15 17
13 15 17
14 15 17
94,28 94,48 94,67
96,24 96,43 96,63
98,21 98,41 98,60
94,87 95,06 95,26
96,83 97,02 97,22
98,80 99,00 99,20
95,45 95,65 95,84
97,42 97,61 97,81
99,40 99,60 99,80
2
2
2
4 6
4 6
4 6
8 10 12
8 10 12
10 12
8
14 16 18
14 16 18
14 16 18
2
4
6
8 10 12
14 16 18
1 2
3
4
n
0
5,5
5,6
30,36 30,47 30,58
31,47 31,58 31,70
30,69 30,80 30,91
31,81 31,92 32,04
5,7
5,8
5,9
30,25
31,36
32,49
33,64
34,81
32,60 32,72 32,83
33,76 33,87 33,99
34,93 35,05 35,16
6,0
36,00
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
9,7
9,8
9,9
1
2
37,45
38,69
39,94
41,22
42,51
43,82
45,16
46,51
47,89
50,69
52,13
53,58
55,06
56,55
58,06
59,60
61,15
62,73
65,93
67,57
69,22
70,90
72,59
74,30
3
50,84
52,27
53,73
55,20
56,70
58,22
59,75
61,31
62,88
4
5
51,12
52,56
54,02
55,50
57,00
58,52
83,72
85,56
87,42
89,30
91,20
93,12
6
51,27
52,71
54,17
55,65
57,15
58,68
7
8
41,99
43,30
44,62
45,97
47,33
48,72
51,55
53,00
54,46
55,95
57,46
58,98
60,53
62,09
63,68
66,91
68,56
70,22
71,91
73,62
75,34
9
42,12
43,43
44,76
46,10
47,47
48,86
51,70
53,14
54,61
56,10
57,61
59,14
60,68
62,25
63,84
67,08
68,72
70,39
72,08
73,79
75,52
10,0 100,00 100,20 100,40 100,60 100,80 101,00 101,20 101,40 101,61 101,81
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2
1 3
1 3
3
1
1
1
5
6
9|
9 10
9 10
10 12 13
11 12 14
11 12 14
7 8
9
Posune-li se v čísle n desetinná čárka o jedno m ísto, posune se desetinná čárka v čísle n 2 o dvě místa.
67
5.2
T řetí m ocnina
y —x1
Vétšímu n odpovídá větší n3.
2
6
1,0
1,000
1,030 1,061 1,093
1,125 1,158 1,191
1,1
1,2
1,331
1,728
2,197
2,744
3,375
4,096
1,368 1,405 1,443
1,772 1,816 1,861
2,248 2,300 2,353
1,482
1,907
2,406
2,986
3,652
4,411
5,268
6,230
7,301
1,561
2,000
2,515
3,112
3,796
4,574
5,452
6,435
7,530
1
2 3
4
1,225 1,260 1,295
: 3
7 10
13 17 20
23 26 30
1,602 1,643 1,685
2,048 2,097 2,147
2,571 2,628 2,686
3,308
4,020
4,827
5,735
6,751
7,881
: 4 8 12
: 5 9 14
: 5 11 16
: 6 13 19
: 7 14 22
: 8 16 25
: 9 18 28
: 10 21 31
:11 23 34
16 20 24
19 23 28
22 27 33
25 32 38
29 36 43
33 41 49
37 46 55
41 51 62
46 57 68
28
33
38
44
50
57
64
72
80
8,870 8,999 9,129
:13 25 38
50 63 76 88 101 113
41
4
5
5
5
54 68 81 95 108 122
6 7 9 10 11 13
6 8 9 11 12 14
7 8 10 12 13 15
7 9 11 13 14 16
8 10 12 14 16 18
8 11 13 15 17 19
9 11 14 16 18 20
10 12 15 17 20 22
10 13 16 18 21 23
11 14 17/ 20 22 25
3,177
3,870
4,657
5,545
6,539
7,645
8
3,242
3,944
4,742
5,640
6,645
7,762
9
1,9
4,913
5,832
6,859
2,0
8,000
8,121 8,242 8,365
9,261
9,394 9,528 9,664
9,800 9,938
10,65
12,17
10,79 10,94 11,09
12,33 12,49 12,65
10,08
11,24 11,39 11,54
12,81 12,98 13,14
10,22 10,36 10,50
11,70 11,85 12,01
13,31 13,48 13,65
13,82
15,63
17,58
1,6
1,7
1,8
2,1
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,924
3,582
4,331
5,178
6,128
7,189
1,521
1,953
2,460
3,049
3,724
4,492
5,359
6,332
7,415
7
2,803
3,443
4,173
5,000
5,930
6,968
1,4
1,5
2,863
3,512
4,252
5,088
6,029
7,078
3
5
0
1,3
1
4
n
8,490 8,615 8,742
:14 27
1 3
2 3
2 3
2 4
2 4
2 4
5
6 i
7 8
1
33 37
38 42
44 49
50
58
65
74
82
91
57
65
74
83
93
103
15,07 15,25 15,44
16,97 17,17 17,37
19,03 19,25 19,47
2,9
14,35
16,19
18,19
20,35
22,67
25,15
14,53 14,71 14,89
16,39 16,58 16,78
18,40 18,61 18,82
19,68
21,95
24,39
14,00
15,81
17,78
19,90
22,19
24,64
20,57 20,80 21,02
22,91 23,15 23,39
25,41 25,67 25,93
21,25 21,48 21,72
23,64 23,89 24,14
26,20 26,46 26,73
3
5 7
D 7
5 8
3,0
27,00
27,27 27,54 27,82
28,09 28,37 28,65
28,93 29,22 29,50
3
6
3,1
3,2
3,3
29,79
32,77
35,94
39,30
42,88
46,66
30,08 30,37 30,66
33,08 33,39 33,70
36,26 36,59 36,93
41,78 42,14 42,51
45,50 45,88 46,27
49,43 49,84 50,24
3 6 9
3 6 10
3 7 10
4 7 11
4 8 11
4 8 12
13
13
14
15
16
51,06 51,48 51,90
55,31 55,74 56,18
59,78 60,24 60,70
31,55
34,65
37,93
41,42
45,12
49,03
53,16
57,51
62,10
31,86 32,16 32,46
34,97 35,29 35,61
38,27 38,61 38,96
50,65
54,87
59,32
30,96
34,01
37,26
40,71
44,36
48,23
52,31
56,62
61,16
53,58 54,01 54,44
57,96 58,41 58,86
62,57 63,04 63,52
4 8 13
4 9 13
5 9 14
17 21 25
18 22 27
19 23 28
24
25
27
28
30
31
33
4,0
64,00
64,48 64,96 65,45
65,94 66,43 66,92
67,42 67,92 68,42
5 10 15
20 25 30
34 39 44
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,6
4,7
4,8
4,9
68,92
74,09
79,51
85,18
91,13
97,34
69,43
74,62
80,06
85,77
91,73
97,97
70,96
76,23
81,75
87,53
93,58
99,90
71,99
77,31
82,88
88,72
94,82
72,51
77,85
83,45
89,31
95,44
73,03
78,40
84,03
89,92
96,07
73,56
78,95
84,60
90,52
96,70
5 10 16
5 11 16
6 11 17
: 6 12 18
: 6 12 19
: 6 13 19
21 26 31
22 27 33
100,5 101,2
117,6
106,5 107,2 107,9
113,4 114,1 114,8
120,6 121,3 122,0
102,5
109,2
116,2
123,5
103,2
109,9
116,9
124,3
1
104,5 105,2 105,8
111,3 112,0 112,7
118,4 119,1 119,8
101,8
108,5
115,5
122,8
1
103,8
1
1
1
36 41 47
38 43 49
40 45 51
42 48 54
44 50 56
45 51 58
5 5 6
5 5 6
5 6 6
5 6 7
5,0
125,0
125,8 126,5 127,3
128,0 128,8 129,6
130,3 131,1 131,9
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
132,7
140,6
148,9
133,4 134,2 135,0
141,4 142,2 143,1
149,7 150,6 151,4
135,8 136,6 137,4
143,9 144,7 145,5
152,3 153,1 154,0
157,5
166,4
158,3 159,2 160,1
167,3 168,2 169,1
161,0 161,9 162,8
170,0 171,0 171,9
138,2
146,4
154,9
163,7
172,8
139,0
147,2
155,7
164,6
173,7
139,8
148,0
156,6
165,5
174,7
n
0
7
8
9
2,6
2,7
2,8
3,4
3,5
3,6
3.7
3,8
3,9
110,6
14,17
16,00
17,98
20,12
22,43
24,90
39,65 40,00 40,35
43,24 43,61 43,99
47,05 47,44 47,83
1
69,93
75,15
80,62
86,35
92,35
98,61
2
70,44
75,69
81,18
86,94
92,96
99,25
3
4
31,26
34,33
37,60
41,06
44,74
48,63
52,73
57,07
61,63
71,47
76,77
82,31
88,12
94,20
5
6
2
2
6
6
8
12 15 18
20
21
23
24
34
21 24 27
22 25 29
27
29
30
32
2
3
1 2
1 2
1 2
3
3
3
1
2
2
3 4
5
5 6
1
1
1
2
2
2
2
2
5
5
5
6
6
6
1
1
2
2
3
3
•3 4
3 4
3 4
4 4
4 5
5
6
6
1 2 3
4
6
5 6
30
32
34
36
34 38
36 40
37 42
36
37
38
4
4
4
4
Posunc-li se v čísle n desetinná čárka o jedno místo, posune se desetinná č ý k a v čísle n 3 o tři místa.
68
19
28
30
31
32
3
3
4
4
3
23
24
25
26
16
17
18
19
20
7
6 7
7 7
7 8
7 8
7
7 8
8
9
5.2 T řetí m ocnina
y =
Většímu ti odpovídá větší n 3.
0
1 5,5
” , 166,4
1
2
168,2
177,5
187,1
197,1
207,5
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
173,7
183,3
193,1
203,3
213,8
174,7
184,2
194,1
204,3
214,9
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
6 7 8
7 8 9
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5 6
5 6
5 6
7 8
7 8
7 8
5/>
5,7
5,8
5,9
175,6
185,2
195,1
205,4
167,3
176,6
186,2
196,1
206,4
169,1
178,5
188,1
198,2
208,5
189,1 190,1 191,1
199,2 200,2 201,2
209,6 210,6 211,7
172,8
182,3
192,1
202,3
212,8
6,0
216,0
217,1 218,2 219,3
220,3 221,4 222,5
223,6 224,8 225,9
1
2
3
4
5
7
8
6,1
6,2
227,0
238,3
250,0
262,1
274,6
287,5
228,1
239,5
251,2
263,4
275,9
288,8
230,3
241,8
253,6
265,8
278,4
291,4
231,5 232,6 233,7
243,0 244,1 245,3
254,8 256,0 257,3
234,9 236,0 237,2
246,5 247,7 248,9
258,5 259,7 260,9
1
1
1
2
2
2
3
3
4
6
6
6
7
7
7
8 9 10
8 9 11
8 10 11
267,1 268,3 269,6
279,7 281,0 282,3
292,8 294,1 295,4
270,8 272,1 273,4
283,6 284,9 286,2
296,7 298,1 299,4
1
1
1
2
4
4
4
6
6
7
3
3
5
5
5
5
5
5
9 10 11
9 10 12
9 11 12
302,1 303,5 304,8
315,8 317,2 318,6
329,9 331,4 332,8
306,2 307,5 308,9
320,0 321,4 322,8
334,3 335,7 337,2
310,3 311,7 313,0
324,2 325,7 327,1
338,6 340,1 341,5
1
1
1
3
3
3
4
4
4
5
6
6
7
7
7
8
8
6,9
300,8
314,4
328,5
9
10 11 12
10 11 13
10 12 13
7,0
343,0
344,5 345,9 347,4
348,9 350,4 351,9
353,4 354,9 356,4
1
3 4
6
7
9
10 12 13
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
357,9
373,2
389,0
405,2
421,9
439,0
362,5
377,9
393,8
410,2
427,0
444,2
461,9
480,0
498,7
364,0 365,5 367,1
379,5 381,1 382,7
395,4 397,1 398,7
371,7
387,4
403,6
420,2
437,2
454,8
2
2
2
3
3
3
5
5
5
6
6
6
8 9
8 0
8 10
11 12 14
11 13 14
11 13 15
411,8 413,5 415,2
428,7 430,4 432,1
445,9 447,7 449,5
368,6
384,2
400,3
416,8
433,8
451,2
2
2
2
3
3
4
12 13 15
12 14 15
12 14 16
463,7 465,5 467,3
481,9 483,7 485,6
500,6 502,5 504,4
469,1 470,9 472,7
487,4 489,3 491,2
506,3 508,2 510,1
2
2
2
4
4
4
5
5
5
5
7 8 10
7 9 11
7 9 11
456,5
474,6
493,0
359,4
374,8
390,6
406,9
423,6
440,7
458,3
476,4
494,9
6
6
7
7
8
9 11
9 11
9 11
13 14 16
13 15 17
13 15 17
8,0
512,0
513,9 515,8 517,8
519,7 521,7 523,6
525,6 527,5 529,5
2
4
6
8 10 12
14 16 17
8,1
8,2
531,4
551,4
571,8
592,7
614,1
636,1
533,4 535,4 537,4
553,4 555,4 557,4
573,9 575,9 578,0
543,3
563,6
584,3
605,5
627,2
649,5
545,3 547,3 549,4
565,6 567,7 569,7
586,4 588,5 590,6
2
2
2
14
14
15
15
15
16
8,9
658,5
681,5
705,0
660,8 663,1 665,3
683,8 686,1 688,5
707,3 709,7 712,1
667,6 669,9 672,2
690,8 693,2 695,5
714,5 716,9 719,3
674,5 676,8 679,2
697,9 700,2 702,6
721,7 724,2 726,6
4 6
4 6
4 6
2 4 6
2 4 7
2 4 7
2 5 7
2 5 7
2 5 7
8 10 12
8 10 12
8 10 13
594,8 596,9 599,1
616,3 618,5 620,7
638,3 640,5 642,7
539,4
559,5
580,1
601,2
622,8
645,0
11 14
12 14
10 12 14
16 18 21
16 19 21
17 19 22
9,0
729,0
731,4 733,9 736,3
738,8 741,2 743,7
746,1 748,6 751,1
2
5
7
10 12 15
17 20 22
9,1
9,2
9,3
753,6
778,7
804,4
8
8
8
11 13 16
11 14 16
11 14 17
18 20 23
18 21 23
18 21 24
19 21 24
19 22 25
20 22 25
924,0 926,9 929,7
952,8 955,7 958,6
982,1 985,1 988,0
3 5
3 5
3 5
3 5
3 5
3 6
3 6
3 6
3 6
10 13 15
10 13 15
10 13 16
915,5 918,3 921,2
944,1 947,0 949,9
973,2 976,2 979,1
771,1
796,6
822,7
849,3
876,5
904,2
932,6
961,5
991,0
8
8
8
830,6
857,4
884,7
912,7
941,2
970,3
761,0
786,3
812,2
838,6
865,5
893,1
763,6 766,1 768,6
788,9 791,5 794,0
814,8 817,4 820,0
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
756,1
781,2
807,0
833,2
860,1
887,5
9
9
9
11 14 17
12 15 17
12 15 18
20 23 26
20 23 26
21 24 27
3
6
9
12 15 18
21 24 27
1
2
3
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
10,0
B
229,2
240,6
252,4
264,6
277,2
290,1
360,9
376,4
392,2
408,5
425,3
442,5
460,1
478,2
496,8
758,6
783,8
809,6
835,9
862,8
890,3
1000,0 1003,0 1006,0 1009,0
0
1
2
3
170,0 171,0 171,9
179,4 180,4 181,3
541,3
561,5
582,2
603,4
625,0
647,2
841,2 843,9 846,6
868,3 871,0 873,7
895,8 898,6 901,4
1012,01015,1 1018,1
4
5
6
370,1
385,8
401,9
418,5
435,5
453,0
607,6 609,8 612,0
629,4 631,6 633,8
651,7 654,0 656,2
773,6
799,2
825,3
852,0
879,2
907,0
935,4
964,4
994,0
776,2
801,8
827,9
854,7
882,0
909,9
938,3
967,4
997,0
1021,1 1024,2 1027,2
7
8
9
9
9
9
9
9
4
7
8
8
11 13
11 13
11 13
5 6
9
9
9
9 10
16 18
16 18
17 19
17 19
18 20
18 20
7 8
9
Posune-li se v čísle n desetinná čárka o jedno m ísto, posune se desetinná čárka v čísle n 3 o tři místa.
69
70
6 PŘEVODY JEDNOTEK VELIKOSTÍ
ÚHLŮ
Velikosti úhlů se udávají v různých jednotkách: v radiánech (rad), ve stupních (°), v gradech (g) a v díl'
cích (ů). Přitom platí:
plný úhel = 4 R ^ 2n rad = 360° = 400« = 6 000d .
K vyjádření velikostí úhlů v různých jednotkách slouží tabulky 6.1 - 6.4.
6.1
Převod stupňů na radiány
Radián (1 rad) je rovinný úhel, sevřený dvěma poloměry kruhu, které vytínají na obvodě kruhu oblouk
stejné délky jako je poloměr. Je tedy
1 rad =
71
= 57°17'45" .
K vyjádření velikosti úhlu ve stupních, je-li dána velikost úhlu v radiánech a obráceně, používáme dále
uvedené vztahy nebo tabulky.
Je-li a číselná hodnota velikosti úhlu ve stupních a x je číselná hodnota velikosti úhlu v radiánech, pak
„
a
* . 180°
=
7U
a ° . 7t
180°
V tabulce 6.1 jsou uspořádány číselné hodnoty velikostí úhlů od 0° do 180° rostoucí po 1°, od 0' do 60
rostoucí po 1' a od 0" do 60" rostoucí po 1" a jim odpovídající číselné hodnoty velikostí úhlů v radiánech.
Příklady:
Velikost úhlu 164°36'12" vyjádřete v radiánech:
164°
36'
... 2,86234
rad
... 0,01047 20 rad
12" ... 0,00005 82 rad
164°36'12" = 2,87287
rad
Velikost úhlu 2,87287 rad vyjádřete ve stupňové míře.
nejblíže nižší hodnota radiánů
2,87287 rad
(ve sloupci se stupni)
... —2,86234 rad ... 164°
0,01053 rad
nejblíže nižší hodnota radiánů
(ve sloupci s minutami)
... —0,01047 rad ...
36'
0,00006 rad
nejbližší hodnota radiánů
(ve sloupci s vteřinami)
2,87287 rad = 164°36'12"
...
0,000058 rad ... 12"
Jsou-li velikosti úhlů ve stupňové míře aproximovány, mají číselné hodnoty velikostí úhlů v radiánech
menší počet desetinných míst:
71
Velikost úhlu
zaokrouhlena na
desítky
stupňů
desítky
minut
stupně
desítky
vteřin,
minuty
vteřiny
Číselná hodnota
velikosti v radiá­
nech má nejvýše
1 desetinné
místo
2 desetinná
místa
3 desetinná
místa
4 desetinná
místa
5 desetinných
míst
Pomocí tabulky 6.1 počítáme také délku oblouku a, který v kružnici o poloměru r přísluší středovému
úhlu a; velikost úhlu a vyjádříme v radiánech a použijeme vzorce a — r . x. Podobně podle vzorce
S = ~ r-x počítáme obsah kruhové výseče o poloměru r, která má středový úhel velikosti x radiánů.
6.2 Převod stupňů na grady
1« je 1 setina pravého úhlu. Menšími jednotkami jsou decigrad, centigrad, miligrad; píšou se obvyklým
způsobem pomocí desetinného čísla, např. 2,6425«. Pro centigrad se podle normy používá i značka c a pro
setinu centigradu cc, takže 2,6425* = 2>í64R25cc.
Pro převod stupňů na grady platí vzorec
Míry
úhlů
pro převod gradů na stupně vzorec
«° = 0,9yg,
kde a je číselná hodnota velikosti úhlu ve stupních a y je číselná hodnota velikosti úhlu v gradech.
Převod urychluje tabulka 6.2.
P řiklad:
Velikost úhlu 344°36'12" vyjádřete v gradech.
3 . 9 0 ° = 270°
74°
36'
... 300,00000 8
...
82,22222«
...
0,66667 8
12" ...
0,00370«
344°36'12" == 382,8926 8
Převod gradů na stupně se provádí obdobně jako u tabulky 6.1 převod radiánů na stupně.
Údaj v gradech má právě tolik platných číslic jako údaj ve stupních.
Pro převod gradů na radiány platí vztah
* rad = 7r
: 200, tj. x rad = 0,015 708 Qy% .
6.3 Převod stupňů na dílce
Dílec je jednotka, které se užívá ve vojenství. Zaměřovači přístroje a dalekohledy jsou opatřeny stupnicemi
v dílcích. Platí
360° = 6 000d, 90° = 1 5000, 60° = 1 000*1.
72
K vyjádření velikosti úhlu v dílcích, je-li dána velikost úhlu ve stupních a obráceně, používáme vztahy
K° = 0,06 2«1 ,
kde a je číselná hodnota velikosti úhlu ve stupních a z je číselná hodnota velikosti úhlu v dílcích.
Převod urychluje tabulka 6.3. Užívá se obdobně jako tabulka 6.2.
6.4 Převod m inut a vteřin na desetinné zlom ky stupně
Při výpočtech potřebujeme někdy velikosti úhlů vyjádřit v desetinných zlomcích stupně, např. na počí­
tačkách. Rovněž některé tabulky mají hodnoty proměnné goniometrických funkcí v desetinných zlomcích
stupně. Pro převod minut a vteřin na desetinné zlomky stupně užijeme tabulku 6.4.
Příklad:
Velikost úhlu 7°23'15" vyjádřete ve stupních a desetinných zlomcích stupně.
rjO
r jO
23'
... 0,38333°
15" ... 0,00417°
7°23'15" == 7,38750°
Pomocí tabulky 6.4 vyjádříme i desetinné zlomky stupně v minutách a vteřinách.
Příklad:
Velikost úhlu 6,24358° vyjádřete ve stupních, minutách a vteřinách.
6,24358° ... 6°
0,23333° ...
14'
0,01025°
0,01028° ...
6,24358"
37"
6 14'37"
Naprosto shodně, podle téže tabulky, převádím e hodiny, m inuty a sekundy na hodiny a desetinné
zlomky hodiny a naopak.
73
6.1
o
Převod stupňů na radiány
rad
0
0,00 000
1
01 745
03 491
05 236
06 981
0,08 727
10 472
12 217
13 963
15 708
0,17 453
19 199
20 944
22 689
24 435
0,26 180
27 925
29 671
31416
33 161
0,34 907
36 652
38 397
40 143
41 888
0,43 633
45 379
47 124
48 869
50 615
0,52 360
54 105
55 851
57 596
59 341
0,61 087
62 832
64 577
66 323
68 068
0,69 813
71 558
73 304
75 049
76 794
0,78 540
80 285
82 030
83 776
85 521
0,87 266
89 012
90 757
92 502
94 248
0,95 993
97 738
0,99 484
1,01 229
02 974
1,04 720
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
74
O
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
" 70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
1>H
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
rad
1,04 720
06 465
08 210
09 956
11 701
1,13 446
15 192
16 937
18 682
20 428
1,22 173
23 918
25 664
27 409
29 154
1,30 900
32 645
34 390
36 136
37 881
1,39 626
41 372
43 117
44 862
46 608
1,48 353
50 098
51 844
53 589
55 334
1,57 080
58 825
60 570
62 316
64 061
1,65 806
67 552
69 297
71 042
72 788
1,74 533
76 278
78 024
79 769
81 514
1,83 260
85 005
86 750
88 496
90 241
1,91 986
93 732
95 477
97 222
1,98 968
2,00 713
02 458
04 204
05 949
07 694
2,09 440
i ra d = 5701 7 '4 5 '
O
120
1-1
122
123
124
125
126
127
128
129
no
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
Mi
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
1«()
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
rad
2,09 440
11 185
12 930
14 675
16 421
2,18 166
19911
21 657
23 402
25 147
2,26 893
28 638
30 383
32 129
33 874
2,35 619
37 365
39 110
40 855
42 601
2,44 346
46 091
47 837
49 582
51 327
2,53 073
54 818
56 563
58 309
60 054
2,61 799
63 545
65 290
67 035
68 781
2,70 526
72 271
74 017
75 762
77 507
2,79 253
80 998
82 743
84 489
86 234
2,87 979
89 725
91 470
93 215
94 961
2,96 706
2,98 451
3,00 197
01 942
03 687
3,05 433
07 178
08 923
10 669
12 414
3,14 159
!
rad
//
rad
0
0,00000 00
0
0,00000 00
~~1
2
029 09
058 18
087 27
116 36
0,00145 44
174 53
203 62
232 71
261 80
0,00290 89
319 98
349 07
378 15
407 24
0,00436 33
465 42
494 51
523 60
552 69
0,00581 78
610 87
639 95
669 04
698 13
0,00727 22
756 31
785 40
814 49
843 58
0,00872 66
901 75
930 84
959 93
0,00989 02
0,01018 11
1047 20
1076 29
1105 38
1134 46
0,01163 55
1192 64
1221 73
1250 82
1279 91
0,01309 00
1338 09
1367 17
1396 26
1425 35
0,01454 44
1483 53
1512 62
1541 71
1570 80
0,01599 89
1628 97
1658 06
168715
1716 24
0,01745 33
1
2
0 48
0 97
1 45
1 94
0,00002 42
2 91
3 39
3 88
4 36
0,00004 85
5 33
5 82
6 30
6 79
0,00007 27
7 76
8 24
8 73
9 21
0,00009 70
0,00010 18
10 67
11 15
11 64
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
•u~
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
0,00012 12
12 61
13 09
13 57
14 06
0,00014 54
15 03
15 51
16 00
16 48
0,00016 97
17 45
17 94
18 42
18 91
0,00019 39
19 88
20 36
20 85
21 33
0,00021 82
22 30
22 79
23 27
23 76
0,00024 24
24 73
25 21
25 70
2618
0,00026 66
27 15
27 63
28 12
28 60
0,00029 09
6.2 Převod stupňů na grady
o
g
0
1
2
0,00000
1,11111
2,22222
3
4
5
3,33333
4,44444
5,55556
6,66667
7,77778
8,88889
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
10,00000
11,11111
12,22222
13,33333
14,44444
15,55556
16,66667
17,77778
18,88889
20,00000
21,11111
22,22222
23,33333
24,44444
25,55556
26,66667
27,77778
28,88889
30,00000
31,11111
32,22222
33,33333
34,44444
35,55556
36,66667
37,77778
38,88889
40,00000
41,11111
42,22222
43,33333
44,44444
45,55556
46,66667
47,77778
48,88889
50,00000
51,11111
52,22222
53,33333
54,44444
55,55556
56,66667
57,77778
58,88889
60,00000
61,11111
62,22222
63,33333
64,44444
65,55556
66,66667
O
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
g
66,66667
67,77778
68,88889
70,00000
71,11111
72,22222
73,33333
74,44444
75,55556
76,66667
77,77778
78,88889
80,00000
81,11111
82,22222
83,33333 .
84,44444
85,55556
86,66667
87,77778
88,88889
90,00000
91,11111
92,22222
93,33333
94,44444
95,55556
96,66667
97,77778
98,88889
100,00000
/
0
1
2
3
4
5
g
0,00000
0,01852
0,03704
0,05556
0,07407
0,09259
//
0
1
2
3
4
5
6
0,11111
6
7
0,12963
0,14815
0,16667
0,18519
0,20370
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
0,22222
0,24074
0,25926
0,27778
0,29630
0,31481
0,33333
0,35185
0,37037
0,38889
0,40741
0,42593
0,44444
0,46296
0,48148
0,50000
0,51852
0,53704
0,55556
0,57407
0,59259
0,61111
0,62963
0,64815
0,66667
0,68519
0,70370
0,72222
0,74074
0,75926
0,77778
0,79630
0,81481
0,83333
0,85185
0,87037
0,88889
0,90741
0,92593
0,94444
0,96296
0,98148
1,00000
1,01852
1,03704
1,05556
1,07407
1,09259
1,11111
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
g
0,00000
0,00031
0,00062
0,00093
0,00123
0,00154
0,00185
0,00216
0,00247
0,00278
0,00309
0,00340
0,00370
0,00401
0,00432
0,00463
0,00494
0,00525
*0,00556
0,00586
0,00617
0,00648
0,00679
0,00710
0,00741
0,00772
0,00802
0,00833
0,00864
0,00895
0,00926
0,00957
0,00988
0,01019
0,01049
0,01080
Míry
úhlů
0,01111
0,01142
0,01173
0,01204
0,01235
0,01265
0,01296
0,01327
0,01358
0,01389
0,01420
0,01451
0,01481
0,01512
0,01543
0,01574
0,01605
0,01636
0,01667
0,01698
0,01728
0,01759
0,01790
0,01821
0,01852
75
6.3 Převod stupňů na dílce
o
d
'
0
1
2
0,00
0
1
2
II
0
1
2
3
4
5
16,67
33,33
50,00
66,67
83,33
6
100,00
6
7
116,67
133,33
150,00
166,67
183,33
7
1,38
1,67
1,94
8
2,22
8
9
2,50
2,78
3,06
3,33
3,61
3,89
4,17
4,44
4,72
5,00
5,28
5,56
5,83
9
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
200,00
51
52
53
54
55
56
57
58
59
216,67
233,33
250,00
266,67
283,33
300,00
316,67
333,33
350,00
366,67
383,33
400,00
416,67
433,33
450,00
466,67
483,33
500,00
516,67
533,33
550,00
566,67
583,33
600,00
616,67
633,33
650,00
666,67
683,33
700,00
716,67
733,33
750,00
766,67
783,33
800,00
816,67
833,33
850,00
866,67
883,33
900,00
916,67
933,33
950,00
966,67
983,33
60
1000,00
20
21
22
Míry
úhlů
d
0,00
6.4 Převod m inut a vteřin
na desetinné zlom ky stupně
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
76
3
4
5
10
‘l 1
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
11
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
0,28
0,56
0,83
1,11
6,11
6,39
6,67
6,94
7,22
7,50
7,78
8,06
8,33
8,61
8,89
9,17
9,44
9,72
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
10,28
10,56
10,83
31
32
33
34
35
36
37
38
39
11,11
40
11,39
11,67
11,94
41
10,00
12,22
12,50 •
12,78
13,06
13,33
13,61
13,89
14,17
14,44
14,72
15,00
15,28
15,56
15,83
16,11
16,39
16,67
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
d
1
O
II
O
0,00
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
~ Ď"
0,00 000
0,00 000
1
2
01 667
03 333
05 000
06 667
0,08 333
0
1
2
0,03
0,03
0,04
0,04
0,05
0,05
0,06
0,06
0,06
0,07
0,07
0,08
0,08
0,09
0,09
6
10 000
6
7
11 667
13 333
15 000
0,16 667
18 333
7
0,00 139
167
194
8
222
9
250
0,00 278
306
333
361
389
0,00 417
444
472
500
528
0,00 556
583
611
639
667
0,00 694
722
750
778
806
0,00 833
861
889
917
944
0,00 972
0,10
0,10
0,11
0,11
0,12
0,12
0,13
0,13
0,13
0,14
0,14
0,15
0,15
0,16
0,16
0,17
0,17
0,18
0,18
0,19
0,19
0,19
0,20
0,20
0,21
0,21
0,22
0,22
0,23
0,23
0,24
0,24
0,25
0,25
0,25
0,26
0,26
0,27
0,27
0,28
3
4
5
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 000
51
52
53
54
55
56
57
58
59
21 667
23 333
0,25 000
26 667
28 333
30 000
31 667
0,33 333
35 000
36 667
38 333
40 000
0,41 667
43 333
45 000
46 667
48 333
0,50 000
51 667
53 333
55 000
56 667
0,58 333
60 000
61 667
63 333
65 000
0,66 667
68 333
70 000
71 667
73 333
0,75 000
76 667
78 333
80 000
81 667
0,83 333
85 000
86 667
88 333
90 000
0,91 667
93 333
95 000
96 667
0,98 333
60
1,00 000
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
3
4
5
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
028
056
083
111
0,01 000
1 028
1 056
1 083
40
0,01 111
41
42
43
44
45
46
47
48
49
1 139
1 167
1 194
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
1 222
0,01 250
1 278
1 306
1 333
1 361
0,01 389
1 417
1 444
1 472
1 500
0,01 528
1 556
1 583
1 611
1 639
0,01 667
7 GONIOMETRICKÉ
FUNKCE
Definice a vlastnosti goniometrických funkcí jsou uvedeny v kapitole 2 str. 32—34.
7.1 a 7.2 sin a , cos a, tg a , cotg a
Tabulky 7.1 a 7.2 obsahují čtyřmístné hodnoty funkcí sin a a cos a, tg a a cotg a pro velikosti úhlů
ve stupňové míře rostoucí po 10' v intervalu <0°, 90°) (s výjimkou tg 90° a cotg 0°). Pro funkce tg a a cotg a
je dále připojena tabulka 7.2a, obsahující hodnoty funkce tg a (cotg a) pro úhly 76° < a < 90° (0° < a ?
g 14°) rostoucí po 1'.
Protože sin a = cos (90° — a), tg a = cotg (90° — a), jsou tabulky uspořádány tak, že totéž číslo je
hodnotou sinu úhlu (uvedeného v levém krajním sloupci stupňů a v prvním řádku minut) a hodnotou
kosinu úhlu doplňkového (uvedeného v pravém sloupci stupňů a v dolním řádku minut). Obdobně pro
funkce tangens a kotangens.
Lineární interpolace funkcí sin a a cos a je přípustná v celém intervalu tabulek; místo lineární inter­
polace funkce tg a (cotg a) pro úhly 76°
a < 90° (0° < a g 14°) se užije tabulka 7.2a.
Lineární interpolaci usnadňují opravy, vypočtené na konci řádků pro 1 , 2', ..., 9'.
Funkce sin a a tg x jsou v tabelovaném intervalu rostouci, oprava se k hodnotám uvedeným
v tabulkách přičítá; funkce cos a a cotg a jsou v tabelovaném intervalu klesající, oprava se od
hodnot uvedených v tabulkách odčítá.
Příklady:
sin 18°26' ——
0,3145 ... řádek 18° vlevo, sloupec 20' shora
+ 17 ... oprava 17 pro 6'
0,3162
cos 57° 15' ——
0,5422 ... řádek 57° vpravo, sloupec 10' zdola
12 ... oprava 12 pro 5'
0,5410
cotg 40°23'
1
1,178 ... řádek 40° vpravo, sloupec 20' zdola
— 2 ... oprava 2 pro 3'
1,176
sin «
=
0,8776;
—0,8774 ...
cos a
=
0,1889;
« =
-0 ,1 8 8 0 ...
a = 61°21'
61°20' ... řádek 61° vlevo, sloupec 20' shora
2 ...
9 ...
+ 1' ... opravě 2 přísluší 1'
79°07'
79°10' ... řádek 79° vpravo, sloupec 10' zdola
—3' ... opravě 9 přísluší 3'
tg 88°24' = 35,80 ... tabulka 7.2a, řádek 88°20' vlevo, sloupec 4' shora
cotg « = 25,64; » = 2°14' ... tabulka 7.2a, řádek 2°10' vpravo, sloupec 4' zdola
Jsou-li proměnné neúplná čísla, mají hodnoty funkce přesnost podle této tabulky:
Proměnná s přesností na
Hodnota funkce má přesné nejvýše
stupně
desítky minut
minuty
2 platné číslice
3 platné číslice
4 platné číslice
Určení hodnot funkcí pro velikosti úhlů mimo interval tabulek je vysvětleno ve vzorcích na str. 33.
77
7.3 —7.6 sin x , cos x, t g x , cotg x (x v radiánech)
Tabulky 7.3 - 7.6 obsahují čtyřmístné hodnoty goniometrických funkcí pro reálné promčnné rostoucí
po 0,01, a to v intervalu <0,00; 3,15) pro funkce sin x a cos x a v intervalu <0,00; 1,57) pro funkce tg x
a cotg x. První dvojčíslí proměnné je uvedeno v levém krajním sloupci, třetí číslice je v záhlaví prvního
řádku.
V tabulkách 7.5 a 7.6 je před některými hodnotami funkce hvězdička. V tom případě je celá část hod­
noty uvedena až na dalším řádku. Např. tg 1,15 = 2,2345, cotg 0,35 = 2,7395.
Lineární interpolace je možná podle zásad vyložených na str. 51 a 52. Při interpolaci je nutné si uvědomit,
zda pro daný argument je funkce rostoucí nebo klesající, a podle toho opravu přičítat nebo odčítat. Dále je
třeba dát pozor na znaménko hodnot funkce.
P říklad:
—0,2563 ... řádek 1,8, sloupec 3
—
49 ... D = 97, di = 9,7, db = 48,5 i 49
cos 1,835 =
—0,2612
Není-li proměnná z intervalů tabulek, určuje se hodnota funkce pomocí celých násobků periody (2n nebo
7t podle funkce) a pomocí vzorců, uvedených na příslušné stránce dole.
Příklad: Určete cos 17,24
Řešení: Použijeme vztah cos x = cos (x + k . 2ti), k e Z a od proměnné x = 17,24 odečteme nejbližší
násobek 2tz, tj. číslo 3 . 2it == 18,850:
17,24— 18,85 = —1,61
Pak platí
cos 17,24 = cos (—1,61) = cos 1,61 = —0,0392 = —0,040.
Přiklad: Určete tg (-729).
Řešení: tg (—729) = —tg 729. Od proměnné 729 odečteme postupně celočíselné násobky n tak, aby rozdíl
byl z intervalu
sin
x,
tg x
( - Í 'Ť ) =
729
—628,3 ... 200n: (2tc . 100)
100,7
— 94,2 ...
30rt (3n . 10)
6,5
—
63
0,2
•••
2tz
Pak —tg 729 = —tg 0,2 = —0,2027 = —0,2.
Tabulky 7.3 - 7.6 jsou velmi vhodné k řešení jednoduchých goniometrických rovnic.
P řík la d y : (k všude celé číslo)
sin x —
0,5726
x =
0,61 + 2kn
x =
2,53 + 2kr:
x = —0,61 + 2kir = 5,67 + 2k7i:
sin x = —0,5726
x = —2,53 + 2kn = 3,75 + 2bz
x =
0,93
2kn
cos x =
0,5978
x = —0,93 + 2kn = 5yi5 + 2bz
cos x = —0,5978
x=
2,21 + 2kiz
x = —2^1 + 2Jnz = 4,07 + 2kn
tg x = —2,1285
x = —1,13 + k7i = 2,01 -f kn
cotg x =
1,3431
x =
0,64 + k7i
Na str. 79 a 89 jsou uvedeny grafy goniometrických funkd. Využijeme je k odhadu hodnot nebo proměn­
ných funkd s přesností na dvě platné číslice a k přibližnému řešení goniometrických rovnic podle výkla­
du na str. 54.
78
X UIS
7.1
sin a
a
30*
40-
50'
60’
1
9'
I*
2'
3'
4'
5'
6'
7’
8'
6
6
6
6
6
9
9
9
9
9
12
12
12
12
12
15
15
15
15
15
17
17
17
17
17
20
20
20
20
20
23 26
23 26
23 26
23 26
23 26
0058
0233
0407
0581
0756
0087
0262
0436
0610
0785
0116
0291
0465
0640
0814
0145
0320
0494
0669
0843
0175
0349
0523
0698
0872
89
85
3
3
3
3
3
0,0872
1045
1219
1392
1564
0901
1074
1248
1421
1593
0929
1103
1276
1449
1622
0958
1132
1305
1478
1650
0987
1161
1334
1507
1679
1016
1190
1363
1536
1708
1045
1219
1392
1564
1736
84
83
82
81
80
3
3
3
3
3
6
6
6
6
6
9
9
9
9
9
12
12
12
12
12
15
15
15
15
15
17
17
17
17
17
20
20
20
20
20
23 26
23 26
23 26
23 26
23 26
1765 1791
1937 1965
2108 2136
2278 2306
2447 2476
1822
1994
2164
2334
2504
1851
79
78
77
76
75
3
3
3
3
3
6
6
6
6
6
8
8
8
8
12
11
11
11
11
15
14
14
14
14
17
17
17
17
17
20
20
20
20
20
23
2193
2363
2532
1880 1908
2051 2079
2221 2250
2391 2419
2560 2588
9
13
14
0,1736
1908
2079
2250
2419
22
22
22
22
26
25
25
25
25
15
16
17
18
19
0,2588
2756
2924
3090
3256
2616
2784
2952
3118
3283
2644
2812
2979
3145
3311
2672
2840
3007
3173
3338
2700
2868
3035
3201
3365
2728
2896
3062
3228
3393
2756
2924
3090
3256
3420
74
73
72
71
70
3
3
3
3
3
6
6
6
6
11
11
11
11
11
14
14
14
14
14
17
17
17
17
16
20
20
20
20
5
8
8
8
8
8
19
22
22
22
22
22
25
25
25
25
24
20
21
22
3502
3665
3827
3987
4147
3529
3692
3854
4014
4173
3557
3719
3881
4041
4200
3584
3746
3907
4067
4226
69
65
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
8
8
8
8
8
U
23
24
0.3420 3448 3475
3584 3611 3638
3746 3773 3800
3907 3934 3961
4067 4094 4120
11
11
11
10
14
14
14
14
13
16
16
16
16
16
19
19
19
19
18
22
22
22
22
21
24
24
24
24
23
25
26
27
28
29
0,4226
4384
4540
4695
4848
4253 4279
4410 4436
4566 4592
4720 4746
4874 4899
4305
4462
4617
4772
4924
4331
4488
4643
4797
4950
4358
4514
4669
4823
4975
4384
4540
4695
4848
5ooo
64
63
62
61
60
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
8
8
8
8
8
10
10
10
10
10
13
13
13
13
13
16
16
16
16
15
18
18
18
18
18
21
21
21
21
20
23
23
23
23
23
30
31
32
33
34
0,5000
5150
5299
5446
5592
5025
5175
5324
5471
5616
5050
5200
5348
5495
5640
5075
5225
5373
5519
5664
5100
5250
5398
5544
5688
5125
5275
5422
5568
5712
5150
5299
5446
5592
5736
59
58
57
56
55
3
3
8
8
10
10
10
10
10
13
13
12
12
12
15
15
14
14
14
18 20
18 20
17 19
17 19
17 19
23
23
2
2
2
5
5
5
5
5
35
36
37
38
39
0,5736
5878
6018
6157
6293
5760
5901
6041
6180
6316
5783
5925
6065
6202
6338
5807
5948
6088
6225
6361
5831
5972
6111
6248
6383
5854
5995
6134
6271
6406
5878
6018
6157
6293
6428
54
53
52
51
50
2
2
2
2
2
5
5
5
5
4
7
7
7
7
7
10
12
12
12
12
11
14
14
14
14
13
17
16
16
16
15
19
18
18
18
18
22
21
21
21
20
40
41
42
43
44
0,6428
6561
6691
6820
6947
6450
6583
6713
6841
6967
6472
6604
6734
6862
6988
6494
6626
6756
6884
7009
6517
6648
6777
6905
7030
6539
6670
6799
6926
7050
6561
6691
6820
6947
7071
49
48
47
46
45
2
2
2
7
7
7
9
9
9
2
2
4
4
4
4
4
6
6
8
8
11
11
11
11
11
13
13
13
13
13
15
15
15
15
15
18 20
18 20
18 20
17 19
17 19
60'
50'
40’
30'
20 '
10*
O'
a'
1'
2' 3'
4'
5'
6'
7'
8'
5
6
7
8
9
10
11
12
t0 *
0
0,0000
20 '
0029
0204
0378
0552
0727
3
4
X,
10*
0175
0349
0523
0698
0
1
2
sin
(« ve stupních)
2022
cos a
80
88
87
86
68
67
66
7
7
7
9
9
9
9
22
22
22
V
7.1
a
sin a
0'
(a ve stupních)
10'
20 '
30'
40'
50’
60'
7092
7214
7333
7451
7566
45
46
47
48
49
0,7071
7193
7314
7431
7547
7112
7234
7353
7470
7585
7133
7254
7373
7490
7604
7153
7274
7392
7509
7623
7173
7294
7412
7528’
7642
7193
7314
7431
7547
7660
44
43
42
41
40
50
51
52
53
54
0,7660 7679 7698
7771 7790 7808
7880 7898 7916
7986 8004 8021
8090 8107 8124
7716
7826
7934
8039
8141
7735
7844
7951
8056
8158
7753
7862
7969
8073
8175
7771
7880
7986
8090
8192
39
38
37
36
35
55
56
57
58
59
0,8192
8290
8387
8480
8572
8208
8307
8403
8496
8587
8225
8323
8418
8511
8601
8241
8339
8434
8526
8616
8258
8355
8450
8542
8631
8274
8371
8465
8557
8646
8290
8387
8480
8572
8660
34
33
32
31
30
60
61
62
63
64
0,8660
8746
8829
8910
8988
8675
8760
8843
8923
9001
8689
8774
8857
8936
9013
8704
8788
8870
8949
9026
8718
8802
8884
8962
9038
8732
8816
8897
8975
9051
8746
8829
8910
8988
9063
29
28
27
26
25
65
9075
9147
9216
9283
9346
9088
9159
9228
9293
9356
9100
9171
9239
9304
9367
9112
9182
9250
9315
9377
9124
9194
9261
9325
9387
9135
9205
9272
9336
9397
24
23
69
0,9063
9135
9205
9272
9336
70
71
72
73
74
0,9397
9455
9511
9563
9613
9407
9465
9520
9572
9621
9417
9474
9528
9580
9628
9426
9483
9537
9588
9636
9436
9492
9546
9596
9644
9446
9502
9555
9605
9652
9455
9511
9563
9613
9659
19
18
17
16
15
75
76
77
78
79
0,9659
9703
9744
9781
9816
9667
9710
9750
9787
9822
9674
9717
9757
9793
9827
9681
9724
9763
9799
9833
9689
9730
9769
9805
9838
9696
9737
9775
9811
9843
9703
9744
9781
9816
9848
14
13
80
81
82
83
84
0,9848
9877
9903
9925
9945
9853
9881
9907
9929
9948
9858
9886
9911
9932
9951
9863
9890
9914
9936
9954
9868
9894
9918
9939
9957
9872
9899
9922
9942
9959
9877
9903
9925
9945
9962
9
85
0,9962
9976
9986
9994
9998
9964
9978
9988
9995
9999
9967
9980
9989
9996
9999
9969
9981
9990
9997
9971
9983
9992
9997
9974
9985
9993
9998
9976
9986
9994
9998
50'
40'
66
67
68
86
87
88
89
90
*0000
*0000 *0000 *0000
22
21
20
12
11
10
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1,0000
60'
30'
20 '
10'
0'
a
eos a
81
7.2 tg
O.
O'
(a ve stupních)
20'
30'
40'
50'
60'
0029 0058
0204 0233
0378 0407
0553 0582
0729 0758
0087
0262
0437
0612
0787
0116
0291
0466
0641
0816
0145
0320
0495
0670
0846
0175
0349
0524
0699
0875
89
0,0875
1051
1228
1405
1584
0904
1080
1257
1435
1614
0934
1287
1465
1644
0963
1139
1317
1495
1673
0992
1169
1346
1524
1703
1022
1198
1376
1554
1733
11
12
13
14
0,1763
1944
2126
2309
2493
1793
1974
2156
2339
2524
1823
2004
2186
2370
2555
1853
2035
2217
2401
2586
1883
2065
2247
2432
2617
1914
2095
2278
2462
2648
15
16
17
18
19
0,2679
2867
3057
3249
3443
2711
2899
3089
3281
3476
2742
2931
3121
3314
3508
2773
2962
3153
3346
3541
20
23
24
0,3640
3839
4040
4245
4452
3673
3872
4074
4279
4487
3706
3906
4108
4314
4522
25
26
27
28
29
0,4663
4877
5095
5317
5543
30
31
32
33
34
10'
1'
2'
3'
.4'
5'
6'
7'
8'
9'
85
3
3
3
3
3
6
6
6
6
6
9
9
9
9
9
12
12
12
12
12
15
15
15
15
15
17
17
17
17
17
20
20
20
20
20
23
23
23
23
23
26
26
26
26
26
1051
1228
1405
1584
1763
84
83
82
81
80
3
3
3
3
3
6
6
6
6
6
9
9
9
9
9
12
12
12
12
12
15
15
15
15
15
17
18
18
18
18
20
21
21
21
21
23
24
24
24
24
26
27
27
27
27
1944
2126
2309
2493
2679
79
78
77
76
75
3
3
3
3
3
6
6
6
6
6
9
9
9
9
9
12
12
12
12
12
15
15
15
16
16
18
18
18
19
19
21
21
21
22
22
24
24
24
25
25
27
27
27
28
28
2805
2994
3185
3378
3574
2836 2867
3026 3057
3217 3249
3411 3443
3607 3640
74
73
72
71
70
3
3
3
3
3
6
6
6
6
25 28
26 29
26 29
26 29
26 30
3739
3939
4142
4348
4557
3772
3973
4176
4383
4592
3805 3839
4006 4040
4210 4245
4417 4452
4628 4663
69
4699 4734
4913 4950
5132 5169
5354 5392
5581 5619
4770
4986
5206
5430
5658
4806
5022
5243
5467
5696
4841
5059
5280
5505
5735
0,5774
6009
6249
6494
6745
5812
6048
6289
6536
6787
5851
6088
6330
6577
6830
5890
6128
6371
6619
6873
5930
6168
6412
6661
6916
35
36
37
38
39
0,7002
7265
7536
7813
8098
7046
7310
7581
7860
8146
7089
7355
7627
7907
8195
7133
7400
7673
7954
8243
40
41
42
43
44
45
0,8391
8693
9004
9325
9657
1,0000
8441
8744
9057
9380
9713
8491
8796
9110
9435
9770
60'
50'
40'
0,0000
0175
0349
0524
0699
10
21
22
1110
87
86
9
12
13
13
13
13
16 19
16 19
16 19
16 19
17 20
22
22
22
22
7
10
10
10
10
65
3
3
3
3
4
7
7
7
7
7
10
10
10
10
11
13
14
14
14
14
17
17
17
17
18
20
20
20
20
21
23 26
24 27
24 27
24 27
25 28
30
31
31
31
32
4877
5095
5317
5543
5774
64
63
62
61
60
4
4
4
4
4
7
7
7
11
11
11
11
11
14
14
15
15
15
18
18
19
19
19
22
22
22
23
23
25 29
25 29
26 30
27 30
27 30
32
32
33
34
34
5969
6208
6453
6703
6959
6009
6249
6494
6745
7002
59
58
57
56
55
4
4
4
4
4
8
8
8
8
12
12
12
13
13
16
16
16
17
17
20
20
21
21
22
23
24
25
25
26
27 31 35
28 32 36
29 33 37
29 34 38
30 34 39
7177
7445
7720
8002
8292
7221
7490
7766
8050
8342
7265
7536
7813
8098
8391
54
53
52
51
50
4
5
5
5
5
9
9
9
10
10
13
14
14
14
15
18 22 26
18 23 27
18 23 28
19 24 29
20 25 29
8541
8847
9163
9490
9827
8591
8899
9217
9545
9884
8642 8693
8952 9004
9271 9325
9601 9657
9942 *0000
49
48
47
46
45
5
5
5
6
6
10
10
11
11
11
15
16
16
17
17
20
21
22
22
30'
20 '
1'
2'
3'
10 '
O'
cotg a
82
88
68
67
66
8
8
9
23
31 35
32 36
32 37
34 38
34 39
40
41
41
43
44
23
25 30
26 31
27 32
28 33
29 34
35
36
38
39
40
40
42
43
44
46
45
47
49
50
51
4'
5'
7'
8'
9'
6'
7.2 tg a
a
(« ve stupních)
0'
10 '
20 '
30'
40'
50'
60'
1,000
1,012
1,048
1,085
1,124
1,164
1,018
1,054
1,091
1,130
1,171
1,024
1,060
1,098
1,137
1,178
1,030
1,066
1,104
1,144
1,185
1,036
1,072
1,220
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
8'
9'
1,150
1,192
44
43
42
41
40
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
3
3
3
3
3
4
6
6
4
4
4
4
5
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
8
45
46
47
48
49
1,150
1,006
1,042
1,079
1,117
1,157
50
51
52
53
54
1,192
1,235
1,280
1,327
1,376
1,199
1,242
1,288
1,335
1,385
1,206
1,250
1,295
1,343
1,393
1,213
1,257
1,303
1,351
1,402
1,265
1,311
1,360
1,411
1,228
1,272
1,319
1,368
1,419
1,235
1,280
1,327
1,376
1,428
39
38
37
36
35
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
55
56
57
58
59
1,428
1,483
1,540
1,600
1,664
1,437
1,492
1,550
1,611
1,675
1,446
1,501
1,560
1,621
1,464
1,520
1,580
1,643
1,709
1,473
1,530
1,590
1,653
1,720
1,483
1,540
1,600
1,664
1,732
34
33
32
31
30
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
6
7
8
6
6
7
7
8
8
9
9
1,686
1,455
1,511
1,570
1,632
1,698
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
60
61
62
63
64
1,732
1,804
1,881
1,963
2,050
1,744
1,816
1,894
1,977
2,066
1,756
1,829
1,907
1,991
2,081
1,767
1,842
1,921
2,006
2,097
1,780
1,855
1,935
1,792
29
28
27
26
25
1
1
1
1
2
4
4
4
4
5
6
7
8
3
3
3
3
5
5
7
7
7
8
8
8
10
9
10
10
11
11
11
12
1,949
2,035
2,128
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
2
1,868
65
2,161
2,264
2,375
2,496
2,628
2,177
2,282
2,394
2,517
2,651
2,194
2,300
2,414
2,539
2,675
2,318
2,434
2,560
2,699
2,229
2,337
2,455
2,583
2,723
2,246
2,356
2,475
2,605
2,747
24
23
3
4
4
4
5
7
7
9
9
22
21
20
2
2
2
2
2
5
5
6
8
7
7
9
69
2,145
2,246
2,356
2,475
2,605
10
11
12
70
71
72
73
74
2,747
2,904
3,078
3,271
3,487
2,773
2,932
3,108
3,305
3,526
2,788
2,960
3,140
3,340
3,566
2,824
2,989
3,172
3,376
3,606
2,850
3,018
3,204
3,412
3,647
2,877
3,047
3,237
3,450
3,689
2,904
3,078
3,271
3,487
3,732
19
18
17
16
15
3
3
3
4
4
5
8
6
6
9
10
12
8
10
11
12
75
3,732
3,776
3,821
3,867
3,914
3,962
4,011
14
5
9
60'
50'
40'
30'
20 '
10 '
0'
a
1'
2'
66
67
68
1,036
1,072
1,111
2,020
2,112
2,211
1,111
7
6
6
6
10
8
10
11
12
13
14
6
6
6
6
10
10
11
13
7
7
7
13
13
14
13
14
15
17
14 15
14 16
16 18
18 20
19 22
18
21
20
22
23
26
29
32
37
12
13
14
16
13 16
15 17
16 19
18 22
21 25
25
29
23
26
29
33
14
18
23
28
32
37
41
3'
4'
5'
6'
7'
8'
9'
cotg a
tg 76° 00'
cotg 0° I '
až tg 89° 59' |
až cotg 14° 00' j
viz str. 84—85
83
7.2a tg a
a
76°00'
10'
20'
30'
40'
50'
77°00'
10'
20'
tg x
4,011
4,061
4,113
4,165
4,219
4,275
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
4,016
4,066
4,118
4,171
4,225
4,280
4,021
4,071
4,123
4,176
4,230
4,286
4,026
4,076
4,128
4,031
4,082
4,134
4,036
4,087
4,139
4,041
4,092
4,144
4,046
4,097
4,149
4,181
4,236
4,292
4,187
4,241
4,297
4,192
4,247
4,303
4,198
4,252
4,309
4,337
4,396
4j455
4,343
4,402
4,462
4,349
4,407
4,468
4,517
4,580
4,645
4,523
4,586
4,651
4,529
4,593
4,658
4,355
4,413
4,474
4,536
4,599
4,665
4,360
4,419
4,480
4,542
4,606
4,671
4,718
4,787
4,857
4,930
5,005
5,081
4,725
4,794
4,864
4,937
5,012
5,089
5,161
5,242
5,326
8'
9'
10'
4,203
4,258
4,314
4,051 4,056
4,102 4,107
4,155 4,160
4,208 4,214
4,264 4,269
4,320 4,326
4,061
4,113
4,165
4,219
4,275
4,331
50'
40'
30'
20'
10'
13°00'
4,366
4,425
4,486
4,548
4,612
4,678
4,372
4,431
4,492
4,555
4,619
4,685
4,378 4,384
4,437 4,443
4,498 4,505
4,561 4,567
4,625 4,632
4,691 4,698
4,390
4,449
4,511
4,574
4,638
4,705
50'
40'
30'
4,732
4,801
4,872
4,945
5,020
5,097
4,739 4,745
4,808 4,815
4,879 4,886
4,952 4,959
5,027 5,035
5,105 5,113
4,752
4,822
4,893
4,759
4,829
4,901
4,967
5,043
5,121
4,974
5,050
5,129
4,766
4,836
4,908
4,982
5,058
5,137
4,773
4,843
4,915
4,989
5,066
5,145
20'
10'
11°00'
5,169
5,250
5,335
5,177
5,259
5,343
5,185
5,267
5,352
5,193
5,276
5,361
5,201
5,284
5,369
5,217
5,301
5,387
5,226
5,309
5,396
50'
40'
30'
5,413
5,503
5,595
5,422
5,512
5,605
5,431
5,521
5,614
5,440
5,530
5,623
5,449
5,539
5,633
5,458
5,549
5,642
5,209
5,292
5,378
5,466
5,558
5,652
5,475
5,567
5,662
5,485
5,576
5,671
20'
10'
10°00'
5,710 5,720
5,810 5,820
5,912 5,923
6,019 6,030
6,129 6,140
6,243 6,255
5,730
5,830
5,933
6,041
6,152
6,267
5,740
5,840
5,944
5,749
5,850
5,954
6,062
6,174
6,290
5,759
5,861
5,965
5,769
5,871
5,976
6,073
6,186
6,302
6,084
6,197
6,314
50'
40'
30'
20'
10'
9°00'
6,410
6,535
6,665
6,799
6,940
7,085
6,423
6,548
6,678
6,813
6,954
7,100
6,435
6,561
6,691
6,827
6,968
7,115
20'
10'
8°00'
50'
40'
30'
20'
10'
7°00'
30'
40'
50'
4,331
4,390
4,449
4,511
4,574
4,638
78°00'
10'
20'
4,705
4,773
4,843
30'
40'
50'
4,915
4,989
5,066
4,711
4,780
4,850
4,922
4,997
5,074
79°00'
10'
20
5,145
5,226
5,309
5,396
5,485
5,576
5,153
5,234
5,318
5,404
5,494
5,586
80°00'
10'
20'
30'
40'
50'
5,671
5,769
5,871
5,691
5,789
5,892
5,976
6,084
6,197
5,681
5,779
5,881
5,986
6,096
6,209
5,997
6,107
6,220
5,700
5,799
5,902
6,008
6,118
6,232
81°00'
10'
20'
30'
40'
50'
6,314
6,435
6,561
6,691
6,827
6,968
6,326
6,447
6,573
6,704
6,841
6,983
6,338
6,460
6,586
6,718
6,855
6,997
6,350
6,472
6,599
6,731
6,869
7,012
6,362
6,485
6,612
6,745
6,883
7,026
6,374
6,497
6,625
6,758
6,897
7,041
6,386
6,510
6,638
6,772
6,911
7,056
6,398
6,522
6,651
82°00'
10'
20'
7,115
7,269
7,429
7,596
7,770
7,953
7,130
7,284
7,445
7,613
7,788
7,972
7,146
7,300
7,462
7,630
7,806
7,991
7,161
7,316
7,478
7,647
7,824
8,009
7,176
7,332
7,495
7,191
7,348
7,511
7,253
7,412
7,579
7,682
7,861
8,048
7,222
7,380
7,545
7,717
7,897
8,086
7,238
7,396
7,562
7,665
7,842
8,028
7,207
7,364
7,528
7,700
7,879
8,067
7,735
7,916
8,105
7,753
7,934
8,125
7,269
7,429
7,596
7,770
7,953
8,144
10'
9'
8'
T
6'
5'
4'
3'
2'
1'
0'
30'
40'
50'
sin x,
0'
30'
40'
50'
6,051
6,163
6,278
6,786
6,925
7,071
20'
10'
12°00'
50'
40'
30'
50'
40'
30'
a
cotg a
84
7.2a tg a
a
0'
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
8'
9'
10'
83°00'
10'
20'
30'
40'
50'
8,144
8,345
8,556
8,777
9,010
9,255
8,164
8,366
8,577
8,184
8,386
8,599
8,823
9,058
9,306
8,204
8,407
8,621
8,223
8,428
8,643
8,869
9,106
9,357
8,243
8,449
8,665
8,892
9,131
9,383
8,264
8,470
8,687
8,284
8,491
8,709
8,324
8,534
8,754
8,345
8,556
8,777
50'
40'
30'
8,915
9,156
9,409
8,939
9,180
9,435
8,304
8,513
8,732
8,962
9,205
9,461
8,986
9,230
9,488
9,010
9,255
9,514
20'
10'
6°00'
84°00'
10'
20'
30'
40'
50'
9,514
9,788
10,08
10,39
10,71
11,06
9,541
9,816
10,11
10,42
10,75
11,10
9,568
9,845
10,14
9,595
9,873
10,17
10,48
10,81
11,17
9,622
9,902
10,20
9,677
9,960
10,26
10,58
10,92
11,28
9,704
9,989
10,29
9,732
10,02
10,32
9,760
10,05
10,35
9,788
10,08
10,39
50'
40'
30'
10,51
10,85
11,20
9,649
9,931
10,23
10,55
10,88
11,24
10,61
10,95
11,32
10,64
10,99
11,35
10,68
11,02
11,39
10,71
11,06
11,43
20'
10'
5°00'
85°00'
10'
20'
11,43
11,83
12,25
11,51
11,91
12,34
11,62
12,03
12,47
11,83
12,25
12,71
50'
40'
30'
12,95
13,46
14,01
13,05
13,56
14,12
11,74
12,16
12,61
13,10
13,62
14,18
11,79
12,21
12,66
12,90
13,40
13,95
11,66
12,08
12,52
13,00
13,51
14,07
11,70
12,12
12,57
12,71
13,20
13,73
11,55
11,95
12,38
12,85
13,35
13,89
11,59
11,99
12,43
30'
40'
50'
11,47
11,87
12,29
12,75
13,25
13,78
13,15
13,67
14,24
13,20
13,73
14,30
20'
10'
4°00'
86°00'
10'
20'
14,36
14,99
15,68
14,42
15,06
15,75
16,51
17,34
18,27
14,48
15,12
15,82
14,54
15,19
15,89
14,61
15,26
15,97
14,67
15,33
16,04
14,73
15,39
16,12
14,80
15,46
16,20
14,86
15,53
16,27
30'
40'
50'
14,30
14,92
15,60
16,35
17,17
18,07
16,59
17,43
18,37
16,67
17,52
18,46
16,75
17,61
18,56
16,83
17,70
18,67
16,92
17,79
18,77
17,00
17,89
18,87
17,08
17,98
18,98
14,92
15,60
16,35
17,17
18,07
19,08
50'
40'
30'
20'
10'
3°00'
87°00'
10'
20'
19,08
20,21
21,47
19,52
20,69
22,02
19,97
21,20
22,60
20,09
21,34
22,75
20,21
21,47
22,90
50'
40’
30'
22,90
24,54
26,43
23,53
25,26
27,27
19,63 19,74
20,82 20,95
22,16 22,31
23,69 23,86
25,45 25,64
27,49 27,71
19,85
21,07
22,45
30'
40'
50'
19,19 19,30 19,41
20,33 20,45 20,57
21,61 21,74 21,88
23,06 23,21 23,37
24,72 24,90 25,08
26,64 26,84 27,06
24,03 24,20
25,83 26,03
27,94 28,17
24,37
26,23
28,40
24,54
26,43
28,64
20'
10'
2°00'
88°00'
10'
20'
30'
40'
50'
28,64
31,24
34,37
38,19
42,96
49,10
28,88
31,53
34,72
38,62
43,51
49,82
29,12 29,37
31,82 32,12
35,07 35,43
39,06 39,51
44,07 44,64
50,55 51,30
29,62
32,42
35,80
39,97
45,23
52,08
29,88 30,14
32,73 33,05
36,18 36,56
40,44 40,92
45,83 46,45
52,88 53,71
30,41 30,68
33,37 33,69
36,96 37,36
41,41 41,92
47,09 47,74
54,56 55,44
30,96
34,03
37,77
31,24
34,37
38,19
42,43
48,41
56,35
42,96
49,10
57,29
50'
40'
30'
20'
10'
l c00'
89°00'
10'
20'
30'
40'
50'
57,29
68,75
85,94
58,26 59,27
70,15 71,62
88,14 90,46
118,5 122,8
180,9 191,0
382,0 429,7
63,66
78,13
101,1
143,2
245,6
859,4
64,86
79,94
104,2
149,5
264,4
1146
66,11
81,85
107,4
156,3
286,5
1719
67,40
83,84
110,9
163,7
312,5
3438
68,75
85,94
114,6
171,9
343,8
50'
40'
30'
20'
10'
0°00'
4'
3'
2'
1'
0'
a
114,6
171,9
343,8
10'
8,800
9,034
9,281
16,43
17,26
18,17
9'
10,45
10,78
11,13
12,80
13,30
13,84
8'
8,846
9,082
9,332
60,31
73,14
92,91
127,3
202,2
491,1
7'
61,38 62,50
74,73 76,39
95,49 98,22
132,2 137,5
214,9 229,2
573,0 687,5
6'
5'
cotg a
85
sin x,
tg x
7.3 si n X
(x v radiánech)
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,0000
0100
0200
0300
0400
0500
0600
0699
0799
0899
' 0,1
0,2
0,3
0998
1987
2955
1098
2085
3051
1197
2182
3146
1296
2280
3240
1395
2377
3335
1494
2474
3429
1593
2571
3523
1692
2667
3616
1790
2764
3709
1889
2860
3802
0,4
0,5
0,6
3894
4794
5646
3986
4882
5729
4078
4969
5810
4169
5055
5891
4259
5141
5972
4350
5227
6052
4439
5312
6131
4529
5396
6210
4618
5480
6288
4706
5564
6365
0,7
0,8
0,9
6442
7174
7833
6518
7243
7895
6594
7311
7956
6669
7379
8016
6743
7446
8076
6816
7513
8134
6889
7578
8192
6961
7643
8249
7033
7707
8305
7104
7771
8360
1,0
0,8415
8468
8521
8573
8624
8674
8724
8772
8820
8866
1,1
1,2
1,3
8912
9320
9636
8957
9356
9662
9001
9391
9687
9044
9425
9711
9086
9458
9735
9128
9490
9757
9168
9521
9779
9208
9551
9799
9246
9580
9819
9284
9608
9837
1,4
1,5
1,5
1,6
9854
9975
9871
9982
9887
9987
9901
9992
9915
9995
9927
9998
9939
9999
9949
1,0000
9959
9967
9996
9992
9988
9982
9976
9969
9960
9951
1,0000
9940
9998
9929
1,7
1,8
1,9
9917
9738
9463
9903
9715
9430
9889
9691
9396
9874
9666
9362
9857
9640
9326
9840
9613
9290
9822
9585
9252
9802
9556
9214
9782
9526
9174
9761
9495
9134
2,0
0,9093
9051
9008
8964
8919
8874
8827
8780
8731
8682
2,1
2,2
2,3
8632
8085
7457
8581
8026
7390
8529
7966
7322
8477
7905
7254
8423
7843
7185
8369
7781
7115
8314
7717
7044
8258
7654
6973
8201
7589
6901
8143
7523
6828
2,4
2,5
2,6
6755
5985
5155
6681
5904
5069
6606
5823
4983
6530
5742
4896
6454
5660
4808
6378
5577
4720
6300
5494
4632
6222
5410
4543
6144
5325
4454
6065
5240
4364
2,7
2,8
2,9
4274
3350
2392
4183
3256
2295
4092
3161
2198
4001
3066
2100
3909
2970
2002
3817
2875
1904
3724
2779
1806
3631
2683
1708
3538
2586
1609
3444
2489
1510
3,0
0,1411
1312
1213
1114
1014
0955
0815
0715
0616
0516
3,1
0416
0316
0216
0116
0016 -0,0084
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k . 2jt
6,283
12,566
18,850
25,133
31,416
37,699
43,982
50,265
56,549
62,832
sin (—x) — —sin x
86
sin x = sin (x + k . 2ti), k e Z
7A
(x v radiánech)
COS X
X
0
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
1,0000
9996
9992
9988
9982
9976
9968
9960
0,1
0,2
0,3
0,9950
9801
9553
9940
9780
9523
9928
9759
9492
9916
9737
9460
9902
9713
9428
9888
9689
9394
9872
9664
9359
9856
9638
9323
9838
9611
9287
9820
9582
9249
0,4
0,5
0,6
9211
8776
8253
9171
8727
8196
9131
8678
8139
9090
8628
8080
9048
8577
8021
9004
8525
7961
8961
8473
7900
8916
8419
7838
8870
8365
7776
8823
8309
7712
0,7
0,8
0,9
7648
6967
6216
7584
6895
6137
7518
6822
6058
7452
6749
5978
7385
6675
5898
7317
6600
5817
7248
6524
5735
7179
6448
5653
7109
6372
5570
7038
6294
5487
1,0
0,5403
5319
5234
5148
5062
4976
4889
4801
4713
4625
1,1
1,2
1,3
4536
3624
2675
4447
3530
2579
4357
3436
2482
4267
3342
2385
4176
3248
2288
4085
3153
2190
3993
3058
2092
3902
2963
1994
3809
2867
1896
3717
2771
1798
1,4
1,5
1,5
1,6
1700
0707
1601
0608
1502
0508
1403
0408
1304
0308
1205
0208
1106
0108
1006
0008
0907
0807
—0,0292
0392
0492
0592
0691
0791
0891
0990
1,7
1,8
1,9
—0,1288
—0,2272
—0,3233
1388
2369
3327
1486
2466
3421
1585
2563
3515
1684
2660
3609
1782
2756
3702
1881
2852
3795
1979
2948
3887
2077
3043
3979
2175
3138
4070
2,0
—0,4161
4252
4342
4432
4522
4611
4699
4787
4875
4962
1
1,0000 0,9998
-0,0092-0,0192
1090
1189
sin
tg X
0
2,1
2,2
2,3
—0,5048
—0,5885
—0,6663
5135
5966
6737
5220
6046
6811
5305
6125
6883
5390
6204
6956
5474
6282
7027
5557
6359
7098
5640
6436
7168
5722
6512
7237
5804
6588
7306
2,4
2,5
2,6
—0,7374
—0,8011
—0,8569
7441
8071
8620
7508
8130
8670
7573
8187
8720
7638
8244
8768
7702
8301
8816
7766
8356
8863
7828
8410
8908
7890
8464
8953
7951
8517
8998
2,7
2,8
2,9
—0,9041
—0,9422
-0 ,9 7 1 0
9083
9455
9733
9124
9487
9755
9165
9519
9777
9204
9549
9797
9243
9578
9817
9281
9606
9836
9318
9633
9853
9353
9660
9870
9388
9685
9885
3,0
—0,9900
9914
9926
9938
9948
9958
9967
9974
9981
9987
3,1
—0,9991
9995
9998
9999
k
k . 2n
-1,0000 -1,0000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6,283
12,566
18,850
25,133
31,416
37,699
43,982
50,265
56,549
62,832
cos (—x) — cos *
X,
cos X = cos (x + k . 2n), k e Z
87
(x v radiánech)
7.5 tg X
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 ,0
0,0000
0100
0200
0300
0400
0500
0601
0701
0802
0902
0,1
0,2
0,1003
0,2027
0,3093
1104
2131
3203
1206
2236
3314
1307
2341
3425
1409
2447
3537
1511
2553
3650
1614
2660
3764
1717
2768
3879
1820
2876
3994
1923
2984
4111
0,4228
0,5463
0,6841
4346
5594
6989
4466
5726
7139
4586
5859
7291
4708
5994
7445
4831
6131
7602
4954
6269
7761
5080
6410
7923
5206
6552
8087
5334
6696
8253
0,9
0,8423
1,0296
1,2602
8595
0505
2864
8771
0717
3133
8949
0934
3409
9131
1156
3692
9316
1383
3984
9505
1616
4284
9697
1853
4592
9893
2097
4910
*0092
2346
5237
1,0
1,5574
5922
6281
6652
7036
7433
7844
8270
8712
9171
1,1
1,2
1,9648
2,5722
3,602
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1,3
1,4
1,5
6,165 6,581 7,055
16,43 19,67 24,50
5,798
14,10
7.6 cotg
*1759 *2345 *2958
9119 3,010 3,113
4,256 4,455 4,673
*0143 *0660 *1198
8198
7328
6503
3,747 3,903 4,072
7,602 8,238 8,989
32,46 48,08 92,62
*3600 *4273 *4979
3,224 3,341 3,467
4,913 5,177 5,471
9,887 10,98
1255,8
12,35
X (x v radiánech)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,0
—
100,00
49,99
33,22
24,99
19,98
16,65
14¿6
12,47
0,1
0,2
9,967
4,933
3,2327
X
*
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
7,096 6,617 6,197
4,086 3,916 3,759
*8270 *7395 *6567
9,054 8,293 7,649
4,692 4,472 4,271
1218
0176 *9195
3008
2393
1804
7878
7465
7067
4308
4007
3715
1634
1402
1174
9520
9331
9146
7774
7615
7458
2,3652
1,8305
1,4617
11,08
5,826 5,495 5,200
3,613 3,478 3,351
*5782 *5037 *4328
1241
6683
3431
0952
8964
7303
0702
6310
3154
0184
5950
2885
*9686
5601
2622
*9208
5263
2366
0734
8785
7151
0521
8609
7001
0313
8437
6853
0109
8267
6707
*8748
4935
2116
*9908
8100
6563
0,9
1,1872
0,9712
0,7936
1,0
0,6421
6281
6142
6005
5870
5736
5604
5473
5344
5216
1,1
1,2
0,5090
0,3888
0,2776
0,1725
0,0709
4964
3773
2669
1622
0609
4840
3659
2562
1519
0508
4718
3546
2456
1417
0408
4596
3434
2350
4475
3323
2245
1214
0208
4356
3212
2140
4237
3102
2035
4120
2993
1931
1113
0108
1011
0910
4003
2884
1828
0810
0008
0,8
1,3
1,4
1,5
k
1
k . 7Í
3,142
tg (—x) = —tg X
88
2
3
4
9,425
12,566
6,283
tg * = tg (x + k . tc), k e Z
1315
0308
5
6
7
21,991
18,850
15,708
cotg (— x) = —cotg X
9
8
25,133
cotg
X
28,274
10
31,416
— cotg (x + k . 7t), k e Z
y =tgx
sin X,
tg X
89
8
F U N K C E e' , e "
Exponenciální funkce e* a e-*, kde e = 2,718 ... je základ přirozených logaritmů, jsou definovány
pro všechna reálná x.
V tabulce jsou uvedeny hodnoty těchto funkcí pro x rostoucí po 0,01 v intervalu <0,00; 1,50), pro
x rostoucí po 0,1 v intervalu <1,5; 6,0) a pro x e {6,5; 7,0; 8,0; 9,0; 10,0}.
K vyhledávání hodnot funkcí pro x minjo uvedené intervaly použijeme vlastností exponenciální funkce,
zejména vzorce:
e*+v = e * . e* a (ea)b = eab
Pomocí hodnot funkcí e1 a e"* určujeme hodnoty hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu
podle vzorců:
e* — e~x
,
ez -f- e~z
sinh x = ----------- , cosh x = ----- ^----Pro hyperbolický sinus a hyperbolický kosinus platí vztahy:
sinh (—ar) = —sinh x, cosh (—x) = cosh x
cosh2 x — sinh2 x = 1, sinh x + cosh x = e*
y=e-
y=ex
y= coshx
y=sinhx
90
8 Funkce e*, e‘x
X
e*
e~*
X
e*
e~x
X
e*
e~*
0,00
1,0000
1,0000
0,50
1,6487
0,6065
1,00
2,7183
0,3679
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
1,0101
0202
0305
1,0408
0513
0618
1,0725
0833
0942
0,9900
9802
9704
0,9608
9512
9418
0,9324
9231
9139
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
1,6653
6820
6989
1,7160
7333
7507
1,7683
7860
8040
0,6005
5945
5886
0,5827
5769
5712
0,5655
5599
5543
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
2,7456
7732
8011
2,8292
8577
8864
2,9154
9447
9743
0,3642
3606
3570
0,3535
3499
3465
0,3430
3396
3362
0,10
1,1052
0,9048
0,60
1,8221
0,5488
1,10
3,0042
0,3329
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
1,1163
1275
1388
1,1503
1618
1735
1,1853
1972
2092
0,8958
8869
8781
0,8694
8607
8521
0,8437
8353
8270
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
1,8404
8589
8776
1,8965
9155
9348
1,9542
9739
9937
0,5434
5379
5326
0,5273
5220
5169
0,5117
5066
5016
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
3,0344
0649
0957
3,1268
1582
1899
3,2220
2544
2871
0,3296
3263
3230
0,3198
3166
3135
0,3104
3073
3042
1,20
3,3201
0,3012
0,20
1,2214
0,8187
0,70
2,0138
0,4966
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
1,2337
2461
2586
1,2712
2840
2969
1,3100
3231
3364
0,8106
8025
7945
0,7866
7788
7711
0,7634
7558
7483
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
2,0340
0544
0751
2,0959
1170
1383
2,1598
1815
2034
0,4916
4868
4819
0,4771
4724
4677
0,4630
4584
4538
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
3,3535
3872
4212
3,4556
4903
5254
3,5609
5966
6328
0,2982
2952
2923
0,2894
2865
2837
0,2808
2780
2753
0,30
1,3499
0,7408
0,80
2,2255
0,4493
1,30
3,6693
0,2725
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
1,3634
3771
3910
1,4049
4191
4333
1,4477
4623
4770
0,7334
7261
7189
0,7118
7047
6977
0,6907
6839
6771
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
2,2479
2705
2933
2,3164
3396
3632
2,3869
4109
4351
0,4449
4404
4360
0,4317
4274
4232
0,4190
4148
4107
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
3,7062
7434
7810
3,8190
8574
8962
3,9354
9749
4,0149
0,2698
2671
2645
0,2618
2592
2567
0,2541
2516
2491
0,40
1,4918
0,6703
0,90
2,4596
0,4066
1,40
4,0552
0,2466
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
1,5068
5220
5373
1,5527
5683
5841
1,6000
6161
6323
0,6637
6570
6505
0,6440
6376
6313
0,6250
6188
6126
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
2,4843
5093
5345
2,5600
5857
6117
2,6379
6645
6912
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
4,0960
1371
1787
4,2207
2631
3060
4,3492
3929
4371
0,2441
2417
2393
0,2369
2346
2322
0,2299
2276
2254
1,6487
0,6065
1,00
2,7183
0,4025
3985
3946
0,3906
3867
3829
0,3791
3753
3716
0,3679
1,50
4,4817
0,2231
X
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
e*
e-*
4,4817 0,2231
2019
4,9530
5,4739 0,1827
1653
6,0496
6,6859
1496
2,0
7,3891
0,1353
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
8,1662
9,0250
9,9742
11,0232
12,182
13,464
14,880
16,445
18,174
0,1225
1108
1003
0,0907
0821
0743
0,0672
0608
0550
3,0
20,086
0,0498
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
22,198
24,533
27,113
29,964
33,115
36,598
40,447
44,701
49,402
0,0450
0408
0369
0,0334
0302
0273
0,0247
0224
0202
4,0
54,598
0,0183
4,1 60,340
4,2 66,686
4,3 73,700
4,4 81,451
4,5 90,017
4,6 99,484
4,7 109,947
4,8 121,510
4,9 134,290
0,0166
0150
0136
0,0123
0111
0101
0,0091
0082
0074
5,0 148,41
0,0067
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
0,0061
0055
0050
0,0045
0041
0037
0,0033
0030
0027
164,02
181,27
200,34
221,41
244,69
270,43
298,87
330,30
365,04
6,0 403,43
6,5 665,14
7,0 1096,6
8,0 2981,0
9,0 8103,1
10,0
22026
0,0025
0,0015
0009
0003
0001
0,0000
91
9 LOGARITMY
Definice a pravidla pro počítání s logaritmy jsou uvedeny ve vzorcích v kapitole 2 na str. 25.
Pro výpočty jsou nejdůležitější logaritm y o základu 10, zvané dekadické nebo také podle autora, který je
poprvé vypočítal, logaritmy Briggsovy. V zápisech dekadických logaritmů vynecháváme označení základu
10 a píšeme stručně log n.
Ve vyšší matematice jsou důležité logaritmy, jejichž základem je iracionální číslo e = 2,718 282 (viz
str. 29); nazýváme je logaritm y přirozené; užíváme pro ně značku In n.
K odhadům logaritmů čísel jsou vhodné grafy funkcí y = log n a y — ln n.
Mezi dekadickým logaritmem kladného čísla n a přirozeným logaritmem téhož čísla platí tyto vztahy:
ln n = ln 10 . log n,
log n = log e . ln n,
9.1
ln 10 = 2,302 585,
log e = 0,434 294.
Přirozené logaritm y čísel
V tabulce jsou uvedeny pětimístné hodnoty přirozených logaritmů čísel 1— 100.
Přirozené logaritmy čísel z intervalu (0; 1) a větších než 100 hledáme s využitím vlastností logaritmů.
Příklady:
ln 0,5 = ln (5 : 10) = ln 5 — ln 10 = 1,60944 — 2,30259 = -0,69315
ln 5 000 = ln (50 . 100) = ln 50 + ln 100 = 3,91202 + 4,60517 = 8,51719
ln 106 = 6 . ln 10 = 6 . 2,30259 = 13,81554
9.2
Logaritm y dekadické
Z definice dekadického logaritmu vyplývá:
log 1 = 0; log 10 = 1; log 10° = c
Většímu n odpovídá větší logaritmus; platí:
je-li 1 ^ «o < 10, je 0 ^ log no < 1 .
Každé kladné číslo n můžeme napsat ve tvaru n = no . 10c, kde 1 ^ no < 10 a c je celé číslo (řád první
platné číslice); pak platí:
log n = log (10° . no) = log 10° + log «o = c + m ,
kde m — log «o a 0 ^ m < 1.
Každý dekadický logaritmus je tedy součtem celého čísla c a čísla m. Číslo c udává řád první platné
číslice daného čísla n a nazývá se charakteristika logaritm u; číslo m se nazývá m antisa logaritm u.
Všechna čísla, která se liší pouze umístěním desetinné čárky, mají touž mantisu.
Hledáme-li logaritmus nějakého čísla, určíme nejprve charakteristiku, která se rovná řádu první platné
číslice zleva. Je-li charakteristika kladná nebo nula, napíšeme ji, za ni napíšeme desetinnou čárku a pak při­
píšeme mantisu nalezenou v tabulkách. Je-li charakteristika záporná, napíšeme nulu, za ni desetinnou čárku,
vynecháme místo na mantisu a za ně připíšeme zápornou charakteristiku. Pak z tabulky doplníme mantisu.
V tabulce 9.2 jsou uvedeny čtyřmístné mantisy trojcifemých čísel 100—999 a na kond řádků opravy pro
čtvrtou platnou číslici.
92
Příklady:
log 8 320 =
3,9201
číslo 8 320 má nejvyšší řád tisíce, tedy charakteristiku 3; mantisa řádek 83,
sloupec 2
log 0,0456 =
0,6590 —2
číslo 0,0456 má nejvyšší řád setiny, charakteristiku —2; mantisa - řádek 45,
sloupec 6
log 1,357 =
0,1303
číslo 1,357 má nejvyšší řád jednotky, charakteristiku 0; mantisa řádek 13,
sloupec 5
oprava pro čtvrtou platnou číslici 7
+23
0,1326
(Až do mantis log 209 jsou řádky rozděleny na dvě až čtyři části, protože tabulkové diference nejsou na
řádku stejné, takže se opravy pro různé diference liší. Teprve od mantisy log 210 se diference mezi mantisami liší nejvýše o 1, takže zaokrouhlené opravy platí pro celý řádek.)
Opačným postupem najdeme k danému logaritmu číslo se čtyřmi platnými číslicemi.
P říklad:
log x =
0,9131
—0,9128
x =
log
=
y =
8,185
0,6650 - 3
-0 ,6 6 4 6
0,004624
řádek 81, sloupec 8
oprava 3 přísluší čtvrté číslici 5 nebo 6
charakteristika log x — 0, nejvyšším řádem čísla x jsou jednotky
řádek 46, sloupec 2
oprava 4 přísluší čtvrté číslici 4
charakteristika logjy j e —3, nejvyšším řádem čísla y budou tisíciny, proto napí­
šeme 0,00 a doplníme desetinná místa odpovídající mantise.
M antisa logaritm u čísla n m á nejvýše tolik platných číslic, kolik platných číslic m á číslo n.
Hledáme-li proto mantisu čísla zaokrouhleného např. na 3 platné číslice, zaokrouhlíme mantisu rovněž na tři
platné číslice.
log x
0
O«■■
ě
93
9.1
Přirozené logaritm y čísel 1—100
n
ln n
n
ln n
n
ln n
n
ln n
n
ln n
0,00 000
21
22
41
42
43
3,71 357
3,73 767
3,76 120
61
62
63
4,11 087
4,12 713
4,14 313
81
82
83
4,39 445
4,40 672
4,41 884
64
65
4,15 888
4,17 439
4,18 965
84
85
4,43 082
4,44 265
4,45 435
87
89
4,46 591
4,47 734
4,48 864
0,69 315
1,09 861
23
3,04 452
3,09 104
3,13 549
1,38 629
1,60 944
1,79 176
24
25
26
3,17 805
3,21 888
3,25 810
44
45
46
3,78 419
3,80 666
3,82 864
27
28
29
3,29 584
3,33 220
3,36 730
47
48
49
3,85 015
3,87 120
3,89 182
68
9
1,94 591
2,07 944
2,19 722
69
4,20 469
4,21 951
4,23 411
10
2,30 259
30
3,40 120
50
3,91 202
70
4,24 850
90
4,49 981
11
12
13
2,39 790.
2,48 491
2,56 495
31
32
33
3,43 399
3,46 574
3,49 651
51
52
53
3,93 183
3,95 124
3,97 029
71
72
73
4,26 268
4,27 667
4,29 046
91
92
93
4,51 086
4,52 179
4,53 260
14
15
16
2,63 906
2,70 805
2,77 259
34
35
36
3,52 636
3,55 535
3,58 352
54
55
56
3,98 898
4,00 733
4,02 535
74
75
76
4,30 407
4,31 749
4,33 073
94
95
96
4,54 329
4,55 388
4,56 435
17
18
19
2,83 321
2,89 037
2,94 444
37
38
39
3,61 092
3,63 759
3,66 356
57
58
59
4,04 305
4,06 044
4,07 754
77
78
79
4,34 381
4,35 671
4,36 945
97
98
99
4,57 471
4,58 497
4,59 512
20
2,99 573
40
3,68 888
60
4,09 434
80
4,38 203
100
4,60 517
1
2
3
4
5
6
7
8
ln re = 1,144 73
66
67
86
88
9.2 Mantisy log n 100 - 299
n
0
1
10
0000
0043
2
3
4
0086
0128
0170
5
0212
6
7
0414
0453
0569
0823
6
7 8
9
0374
4
4
4
4
17
17
16
16
22
21
21
20
26
25
25
24
30
30
29
28
39
38
37
36
0755
4 8 12
4 8 11
4 7 11
16 20 24
15 19 23
15 18 22
27 31 35
27 30 34
26 29 33
1106
3 7 11
4 7 11
3 7 10
14 18 21
14 17 21
14 17 20
25 28 32
24 28 31
24 27 30
1430
3 7 10
3 6 10
3 6 9
13 17 20
13 16 19
13 16 19
23 27 30
23 26 29
22 25 28
1703
1732
3 6 9
3 6 9
3 6 9
13 16 19
12 15 18
11 14 17
22 25 28
21 24 27
20 23 26
1987
2014
3 6
3 5
9
8
11 14 17
11 14 16
20 23 26
19 22 25
2253
2279
3 5 8
3 5 8
11 13 16
10 13 15
19 21 24
18 20 23
2504
2529
3 5 8
2 5 7
10 13 15
10 12 15
18 20 23
17 19 22
2742
2765
2 5 7
2 5 7
9 12 14
9 11 13
16 19 21
16 18 20
0334
0607
0645
0792
5
0492
0531
12
4
9
0253
0294
11
1 2 3
8
0864
0899
0682
0719
0934
0969
1004
13
1139
1038
1173
1206
1239
1271
1303
1335
1367
14
1461
1761
1790
1818
1553
1847
1584
1875
1614
1903
1644
1673
1931
1959
16
17
18
19
20
2041
2304
2553
2788
3010
1399
1492
1523
15
1072
2068
2330
2577
2810
3032
2095
2355
2601
2833
3054
2122
2380
2625
2856
3075
2148
2405
2648
2878
2175
2201
2227
.
2430
2672
2455
2480
2695
2718
13
13
12
12
35
34
33
32
2923
2945
2967
2989
2 4 7
2 4 6
9 11 14
8 11 13
16 18 20
15 17 19
3139
3160
3181
3201
2 4 6
2 4 6
8 11 13
8 10 12
15 17 19
14 17 19
2900
3096
3118
9
9
8
8
21
22
23
24
25
26
3222
3424
3617
3802
3979
4150
3243
3444
3636
3820
3997
4166
3263 3284
3464 3483
3655 3674
3838 3856
4014 4031
4183 4200
3304 3324 3345
3502 3522 3541
3692 3711 3729
3874 3892 3909
4048 4065 4082
4216 4232 4249
3365
3560
3747
3927
4099
4265
3385 3404
3579 3598
3766 3784
3945 3962
4116 4133
4281 4298
2
2
2
2
2
2
4 6
4 6
4 6
4 5
3 5
3 5
8
8
7
7
7
7
27
28
29
4314
4472
4624
4330
4487
4639
4346
4502
4654
4362
4518
4669
4378
4533
4683
4393
4548
4698
4409
4564
4713
4425
4579
4728
4440
4594
4742
4456
4609
4757
2 3 5
2 3 5
1 3 4
6
6
6
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3
4
10
10
9
9
9
8
12
12
11
11
10
10
8 9
8 9
7 9
5
6
14
14
13
12
12
11
16
15
15
14
14
13
18
17
17
16
15
15
11 13 14
11 12 14
10 12 13
7
8
9
95
log X
O
9.2 M an tisy lo g n 300—639
log X
9
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3
4 5 6
30
4771
4786
4800
4814
4829
4843
4857
4871
4886
4900
1 3 4
6 7 9
10 11 13
31
32
33
4914
5051
5185
4928
5065
5198
4942
5079
5211
4955
5092
5224
4969
5105
5237
4983
5119
5250
4997
5132
5263
5011
5145
5276
5024
5159
5289
5038
5172
5302
1 3 4
13 4
1 3 4
6 7 8
5 7 8
5 6 8
10 11 12
9 11 12
9 10 12
34
35
36
5315
5441
5563
5328
5453
5575
5340
5465
5587
5353
5478
5599
5366
5490
5611
5378
5502
5623
5391
5514
5635
5403
5527
5647
5416
5539
5658
5428
5551
5670
1 3 4
1 2 4
1 2 4
5 6 8
5 6 7
5 6 7
9 10 11
9 10 11
8 10 U
37
38
39
5682
5798
5911
5694
5809
5922
5705
5821
5933
5717
5832
5944
5729
5843
5955
5740
5855
5966
5752
5866
5977
5763
5877
5988
5775
5888
5999
5786
5899
6010
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 6 7
5 6 7
4 5 7
8
8
8
9 10
9 10
9 10
40
6021
6031
6042
6053
6064
6075
6085
6096
6107
6117
1 2 3
4 5 6
8
9 10
41
42
43
6128
6232
6335
6138
6243
6345
6149
6253
6355
6160
6263
6365
6170
6274
6375
6180
6284
6385
6191
6294
6395
6201
6304
6405
6212
6314
6415
6222
6325
6425
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 5 6
4 5 6
4 5 6
7 8
7 8
7 8
9
9
9
44
45
46
6435
6532
6628
6444
6542
6637
6454 6464
6551 6561
6646 6656
6474
6571
6665
6484
6580
6675
6493
6590
6684
6503
6599
6693
6513
6609
6702
6522
6618
6712
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 5 6
4 5 6
4 5 6
7 8
7 8
7 7
9
9
47
48
49
6721
6812
6902
6730
6821
6911
6739
6830
6920
6749
6839
6928
6758
6848
6937
6767
6857
6946
6776
6955
6785
6875
6964
6794
6884
6972
6803
6893
6981
12 3
1 2 3
1 2 3
4 5 5
4 4 5
4 4 5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
50
6990
6998
7007
7016
7024
7033
7042
7050
7059
7067
12 3
3 4 5
6
7
8
51
52
53
7076
7160
7243
7084
7168
7251
7093
7177
7259
7101
7185
7267
7110
7193
7275
7118
7202
7284
7126
7210
7292
7135 7143
7218 7226
7300 7308
7152
7235
7316
12 3
3 4 5
3 4 5
3 4 5
6
6
6
7
7
8
1 2 2
1 2 2
54
55
56
7324
7404
7482
7332
7412
7490
7340
7419
7497
7348
7427
7505
7356
7435
7513
7364
7443
7520
7372
7451
7528
7380
7459
7536
7388
7466
7543
7396
7474
7551
1 2 2
1 2 2
1 2 2
3 4 5
3 4 5
3 4 5
6
57
58
59
7559
7634
7709
7566
7642
7716
7574 7582
7649 7657
7723 7731
7589
7664
7738
7597
7672
7745
7604
7679
7752
7612
7686
7760
7619
7694
7767
7627
7701
7774
1 2 2
1 1 2
1 1 2
60
7782
7789
7796
7803
7810
7818
7825
7832
7839
7846
61
62
63
7853
7924
7993
7860
7931
8000
7868
7938
8007
7875
7945
8014
7882
7952
8021
7889
7959
8028
7896
7966
8035
7903
7973
8041
7910
7980
8048
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
6866
n ~ 3,1416, log .i = 0,4971, — = 0,3183, log — = 0,5029 - 1
jZ
71
]j'2 = 1,4142, log ¡2 = 0,1505, ^3 = 1,7321, log
96
0,2386
7 8
8
6
7
7
6
6
6
7
7
7
3 4 5
3 4 4
3 4 4
5 6
5 6
5 6
7
7
7
1 1 2
3 4 4
5
6
7917
7987
8055
1 1 2
1 1 2
1 1 2
3 4 4
3 3 4
3 3 4
5 6 6
5 6 6
5 5 6
9
1 2 3
4 5 6
7 8
5
5
6
9
9.2
Mantisy log n 640—999
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3
4 5 6
7 8
9
64
65
66
8062
8129
8195
8069
8136
8202
8075
8142
8209
8082
8149
8215
8089
8156
8222
8096
8162
8228
8102
8169
8235
8109
8176
8241
8116
8182
8248
8122
8189
8254
1 1 2
1 1 2
1 1 2
3 3 4
3 3 4
3 3 4
5 5 6
5 5 6
5 5 6
67
68
69
8261
8325
8388
8267
8331
8395
8274
8338
8401
8280
8344
8407
8287
8351
8414
8293
8357
8420
8299
8363
8426
8306 8312
8370 8376
8432 8439
8319
8382
8445
1 1 2
1 1 2
1 1 2
3 3 4
3 3 4
2 3 4
5 5 6
4 5 6
4 5 6
70
8451
8457
8463
8470
8476
8482
8488
8494
8500
8506
112
2 3 4
4 5 6
71
72
73
8513
8573
8633
8519
8579
8639
8525
8585
8645
8531
8591
8651
8537
8597
8657
8543
8603
8663
8549
8609
8669
8555
8615
8675
8561
8621
8681
8567
8627
8686
1 1 2
1 1 2
112
2 3 4
2 3 4
2 3 4
4 5 5
4 5 5
4 5 5
74
75
76
8692
8751
8808
8698
8756
8814
8704
8762
8820
8710
8768
8825
8716
8774
8831
8722
8779
8837
8727
8785
8842
8733
8791
8848
8739
8797
8854
8745
8802
8859
1 1 2
1 1 2
1 1 2
2 3 4
2 3 3
2 3 3
4
4
4
77
78
79
8865
8921
8976
8871
8927
8982
8876
8932
8987
8882
8938
8993
8887
8943
8998
8893
8949
9004
8899
8954
9009
8904 8910
8960 8965
9015 9020
8915
8971
9025
1 12
1 1 2
1 1 2
2 3 3
2 3 3
2 3 3
4 4
4 4
4 4
5
5
5
80
9031
9036
9042
9047
9053
9058
9063
9069
9074
9079
1 1 2
2 3 3
4
4
5
81
82
83
9085
9138
9191
9090
9143
9196
9096
9149
9201
9101
9154
9206
9106
9159
9212
9112
9165
9217
9117
9170
9222
9122
9175
9227
9128
9180
9232
9133
9186
9238
1 1 2
1 1 2
1 1 2
2 3 3
2 3 3
2 3 3
4 4
4 4
4 4
5
5
5
84
85
86
9243
9294
9345
9248
9299
9350
9253
9304
9355
9258
9309
9360
9263
9315
9365
9269
9320
9370
9274
9325
9375
9279
9330
9380
9284
9335
9385
9289
9340
9390
1 1 2
1 1 2
1 1 2
2 3 3
2 3 3
2 3 3
4 4 5
4 4 5
4 4 5
87
88
89
9395
9445
9494
9400
9450
9499
9405 9410
9455 9460
9504 9509
9415
9465
9513
9420
9469
9518
9425
9474
9523
9430
9479
9528
9435
9484
9533
9440
9489
9538
0 1 1
0 1 1
0 1 1
2 2 3
2 2 3
2 2 3
3 4 4
3 4 4
3 4 4
90
9542
9547
9552
9557
9562
9566
9571
9576
9581
9586
0 1 1
2 2 3
3 4
91
92
93
9590
9638
9685
9595
9643
9689
9600
9647
9694
9605
9652
9699
9609
9657
9703
9614
9661
9708
9619
9666
9713
9624
9671
9717
9628
9675
9722
9633
9680
9727
0 1 1
0 1 1
0 1 1
2 2 3
2 2 3
2 2 3
3 4 4
3 4 4
3 4 4
94
95
96
9731
9777
9823
9736
9782
9827
9741
9786
9832
9745
9791
9836
9750
9795
9841
9754
9800
9845
9759
9805
9850
9763
9809
9854
9768
9814
9859
9773
9818
9863
0 1 1
0 1 1
0 1 1
2 2 3
2 2 3
2 2 3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
97
98
99
9868
9912
9956
9872
9917
9961
9877
9921
9965
9881
9926
9969
9886
9930
9974
9890
9934
9978
9894
9939
9983
9899
9943
9987
9903
9948
9991
9908
9952
9996
0 1 1
0 1 1
0 1 1
2 2 3
2 2 3
2 2 3
3 4
3 4
3 3
4
4
4
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3
4 5 6
7
8
9
5 5
5 5
5 5
0
4
97
log X
fyzikální
a chemické
tabulky
Ú VO D
Jednotky
Veličiny jsou pojmy, které se užívají ke kvantitativnímu a kvalitativnímu popisu jevů nebo těles. Veličiny,
které mají stejný kvalitativní charakter a lze je vzájemně porovnávat, jsou veličiny stejného druhu. Příklad:
vlnová délka žluté sodíkové čáry a poloměr Země jsou veličiny stejného druhu.
Vybereme-li ze skupiny veličin stejného druhu jednu, kterou považujeme za referenční (vztažnou) a s níž
ostatní porovnáváme (měřením), nazýváme takto vybranou veličinu jednotka. Jednotka je vhodně zvolená
referenční veličina používaná při měření veličin stejného druhu. Je zpravidla určena mezinárodní dohodou.
Kdybychom volili jednotky všech veličin nezávisle, komplikovaly by se rovnice vyjadřující funkční závis­
losti mezi veličinami číselnými součiniteli. Proto volíme nezávisle jen několik jednotek, které pak nazýváme
základní jednotky; ostatní jednotky z nich odvozujeme a říkáme jim odvozené jednotky. Základní
a odvozené jednotky tvoří spolu soustavu jednotek. Soustava jednotek je koherentní, mají-li rovnice mezi
číselnými hodnotami stejný tvar jako veličinové rovnice.
Rozměrem veličiny vzhledem k základním veličinám nazýváme formální součin všech rozměrových
symbolů s příslušnými exponenty (základní veličiny a jejich rozměrové symboly jsou: délka L, hmotnost
M , čas T , elektrický proud I, teplota 0 , látkové množství M, svítivost J). Např. rozměrem výkonu je
L2M T~3. V praxi je zvykem nahrazovat v rozměru veličiny rozměrové symboly značkami odpovídajících
základních jednotek, např. pro výkon m 2 . kg . s~3. Protože korespondence mezi základními veličinami
a základními jednotkami je v případě zákonných jednotek jednoznačná, jsou obě vyjádření zaměnitelná.
^ Číselná hodnota veličiny je číslo, kterým musíme vynásobit jednotku, abychom dostali danou veličinu.
Číselná hodnota veličiny je určena poměrem této veličiny k její jednotce. Příklad: výška stolu h = 0,8 m;
h je výška stolu, m (metr) je jednotka, 0,8 je číselná hodnota. Veličina nezávisí na volbě jednotky, číselná
hodnota veličiny však na volbě jednotky závisí. Kolikrát se zvětší (zmenší) jednotka, tolikrát se zmenší
(zvětší) číselná hodnota veličiny. Příklad: výška stolu nezávisí na tom, v jakých jednotkách je vyjádřena.
Avšak h = 0,800 m - 80,0 cm = 800 mm.
Jsou-li v témž sloupci tabulky uvedeny číselné hodnoty ve stejných jednotkách, je uvedena příslušná
jednotka pouze v záhlaví tabulky poměrem veličiny a příslušné jednotky ve tvaru zlomku.
P řík lad : číselné hodnoty hustoty q různých látek v kilogramech na krychlový metr jsou v záhlaví tabulky
0
Q
označeny takto: ^ ^ 3 . Najdeme-li např. u vody v tabulce číselnou hodnotu 998, znamená to ——
=
= 998. T uto rovnici můžeme vynásobením (na obou stranách) k g . m -3 uvést do obvyklého tvaru
g = 998 kg . m~3.
Číselné hodnoty veličin se v tabulkách uvádějí zpravidla se třemi až čtyřmi platnými číslicemi; větší přes­
nost není pro praktické použití nutná a leckdy ani nejsou číselné hodnoty s větší přesností známy. Počet
platných číslic se u čísel s desetinnou čárkou shoduje vždy s počtem napsaných číslic, např. číslo 2,14 má
platné 3 číslice. Uvádí-li se číslo s menším počtem platných číslic, než je počet napsaných číslic, např. 2 140
se třemi platnými číslicemi, lze ho zapsat jako součin desetinného čísla a mocniny 10, tj. 2,14. 103.
V některých tabulkách se takový zápis nehodí a pak není počet platných číslic vyznačen. Např. hustota
chromniklu je v tabulce zapsána takto: 8 200 k g . m -3. V tomto případě jsou pouze první dvě číslice
platnými číslicemi, nuly slouží k vyznačení řádu. Nuly na konci celých čísel ve fyzikálních a chemických
tabulkách zpravidla nejsou platnými číslicemi.
V tabulkách jsou uvedeny veličiny, které charakterizují vlastnosti látek, vlastnosti jevů a vlastnosti pohybu
těles, přeměn energie apod. Ve většině tabulek je shrnuto více veličin dohromady, aby se nemusel pro každou
veličinu opakovat seznam látek. Příkladem jsou tabulky tepelných konstant kapalin a plynů. V takových
tabulkách pak nejsou vždy všechny údaje; některé údaje nemají význam, jiné třeba nebyly změřeny. Pří­
slušná místa v tabulkách jsou proškrtnuta.
Jednotky a značky veličin jsou převzaty ze státních norem.
Nadpisy tabulek jsou pokud možno stručné, pod nadpisem jsou však vždy uvedeny všechny veličiny, které
se vyskytují v tabulce, a jejich značky. U tabulek vyjadřujících závislost je uveden též příslušný matematický
vztah. V rovnicích a vztazích se někde pro úsporu místa užívají také šikmé zlomkové čáry.
Údaje v tabulkách jsou uváděny v jednotkách Mezinárodní soustavy jednotek. Kromě jednotek SI se
101
Jednotky
užívají též násobky a díly jednotek, a to i v kombinacích, např. kV . m m -1 apod. Přednostně se užívají ty
jednotky, které se užívají i v praxi. Při zápisu jednotek se v tabulkách neužívají zlomkové čáry, aby nemohlo
dojít k omylu. Jmenovatel je vždy vyznačen jako součinitel se záporným exponentem. Z vedlejších jednotek
jsou v tabulkách užity pouze elektronvolt a výjimečně i litr.
Některé veličiny a zejména látkové konstanty závisí často na vnějších podmínkách. Aby byly údaje těchto
veličin srovnatelné, zavádíme tzv. normální podmínky, charakterizované normálním tíhovým zrychlením
ga = 9,806 65 m . s-2, normální teplotou rn = 0 ° C a normálním tlakem. Za normální tlak se dříve pova­
žoval tlak jedné fyzikální atmosféry, odpovídající tlaku rtuťového sloupce 760 mm vysokého, tj. pa =
= 1,013 25 . 105 Pa == 1,013 . 105 Pa. Ve spojení se soustavou SI je výhodnější užívat pn = 105 Pa přesně.
Přechod na tuto novou hodnotu není dosud ukončen, a proto se v tabulkách setkáme s oběma hodnotami
normálního tlaku.
Úkolem tabulek je informovat především o číselných hodnotách velikostí veličin. U vektorových veličin
proto většinou není respektován jejich vektorový charakter (zápisem ani slovním vyjádřením), který na
číselné hodnoty nemá vhv. Podrobnosti o vektorových veličinách jsou uvedeny v učebnicích.
Některé státní normy (ČSN) důležité pro fyziku a chemii.
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
ČSN
102
01 1001
01 1010
01 1300
01 1301
01 1302
01 1303
01 1304
01 1305
01 1306
01 1307
01 1308
01 1312
01 1326
01 1329
36 9032
Matematické značky
Zapisování a zaokrouhlování čísel
Zákonné měřicí jednotky
Veličiny, jednotky a rovnice. Společná ustanoveni
Veličiny, jednotky a značky v mechanice tuhých a poddajných těles
Veličiny a jednotky v mechanice tekutin a termomechanice
Veličiny a jednotky v akustice
Veličiny a jednotky v elektrotechnice
Veličiny a jednotky světla a příbuzných elektromagnetických záření
Veličiny a jednotky ve fyzikální chemii
Veličiny a jednotky v atomové a jaderné fyzice
Veličiny a jednotky mechanického kmitání a rázů
Veličiny a jednotky ve sdílení tepla a přenosu látky
Jednotka decibel pro měření úrovní, útlumů a zisků
Vyjádřeme meradch jednotiek pre tlačiarenské zariadenia s obmedzeným súborom znakov
1 Základní jednotky
Mezinárodní soustava jednotek (Systéme International ď Unités, zkratka SI) byla v ČSSR uzákoněna
v roce 1962 zákonem č. 35/62 Sb. O měrové službě, který stanovil šest základních jednotek: metr, kilogram,
sekunda, ampér, kelvin a kandela. Zákon č. 57/75 Sb., kterým se mění a doplňuje zákon č. 35/62 Sb.
O měrové službě, doplnil sedmou základní jednotku mol. Definice základních jednotek a další zákonné
jednotky stanoví norma ČSN 01 1300 Zákonné měřicí jednotky.
Veličina
délka
Základní jednotka
Definice
metr je délka dráhy, kterou proběhne světlo ve vakuu
metr
23 299 792 458
hmotnost
kilogram
kilogram je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu uloženého
v Mezinárodním úřadě pro váhy a míry v Sèvres u Paříže
čas
sekunda
sekunda je doba rovnající se 9 192 631 770 periodám záření, které
odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury
základního stavu atomu cesia 133
elektrický
proud
ampér
ampér je stálý elektrický proud, který při průchodu dvěma přímými
rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového
průřezu umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1 metr vyvolá
mezi nimi stálou sílu 2 . 10~7 newtonu na 1 metr délky vodiče
termodynamická
teplota
kelvin
svítivost
kandela
kelvin je
kandela je svítivost zdroje, který v daném směru vysílá monochroma­
tické záření o kmitočtu 540 . 1012 hertzů a jehož zářivost v tomto směru
je
látkové množství
mol
•} , , termodynamické teploty trojného bodu vody
273,16
683
wattu na steradián
mol je látkové množství soustavy, která obsahuje právě tolik elemen­
tárních jedinců (entit), kolik je atomů v 0,012 kilogramu nuklidu uhlíku
J|C (přesně).
Při udávání látkového množství je třeba elementární entity specifikovat;
mohou to být atomy, molekuly, ionty, elektrony, jiné částice nebo blíže
určená seskupení těchto částic
M etr byl dřivé definován jako vzdálenost dvou rysek na mezinárodním prototypu m etru, který je uložen v Mezi­
národním úřadě pro váhy a míry v Sčvres (čti sěvr - předměstí Paříže), měřená při teplotě 0 °C a tlaku 1,013 25 . 106 Pa.
Nově přijatá definice nemění velikost metru, pouze ji zpřesňuje.
Ve školské fyzice se veličina délka dráhy nazývá krátce dráha.
1 sekunda odpovídá
^
86 400
dne (středního slunečního dne).
Teplota trojného bodu vody je teplotou rovnovážného stavu ledu, vody a vodní páry; trojný bod vody je základní
teplotní bod. Termodynamická teplota začíná absolutní nulou. Termodynamická teplota trojného bodu vody je 273,16 K.
Nule Celsiovy stupnice přísluší termodynamická teplota 273,15 K přesně. Leži 0,01 K pod trojným bodem vody a je to
teplota tuhnuti vody při tlaku 1,013 25 . 105 Pa. Teplota 100 ”C je teplota varu vody při témž tlaku. Teplotní stupeň
je v obou stupnicích stejný.
103
Jednotky
2
Jednotky
Zákonné m ěřicí jednotky
Podle normy ČSN 01 1300 Zákonné měřicí jednotky se zákonné měřicí jednotky dělí na:
a) základní jednotky, které jsou určeny zákonem,
b) odvozené jednotky, které jsou koherentně odvozeny od základních jednotek. Norma ČSN 01 1300
uvádí ještě kategorii tzv. doplňkových jednotek (radián, steradián). S těmito jednotkami se pracuje jako
s jednotkami odvozenými, a proto jsou zahrnuty mezi odvozené jednotky. Základní a odvozené jednotky
se nazývají souhrnným názvem hlavni jednotky nebo též jednotky SI,
c) násobky a díly jednotek - viz tabulku 5,
d) vedlejší jednotky, které se odvozují od hlavních jednotek převodním činitelem různým od jedné a které
jsou v ČSN 01 1300 jmenovitě uvedeny.
O statní jednotky, které nepatří do výše uvedených skupin, nejsou zákonné měřicí jednotky a v ČSSR se
nesmějí používat.
V této tabulce jsou uvedeny hlavní jednotky, které mají zvláštní název. Hlavní jednotky jsou podrobně
uvedeny v tabulce 4, vedlejší v tabulce 6.
Veličina
Jednotka
Název
rovinný úhel
prostorový úhel
kmitočet
síla
tlak, mechanické napití
energie, práce, teplo
výkon
elektrický náboj
elektrické napétí, el. potenciál, elektromotorické napětí
elektrická kapacita
elektrický odpor
elektrická vodivost
magnetický indukční tok
magnetická indukce
indukčnost, vzájemná indukčnost
světelný tok
osvětlení
aktivita
dávka
ekvivalentní dávka
Rozměr
1
1
s -1
m . kg . *-2
m- 1 . kg . s -2
m 2 . kg . s -2
m 2 . kg . s - 3
s.A
m 2 . kg . s -3 . A -1
m -2 . kg-1 . s4 . A 2
m 2 . kg . s -3 . A -2
m -2. kg"1, s 3 . A 2
m 2 . kg . s-2 . A -1
k g . s -2 . A -1
ma . kg . s- 2 . A ’ 2
cd
m -2 . cd
s -1
m 2 . s' 2
m 2 . s -2
Název
radián
steradián
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
becquerel
gray
sievert
Značka
rad
sr
Hz
N
Pa
J
W
C
v
F
a
s
Wb
T
H
lm
lx
Bq
Gy
Sv
3 Definice některých jednotek
Rovinný úhel. Hlavní jednotkou je radián (rad).
Radián je úhel, u něhož poměr příslušné délky kruhového oblouku opsaného z vrcholu úhlu k poloměru
oblouku se rovná 1.
P rostorový úhel. Hlavní jednotkou je steradián (sr).
Steradián je prostorový úhel, u něhož poměr obsahu plochy vytknuté příslušným kuželem na povrchu koule,
jež má střed ve vrcholu úhlu, ke druhé mocnině poloměru koule se rovná 1.
Km itočet. Hlavní jednotkou je hertz (Hz).
Hertz je kmitočet periodického jevu, jehož perioda trvá 1 sekundu.
Síla, tíha. Hlavní jednotkou je newton (N).
Newton je síla, která uděluje tělesu o hmotnosti 1 kg zrychlení 1m . s ~2.
104
H ustota. Hlavni jednotkou je kilogram na krychlový metr (k g . m 3).
Kilogram na krychlový metr je hustota homogenní látky, jejíž jeden krychlový metr má hmotnost jeden
kilogram.
Tlak, mechanické napětí. Hlavní jednotkou je pascal (Pa).
Pascal je tlak, který vyvolá síla jednoho newtonu rovnoměrně působící na plochu o obsahu 1 m2 kolmou
ke směru síly.
D ynam ická viskozita. Hlavní jednotkou je pascalsekunda (Pa . s).
Pascalsekunda je dynamická viskozita laminárně proudící tekutiny, v níž při gradientu rychlosti 1 s*1 napříč
proudu vzniká tečné napětí 1 Pa.
Energie, práce, teplo. Hlavní jednotkou je joule (J).
Joule je práce, kterou vykoná stálá síla 1 newtonu působící ve směru síly po dráze 1 m.
Výkon, zářivý tok. Hlavní jednotkou je watt (W).
Watt je výkon, při němž se vykoná práce 1 joulu za 1 sekundu.
M ěrná tepelná kapacita. Hlavní jednotkou je joule na kilogram a kelvin (J . kg - *. K 1).
Joule na kilogram a kelvin je měrná tepelná kapacita homogenní látky takové, že těleso o hmotnosti 1 kg
z ní vyrobené se zahřeje teplem 1 joulu o 1 kelvin.
Elektrický náboj. Hlavní jednotkou je coulomb (C).
Coulomb je elektrický náboj, jenž proteče vodičem při stálém proudu 1 ampéru za dobu 1 sekundy.
Elektrické napětí. Hlavní jednotkou je volt (V).
Volt je napětí mezi konci vodiče, do něhož stálý proud 1 ampéru dodává výkon 1 wattu.
Elektrická kapacita. Hlavní jednotkou je farad (F).
Farad je kapacita elektrického kondenzátoru, který při napětí 1 voltu pojme náboj 1 coulombu.
Elektrický odpor. Hlavní jednotkou je ohm (O).
Ohm je odpor vodiče, v němž stálé napětí 1 voltu mezi konci vodiče vyvolá proud 1 ampéru, nepůsobí-li
ve vodiči elektromotorické napětí.
Elektrická vodivost. Hlavní jednotkou je siemens (S).
Siemens je vodivost vodiče, jehož odpor je 1 ohm.
Indukčnost. Hlavní jednotkou je henry (H).
Henry je vlastní indukčnost uzavřeného obvodu, v němž vzniká elektromotorické napětí 1 voltu, jestliže se
elektrický proud procházející tímto obvodem rovnoměrně mění o 1 ampér za sekundu.
M agnetický indukční tok. Hlavní jednotkou je weber (Wb).
Weber je magnetický indukční tok, který indukuje v závitu jej obepínajícím elektromotorické napětí 1 voltu,
zmenšuje-li se tento tok rovnoměrně tak, že za 1 sekundu zanikne.
M agnetická indukce. Hlavní jednotkou je tesla (T).
Tesla je magnetická indukce, při níž je v ploše s obsahem 1 čtverečného metru umístěné kolmo ke směru
magnetické indukce magnetický indukční tok 1 weberu.
Intenzita m agnetického pole. Hlavní jednotkou je ampér na metr (A . m ’). Užíval se též nevhodný
název ampérzávit na metr (Az . m _1).
Ampér na metr je intenzita magnetického pole uvnitř velmi dlouhého solenoidu, u něhož součin proudu
a délkové hustoty závitů je 1 ampér na metr.
Světelný tok. Hlavní jednotkou je lumen (lm).
Lumen je světelný tok vyzařovaný do prostorového úhlu 1 steradiánu bodovým zdrojem, jehož svítivost je
ve všech směrech 1 kandela.
Osvětlení. Hlavní jednotkou je lux (Ix).
Lux je osvětlení plochy, na jejíž každý čtverečný metr dopadá rovnoměrně rozdělený světelný tok 1 lumenu.
Jas. Hlavní jednotkou je kandela na čtverečný metr (cd . m~2).
Kandela na čtverečný metr je jas zdroje, jehož svítivost na 1 čtverečný m etr zdánlivé plochy zdroje je rov­
na 1 kandele; zdánlivou plochou se přitom rozumí obsah průmětu skutečné plochy do roviny kolmé ke
směru záření.
A ktivita. Hlavní jednotkou je becquerel (Bq).
Becquerel je aktivita radionuklidu, v němž dochází průměrně k jedné přeměně za 1 sekundu.
Dávka (absorbovaná dávka). Hlavní jednotkou je gray (Gy).
Gray je dávka, při níž ionizující záření předá 1 kilogramu dané látky střední energii 1 joule.
105
Jednotky
4
Jednotky
Přehled veličin, značek a hlavních jednotek
Tabulka obsahuje názvy a značky vybraných fyzikálních veličin a názvy, značky a rozměry jejich hlavních
jednotek. Výrazy uvedené ve sloupci Vztah udávají souvislost dané veličiny s ostatními a v některých pří­
padech matematicky vyjadřují obvyklou definici veličiny. V tomto sloupci jsou pro úsporu místa použity
zlomky se šikmou zlomkovou čárou.
Veličina
Název
délka
obsah (plochy)
objem
úhel (rovinný)
prostorový úhel
čas
perioda
kmitočet
úhlový kmitočet
frekvence otáčení
rychlost
zrychlení
Jednotka
Značka
Vztah
metr
čtverečný metr
krychlový metr
radián
steradián
5
V
a, ...
to, íi
t
| sekunda
T
to
/
(O
f
f
v, ...
a
v
a
=
=
=
=
=
— Aq>/At
= Ato/A t
f
i/r
2k /T
1/T
Aj/Ař
Ad/A t
úhlová dráha
úhlová rychlost
úhlové zrychlení
<P
(O
£
(O
e
hmotnost
hustota
m
Q, S
Q
=
m /V
měrný objem
v
v
—
1Iq
hybnost
p
P
= mv
síla
tíha
tíhové zrychlení
F
G
g
F
— ma
g
— G/m
moment setrvačnosti
I
I
= mra
moment síly
tlak
mechanické napětí
poměrné prodloužení
modul pružnosti v tahu
součinitel smykového
tření
rameno valivého tření
viskozita (dynamická)
povrchové napětí
hmotnostní tok
objemový tok
M
P
a
e
E
f
M
P
a
s
E
f
=
=
=
=
=
=
práce
energie
výkon
účinnost
rychlost šíření zvuku
vlnová délka
w
E
P
V
v
X
*) r je rameno sily.
106
f
n
a
Qm
Qv
Název
rF * )
F /S
F /S
M /l
tr/e
F%/Fm
a = F/l
Qm — Am/At
Qv = AF/A í
w = Fl cos a
p
X
= AlF/Af
= e lf
hertz
reciproká sekunda
reciproká sekunda
metr za sekundu
metr za sekundu
na druhou
radián
radián za sekundu
radián za sekundu
na druhou
kilogram
kilogram na krychlový
metr
krychlový metr
na kilogram
kilogram metr
za sekundu
)
[ newton
metr za sekundu
na druhou
kilogram metr
na druhou
newton metr
| pascal
—
pascal
—
metr
pascalsekunda
newton na metr
kilogram za sekundu
krychlový metr
za sekundu
j joule
watt
—
metr za sekundu
metr
Značka
m
m2
m3
rad
sr
s
Rozměr
m
m2
m3
1
1
Hz
s-1
s-1
m . s-1
m . s-2
s
S '1
s-1
s_l
m . s '1
m . s~a
rad
rad . s-1
rad . s-2
1
s"1
s—
2
kg
k g . m~3
kg
m -3 . kg
m 3 . kg-1
m3 . kg-1
kg . m . s-1
m . kg . s-1
N
m . kg . s-2
m . s-2
m . s-2
kg . ma
m2 . kg
N .m
Pa
—
Pa
—
m 2 . kg . s~2
m
Pa . s
N . m-1
kg . s-1
m3 . s-1
m
m - 1 . kg . s-1
kg . S‘ 2
k g . s_l
m3 . s~l
J
m 2 . kg . s-2
W
m2 . kg . s-a
1
m . s“1
m
—
m . s-1
m
m- 1 . kg . s-2
1
m '1 . kg . s-2
1
Jednotka
Veličina
Jednotky
molámí plynová
konstanta
měrná plynová
konstanta
skupenské teplo
měrné skupenské teplo
elektrický náboj
elektrický dipólový
moment
elektrický proud
proudová hustota
intenzita elektrického
pole
napětí, potenciál
elektrická indukce
a
1
L
Vztah
a
I
L
Ln
N
T
t
Af
= m
- P IS*)
rxrx ,
P
= 20 log —
Po
a
a
= A//(/jAř)**)
P>V
f>
= A V (V iA t)
**•)
Q
0
<P
X
Název
Značka
Rozměr
reciproký metr
watt na čtverečný metr
decibel
m -1
W . m~2
dB
m -1
k g . s-3
1
fón
son
kelvin
Celsiův stupeň
kelvin, Celsiův stupeň
Ph
son
K
°C
K, °C
1
1
K
K
K
} reciproký kelvin
K-»
K -i
joule
watt
watt na čtverečný metr
watt na metr a kelvin
W
W .m - 2
W.m~l.K~l
J
m a . kg . s-2
ma . kg . s-3
k g . s~3
m . kg . s-3 . K _1
joule na kelvin
joule na kilogram
a kelvin
joule na kelvin
J .K - i
J.k g -i.K -i
m2 . kg . s~2 , K -1
m2 . s ' 2 . K -1
J .K - i
m2 . kg . s“2 . K “1
J joule
I
J
m2 . kg . s~2
<P
= AQ /At***)
= 0 /S
C
c
C
c
= Q IA t**)
== C/m
S
u
H
G
Ar
A S = A Q /T
H = U + pV
G = H— TS
Ar — m jm a
_
_
1
Mr
Mr = mm/ma
—
—
1
n
w,
ír»i
Ul, = nulm
Cmt = m dV
mol
—
kilogram na krychlový
metr
mol na krychlový metr
kilogram na mol
krychlový metr na mol
joule na mol a kelvin
mol
—
kg . m “3
mol
1
m -s .k g
c<
M m ,M
Vm
Cm
Cf
Mm
Vm
Cm
=
=
=
=
nJV
min
Vln
MmC
m o l. m -3
kg . mol-1
m3 . mol-1
J .m o l'1. K-1
m - 3 . mol
kg . mol-1
m 3 . mol-1
m2.k g .s_2.K_1.
.m ol-1
J.m o l-J.K -1 m 2.kg.s-2.K -1.
.m ol-1
m2.s-2 .K -1
Em
Km = pV /(nT)
joule na mol a kelvin
r
r
joule na kilogram
a kelvin
joule
joule na kilogram
coulomb
coulombmetr
J
J • kg-1
C
C .m
m 2 . kg . s-2
m2 . s-2
s.A
s .A .m
ampér
ampér na čtverečný
metr
volt na metr
A
A .m - 2
A
m“2 . A
V .m -»
m .k g .s_3.A _1
V
C .m - 2
m2.kg.s~3. A-1
m "2. s . A
L
l
Q
p
RmIMm
l
= L/m
P
= rQ
I
3
I
J
= AQ /At
= U S f)
E
E
- - F/Q
U,<p
D
U
= P //tt)
volt
coulomb na čtverečný
metr
i.
vlnočet
intenzita zvuku
hladina akustického
tlaku
hladina hlasitosti
hlasitost
termodynam. teplota
Celsiova teplota
teplotní rozdíl
součinitel teplotní
délkové roztažnosti
součinitel teplotní
objemové roztažnosti
teplo
tepelný tok
hustota tepelného toku
součinitel tepelné
vodivosti
tepelná kapacita
měrná tepelná
kapacita
entropie
vnitřní energie
entalpie
Gibbsova funkce
relativní atomová
hmotnost
relativní molekulová
hmotnost
látkové množství
hmotnostní zlomek
hmotnostní
koncentrace
molámí koncentrace
moláraí hmotnost
molámí objem
molámí teplo
Značka
<—(
5T
(W
Název
*) Plocha kolmá na směr šíření zvuku.
**) t je teplota,
***) t je čas.
f ) Plocha kolmá ke směru proudových vláken,
t t ) Pro stejnosměrný proud.
107
Veličina
Jednotky
Název
elektrický indukční tok
elektrická kapacita
permitiva
poměrná permitiva
elektrický odpor
elektrická vodivost
měrný elektrický odpor
magnetická indukce
magnetický indukční
tok
intenzita magnetického
pole
indukčnost
permeabilita
poměrná permeabilita
zářivý tok
světelný tok
svítivost
jas
osvětlení
osvit
rychlost šíření světla
ve vakuu
rychlost šíření světla
v látkovém prostředí
index lomu
ohnisková vzdálenost
optická mohutnost
protonové číslo
nukleonové číslo
aktivita
měrná aktivita
poločas přeměny
dávka
střední doba života
expozice
Jednotka
Značka
N
C
e
£t
R
G
Q
D
Vztah
N
C
=
=
E
=
tr =
R =
G =
Q =
B =
<P —
D S*)
Q /U
DIE
eleo
U II
1IR
R SIl
F ill* * )
B S***)
H
L
L
/'r
lir
= <r>u
= B IH
= /l/fiO
<P
I
L
I
= A0/AÍ1
E
= A 0 IA S
E
H
c
v
Název
Značka
Rozměr
coulomb
farad
farad na metr
—
ohm
siemens
ohmmetr
tesla
weber
C
F
F .m - ‘
—
n
s
a .m
T
Wb
s.A
m '2.kg_1.s4.A 2
m 'a .k g ^ .s ^ A 2
1
m2.k g .s_3.A ‘ 2
m_ ,.kg_I.s3.A 2
m3.k g .s-3.A -2
kg . s-2 . A '1
m2.k g .s-2. A '1
ampér na metr
A . m_1
m -1 . A
henry
henry na metr
—
watt
lumen
kandela
kandela na čtverečný
metr
lux
luxsekunda
H
H . m -1
—
W
lm
cd
cd . m_*
m2.k g .s-2. A-2
m .k g .s-2.A -2
1
m3 . kg . s-3
cd
cd
m-2 . cd
lx
lx . s
m - * . cd
m - * . s . cd
l metr za sekundu
m . s-1
m . s-1
—
—
metr
diop>trie
—
m
D
—
—
—
becquerel
becquerel na kilogram
sekunda
Bq
Bq .k g "1
s
1
m
m -1
1
1
B_1
k g '1 . s_1
s
m2 . s-2
s
kg- 1 . s . A
i
n
f
9
Z
A
A
a
a
Ti
Ti
<r
= Uf
A
= — A N Ib t
= A/m
— r . ln 2
D
X
X
X
=
AQ/Am
*) Plocha kolmá k indukčním čarám pole.
**) Vodič kolmý k magnetickému poli.
***) Plocha kolmá k magnetickému poli.
gray
sekunda
coulomb na kilogram
Gy
s
C .k g ->
5 Násobky a díly jednotek
Násobky a díly jednotek se tvoří z hlavních nebo vedlejších jednotek násobením nebo dělením vhodnou
mocninou deseti. Název násobku nebo dílu hlavní (vedlejší) jednotky se skládá z normalizované předpony
a názvu jednotky.
Předpona se spojuje s názvem jednotky v jedno slovo. Značka předpony se spojuje se značkou jednotky
bez mezery. Při tvoření názvu násobku nebo dílu jednotky se smí užít pouze jedna předpona.
Násobky a díly jednotek se tvoří přednostně v řadě s kvocientem 103 pomocí těchto předpon a značek:
Před pona
Znamená násobek
Název
Značka
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
milí
mikro
nano
piko
femto
atto
E
P
T
G
M
k
m
n
P
f
a
1 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000
1 000 000 000
1 000 000
1 000
0,001
0,000 001
0,000 000 001
0,000 000 000 001
0,000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 001
10«
1016
10«
10°
10«
103
10-3
10-«
10-9
10-12
10-15
10-18
Ve zvláštních případech lze užít též tyto předpony a značky určující desítkový násobek nebo díl jednotky:
Předpona
Znamená násobek
Název
hekto
deka
deci
centi
Značka
h
da
d
c
100
10
0,1
0,01
102
101
ío -i
10-2
Jednotky
6 Vedlejší jednotky
Jednotky
Vedlejší jednotky jsou zákonné jednotky a lze je bez omezení používat. Jsou stanoveny jmenovitě normou
ČSN 01 1300 Zákonné měřicí jednotky. Vedlejší jednotky lze kombinovat s hlavními jednotkami i s jejich ná­
sobky a díly, popřípadě s jinými vedlejšími jednotkami. Např.: m3 . m in_1,kW . h ,m g . H , t. ha-1, g . ml*1
Jednotka
Vztah k hlavní jednotce
Veličina
Název
čas
rovinný úhel
délka
obsah (plošný)
objem
hmotnost
délková hmotnost
optická mohutnost
energie
zdánlivý výkon
jalový výkon
minuta*
hodina*
den*
(úhlový) stupeň *
(úhlová) minuta*
vteřina*
grad, gon
astronomická jednotka *
parsek
světelný rok*
hektar
litr
tuna
atomová hmotnostní jednotka *
tex
dioptrie *
elektronvolt
voltampér
var
Značka
min
h
d
O
/
H
g, gon
AU
PC
lý
ha
1» L
t
u
tex
—
eV
V. A
var
60 s
3 600 s
86 400 s
(7t/180) rad
(tc/ 10 800) rad
(ti/648 000) rad
(ti/200) rad
= 1,495 98 . 10“ m
-=- 3,085 7 . 101« m
^ 9,460 5 . 10“ m
10 000 m2
10*8 m3
103 kg
:£= 1,660 57 . 10-w kg
10*« k g . m-1
1 m-1
^ 1,602 19 . 10-1» j
U jednotek označených hvězdičkou nelze tvořit násobky nebo díly pomocí normalizovaných předpon.
Užívání dále uvedených vedlejších jednotek je omezeno na některé obory: grad (gon) v geodézii, astronomická jednotka,
parsek a světelný rok v astronomii, tex v textilním průmyslu, dioptrie v optice, voltampér a var v elektrotechnice.
V astronomii se těž užívají jednotky času: hvězdný den = 23 h 56 min 4,09054 s;
tropický rok (1950) = 365 d 5 h 48 min 45,71 s.
7 Jiné jednotky
Uvádíme nejběžnčjší dříve nebo jinde užívané jednotky. Tyto jednotky nejsou zákonné jednotky a jejich
užívám není v ČSSR dovoleno. Poznámka ,přesně“ za jednotkou znamená, že převodní vztah je určen
přesně a na dalších místech jsou jen nuly.
Délka:
angstrom
yard (čti jard)
foot (čti fút)*
inch (čti inč)*
míle
námořní míle
versta (rus.)
1A
10-10 m
1 yd
0,914 4 m (přesně)
1 ft
0,304 8 m (přesně)
1 in
0,025 4 m (přesně)
1 mile (čti mail) — 1 609,344 m (přesně)
1 n mile
= 1 852
m (přesně)
= 1 066,78 m
O bsah:
barn
čtverečný yard
acre (čti akr)
110
1 yd2
1 acre
=
10*28 m2
=
0,836 127 m2
= 4 046,86 m 2
3 fit = 1 yd
12 in = 1 ft
1 mile = 1 760 yd
O bjem :
litr (stará definice)
/(U K )* *
gallonv
\( U S ) * *
pint (UK) (čti paint)
iiquid pint (US) (čti likwid paint)
barrel (US)
H m otnost:
0,001 000 028 m 3
4,546 09 dm 3
11
1 gal(UK)
1 gal(US)
1 pt(UK)
1 liq.pt(US)
1 barrel(US)
Jednotky
3,785 43 dm 3
0,568 261 dm 3
0,473 179 dm 3
158,998 dm 3
*
metrický karát***
metrická technická jednotka hmotnosti
pound (avoirdupois) (čti paund)
grain (čti grejn)
ounce (čti unce)
1 lb
1 grain
1 oz
= 0,200 g
= 9,806 65 kg
= 0,453 592 37 kg
= 0,064 789 91 g (přesně)
= 28,349 5 g
1 kp
= 9,806 65 N (přesně)
1 bar
1 pz
1 atm
1 mm H 2O
1 mm Hg
= 105 Pa
= 103 Pa
=
1,013 25 . 105 Pa (přesně) = 760 Torr
=
9,806 65 Pa (přesně) = 1 kp . m ~2
= 133,322 Pa = 1 Torr
1 kp . m
1 cal
1 erg
= 9,806 65 J (přesně)
= 4,186 8 J (přesně)
= 10-7 J
Sila:
kilopond
Tlak:
bar
pieze
fyzikální atmosféra
konvenční milimetr vodního sloupce
konvenční milimetr rtuťového sloupce
P ráce:
kilopondmetr
kalorie
erg
Výkon:
kilopondmetr za sekundu
kilokalorie za hodinu
erg za sekundu
kůň
koňská síla
9,806 65 W (přesně)
1 kp . m . s 1 =
1,163 W
1 k ca l. h _1 =
= 10-7 W
1 e r g . s _1
= 735,5 W
1 ks
1 HP
= 745,7 W
Elektrické a m agnetické jednotky:
proud
napětí
odpor
magnetický tok
magnetická indukce
intenzita magnetického pole
mezinárodní ampér
mezinárodní volt
mezinárodní ohm
maxwell
gauss
oersted
1 A int.
1 V int.
1 Cl int.
1M
1G
1 Oe
= 0,999 85 A
= 1,000 34 V
= 1,000 49 í i
= 10-8 w b
= IO-4 T
= 79,6 A . m _1
Hefnerova svíčka (HK)
mezinárodní svíčka (SI)
stilb (sb)
1 HK = 0,92 cd
1 SI = 1,02 cd
1 sb = 1 cd . cm -2
lambert (La)
1 La = — sb
phot (ph)
1 ph
Fotom etrické jednotky:
svítivost
jas
osvětlení
7T
= 1 lm . cm -2 = 104
* Foot se česky nazývá anglická stopa, inch anglický palec.
** (UK) - jednotka anglická, (US) - jednotka americká.
*** Ve zlatnictví se používá karát ryzosti zlata, který udává percentuální obsah zlata ve slitině s tím, že 100 % zlata
se přiřazuje číslo 24.
111
Radiační jednotky:
aktivita radionuklidů
ozáření
dávka
Obecné
tabulky
curie (Ci)
rentgen (R)
rad
IQ
= 3 , 7 . 1010 Bq
1R
= 2,58. 10"4 C . kg -1
1 rad = 10~2 Gy
8 M ezinárodní p raktická tep lo tn í stupnice (1968)
Mezinárodní praktická teplotní stupnice (Échelle Internationale Pratique de Température - E IP T - 68)
slouží k realizaci termodynamické teplotní stupnice pomocí jedenácti přesně reprodukovatelných teplot
(rovnovážných stavů), tzv. definičních pevných bodů, a pomocí předepsaných teploměrů. Pro kontrolní účely
se uvádějí kromě definičních pevných bodů ještě další, tzv. druhotné referenční body (v tabulce nejsou
uvedeny).
Mezinárodní praktická teplotní stupnice 1968 se v mezích přesnosti dnešního měření kryje s termo­
dynamickou teplotní stupnicí. S výjimkou trojných bodů a teplot v druhém řádku jsou všechny rovno­
vážné stavy při tlaku 101 325 Pa.
7'a8
TC
Teplota
trojného bodu rovnovážného vodíku
rovnovážného stavu mezi kapalnou fází a párou rovnovážného vodíku
při tlaku 33 330,6 Pa
varu rovnovážného vodíku
varu neonu
trojného bodu kyslíku
varu kyslíku
trojného bodu vody
varu vody
tuhnutí zinku
tuhnuti stříbra
tuhnutí zlata
13,81
17,042
20,28
27,102
54,361
90,188
273,16
373,15
692,73
1 235,08
1 337,58
í68
—259,34
—256,108
—252,87
—246,048
—218,789
— 182,962
0,01
100
419,58
961,93
1 064,43
Interpolace se provádí
mezi teplotami 13,81 K a 630,74 °C platinovým odporovým teploměrem,
mezi teplotami 630,74 °C a 1 064,43 °C termočlánkem platina-platinrhodium,
nad teplotou 1 064,43 °C měřením teplotního záření.
V roce 1976 byla mezinárodně přijata provizorní teplotní stupnice pro velmi nízké teploty: 0,5 K až 30 K,
která přidává 6 níže uvedených hlavních teplot:
Teplota
supravodivého přechodu kadmia
supravodivého přechodu zinku
supravodivého přechodu hliníku
supravodivého přechodu india
varu 4He
supravodivého přechodu olova
112
Tw
K
0,519
0,851
1,179 6
3,414 5
4,222 1
7,199 9
9 Řady vyvolených čísel
Vyvolená čísla tvoří geometrické řady. Užívají se pro odstupňování hodnot součástek a výrobků, kmitočtů
apod. Běžně se užívají základní řady R (Renardovy), pro odpory a kondenzátory se užívají řady E. Teore­
tická hodnota poměru dvou sousedních členů
ft
Základní řady
R5
R 10
R 20
R 40
poměr sousedních členů
1,60
1,25
1,12
1,06
normální čísla řad
1,00
1,00
1,00
1,12
1,25
1,25
1,40
1,60
1,60
1,60
1,80
2,00
2,00
2,24
2,50
2,50
2,50
2,80
3,15
3,15
3,55
4,00
4,00
4,00
4,50
5,00
5,00
5,60
6,30
6,30
6,30
7,10
8,00
8,00
9,00
10,00
10,00
10,00
1,00
1,06
1,12
1,18
1,25
1,32
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,12
2,24
2,36
2,50
2,65
2,80
3,00
3,15
3,35
3,55
3,75
4,00
4,25
4,50
4,75
5,00
5,30
5,60
6,00
6,30
6,70
7,10
7,50
8,00
8,50
9,00
9,50
10,00
řady je ]/l 0 , kde n je číslo řady. Pro praktické
účely se teoretické hodnoty vyvolených čísel za­
okrouhlují na tři platné číslice, u řad E na dvě
platné číslice. Zaokrouhlená čísla se nazývají
normální čísla.
Např. výkony elektromotorů a kmitočty pro
akustická měření jsou odstupňovány podle řady
R 10, normalizované průměry drátu podle řady
R 40. Hodnoty odporů a kondenzátorů vyrobe­
ných s tolerancí ± 5 % jsou odstupňovány podle
řady E 24, tytéž součástky s tolerancí ± 10 %
podle řady E 12 apod.
Řady
E3
E6
E 12
E 24
poměr sousedních členů
2,2
1,5
1,2
1,1
normální čísla řad
1,0
1,0
1,0
1,2
1,5
1,5
1,8
2,2
2,2
2,2
2,7
3,3
3,3
3,9
4,7
4,7
4,7
5,6
6,8
6,8
8,2
10,0
10,0
10,0
1,0
1,1
1,2
1,3
1,5
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,7
3,0
3,3
3,6
3,9
4,3
4,7
5,1
5,6
6,2
6,8
7,5
8,2
9,1
10,0
113
Obecné
tabulky
10 Acidobazické neutralizační indikátory
pK = —log K , kde K je disociační konstanta indikátoru
Záření
Indikátor
Dimethylová žluť
Methylová oranž
Bromkresolová zeleň
Methylová červeň
Bromthymolová modř
Neutrální červeň
Fenolová červeň
Fenolftalein
Thymolftalein
Meze přechodu pH
pK
2 ,9 -4 ,0
3,31
3 ,1 - 4 ,4
3,40
3 ,8 -5 ,4
4,68
4 ,2 — 6,3
4,95
6,0— 7,6
7,1
6,8 — 8,0
7,0
6,8 — 8,4
7,9
8,3 — 10,0
9,4
9,3 — 10,5
10,0
Zbarvení formy
Používaný roztok
kyselé
červené
žluté
0,1 % v 90% ethanolu
červené
oranžové
0,1 % vodný roztok
žluté
modré
0,1 % v 20% ethanolu
červené
žluté
0,2 % v 60% ethanolu
žluté
modré
0,1 % v 20% ethanolu
červené
žluté
0,1 % v 60% ethanolu
žluté
červené
0,1 % v 20% ethanolu
bezbarvé
červené
0,1 % v 60% ethanolu
bezbarvé
modré
0,1 % v 90% ethanolu
Přidávají se 1—4 kapky indikátoru na 10 cm3 titrované tekutiny.
114
zásadité
11
Disociační konstanty kyselin a zásad ve vodných roztocích při 25 “C
Pro disociační konstantu K a kyseliny HA, jejíž disociace je vystižena rovnicí HA + H 2O = HaO+ + A~,
platí:
^
(H 3O+) (A-)
—
(HA)
5
kde symboly v závorkách označují aktivity, které je možné pro zředěné roztoky ztotožnit s číselnými hodno­
tami molámí (látkové) koncentrace udanými v m o l. dm -8. Pro zásadu B disociujíd podle rovnice
B + H 20 = BH+ + O H - obdobně platí:
(BH+HOH-)
b
(B)
pKu = —log K &, pKb = —log Kb. Pro konjugovaný pár platí: pATa + píTb = 14
U vícesytných kyselin udává římská číslice příslušný stupeň disociace. (Konstanta 4,8 . 10~13 u kyseliny
fosforečné tedy např. odpovídá disociad iontu HPO|~.)
Kyselina
Benzoová
Boritá
Bromoctová
Bromovodíková
Citronová
Fosforečná
Chlorečná
Chloristá
Chloritá
Chlomá
Chloroctová
Dichloroctová
Trichloroctová
Chlorovodíková
Jodičná
Jodistá
Jodovodíková
Kyanovodíková
Křemičitá
pK*
I
6,46 ÍO' 5
5,80. IO-10
2,05 io-»
R3 1 1 0 °
7,45 1 0 -«
4,19
9,24
2,69
—9
3,13
HO—C—COOH
II
1,73 10-6
4,76
CHaCOOH
HNOa
HNOa
C 0H 5 OH
HF
H ,F a
H 3 PO4
III
4,02 10-7
sa 2 1 0 1
5,1 1 0 -*
1,05 XO-10
6,40
- 1 ,3
3,3
9,98
3,2
3,45
2,12
7,21
12,32
—3
— 10
2
7,5
2,85
1,49
0,70
- 6 ,1
0,77
1,55
3,29
- 9 ,5
9,31
9,85
11,80
9,66
11,7
2,83
5,69
3,86
3,75
7,17
4,76
4,87
2,97
CbH sCOOH
HsBOa
CHaBrCOOH
HBr
CHaCOOH
1
Dusičná
Dusitá
Fenol
Fluorovodíková
X.
Vzorec
HClOs
4
HClOa
HCIO
CH 2CICOOH
CHClaCOOH
CCbCOOH
HC1
HIOs
HIO 4
HsIOo
HI
HCN
H 2S 1O 3
6 ,2
I
II
III
hqo
H 4S 1O4
Malonová
CHa(COOH>
Mléčná
Mravenčí
2-Nitrofenol
Octová
Propionová
Salicylová
CH 2CHOHCOOH
HCOOH
OaNC«H4OH
CHaCOOH
CH 3CH 2COOH
2 -HOC 8H 4COOH
I
II
I
II
I
II
3,53
7,52
6,23
4,80
es 1
na 1
»s 1
3,2
1,40
3,32
2
1,3
1,7
2,82
5,13
Rtf 3
4,93
(20 °C) 1,41
(20 °C) 1,58
(30 °C) 2,18
(30 °C) 2,00
1,49
2,03
1,38
1,77
6,8
1,75
1,34
(19 °C) 1,07
1 0 -4
1 0 -«
10-3
ÍO' 8
10-13
10»
1010
ÍO" 2
10-»
10-3
10-2
10-1
10«
10-1
10-2
10-«
10»
10-10
IO-10
10-!2
IO-1 0
10-12
10-3
10-6
10-«
10-«
10-8
10-5
10-8
10-3
115
Obecné
tabulky
Vzorec
Kyselina
Obecné
tabulky
Sírová
HaSOí
Siřičitá
H 2SO3
Sulfan
H,S
Šťavelová
(COOH)a
Uhličitá
H 2CO3
Zásada
Amoniak
Anilin
Diethylamin
Dimethylamin
Ethylamin
Hydrazin
Hydroxylamin
Methylamin
Pyridin
Triethylamin
Trimethylamin
Vzorec
NHs
C«H5NHa
(C H s C H a ) a N H
( C H 3)2N H
C H sC H aN H s
N 2H 4
N H aO H
C H 3N H 2
C sH sN
( C H s C H í) a N
(C H a Ja N
/Ca
I
II
I
II
I
II
I
II
I
II
« 1 , 10s
1,20 . IO'2
(18 °C) 1,54 . 10-2
(18 °C) 1,02 . IO"’
9 ,1 . IO"8
1 , 1 . io - «
5,9 . 10-«
6 ,4.10-*
4,30. 10-7
5 ,6 1 .10-u
Kb
1,79 . IO"6
4,27 . 10-w
8,51 . 10-<
5,89 . 10-<
4,68 . 10-*
8,71.10-7
8,91. 10-»
5,25 . 10—«
1 ,7 0 .10-«
5,89 . 10-*
6,31. IO“8
pK t
—3
1,92
1,81
6,99
7,04
11,96
1,23
4,19
6,37
10,25
pKb
4,75
9,37
3,07
3,23
3,33
6,06
8,05
3,28
8,77
3,23
4,20
12 Součiny rozpustnosti látek při te p lo tě 25 °C ve vodných roztocích
Pro pevnou látku MaLb, která v roztoku disociuje na ionty Mb+ a L a ~, je součin rozpustnosti defino­
ván vztahem
K a = (Mb+)a . (La~)»>,
kde symboly v závorkách označují aktivity iontů v nasyceném roztoku. Pro zředěné roztoky je možné tyto
aktivity ztotožnit s číselnými hodnotami molární (látkové) koncentrace udanými v m o l. dm -3.
Látka
AgBr
AgsCOa
AgCl
AgaCr04
Agl
AgíPOi
AgaS
AgaS04
Al(OH)3
BaCOa
BaCr04
BaS04
BiiSs
CaCOs
CaCjO-i
CaFa
Ca(OH)i
C aS04
Cd(OH)a
CdS
Co(OH)a
Co(OH)s
CoS (a)
m
Cr(OH)a
Cr(OH>8
CuQ
CuBr
Cul
Cu(OH)a
CuS
Fe(OH)a
Fe(OH)s
Látka
K.
5 . 10-1»
8 . 10-12
2 . 10-1«
3 . 10-1«
8 . 10-17
1 . ío-i«
6 . 10-50
2 . 10-*
1 . 1 0 - 33
5 . 10-»
1 . io -i°
1 . lO-io
1 .1 0 - ”
5 . 10"»
2 . 10"»
3 . 10-n
4 . 10-«
2 . 10-5
4 . IO-15
2 . 10-2«
6 . IO-15
3 .1 0 -“
4 . IO-21
2 . 10-S5
1 . 10-17
1 . 10-80
2 . 10-7
' 5 . 10-9
1 . 10-12
1 . 10-2°
6 . 10-««
8 . 10-1«
4 . 10-40
*) Rovnovážná konstanta reakce
FeS
HgaBra
HgaCla
Hgala
Hga(OH)a
Hg(OH)a
HgS (černý)
HgaSO,
MgCOa
MgNH4P 0 4
Mg(OH)a
Mn(OH)a
MnS (růžový)
Ni(OH)a
NiS (a)
PbBra
PbCOs
PbCla
PbCr04
Pbla
Pb(OH)a
PbS
P b S 04
SbaSa *)
Sc(OH)a
Sn(OH)a
SnS
SrCOs
SrCr04
Sr(OH)a
SrS04
Zn(OH)a
ZnS (sfalerit)
2 .1 0 - «
i - As2S3(s) + 3 HjO = A s(OH)3 +
3 . 10~i»
2 AgCN(s) = Ag+ + Ag(CN)i
(iC,(AgCN) = 1 . 10-1«)
5 . 10-1*
7 . lO-23
1 . ío-i«
5 . 10-2»
2 . 10-24
4 . 10-2«
1 . 10-52
1 . 10-7
1 . 10-5
2 . 10-i8
1 . ío -u
7 . 10-1“
3 . 10-1°
6 . 10-1«
3 . 10-1»
9 . 10-«
6 . IO-14
2 . 10-5
3 . 10-1«
1 . 10-9
6 . 10-1«
1 . 10-28
2 . 10"8
2 .1 0 -» 3
2 . 10-80
8 . ÍO-26
1 . 10-25
1 . io-i°
2 . ÍO*5
3 . 10-4
3 . 10-7
3 . ÍO""
2 . ÍO“24
je
i - SbaSs(s) + 3 HaO = Sb(OH)„ + y HaS(g)
2
K„
^
HaS(g)
5 . 10-«
117
Obecné
tabulky
¡2
00
13 Prvky a jejich vlastnosti
Z - protonové (atomové) číslo; A r - relativní atomová hmotnost, údaje z roku 1981 vztahující se k uhlíkovému standardu A rC iC ) — 12
přesně. Interval spolehlivosti je ± 1 a.menší na posledním desetinném místě nebo ± 3 , je-li uvedeno označení + (pravděpodobnost vý­
skytu odchylky přesahující tyto intervaly je asi 10 % —15 %). Index g označuje existenci geologicky výjimečných vzorků s neobvyklým
izotopovým složením, m - možnost změny izotopového složení při výrobě komerčně dodávaných látek, r - velký rozsah přírodního izotopo­
vého složení zabraňující přesnějšímu stanovení A r, hodnoty označené indexem L se týkají izotopu daného prvku s nejdelším poločasem.
V závorce jsou uvedena hmotnostní čísla nejstálejšího izotopu, ft - teplota tání při tlaku 101,3 kPa; rv - teplota varu při témže tlaku, není-li
v závorce uveden jiný tlak; clark - hmotnostní zlomek prvku v zemské kůře; ppm (parts per million, viz str. 17) označuje jednu milióntinu; sub sublimuje.
Název prvku
Latinský název
Značka
Z
Aktinium
Américium
Antimon
Argon
Arsen
Astat
Baryum
Berkelium
Béryllium
Bismut
Bor
Brom
Cer
Cesium
Cín
Curium
Draslík
Dusík
Dysprosium
Einsteinium
Erbium
Europium
Fermium
Fluor
Fosfor
Francium
Gadolinium
Gallium
Germanium
Hafnium
Helium
Actinium
Americium
Stibium
Argon
Arsenicum
Astatium
Baryum
Berkelium
Beryllium
Bismuthum
Borům
Bromům
Cerium
Caesium
Stannum
Curium
Kalium
Nitrogenium
Dysprosium
Einsteinium
Erbium
Europium
Fermium
Fluorum
Phosphorus
Francium
Gadolinium
Gallium
Germanium
Hafnium
Helium
Ac
Am
Sb
Ar
As
At
Ba
Bk
Be
Bi
B
Br
Ce
Cs
Sn
Cm
K
N
Dy
Es
Er
Eu
Fm
F
P
Fr
Gd
Ga
Ge
Hf
He
89
95
51
18
33
85
56
97
4
83
5
35
58
55
50
96
19
7
66
99
68
63
100
9
15
87
64
31
32
72
2
A t
227,0278L
(243)
121,75 +
39,948 sr
• 74,921 6
(210)
137,33*
(247)
9,012 18
208,980 4
10,81” r
79,904«
140,12*
132,905 4
118,69 +
(247)
39,098 3
14,006 7
162,50 +
(252)
167,26 +
151,96*
(257)
18,998 403
30,973 76
(223)
157,25 + *
69,72
72,59 +
178,49+
4,002 60*
Oxidační číslo
3 ,5
3, 4, 5, 6
- 3 , 3, 5
- 3 , 3, 5
(-1 )
2
3 ,4
2
3 ,5
- 3 ,3
- 1 , 1, 3, 5, 7
3 ,4
1
( - 4 ) , 2, 4
3,4
1
- 3 , 1 , 2, 3, 4, 5
3
3
3
2 ,3
3
—1
- 3 , 1,3, 4, 5
1
3
1,3
2 ,4
4
ft
°C
ív
XT
1 050
994 ± 4
630,74
— 189,2
817 (2,8MPa)
302
725
—
1 278 ± 5
271,3
2 079
- 7 ,2
798 ± 2
28,40
231,968 1
1340 + 40
63,25
—209,86
1 409
—
1 522
822 ± 5
—
—219,62
44,1 bflý
(27)
1311+1
29,78
937,4
2 227 ± 20
—272,2
(2,6 MPa)
3 200 ± 300
2 607
1 750
— 185,7
613 sub
337
1 640
—
2 970(0,7kPa)
1 650 ± 5
2 550 sub
58,78
3 257
669,3
2 270
—
759,9
— 195,8
2 335
—
2 510
1 597
—
— 188,14
280 bíty
(677)
3 233
2 403
2 830
4 602
—268,934
clark
ppm
_
-0,4
1,7
500
—
3
0,1
11
2
70
3
2
—
2 . 104
19
4
—
3
1,3
—
640
1,1 . 103
—
7
17
1,4
2
Rok
objevu
1899
1944
—
1894
—
1940
1774
1950
1798
—
1808
1826
1803
1860
—
1944
1807
1772
1886
1952
1843
1901
1952
1886
1669
1939
1880
1875
1886
1923
1868
ce
Hliník
Holmium
Hořčík
Chlor
Chrom
Indium
Iridium
Jod
Kadmium
Kalifornium
Kobalt
Krypton
Křemík
Kyslík
Lanthan
Lawrencium
Lithium
Lutécium
Mangan
Měď
Mendelevium
Molybden
Neodym
Neon
Neptunium
Nikl
Niob
Nobelium
Olovo
Osmium
Palladium
Platina
Plutonium
Polonium
Praseodym
Promethium
Protaktinium
Radium
Radon
Rhenium
Rhodium
Rtuť
Rubidium
Ruthenium
Samarium
Selen
Latinský název
Aluminium
Holmium
Magnesium
Chlorům
Chromium
Indium
Iridium
Iodum
Cadmium
Californium
Cobaltum
Krypton
Silicium
Oxygenium
Lanthanum
Laurenrium
Lithium
Lutetium
Manganům
Cuprum
Mendelevium
Molybdaenum
Neodymium
Neon
Neptunium
Niccolum
Niobium
Nobelium
Plumbum
Osmium
Palladium
Platinum
Plutonium
Polonium
Praseodymium
Promethium
Protactinium
Radium
Radon
Rhenium
Rhodium
Hydrargyrum
Rubidium
Ruthenium
Samarium
Selenium
Značka
Z
AI
Ho
Mg
Cl
Cr
In
Ir
I
Cd
Cf
Co
Kr
Si
O
La
Lr
Li
Lu
Mn
Cu
Md
Mo
Nd
Ne
Np
Ni
Nb
No
Pb
Os
Pd
Pt
Pu
Po
Pr
Pm
Pa
Ra
Rn
Re
Rh
Hg
Rb
Ru
Sm
Se
13
67
12
17
24
49
77
53
48
98
27
36
14
8
57
103
3
71
25
29
101
42
60
10
93
28
41
102
82
76
46
78
94
84
59
61
91
88
86
75
45
80
37
44
62
34
At
26,981 54
164,930 4
24,305«
35,453
51,996
114,82«
192,22+
126,904 5
112,41
(251)
58,933 2
83,80®m
28,085 5 +
15,999 4+*r
138,905 5 + «
(260)
6,941 + «™
174,967
54,938 0
63,546+ r
(258)
95,94«
144,24 + «
20,179«™
237,048 2L
58,69
92,906 4
(259)
207,2«r
190,2«
106,42«
195,08+
(244)
(209)
140,907 7
(145)
231,035 9L
226,025 4L«
(222)
186,207
102,905 5
200,59 +
85,467 8 + «
101,07+«
150,36 + «
78,96 +
Oxidační číslo
(1), 3
3
2
- 1 , 1 , 3,
1, 2, 3,
1,3
1, 3, 4,
- 1 , 1, 3,
2
3
2 ,3
4, 5, 6, 7
4, 5, 6
5, 6
5, 7
- 4 , 2, 4
—2, (— 1)
3
3
1
3
2, 3, 4, 6, 7
1 ,2 ,3
2 ,3
2, 3, 4, 5, 6
3
—
2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4
1,2, 3 ,4 , 5
2 ,3
2 ,4
2, 3, 4, 5, 6, 8
2 ,3 ,4
2, 3, 4, 6
3, 4, 5, 6
2 ,4 ,6
3 ,4
3
3 ,4 ,5
2
—
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
2, 3, 4, 6
1,2
1
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
2 ,3
- 2 , 4, 6
ít
°C
660,37
1470
648,8
— 100,98
1 857, ± 20
156,61
2 410
113,5
320,9
—
1 495
— 156,6
1 410
—218,4
920 ± 5
—
180,54
1 656 ± 5
1 244 ± 3
1 083,4 ± 0,2
—
2 617
1 010
—248,67
640± 1
1 453
2 468 ± 10
—
327,502
3 045 ± 30
1 554
1 772
641
254
931 ± 4
(1 080)
1 600
700
—71
3 180
1 965 ± 3
—38,87
38,89
2 310
1 072 ± 5
217
íy
’č
2 467
2 720
1 090
—34,6
2 672
2 080
4 130
184,35
765
—
2 870
— 152,3
2 355
— 182,962
3 454
—
1342
3 315
1 962
2 567
clark
ppm
Rok
objevu
br—
4
r—
I
00
Název prvku
1827
1879
1775
1774
1797
1863
1804
1811
1817
1950
1735
1898
1824
1774
1839
1961
1817
1907
1774
“1
2 ,1 .1 0 “
150
90
0,2
0,4
0,1
21
—
2,9 . 105
4,7 . 10®
29
—
30
1
1,0 . 103
1,9 . 10*
—
4 612
3 127
—246,048
3 902
2 732
4 742
—
1 740
5 027 ± 100
3 140
3 827 ± 100
3 232
962
3 212
(2 460)
—
1 140
—61,8
(5 627)
3 727 ± 100
356,58
686
3 900
1 778
685
—
1
30
—
—
60
20
—
15
—
0,01
—
—
—
9
—
—
—
—
7 . ÍO-4
—
0,08
120
—
7
0,05
—
1955
1778
1885
1898
1940
1751
1801
1958
—
1803
1803
1741
1940
1898
1885
1945
1917
1898
1900
1925
1804
—
1861
1844
1879
1817
Název prvku
Latinský název
Značka
Z
Síra
Skandium
Sodík
Stroncium
Stříbro
Tantal
Technecium
Tellur
Terbium
Thallium
Thorium
Thulium
Titan
Uhlík
Unnilhexium
Unnilpentium
Unnilquadium
Uran
Vanad
Vápník
Vodík
Wolfram
Xenon
Ytterbium
Yttrium
Zinek
Zirkonium
Zlato
Železo
Sulfur
Scandium
Natrium
Strontium
Argentum
Tantalum
Technetium
Tellurium
Terbium
Thallium
Thorium
Thulium
Titanium
Carboneum
Unnilhexium
Unnilpentium
Unnilquadium
Uranium
Vanadium
Calcium
Hydrogenium
Wolframium
Xenon
Ytterbium
Yttrium
Zincum
Zirconium
Aurum
Ferrum
S
Sc
Na
Sr
Ag
Ta
Tc
Te
Tb
TI
Th
Tm
Ti
C
Unh
Unp
U nq
U
V
Ca
H
W
Xe
Yb
Y
Zn
Zr
Au
Fe
16
21
11
38
47
73
43
52
65
81
90
69
22
6
106
105
104
92
23
20
1
74
54
70
39
30
40
79
26
Ar
32,06r
44,955 9
22,989 77
87,62*
107,868 2 + «
180,947 9
(98)
127,60+«
158,925 4
204,383
232,038 1L«
168,934 2
47,88 +
12,011'
Oxidační číslo
- 2 , 2, 4, 6
3
1
2
1,2
2, 3, 4, 5
4 ,6 ,7
- 2 , 4, 6
3 ,4
1,3
2 ,3 ,4
3
2, 3 ,4
- 4 , 2, 4
(Hahnium Ha, Nielsbohrium Ns)
(Kurčatovium Ku, Rutherfordium Rf)
238,028 9*™
3 ,4 , 5, 6
50,941 5
2, 3, 4, 5
2
40,08*
1,007 94 ± 7*®r - 1 , 1
183,85 +
2, 3, 4, 5, 6
131,29+*”
173,04+
2,3
88,905 9
3
65,38
2
2 ,3 ,4
91,22
196,966 5
1,3
55,847+
2, 3, 4, 6
ty
clark
ppm
Rok
objevu
112,8
1 539
97,81
769
961,93
2 996
2 172
449,5
1 360 ± 4
303,5
1 750
1 545 ± 15
1 660 ± 10
3 652 subl
444,674
2 832
882,9
1 384
2 212
5 400
4 877
989,8 ± 3,8
3 041
1 457 ± 10
(4 790)
1 727
3 287
4 . 102
10
2,5 . 104
340
0,07
2
—
0,001
4
1
1,2
0,3
5 . 103
2,2 . 102
1879
1807
1808
—
1802
1937
1782
1843
1861
1828
1879
1791
—
1 132 ± 0,8
1 890 ± 10
839 ± 2
—259,14
3 410 ± 20
— 111,9
824 ± 5
1 523 ± 8
419,58
1 852 ± 2
1 064,434
1 535
3 818
3 380
1 484
—252,87
5 660
— 107 ± 3
1 193
3 337
907
4 377
3 080
2 750
2,5
1,0 . 102
3 . 10*
—
1,4
—
0,3
29
80
170
4 . 10~3
5,0 . 104
ft
°C
_
1789
1801
1808
1766
1783
1898
1907
1843
—
1789
—
14 O bsazení elektronových podslupek v atom ech
Slupka
K
Podslupka
ls
2s
N
M
L
2p
3s
3p
3d
4s
4p 4d
O
4f
5s
5p 5d 5f
Prvek
1. H
2. He
1
2
Prvky
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Li
Be
B
C
N
O
F
Ne
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
6
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Na
Mg
AI
Si
P
S
18. Ar
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
6
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
17. a
K
Ca
Sc
Ti
V
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
1
2
3
5
5
6
7
8
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
10
10
10
10
10
10
10
10
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
3
4
5
6
121
Prvky
122
Slupka
* P
O
K
L
M
Q
N
Podslupka
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
Prvek
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
Ir
Pt
Au
Hg
TI
Pb
Bi
Po
At
Rn
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
9
10
10
10
10
10
10
10
10
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
6
87. F r
88. Ra
2
2
8
8
18
18
32
32
2
2
6
6
10
10
2
2
6
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6 10
6 10
6 10 2
6 10 3
6 10 4
6 10
6
6 10 7
6 10 7
6 10 9
6 10 10
6 10 11
6 10 12
6 10 13
6 10 14
6 10 14
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
Ac
Th
Pa
U
Np
Pu
Am
Cm
Bk
Cf
Es
Fm
Md
No
Lr
Prvky
•
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
123
15 Stabilní nuklidy a jejich výskyt
Z - protonové (atomové) číslo; A - nukleonové (hmotnostní) číslo; » - p r o c e n tn í zastoupení v prvcích
zemské kůry.
Značka
Z
H
D
He
2
Li
3
Be
B
4
5
C
6
N
7
O
8
1
*
F
Ne
9
10
Na
Mg
11
12
AI
Si
13
14
P
S
15
16
a
17
Ar
18
K
19
Ca
Sc
Ti
20
21
22
V
Cr
23
24
Mn
25
124
A
Výskyt (n>)
%
1
2
3
4
6
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
36
35
37
36
38
40
39
40**)
41
40
42
43
44
46
48
45
46
47
48
49
50
51
50
52
53
54
55
99,984 4
0,015 6
~ io - <
99,999 9
7,39
92,61
100
18,83
81,17
98,9
1,1
99,62
0,38
99,757
0,039
0,2065
100
90
0,27
9,73
100
78,60
10,11
11,29
100
92,28
4,07
3,05
100
95,06
0,74
4,18
0,016
75,4
24,6
0,307
0,060
99,633
93,3
0,011
6,7
96,96
0,64
0,13
2,13
0,003 3
0,18
100
7,95
7,75
73,45
5,51
5,34
100
4,3
83,78
9,5
2,4
100
Značka
A
Z
Fe
26
Co
Ni
27
28
Cu
29
Zn
30
Ga
31
Ge
32
As
Se
33
34
Br
35
Kr
36
Rb
37
Sr
38
Y
Zr
39
40
Nb
Mo
41
42
-
54
56
57
58
59
58
60
61
62
64
63
65
64
66
67
68
70
69
71
70
72
73
74
76
75
74
76
77
78
80
82
79
81
78
80
82
83
84
86
85
87*)
84
86
87
88
89
90
91
92
94
96
93
92
94
95
96
97
98
100
Výskyt (to)
%
5,81
91,64
2,21
0,34
100
67,76
26,16
1,25
3,66
1,16
68,9
31,1
48,89
27,81
4,16
18,5
0,620
60,1
39,9
20,55
27,37
7,8
36,4
7,8
100
0,87
9,5
8,3
24,0
48,0
9,3
50,5
49,5
0,35
2,01
11,50
11,48
57,1
17,5
72,8
27,2
0,56
9,86
7,02
82,56
100
51,5
11,23
17,11
17,40
2,80
100
15,9
9,2
16,5
15,7
9,45
23,75
9,62
Značka
Z
Ru
44
Rh
Pd
45
46
Ag
47
Cd
48
In
49
Sn
50
Sb
51
Te
52
J
Xc
Cs
Ba
53
54
55
56
A
96
98
99
100
101
102
104
103
102
104
105
106
108
110
107
109
106
108
110
111
112
113*)
114
116
113
115*)
112
114
115
116
117
118
119
120
122
124
121
123
120
122
123-*)
124
125
126
128
130
127
124
126
128
129
130
131
132
134
136
133
130
132
134
135
136
137
138
Výskyt (to)
%
5,68
2,22
12,81
12,70
16,98
31,34
18,27
100
0,8
9>3
22,6
27,2
26,8
13,5
51,9
48,1
1,215
0,875
12,39
12,75
24,07
12,26
28,86
7,58
4,5
95,5
0,90
0,61
0,4
14,07
7,54
23,98
8,62
33,03
4,78
6,11
57,25
42,75
0,05
2,43
0,85
4,59
6,97
18,72
31,72
34,46
100
0,094
0,088
1,90
26,23
4,07
21,17
26,96
10,54
8,95
100
0,101
0,097
2,42
6,59
7,81
11,32
71,79
Značka
Z
La
57
Ce
58
Pr
Nd
59
60
Sm
62
Eu
63
Gd
64
Tb
Dy
65
66
Ho
Er
67
68
Tm
Yb
69
70
Lu
71
Hf
72
Ta
W
73
74
A
138*)
139
136
138
140
142*)
141
142
143
144*)
145
146*)
148
150
144
147*)
148*)
149*)
152
154
151
153
152*)
154
155
156
157
158
160
159
156*)
158
160
161
162
163
164
165
162
164
166
167
168
170
170
168
170
171
172
173
174
176
175
176*)
174*)
176
177
178
179
180
181
180
182
183
Výskyt (to)
%
0,089
99,911
0,193
0,250
88,48
11,07
100
27,13
12,20
23,87
8,30
17,18
5,72
5,60
3,16
17
14
15
26
20
47,77
52,23
0,20
2,15
14,78
20,59
15,71
24,78
21,79
100
0,0524
0,0902
2,294
18,88
25,53
25
28,18
100
0,25
2,0
35,0
24,4
29,0
10
100
0,06
4,21
14,26
21,49
17,02
29,58
13,38
97,5
2,5
0,18
5,03
18,47
27,10
13,84
35,11
100
0,122
25,77
14,24
125
Prvky
Značka
Výskyt (to)
%
Z
W
74
Re
75
Os
76
Prvky
Ir
77
Pt
78
Au
79
184
186
185
187*)
184
186*)
187
188
189
190
192
191
193
192
194
195
196
198
197
30,68
29,17
31,7
62,93
0,018
1,59
1,64
13,3
16,1
26,4
41,0
38,5
61,5
0,8
30,2
35,3
26,6
7,23
100
Značka
Z
Hg
80
TI
81
Pb
82
Bi
Th
U
83
90
92
*) Nuklidy, jejichž poločas přeměny T. > 1010 roku.
2
**) Nuklidy, jejichž poločas přeměny 7 .10® roku < T, < 1010 roku.
2
126
A
196
198
199
200
201
202
204
203
205
204*)
206
207
208
209*)
232*)
234
235**)
238**)
Výskyt (to)
%
0,15
10,1
17,0
23,3
13,2
29,6
6,7
29,1
70,9
1,5
25,1
21,1
52,3
100
100
0,005 1
0,71
99,28
16 N ejdůležitější elem entární částice
<2 -n á b o j; s -s p in ; m - klidová hmotnost; me - klidová hmotnost elektronu;
r - střední doba života; # - redukovaná Planckova konstanta, H = hj2n, viz tab. 77
Značka
Název
Druh
Anti­
částice
Částice
Elektromagnetické
záření
foton (obecně)
foton gama
Lehké částice
(leptony)
neutrino**)
elektron
mion
Střední částice
(mezony)
v
e~
v
e+ *)
7t®
pion
kaon
Těžké částice
(baryony)
f
Y
h
u
nta
Q
e
1
0
0
0
1/2
1/2
1/2
(0)
5,486.10-4
0,113 4
(0)
1
206,8
0
TI
TI
0
0,144 9
264,1
0
S
stabilní
stabilní
stabilní
2 ,2 .1 0 -»
r + Y
¡X+ + V;í
7T-
0
0,149 8
273,1
±1
2,6 . 10-8
K+
K-
0
0,529 9
966,60
±1
K°
K°
0
0,534 2
973,8
1,2.10-8
10~10(»)
5,1 . 10*8 (T)
P
P~
n
A
1/2
1/2
1/2
1,007
1,009
1 836,03
1 838,56
hyperon lambda
n
A
1,197
2 183,0
0
2,5 . 10-10
hyperon sigma
2+
2+
1/2
1,277
2 327,3
±1
0,8 . 10-10
2°
vo
1/2
1,279
2E°
1/2
1/2
1,284
2 333,4
2 343,0
0
2~
5,8 . 10-20
1,5 . 10-10
1,408
1/2
1,415
proton
neutron
hyperon ksí
S°
5”
2 573,0
2 585,6
±1
0
+1
0
TI
e~ + Vji + Ve
0,8 . 10-1«
K+
0
Nejpravdě­
podobnější
rozpad
stabilní
925
2,9 . 10-10
1,6 . 10-1°
*) Tato antičástice se nazývá pozitron
**) Rozlišujeme elektronové neutrino ve a mionové neutrino v,*
to
-TJ
-»
<
¡¿+ + vn
■8-: 7i- + 7t+
t: rr+ + e_+ v e
p+ + e- + ve
1p + +
j n +
j p+ +
jn +
7t~
7t°
K°
7t+
A + y
n + 7t~
A +7ť>
A + n~
17
H m otnostní schodky jad er některých prvků
B - hmotnostní schodek (defekt) jádra. Je to rozdíl mezi součtem hmotností všech nukleonů obsažených
v jádře a celkovou hmotností jádra. E\ - vazebná energie, £j = Bc2; c - rychlost šíření světla,
c ~ 3 . 108 m . s-1; l u = 1,660 44 . 10-27 kg.
Prvek
Prvky
Značka
Vodík
B
10-3u
Ei
MeV
2,35
2,19
Helium
fH e
8,18
7,61
Helium
<He
30,29
28,20
Lithium
3 Li
34,31
31,94
Lithium
3 Li
42,01
39,11
Beryllium
jBe
62,3
58,0
Radium
2I |R a
1 838,0
1 711,0
Aktinium
2i,»Ac
1 845,0
1 718,0
Thorium
2foTh
1 873,0
1 744,0
Protaktinium
2|Í P a
1 868,0
1 739,0
Uran
238t i
92U
1 908,0
1 776,0
128
18 Radioaktivní přem ěnové řady
Ve sloupci Název jsou uvedeny historické názvy nuklidů.
Název
Značka
Přeměna
Poločas přeměny
U ran - radiová řada
Uran I
2^28U
UI
4,5 . 10» r
Uran Xi
2& T h
UXi
24,1 d
Uran X 2
2 91 Pa
ux2
1,14 min
Uran II
292U
U II
2,3 . 10* r
P
a
Ionium
2?oTh
Io
8 ,3 . 10» r
a
Radium
288Ra
Ra
1 590 r
Radon
2IÍR n
Rn
3,825 d
Radium A
284Po
RaA
3,05 min
Radium B
2182Pb
RaB
26,8 min
Radium C
?83BÍ
214»
84l °
2 1 0 'T'i
81 1 1
RaC
19,7 min
RaC'
1,5 . 10-> s
Radium C'
Radium C "
RaC"
1,32 min
Radium D
2iŠPb
RaD
22,2 r
Radium E
21 8 »
RaE
5,04 d
Radium F
2 8 4Po
RaF
139 d
Radium G
282?b
RaG
00
OC
P
oc
oc
a
P
P
\o c
a \
Pr
P
a
p
1
.
Thoriová řada
Thorium
2f ÍT h
Th
1,39 . 1010 r
oc
Mezothorium 1
2f 8Ra
M s-Th 1
6,7 r
P
Mezothorium 2
228Ar
8 9 AC
M s-Th 2
6,13 h
P
Radiothorium
22oTh
R d-Th
1,90 r
a
Thorium X
2L8+
8Ra
ThX
3,64 d
oc
oc
Thoron
Tn
54,5 s
2¥;Po
ThA
0,158 s
'I'horium B
2 8 2Pb
ThB
10,6 h
Thorium C
2 1 2 d;
8 :iki
212p
T hC
60,5 min
84 O
20 8npi
81 11
T hC '
3 . 10-7 s
T hC "
3,1 min
2SfPb
T hD
00
Thorium A
Thorium C'
Thorium C"
Thorium D
a
P
P / J\
<
>
\
\
^
p
129
Značka
Název
Poločas přcmčny
Přeména
Aktiniová řada
Prvky
Aktinouran
235
fj
92u
AcU
7,13.10» r
Aktinium Y
231T
h
90
UY
24,6 h
Protaktinium
231Pa
91* a
Pa
3,2 . 104 r
Aktinium
2S97A c
Ac
21,7 r
Radioaktinium
2lo7T h
RdAc
18,9 d
Aktinium K
2??Fr
AcK
21 min
Aktinium X
AcX
11,4 d
An
3,92 s
Aktinium A
’ ¿|R«
219Rn
86Kn
2l l po
AcA
1,83 . IO '3 s
Aktinium B
2 “ Pb
AcB
36,1 min
Aktinium C
2 83®'
211Po
84
AcC
2,16 min
AcC'
0,52 s
207-n
81 11
20 7p_
82
AcC"
4,76 min
AcD
oo
Aktin on
Aktinium C'
Aktinium C "
Aktinium D
Neptuniová řada
Plutonium
2$}Pu
Pu
10 r
Ameridum
295A n>
Am
500 r
Neptunium
2!lN p
Np
2,25 . 10« r
Protaktinium
2jJP a
Pa
27,4 d
a.
Uran
2 3 3 tt
U
1,63 . 10» r
P
Thorium
2 lo9T h
Th
7 . 103 r
Radium
2IlRa
Ra
14,8 d
a
a
Aktinium
2 289/\c
5Ae
Ac
10 d
P
Francium
221cr
87*^
Fr
4,8 min
a
Astat
218?At
At
0,021 s
92U
Bismut
2I !
Bi
47 min
Polonium
2| 3Po
Po
4,2 . 10-* s
Thallium
208?T1
TI
2,20 min
Olovo
Z82P b
Pb
3,3 h
20*>
Bi
00
Bismut
130
k
P>
a.
19
H ustota, součinitel tep lo tn í délkové roztažnosti a m ěrná tep eln á kapacita
některých prvků při te p lo tě 20 °C
«20 - hustota při 20 °C; cc2o - součinitel teplotní délkové roztažnosti při 20 °C; ¿20 - měrná tepelná kapacita
při 20 °C
(?20
k g . m~3
Prvek
Antimon
Arsen
Baryum
Beryllium
Bismut
Bor
Cer
Cesium
Cín
Draslík
Fosfor (bílý)
Gallium
Germanium
Hliník
Hořčík
Chrom
Iridium
Jod
Kadmium
Kobalt
Křemík
Lithium
Mangan
Měď
Molybden
Nikl
Olovo
Osmium
Palladium
Platina
Rhenium
Rhodium
Rubidium
Selen
Síra jednokl.
kosočtv.
Sodík
Stříbro
Tantal
Titan
Uhlík amorf.
diamant
Uran
Vanad
Vápník
Wolfram
Zinek
Zirkon
Zlato
Železo
Sb
As
Ba
Be
Bi
B
Ce
Cs
Sn
K
P
Ga
Ge
AI
Mg
Cr
Ir
I
Cd
Co
Si
Li
Mn
Cu
Mo
Ni
Pb
Os
Pd
Pt
Re
Rh
Rb
Se
S
Na
Ag
Ta
Ti
C
U
V
Ca
W
Zn
Zr
Au
Fe
6 690
5 720
3 760
1 850
9 800
2 340
6 800
1 870
7 280
862
1 820
5 900
5 300
2 700
1 740
7 100
22 500
4 930
8 640
8 800
2 330
534
7 300
8 930
10 200
8 900
11 340
22 480
12 000
21 450
20 500
12 400
1 520
4 400
1 960
2 060
971
10 500
16 600
4 530
2 300
3 500
19 050
6 000
1 540
19 300
7 130
6 530
19 290
7 860
<X20
10-» K -1
0,011
0,005
—
0,013
0,014
0,008
—
0,097
0,027
0,083
0,125
0,018
—
0,024
0,026
0,008
0,006
0,093
0,030
0,012
0,002
0,056
0,023
0,017
0,005
0,013
0.029
0,006
0,012
0,009
—
0,009
0,090
0,037
0,080
0,074
0,072
0,019
0,006
0,009
0,008
0,013
—
0,008
0,025
0,004
0,029
—
0,014
0,012
C20
k j .k g "1 . K -‘
Prvky
0,208
0,330
—
1,750
0,124
1,047
—
0,230
0,227
0,741
0,754
0,377
0,308
0,896
1,017
0,440
0,134
0,218
0,231
0,389
0,703
3,391
0,486
0,383
0,251
0,446
0,129
0,130
0,247
0,133
0,137
0,248
0,348
0,335
—
0,720
1,206
0,234
0,138
0,611
0,837
0,495
0,117
0,502
0,649
0,134
0,385
0,272
0,129
0,452
131
20 Vlastnosti důležitých anorganických sloučenin
M i - relativní molekulová hmotnost;
tv - teplota varu při témž tlaku
q-
hustota při 20 °C, není-li v závorce uvedena jiná teplota; ít - teplota tání při tlaku 101,3 kPa;
Zkratky: b - bílý, bb - bezbarvý, č - černý, čv - červený, f - fialový, h - hnědý, hž - hnědožlutý, m - modrý, o - oranžový, r - rozkládá
se, rž - růžový, š - šedý, z - zelený, ž - žlutý, subl - sublimuje, (—8 H 2O, 780) značí, že 1 mol látky uvolňuje 8 molů vody při teplotě 780 °C
Látka
Mr
AgBr
AgMOs
AI2O 3
BaCl2 . 2 H zO
BaCOs
Ba(NOs)2
Ba(OH)2 . 8 H 2O
BaSOí
CO
COa
CS 2
CaCU
CaCl2 . 6 HzO
C aC 03
bromid stříbrný
dusičnan stříbrný
oxid hlinitý
dihydrát chloridu bamatého
uhličitan bamatý
dusičnan bamatý
oktahydrát hydroxidu barnatého
síran bamatý
oxid uhelnatý
oxid uhličitý
sirouhlík
chlorid vápenatý
hexahydrát chloridu vápenatého
uhličitan vápenatý
187,77
169,87
101,96
244,27
197,34
261,34
315,47
233,39
28,01
44,01
76,13
110,99
219,08
100,09
CaO
C aS 04 . 2 H aO
CdCl2
Cd(NOs)2 . 4 H 2O
CdSOj
C 0 CI2 .6 H 2O
CuCl2
C u(N 0 3)2 .3 H 20
CuO
C u S 0 4 . 5 H 2O
CuS04
FeClu
F e S O j. 7 H aO
H 3BO 3
HBr
HC1
HF
HNOs
H 3PO 4
HsS
H 2SO 4
oxid vápenatý
dihydrát síranu vápenatého
chlorid kademnatý
tetrahydrát dusičnanu kademnatého
síran kademnatý
hexahydrát chloridu kobalnatého
chlorid mědnatý
trihydrát dusičnanu mčdnatého
oxid mědnatý
pentahydrát síranu mčdnatého
síran mědnatý
chlorid železitý
heptahydrát síranu železnatého
kyselina trihydrogenboritá
bromovodík
chlorovodík
fluorovodík
kyselina dusičná
kyselina trihydrogenfosforečná
sulfan (sirovodík)
kyselina sírová
56,08
172,17
183,32
308,48
208,47
273,93
134,45
241,60
79,54
249,68
159,60
162,21
278,01
61,83
80,92
36,46
20,01
63,01
98,00
34,08
98,07
e
kg . m~3
6 473 (25)
4 352
3 965 (25)
3 097
4 430
3 244 (23)
2 180 (16)
4 480
1,250
1,977
1 270 (15)
2 150
1 680 (17)
2 710 (calc.)
2 930 (arag.)
3 300
2 320
4 050 (25)
2 455 (17)
4 690
1 924 (25)
3 386 (25)
2 320 (25)
6 400
2 284
3 603
2 898
1 898
1 435 (15)
3,388
1,267
0,91
1 527
1 825
1,190
1 840
°C
ty
•c
700 r
432
444 r
212
2 980
2 072
962 (—H 2 0 , 113) 1 560
—
—
592
r
78
(—8 HaO, 780)
1 580
—
— 191
— 199
—78,5 subl
—56,6 (500 kPa)
— 110,08
46,3
> 1 600
782
(—6 H 2O, 200)
(— 4 H 20 , 30)
899 r
1 339 (137 kPa)
—
520 (-»-calc.)
2 614
2 850
(—2 H 20 , 163)
(— 1,5 H 2O, 128)
960
568
132
59,6
—
1 000
(—6 HaO, 110)
86
993 r (CuCl)
620
114,5
(—H N O 3, 170)
—
1326
(—5 H 2O, 150)
(—4 H 20 , 110)
200
650 r
315 r
306
64 (—6 H 20 , 90) (—7 H aO, 300)
( - H 2O, 169) (— 1,5 H 20 , 300)
—87
— 67
— 112
—85
19,5
—83
—41,6
83
42,4
(—0,5 H 2O, 213)
—85,5
— 60,7
10,4
338 r
Barva
ž
bb
bb
bb
b
bb
b
b
bb
bb
bb
bb
bb
bb
b
bb
bb
b
b
čv
h
m
č
m
bz
hž
z
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
Látka
KBr
bromid draselný
KC1
chlorid draselný
chlorečnan draselný
KClOa
uhličitan draselný
K 2CO3
dichroman draselný
K2CT207
KI
jodid draselný
manganistan draselný
K M n04
dusičnan draselný
KNOs
KOH
hydroxid draselný
síran draselný
K 2SO4
chlorid lithný
LiCl
LÍ2CO3
uhličitan lithný
LÍ2 SO4
síran lithný
M gS 04 . 7 H 2O
heptahydrát síranu hořečnatého
MnCla . 4 HjO
tetrahydrát chloridu manganatého
MnOa
oxid manganičitý
tetraboritan sodný
NaaB407
Na2[B405(0H )4]. 8 HaO oktahydrát tetrahydroxotetraboritanu disodného (borax)
NaBr
bromid sodný
NaCl
chlorid sodný
NaClOs
chlorečnan sodný
N32C03 . 10 HaO
dekahydrát uhličitanu sodného
hydrogenuhličitan sodný
NaHCOs
dusičnan sodný
NaNOs
NaOH
hydroxid sodný
Na3P 0 4 . 12 HaO
dodekahydrát fosforečnanu
sodného
NH 4CI
chlorid amonný
hydrogenuhličitan amonný
NH 4 HCO3
síran amonný
(NH4)2S04
NÍSO4 . 7 HaO
heptahydrát síranu nikelnatého
PbCla
chlorid olovnatý
dusičnan olovnatý
Pb(N03)2
PbO
oxid olovnatý
Pb30 4
oxid olovnato-olovičitý
Pb02
oxid olovičitý
SO 2
oxid siřičitý
SO3 (trimer)
oxid sírový
SnCla . 2 HaO
dihydrát chloridu cínatého
SnCLi
chlorid cíničitý
síran strontnatý
SrS04
ZnCla
chlorid zinečnatý
ZnS04
síran zinečnatý
ZnS04 . 7 HsO
heptahydrát síranu zinečnatého
Air
Q
tt
ty
kg . m '3
°C
°C
734
770
356
891
398
681
r < 240
334
360,4
1 069
605
723
845
(— 6 H 2O, 150)
58 (—H 2O, 106)
( - O 2, 535)
741
75 (—8 HaO, 60)
1435
1 500 subl
400 r
r
500 r
1 330
—
400
r
1 327
1 689
1 382
1310
r
—
( - 7 HaO, 200)
( - 4 HaO, 198)
—
1 575
r
(— 10 HaO, 320)
b
f
bb
b
bb
bb
bb
bb
bb
rž
č
bb
bb
1 390
1413
—
(-H a O , 33,5)
—
380
r
1 390
(— 12 HaO, 100)
bb
bb
bb
b
bb
bb
bb
bb
119,00
74,55
122,55
138,21
294,18
166,00
158,03
101,10
56,11
174,25
42,39
73,89
109,94
246,47
197,91
86,94
201,22
381,37
2 750
1 984
2 320
2 428
2 676
3 130
2 703
2 109
2 044
2 662
2 068
2 111
2 221
1 680
2 010
5 026
2 367
1 730
(25)
102,89
58,44
106,44
286,14
84,00
84,99
40,00
380,12
3 203
2 165 (25)
2 490 (15)
1 440
2 159
2 261
2 130
1 620
748
801
255
32,5
(—CO2, 270)
307
318,4
73,4 r
53,49
79,06
132,13
280,85
278,1
331,2
223,2
685,6
239,2
64,06
80,06
225,63
260,50
183,68
136,29
161,44
287,54
1 527
1 580
1 769 (50)
1 948
5 850
4 530
9 530
9 100
9 375
2,927
1 970 (1)
2 710 (15)
2 226
3 960
2 910
3 540 (25)
1 957 (25)
340
subl
36
r
235
r
99 (—H 2O, 32)
501
470
886
500
r
290
r
— 72,7
16,8
37,7
—33
1 605
283
600
100
(19)
(16)
(25)
(17)
—
subl
—
( - 6 HaO, 103)
950
—
1 470
—
—
— 10
44,8
—
144
r
732
—
(—7 HaO, 280)
Barva
bb
bb
bb
bb
0
bb
bb
bb
z
b
bb
ž, čv
čv
h
bb
bb
b
bb
bb
b
bb
bb
134
21
V lastnosti důležitých organických sloučenin
Air - relativní molekulová hmotnost; g - hustota při 20 °C, není-li v závorce uvedena jiná teplota; ít - teplota tání při tlaku 101,3 kPa;
ív - teplota varu při témž tlaku, není-li v závorce uveden jiný tlak
Zkratky: rozkl - rozkládá se, subl - sublimuje, tuh - tuhne, expl - exploduje, stabil - stabilizovaný, r - rozpustný, vr - velmi rozpustný,
m r - málo rozpustný, nr - nerozpustný, rt - rozpustný za tepla, 1 - kapalina, g - plyn
Látka
Acetaldehyd
Acetofenon
Aceton
Acetylen
Acetylchlorid
Acetylsalicylová kyselina
Adipová kyselina
Akrolein
Akrylová kyselina
a-Alanin-(L)
Allylalkohol
o-Aminobenzoová kyselina
Anilin
Antracen
Antrachinon
Azobenzen
Vzorec
CHsCHO
CHsCOCeHs
CH 3 COCH3
C H =C H
CH 3COCI
2 -CH 3OCOC6H 4COOH
HOOC(CH2)4COOH
c h 2= c h c h o
c h 2= c h c o o h
c h 3c h (n h 2)c o o h
c h 2= c h c h 2o h
2-H2NC6H4COOH
c »h 5n h 2
CitHjo
C i 4H 802
C«H5N = N C 8H 6
Air
44,05
120,15
58,08
26,04
78,50
180,16
146,14
56,06
72,06
89,09
58,08
137,14
93,13
178,23
208,22
182,23
.CONH.
Barbiturová kyselina
H2C (
x conh
>c o
Q
kg . m“8
778
1 028
790
1,175
1 105
—
1360
841
1051
1 424
854
1 412
1 022
1 283
1 438
— cis
1 203 trans
128,09
_
t\
ív
“* c
— 122
19,6
—95,4
—81
— 112
135
153
—87
13
297 rozkl
— 129
146
—6,0
216
286
71
68,5
20,8
202
56,2
—84
51,5
140 rozkl
216 (2 kPa)
53
141
97,1
subl
184
340
379,8
—
296 (13 kPa)
Rozpust­
nost
ve vodě
vr
nr
vr
mr
rozkl
rt
mr
r
vr
r
vr
rt
rt
nr
nr
—
nr
248 rozkl
_
mr
— 26
(—56 tuh)
5,5
128
122,4
48,1
- 1 5 ,3
—39
71
180 rozkl
— 30,8
8
— 108,9
— 138,4
—89,5
— 114,7
—
nr
/
Benzaldehyd
CsHsCHO
106,13
1045
Benzen
Benzidin
Benzoová kyselina
Benzofenon
Benzylalkohol
Benzylchlorid
Bifenyl
Biuret
Brombenzen
Bromoform
1,3-Butadien
Butan
1-Butanol
2-Butanol
CeHs
4,4'-NH2C«H4C«H4N H 2
CeHsCOOH
CsHsCOCoHs
CeHsCHüOH
CeHsCHaCl
Cel IsCgHö
NH(CONH2)2
CeHsBr
CHBra
c h 2= c h — c h = c h 2
c h 3c h 2c h 2c h 3
CH3CH2CH2CH2OH
CH3CH2CH(OH)CH3
78,11
184,24
122,12
182,22
108,14
126,59
154,21
103,08
157,01
252,73
54,09
58,12
74,12
74,12
877
—
1 266 (15)
1 146 (19)
1 041
1 100
866
—
1 495
2 889
621
2,703
810
807
80,10
—
249
305,9
205,4
179
256
—
156
149,5
- 4 ,4
“ 0,5
117,2
99,5
nr
mr
mr
nr
nr
—
nr
r
nr
nr
nr
nr
mr
mr
Vzorec
Látka
1-Butylen
C Ho=CHCH2CH3
CHsCOOH
Citronová kyselina
A ir
56,12
192,13
I
tv
11
kg . m-3
2,45 (16)
1 542 (18)
°C
Rozpust­
nost
ve vodě
-185,3
- 6 ,3
11
155
rozkl
vr
80,7
161,1
155,6
nr
174.1
34.6
302
nr
mr
nr
nr
vr
r
vr
nr
nr
mr
nr
nr
HO—C -C O O H
I
Cyklohexan
Cyklohexanol
Cyklohexanon
CHzCOOH
CíHI2
CaHuOH
CeHioO
CH3(CH2)8CH3
84,16
100,16
98,15
142,29
74.12
169,23
30.07
46.07
88.12
45.09
106.17
150.18
108,97
64,52
28,05
74.08
91.07
94,11
30,03
98,92
180,16
779
962
948
730
714
1 160
1,356
789
900
683
867
1 046
1 460
898
1,25 (0)
917
1 108
1 058
815 (—20)
139 (0)
1 598
Dekan
Diethylether
Difenylamin
Ethan
Ethanol
Ethylacetát
Ethylamin
Ethylbenzen
Ethylbenzoát
Ethylbromid
Ethylchlorid
Ethylen
Ethylformiát
Ethylnitrát
Fenol
Formaldehyd
Fosgen
D-Fruktosa
(CsH5)2NH
CH 3 CH 3
C 2H 5OH
CH 3COOC2H 5
C 2H 5N H 2
C6H 5C 2H 5
CeHsCOOCüHs
C2H5Br
C 2H5C1
c h 2= c h 2
HCOOC2H5
C2H5ONOs
C6H5OH
HCHO
COCl2
Ftalanhydrid
C0H .1 /
Ftalová kyselina
Fumarová kyselina
l,2-C6H4(COOH)s
HOOCCH=CHCOOH
(trans)
166.13
116,07
1 593
1 635
Furan
Gallová kyselina
D-Glukosa
C4H 4O
C6H12O6
68.08
170,12
180,16
951
1 694 (6)
1 562 (18)
Glycerol
Glyceroltrinitrát
HOCH2CH(OH)CH2OH
C3H 5(0N 02)3
92.10
227,09
1 261
1 593
Glycin
Glykol
Hexachlorbenzen
Hexan
h 2n c h 2c o o h
h o c h 2c h 2o h
75.07
62.07
284,78
86,18
1 161
1 109
1 629 (21)
660 (20)
2 0c 2h s
c hs
CsHiäOs
,CO.
\ O
\c o ^
3,4,5-(OH)3C(,H2COOH
CsClc
C H 3 ( C H 2) 4 C H 3
6,5
25,1
— 16,4
(—26 tuh)
—27,9
— 116
55
— 183,3
— 117,3
— 83,6
— 81
— 95
— 34,6
— 118,6
— 136,4
— 169
—80
— 94,6
43
—92
— 118
103
131,6
148.12
—
88,6
78.4
77.1
16.6
136.2
213
38.4
12,3
-1 0 4
54
87.2
182
mr
mr
—21
8,3
295 subl
ozkl
vr
mr
rt
210 rozkl
165 subl
— 85,6
253 rozkl
al46-147rozkl
/J148-150rozkl
18
13 (stabil)
2 (nestab)
262 rozkl
- 1 1 ,5
230
— 95
290 rozkl
256 expl
mr
mr
vr
vr
vr
mr
198
322 subl
69
vr
vr
nr
nr
31,4
Vzorec
Látka
M,
Hydrochinon
Chloraceton
Chloral
Chloralhydrát
Chlorbenzen
Chloroform
Isopren
Jantarová kyselina
Jodoform
m-Kresol
o-Kresol
p-Kresol
Kyanovodík
Laktosa
l,4-C 6H4(OH) 2
CH 3 COCH2CI
CCI3 CHO
CCl3CH(OH)2
CeHsCl
CHCI3
CH2=C(CH3)CH=CH2
HOOC(CH2)2COOH
c h i3
l,3-CH3CeH4OH
l,2-C H 3CeH4OH
1,4-CH3C«H40H
HCN
C i 2H22Oii
1 1 0 ,1 1
Malonová kyselina
Máselná kyselina
Methan
Methanol
Methylacetylen
Methylbenzoát
Methylchlorid
2-Methyl-2-propanol
Mléčná kyselina D, L
Močovina
Mravenčí kyselina
Naftalen
Nitrobenzen
Octová kyselina
Oktan
Olejová kyselina
Palmitová kyselina
Pentan
Propan
1-Propanol
Propanová kyselina
Propylen
Pyridin
Pyrogallol
Pyrokatechin
Resorcin
CH2(COOH)2
CH3(CH2)2COOH
CH 4
CHsOH
CH3C =C H
CeHsCOOCHs
CH3C1
(CH3)3COH
CH 3 CHOHCOOH
H2NCONH2
HCOOH
C10H8
C«HäN02
CHsCOOH
CH3(CH2)6CH3
Ci 7H33COOH
C 15 H 31 COOH
CH3(CH2)3CH3
c h 3c h 2c h 3
c h 3c h 2c h 2o h
c h 3c h 2c o o h
c h 2= c h c h 3
C 5H 5N
l,2,3-C«H3(OH)3
l,2-CeH4(OH)2
l,3-C«H4(OH)2
104,06
88,11
16,04
32,04
40,07
136,15
50,49
74,12
90,08
60,06
46,03
128,17
123,11
60,05
114,23
282,47
256,43
72,15
44,10
60,10
74,08
42,08
79,10
126,11
110,11
110,11
Sacharin
/ CO\
C6H4 (
)N H
183,19
Sacharosa
Cl2H22Oll
342,30
x so2/
92,53
147,39
165,40
112,56
119,38
68,12
118,09
393,73
108,14
108,14
108,14
27,03
342,30
íi
Q
řv
kg . m ~ 3
1 358
1 150
1 512
1 908
1 105
1 483
681
1 572 (25)
4 008
1 034
1 027
1 018
688 (1)
a —
ß \ 590
1 619 (16)
956
0,717
791
—
1 089
2,31
789
1 206 (21)
1 323
1 220
1 168 (22)
1 204
1 049
702
894
853
626
2,01
804
993
1,81 (16)
982
1 453 (4)
1 344
1 272
1
828
1 581 (17)
173
— 44,5
- 5 7 ,5
57
—45,6
—63,5
— 146
188
123
12
31
35
— 13
223
253
135,6
- 4 ,5
— 182
-r-93,9
— 102,7
— 12,3
— 97
25,5
18
135
8,4
80,5
5,7
16,6
— 56,8
13,4
63
— 130
— 189,7
— 126,5
— 20,8
— 185,2
—42
133
105
111
286
119
97,8
96,3
132
61,2
34
235 rozkl
210 expl
203
191
202
26
—
140 rozkl
165,6
— 154
65
—24
199,6
- 2 4 ,1
82,3
122 (1,6 kPa)
rozkl
100,7
218
210,8
117,9
125,7
216 (0,7 kPa)
222 (2,1 kPa)
36,1
— 42,1
97,4
141
-47,4
115,5
309
245
281
Rozpust­
nost
ve vodé
vr
r
r
r
nr
nr
nr
rt
nr
mr
rt
rt
vr
vr
vr
vr
mr
vr
r
nr
nr
vr
vr
r
vr
nr
nr
vr
nr
nr
nr
nr
nr
vr
vr
r
vr
r
r
r
229 rozkl
185—186 rozkl
r
Vzorec
Látka
Salicylová kyselina
Stearová kyselina
Styren
Šťavelová kyselina
Šťavelová kyselina - dihydrát
Teraftalová kyselina
T etrachlorbenzen
T etrachlormethan
Toluen
Tribromfenol
Trichlor benzen
Trinitrobenzen
Trinitrofenol
Trichloroctová kyselina
Vinná kyselina (L)
Vinylchlorid
m-Xylen
o-Xylen
p-Xylen
2 -HOC 6H 4COOH
C17 H 35COOH
C6H5C H = C H 2
(COOH)2
(COOH)2 . 2HaO
l,4-CeH4(COOH)2
1,2,3,5-CsH 2C14
ca4
CsHsCHs
2,4,6-Br3CeHaOH
1,3,5-C8H3C13
1,3,5-C«H3(N02)3
2,4,6-(NOa)3C6H2OH
CClsCOOH
HOOCCH—CHCOOH
i
i
I
1
OH OH
CH2=CHC1
1,3-C6H4(CH3)2
l,2-CeH4(CH3)2
1,4-CeHi(CH3)a
Air
e
k g . m~s
138,12
284,49
104,15
90,03
126,07
166,13
215,89
153,82
92,14
330,80
181,45
213,11
229,10
163,39
150,09
1443
941
906
1 900
1 653
—
—
1594
867
2 550
—
1 688
1 767
1 620
1 760
62,50
106,17
106,17
106,17
—
864
880
861
(17)
(19)
(19)
(25)
ÍT
ft
°C
159
71,2
—30,6
189,5 rozkl
101,5 rozkl
—
54,5
—23
—95
95
63
121
122
58
170
— 153,8
—47,9
—25,2
13,3
°c
211 subl
360 rozkl
145,2
157 subl
subl
246
76,8
110,6
280 subl
208
315 rozkl
— expl
197,5
—
- 1 3 ,4
139,1
144,4
138,3
Rozpust­
nost
ve vodě
r
nr
nr
r
r
nr
nr
nr
nr
mr
nr
mr
rt
vr
r
nr
nr
nr
nr
22 H ustoty pevných látek
q-
hustota při běžných teplotách (okolo 20 °C)
U většiny látek závisí hustota na jejich fyzikálním stavu (např. na vlhkosti apod.) a na chemickém složení.
Údaje v tabulce jsou proto přibližné. U sypaných nebo pórovitých látek je uvedena objemová hmotnost
(podíl hmotnosti a celkového objemu včetně mezer), která je menší než hustota téže látky. Tyto látky jsou
v tabulce označeny hvězdičkou.
Látka
Vlastnosti
látek
Asfalt
Azbest
Bakelit
Beton
Bronz
Celofán
Celuloid
Cihly*
Cukr
Čedič
Diamant
Dřevo balsové
Dřevo dubové
Dřevo jehličnaté
Dřevo mahagonové
Dural
Ebonit
Elektron
Grafit (tuha)
Guma (pryž)
Guma pěnová*
Chromnikl
Igelit
Invar
Kamenina
Kaolín
Klih
Konstantan
Korek
Kosti
Křemen
Křída
Kůže
Led
Lůj
Malta vápenná
Manganin
Máslo
Mastek
Mosaz
Ocel
138
e
kg . m~8
1 300
2 100 — 2 800
1 300
1 800 — 2 200
8 700 — 8 900
1 420
1 400
1 400 — 2 000
1 600
2 900
3 500
100 — 300
700— 1 000
400 — 600
700
2 800
1200
1 800
2 100
1 150 — 1 350
50 — 500
8 200
1 390
8 130
2 200 — 2 500
2 200
1 270
8 800
200 — 350
1 700 — 2 000
2 600
1 800 — 2 600
850— 1000
917
900 — 970
1 700
8 400
920
2 700
8 600
7400 — 8000
Látka
Pájka (cín)
Papír
Parafín
Pertinax
Pískovec
Plexisklo
Polystyren
Polyvinylchlorid
Porcelán
Prešpán
RaSelina
Rula
Sádra*
Sklo křemenné
Sklo olovnaté
Sklo tabulové
Slída
Sníh (čerstvě padlý)*
Sníh vlhký*
Stearin
Sůl kuchyňská
Šamot
Šedá litina
Teflon
Tělo lidské* (při vdechnutí)
Tělo lidské* (při vydechnutí)
Tuky
Uhlí dřevné*
Uhlí hnědé*
Uhlí černé*
Vápenec
Vápno hašené*
Vápno pálené*
Vinidur
Vosk
Woodův kov
Xylolit
Zdivo cihlové duté
Zdivo cihlové plné
Žula
Q
k g . m-3
8 200
700 — 1 100
870 — 930
1 300— 1 400
1 900 — 2 700
1 180
1 050
1 200 — 1 500
2 100 — 2 400
1 350
330 — 410
2 400 — 2 700
800 — 1 200
3 600 — 4 700
2 600 — 4 200
2 400 — 2-600
2 600 — 3 200
125
200 — 800
970
2 160
1 700 — 2 200
7 250
2 100 — 2 300
960
1040
920 — 950
300 — 600
1 200 — 1 500
1 200 — 1 500
2 710
1 100 — 1 300
900— 1 300
1 350
950 — 980
9 700
715
1 200
1 600
2 600 — 2 900
23 Mechanické vlastnosti pevných látek
E - modul pružnosti v tahu; G - modul pružnosti ve smyku;
- pevnost v tahu; a v - pevnost v tlaku;
/i - Poissonův poměr (poměr poměrného příčného zkrácení a poměrného prodloužení materiálu)
Uvedené veličiny závisejí na složení a tepelném a mechanickém zpracování látek. Pevnost v daku je udána,
jen když se liší od pevnosti v tahu.
|| po směru vláken, X kolmo k směru vláken
Modul pružnosti
Látka
Ocel
Ocel pro lana
Temperovaná litina
Šedá litina
Hliník
Dural
Elektron
M éd
Mosaz
Nikl
Zinek
Cín
Olovo
Stříbro
Zlato
Platina
Dřevo
jehličnaté ||
Dřevo
jehličnaté X
Dřevo
dubové ||
Dřevo
dubové J_
Žula
Čedič
Vápenec
Cihly
Sklo
Ebonit
Xylolit
Bakelit
Pevnost
E
103 MPa
G
103 MPa
Ot
MPa
220
220
85
85
—
—
350—800
až 2 000
320—520
200—560
70— 190
150—520
160—330
180—450
300—500
500— 1 000
120—500
30—70
15—20
150—400
120—300
200—400
73
33
—
4—7
—
60— 140
66—68
72
42—45
120—130
100—110
205—220
100
55
15— 17
75—80
80
170
10
24—57
26—28
27
16—18
42—47
43
75
40
15
6,5
28
28
62
0,3
av
MPa
0,30
—
—
0,26
0,33
0,34
0,29
0,34
0,3—0,4
0,30
0,25
0,33
0,40
0,38
0,42
0,38
10
0,3
12,5
12,5
0,6
92
40
—
12,5
0,6
15
12—15
—
27—51
52— 115
35
—
60—80
3,7
—
—
—
—
20—30
—
—
9—15
4,2— 5,6
—
4—7
—
30—90
40—70
3
25
75—230
300
80—220
10—50
320— 1 200
120
22,5
120—200
—
—
—
—
0,2—0,3
—
—
“
139
Vlastnosti
látek
■. .
2U
T vrdost některých látej;
Mohsova stupnice tvrdosti: 1. mastek, 2. sůl kamenná, 3. kalcit, 4. fluorit, 5. apatit, 6. živec (ortoklas),
7. křemen, 8. topaz, 9. korupd, 10. diamant
Vlastnosti
látek
Látka
Tvrdost
Achát
Alabastr
Antracit
Antimon
Aragonit
Azbest
Asfalt
Augit
Baryt
Beryl
Beryllium
Bismut
Boritá kyselina
Bor
Bronz fosforová
Cesium
Cin
Dolomit
Draslík
Fluorit
Fosfor
Gallium
Germanium
Grafit
Hematit
Hliník
Hořčík
Chrom
Indium
Iridium
Iridium-osmium
Kadmium
Kalcit
Kaolinit
Karborundum
Kobalt
Křemelina
6—7
1,7
2,0
3,0
3,5
2,0
1—2
6,0
3,3
7,8
5,0
2,5
3,0
9,5
4,0
0,2
1,8
3,5
0,5
4,0
0,5
1,5
6,25
1,2
6,0
2,9
2,0
9,0
1,2
6,5
7,0
2,0
3,0
2,5
9,5— 10
5,5
1,5
140
Látka
Křemík
Lithium
Magnetit
Mangan
Měd
Mořská pěna
Mosaz
Mramor
Nikl
Ocel
Olovo
Opál
Ortoklas
Osmium
Palladium
Platina
Platinairidium
Pyrit
Rubidium
Sádrovec
Selen
Síra
Sklo
Slída
Sodík
Stříbro
Stroncium
Tellur
Vanad
Vápník
Vosk 0°C
Woodův kov
Zinek
Zirkon
Zlato
Železo
Tvrdost
7,0
0,6
6,0
5,0
3,0
2,5
3 ,5 - 4
3—4
3,8
5—8,5
1,5
4—6
6,0
7,0
4,8
4,3
6,5
6,3
0,3
1,6—2
2,0
2,0
4 ,5 -6 ,5
2,8
0,4
2,7
1,8
2,3
6,0
1,5
0,2
3,0
2,5
8,0
2,5
4,5
25 T epelná vodivost některých pevných látek
A20 - součinitel tepelné vodivosti při teplotě 20 °C
Látka
Stříbro 99,98 %
Měď elektrolytická
Hliník 99,75 %
Wolfram
Mosaz
Železo 99,92 %
Platina
Cín
Ocel 0,2 % C
Bronz 90 % Cu, 10 % Sn
Olovo
Bronz 75 % Cu, 25 % Sn
Žula
Led (0°C)
Čedič
Beton armovaný
Sníh 800 kg . m “3 (0 °C)
Cihly
Látka
Ajo
W . m -‘ . K -1
Tabulové sklo
Betonový panel
Asfalt
Sníh 500 kg . m "3 (0 °C)
Fíbr
Bakelit
Celuloid
Plexisklo
Linoleum
Dřevocement
Polystyren
Igelit
Vinidur
Azbest
Sníh 150 kg . m“3 (0 °C)
Plsť
Skelná vlna
0,60— 1,0
0,46—0,74
0,7
0,46
0,3
0,23
0,22
0,2
0,19
0,17
0,16
0,15
0,15
0,12
0,12
0,04—0,09
0,03—0,05
A20
W . m - i . K '1
418
395
229
163
106
73
70,3
64
50
42
34,7
26
2,9—4,0
2,2
1,67
1,5
1,3
0,28— 1,2
Vlastnosti
látek
26 Složení některých slitin
<o- hustota; ít - teplota tání
Název
Pájka (Cín)
Pájka (Olovo)
Hliníková bronz
Fosforová bronz
Zrcadlová bronz
Zvonovina
Nikelin
Mosaz
Konstantan
Nichrom
Platiniridium
Platinrhodium
Woodův kov
Nástrojová ocel
Ocel pro trvalé magnety
Nerez, ocel kalitelná
Nerez, ocel nekalitelná
Niklová ocel
Invar
Bílá litina
Šedá litina
Dural
Heuslerova slitina
Složení v %
(hmotnostní zlomek)
67 Sn, 33 Pb
67 Pb, 33 Sn
90 Cu, 10 AI
79,7 Cu, 10 Sn, 9,5 Sb, 0,8 P
67 Cu, 33 Sn
78 Cu, 22 Sn
80 Cu, 20 Ni
62 Cu, 38 Zn
60 Cu, 40 Ni
60 Ni, 24 Fe, 16 Cr, 0,1 C
90 Pt, 10 Ir
90 Pt, 10 Rh
50 Bi, 25 Pb, 12,5 Cd, 12,5 Sn
99 Fe, 1 C
94,5 Fe, 5 W, 0,5 C
14— 17 Cr, 0,3—0,5 C, zbytek Fe
18 Cr, 8 Ni, zbytek Fe
74,2 Fe, 25 Ni, 0,8 C
63,8 Fe, 36 Ni, 0,2 C
3—4 C, zbytek Fe
3— 4 C, 1— 2,5 Si, zbytek Fe
93,7 AI, 4,3 Cu, 1,4 Mg, 0,6 M n
55 Cu, 30 Mn, 15 AI
Q
k g . m -3
ft
°C
8 200
9 400
7 600
8 800
8 600
8 700
8 500
8 100 — 8 600
8 800
8 170
21 610
19 800
10 600
7 800
7 500 — 8 300
7 700
240
275
1 050
900
745
870
1 185
940
1 280
1350
1 850
8 100
8 000
7 600
7 000
2 750 — 2 870
1 500
1 495
1 150 — 1 400
1 150
650
66
1 350
1 380
141
27
R ozpustnost pevných látek ve vodě
mt - hmotnost bezvodé látky, která se rozpustí ve 100 g vody; w - hmotnostní zlomek rozpuštěné (bezvodé)
látky v nasyceném roztoku; o - hustota nasyceného roztoku; t - teplota. Vzorec udává složení pevné fáze,
která je v rovnováze s nasyceným roztokem. Pokud je počet molekul krystalové vody jiný než v uvedeném
vzorci, je vytištěn v závorce u příslušné hodnoty mT.
t
0
Vlastnosti
látek
142
100
m,
g
Látka
AgNOa
AlCla . 6 H 20
BaCC>3
BaCla . 2 H aO
Ba(OH)2 . 8 HaO
B a(N 03)a
BaS04
CaCla . 6 H aO
CaCla . 2 HaO
CaO . HaO
C aS04 . 2 HaO
C d (N 0 3)a .4 HaO
CdCla . 2,5 HaO
C d S 0 4 . 8/3 HaO
CuCla . 2 HaO
Cu(NOa)a - 6 HaO
C uS 04 . 5 HaO
FeCl3 . 6 HaO
F eS 04 . 7 HaO
KBr
KC1
KClOa
KI
kno3
K 2CraO?
KaCOs . 3/2 HaO
k 2s o 4
L iC l. HaO
LiaCOs
L iaS04 . HaO
MgCla . 6 HaO
M gS 04 . 7 HaO
MnCla . 4 HaO
M nS 04 . 5 HaO
N aB r.2 HaO
NaCl
NaNOa
NaClOa
NaaBiO? . 10 HaO
Na2C 0 3 . 10 HaO
NaaCraO? . 2 HaO
NaOH
N aaS04 . 10 HaO
NHiCl
NH 4HCO 3
NH4NOa
(NHl)a S 0 4
N i S0 4 . 7 HaO
PbCla
P b (N 0 3>
SnCI2
SrCl2 . 6 HaO
ZnCla
Z nS 04 .7 HaO
20
115
44,9
—
30,7
1,50
4,95
—
60,3
—
0,130
0,176
—
90,1
75,75
70,65
81,8
14,8
74,5
15,65
54,0
28,15
3,3
127,8
13,25
4,68
105,5
7,33
69,2 (2)
36,2
52,8
30 (10 °C)
63,6
52,9 (7)
79,5
35,6 (2)
70,7
80,5
1,0
6,86
163,2
43,2 (4)
4,6
29,7
11,9
118,5
70,4
27,9
0,672 8
36,4
83,9
44,1
208 (3)
41,6
219,2
45,6
0,0022 (18 °C)
35,7
3,48
9,06
2,4 . 10-4
74,53
—
0,123
0,203 6 (18 °C)
153
111,4
76,69
77,0
125,2
20,77
91,94
26,58
65,85
34,24
7,3
144,51
31,66
12,49
111,5
11,11
82,82
1,33
34,8
54,57
35,6
73,62
62,88
90,49
35,88
88,27
98,82
2,5
21,66
180,16
109,2 (2)
19,0
37,56
21,22
187,7
75,44
37,8
0,99
52,22
299,8 (15 °C)
53,85
368 (2,5)
53,8
1024
—
0,006 5
58,7
159 (3) (109 °C)
34,2
3,9 . 10-»
159 (2)
159,0
0,052
0,161 9
—
147(1)
84,6 (80 °C)
107,9
247 (3)
73,6
—
31,6 (1)
104,9
56,20
56,20
208
245,2
103
156
24,10
127,5
—
31,0
72,7
48,0 (1)
115 (2)
35,5 (1)
121,2 (0)
39,2
176
204
52,5
44,5
440 (0) (80 °C)
341
42,3 (0)
77,3
355
871
102
77,9 (1)
3,31
127,3
—
—
614
60,5 (1)
20
20
w
í?
kg . m -3
68,7
31,3
2,2 . 10-3 (18 °C)
26,3
3,36
8,31
2,4 . 10-<
42,7
—
0,123
0,203
60,5
52,7
43,4
43,5
55*6
17,2
47,9
21,0
39,7
25,5
6,8
59,1
24,0
11,1
52,7
10,0
45,3
1,31
25,8
35,3
26,3
42,4
38,6
47,5
26,4
46,9
49,7
2,4
17,8
64,3
52,2
16,1
27,3
17,5
65,2
43,0
27,4
0,98
34,3
75 (15 °C)
35,0
—
35,0
2 180
—
—
1 280
1 040
1 069
—
1 430
—
1 001
1 001
—
—
1 616
1 550
—
1 196
1 520
1 225
1 370
1 174
1 042
1 710
1 160
1077
1 580
1 081
1 290
—
1 230
1 331
1 310
1 499
1 487
—
1 201
1380
—
—
1 194
—
—
1 150
1 075
1 070
1 308
1247
—
1 007
1 400
2 070
1390
—
1470
28 Měrné spalné teplo a výhřevnost paliv
Měrné spalné teplo i výhřevnost jsou určeny podílem tepla, které se uvolní při dokonalém spálení paliva,
ochladí-li se spaliny na původní teplotu paliva, a hmotnosti paliva. U měrného spalného tepla se počítá, že
voda vzniklá reakcí i původně obsažená v palivu je v kapalném stavu; u výhřevnosti se počítá, že voda zůstane
v plynném stavu.
Palivo
Acetylen
Antracit
Benzin (střední frakce)
Benzen
Butan
Dřevo (suché) průměrně
Ethanol
Koks
Methan
Petrolej
Propan
Svítiplyn
Uhli hnědé
Uhlí černé
Vodík
Měrné spalné teplo
k j . kg-i
Výhřevnost
k j . kg“‘
50 120
31 400—34 300
46 000
41 980
49 610
18 000
29 700
31 000
55 560
46 000
50 360
39 800
18 500—29 300
29 300—33 500
143 000
18 800—32 700
42 700
40 200
43 500
16 000
26 800
30 690
49 610
44 400
50 000
18 800
10 500—17 200
20 900—31 400
95 500
—
Vlastnosti
látek
143
I erm ochem icke uaaje
IV
A /ř? - standardní molámí slučovací entalpie; AG°, - standardní molámí slučovad Gibbsova funkce;
S° - standardní molární entropie; Cp - molární tepelná kapacita při konstantním tlaku. Údaje všech uve­
dených veličin platí pro teplotu 25 °C a dak 101 325 Pa; (aq) označuje hypotetický ideální roztok o jednot­
kové molalitě (rozpuštěná látka se chová jako v nekonečně zředěném roztoku).
Anorganické látky
Látka
Vlastnosti
látek
AgBr (j )
AgCl (s)
AgNOa (s)
AlCls (*)
AUOa (a korund)
BaCh (s)
BaCla. 2 HaO (s)
BaSOi (s)
Br, (1)
Br, (g)
Br (g)
HBr (g)
C (grafit)
C (diamant)
C (g)
CO (g)
COa (g)
CO , (aq)
C O ," (aq)
CaCOs (kalcit)
CaCla (s)
CaCla (aq)
CaO ($)
Ca(OH)a (s)
Ca(OH)j (aq)
C aS04 (s)
CaS04 . 2 HaO (s)
Caa(P04)a (s)
C li (g)
c i (g)
HCl (g)
H Q (aq)
CuSO« (s)
CuSO« (aq)
CuSO« . 5 HaO (s)
Fs (g)
F (g)
H F (g)
H P (aq)
FeCOs (siderit)
FeCla (*)
FeCla (s)
FeaOj (hematit)
FeaO« (magnetit)
Ha (g)
H (g)
HaO (g)
HaO (1)
la (g)
I (g)
I* (*)
HI (g)
H I (aq)
144
kj . mol-1
AG?
kj . mol-1
— 100,4
— 127,07
— 124,4
—705,2
— 1675
— 858,1
— 1460,1
— 1 473,2
0
30,91
111,88
— 36,4
0
1,897
717
— 110,5
—393,5
—413,8
—677,1
— 1 206,9
—795,8
—877,13
—653,13
—986,17
— 1 002,8
—1 434,1
—2 022,6
—4 120,8
0
121,3
—92,30
— 167,16
—771,4
—844,5
— 2 279,7
0
78,99
— 271,1
— 332,6
—740,57
—341,8
—399,4
—824,2
— 1 118
0
217,97
—241,82
—285,83
62,438
106,84
0
26,5
—55,19
—96,5
— 109,80
—33,5
—630,1
— 1 582
—810,4
— 1 296,5
— 1 362,3
0
3,14
82,429
—53,51
0
2,900
671
— 137,2
—394,4
—386,0
—527,9
— 1 128,8
—748,1
—816,05
—603,54
—898,51
—868,14
— 1 321,9
— 1 797,4
—3 884,8
0
105,3
—95,31
— 131,3
— 661,9
—679,1
— 1 880,056
0
61,92
—273,2
—276,5
—666,72
—302,3
—334,1
—742,2
— 1 015
0
203,26
—228,59
— 237,18
19,36
70,28
0
1,7
—51,59
AH°(
5°
Cp
J . mol-1. K-*
J . mol'1. K-1
107,1
96,2
140,2
109,3
50,92
123,7
203
132
152,23
245,4
174,91
198,6
5,694
2,38
158
197,9
213,7
118
—56,9
92,9
105
59,8
38,2
83,39
74,5
107
194,1
236
223,0
165,1
186,8
56,5
109
79,5
300
202,7
158,7
173,7
- 9 ,6
92,9
117,9
142,3
87,40
146
130,59
114,60
188,72
69,91
260,6
180,68
116,14
206,5
237
52,38
50,79
93,1
91,13
79,04
75,1
162,0
101,8
75,689
36,0
20,79
29,1
8,644
6,116
21
29,2
37,1
—
—
81,88
72,84
—
42,13
87,49
—
99,66
186,0
227,8
33,95
21,8
29,12
— 136
100
—
280
31,3
22,74
29,1
—
82,13
76,65
96,65
103,8
147
28,84
20,79
33,58
75,291
36,9
20,79
54,44
29,2
142
I
Látka
KBr (s)
KC1 (s)
KClOa (s)
KMnOí (s)
KNOs (s)
K 2SO4 (s)
KOH (s)
MgCla (s)
MnCla (s)
MnOa (s)
Na (g)
N (g)
N H3 (g)
NH 4CI (s)
(NH4)aS04 (s)
HNOs (X)
HNO 3 (aq)
NO (g)
NOa (g)
N 2O4 (g)
Na (s)
Na (g)
NaaCÓs (s)
NaaCOs . 10 HaO (s)
NaHCOa (s)
NaCl (s)
NaNOs (s)
NaaS04 (s)
Oa (g)
0 (g)
O3 (g)
P (bílý)
P (červený)
Pí (g)
PCI3 (l)
PCls (g)
P4O9 (s)
P4OX0 (s, šestereč.)
PbCl2 (s)
PbO (s, červ.)
PbOz (s)
Pba04 (s)
PbS04 (8)
S (s, kosočtvereč.)
S (s, jednoklon.)
Ss (g)
H 2 SO4 (1)
H 2 SO4 (aq)
SOa (g)
SOs (g)
Si (s)
SiCU (1)
SÍH4 (g)
S 1O2 (křemen)
Sn (s, bílý)
Sn (s, šedý)
Sn (g)
SnCU (1)
SnOz (s)
Zn (s)
Zn (g)
ZnCla (s)
ZnC03 (s)
ZnO (s)
Z nS04 (s)
5®
J . mol“1 . K '1
P
AHf
kj . mol-1
AG\\
kj . mol-1
—392,2
—435,9
—391,2
—813,4
—492,71
— 1 433,7
—425,8
—641,6
—481,29
—520,03
0
472,704
—46,11
—314,4
— 1 180,9
— 173,2
—207,4
90,25
33,2
9,16
0
107,7
— 1 131
—4 082
—947,7
—411,0
—466,68
— 1 384,5
0
249,17
143
17,4
0
128,9
—320
—342
— 1 640
—2 940
—359,4
—219,0
—277,4
— 718,8
—919,94
0
0,3
101,2
—813,99
—909,27
—296,83
—395,7
0
—687,0
31
—910,94
0
- 2 ,1
302
— 511,3
—580,7
0
130,72
—415,1
—812,7
—348,3
— 982,8
—379,2
—408,3
—289,9
—713,8
—393,1
— 1 316,4
—379
—592,1
—440,53
—465,18
0
455,579
— 16,5
—203,0
—901,90
—79,91
— 111,3
86,57
51,30
97,82
0
77,32
— 1 048
96,44
82,68
143,0
171,7
132,9
176
78,87
89,62
118,2
53,05
191,5
153,19
192,3
94,6
220,0
155,6
146
210,65
240,0
304,2
51,46
153,6
136
52,3
51,3
—
—
96,27
131,2
64,89
71,38
72,93
54,14
29,12
20,79
35,1
84,1
187,5
—
86,6
29,84
37,2
77,28
28,2
20,8
111,0
—851,9
—384,0
-3 6 5 ,9
— 1 266,8
0
231,75
163
12,0
0
72,4
—272
—278
102
72,38
116,3
149,5
205,03
160,95
238,8
41,1
22,8
128,9
217
364,5
87,78
50,50
93,05
133,0
29,35
21,91
39,2
23,84
21,2
67,1
—
112,8
—2 675
- 3 ,1 4
— 189,2
—215
— 601,6
—813,20
0
0,1
49,16
—690,06
—744,62
. — 300,19
—371,9
0
—619,90
56,9
—856,67
0
0,1
267,3
—440,1
—519,7
0
95,178
—369,43
—731,57
—318,3
—874,4
228,9
135,6
66,5
71,80
212,1
148,6
31,9
33
430,20
156,9
20
248,1
256,6
18,8
240
204,5
41,84
51,55
44,14
168,38
259
52,3
41,6
160,87
108
82,4
43,64
128
211,7
77,07
45,77
61,17
154,9
103,2
22,59
24
156,1
138,9
290
39,9
50,67
20,0
145,3
42,84
44,43
27,0
25,0
21,26
165
52,59
25,4
20,79
67,53
79,71
40,3
114,3
0
J . m ol'1 . K"1
Vlastnosti
látek
145
O rg an ick é látky, A /í" - standardní molární spalná entalpie
Látka
AH°f
k j . mol"1
AG?
k j . mol-1
S°
J . mol-1 .K "1
— 166,3
—215,6
—247,6
31,6
19,0
110,2
— 126,1
- 0 ,1
—6,99
— 11,2
— 123,1
— 156,2
—273,2
— 165,2
— 124
—84,68
—454,8
— 234,4
—277,0
52,3
226,7
—479,0
—165,0
—224,4
— 198,8
10,8
—81,96
—74,85
—201,1
—239,0
— 134,5
—359,2
—424,7
15,9
—484,1
—891,6
— 146,4
— 173,1
—20,9
—28,1
—31,8
— 103,8
20,4
—510,7
—589,5
103,9
—827,2
— 133
— 132
12,0
—24,4
— 133,3
— 153,1
— 155,7
149,1
124,3
151,0
— 17,2
71,3
65,86
62,97
31,8
26,7
— 116,6
—79,62
—70,42
—32,8
—323,2
— 167,9
— 174,2
68,24
209,2
—332,7
—50,42
1,8
3,8
89,2
—58,45
—50,83
— 162,4
— 166,8
—20,9
— 184,7
—361,4
146,2
—390
—
- 8 ,4
264,2
294,9
200
191,3
173,3
278,7
310,1
305,6
300,8
296,5
298,2
204,3
253
208,5
179
229,1
167
282,6
161,0
219,2
200,8
259,4
144,0
326,0
296,1
209,2
234,2
186,3
239,7
127,2
294,6
192,9
129,0
224,2
161
—
348,9
79,12
71,84
69,9
—23,6
62,8
383,5
— 418,1
202,4
—697,9
— 63
—72
113,8
110,1
345,8
346,3
340,4
270,2
266,6
—
178
237,6
120
216,2
203
221,0
247,4
AH°c
k j .m ol 1
~'p
J.m o l-i . K J
f
Vlastnosti
látek
Acetaldehyd (g)
Aceton (g)
Aceton (1)
Anilin (1)
Benzen (1)
1,3-Butadien (g)
Butan (g)
1-Buten (g)
c/j-2-Buten (g)
trans-2-Buten (g)
Cyklohexan (g)
Cyklohexan (1)
Diethylether (1)
1,2-Dichlorethan (1)
Dichlormethan (1)
Ethan (g)
1,2-Ethandiol (1)
Ethanol (g)
Ethanol (1)
Ethen (g)
Ethin (g)
Ethylacetát (1)
Fenol (s)
Heptan (1)
Hexan fl)
Chlorbc.nzen (1)
Chlorrr.ethan (g)
Methan (g)
Methanol (g)
Methanol (1)
2-Methylpropan (g)
2-Methyl-2-propanol (1)
Mravenčí kyselina (1)
Nitrobenzen (1)
Octová kyselina (1)
Palmitová kyselina (s)
Pentan Cg)
Pentan (1)
1-Pen ten (g)
cjs-2-Penten (g)
íranj-2-Penten (g)
Propan (g)
Propen (g)
Propanová kyselina (1)
Salicylová kyselina (s)
Styren (1)
Šťavelová kyselina
Tetrachlormethan (1)
Trichlormethan (1)
Toluen (1)
/>-Xylen
146
—
— 1 180
—
— 1 790
—3 396
—3 268
—2 539
—2 874
—2 715
—2 708
—2 704
—3 853
—3 920
—2 727
— 1 112
—550
— 1 560
— 1 190
—
— 1 367
— 1 411
— 1 299
—2 246
—3 060
—4 811
—4 164
-t- 3 110
—687
—890,3
—
— 739
—2 860
— 2 645
—255
—3 107
—875
— 9 979
—3 536
—3 510
—3 351 (1)
—3 343 (1)
—3 339 (1)
—2 220
—2 052
— 1 527
—3 023
—4 390
—255
—258
—402
—3 911
—4 554
54,64
74,89
126,4
192,0
81,67
80,12
97,45
85,65
78,91
87,82
106,2
156
171
129
—
52,47
150
65,44
112
42,84
43,93
—
135
224,9
189,1
150
40,8
35,7
43,89
81,17
96,82
220,1
99,04
186
124
80,2
120
—
109,6
101,7
108,4
73,60
64,31
—
—
182,6
—
—
—
157,2
30 Délky, úhly a disociační entalpie vazeb v některých jednoduchých
m olekulách
d - délka vazby (rovnovážná vzdálenost atomových jader); a - vazebný úhel (úhel spojnic atomových jader);
H o - molární disociační entalpie vazby při 25 °C (užívá se též označení vazebná energie); p - elektrický
dipólový moment molekuly, prům. - průměrná hodnota pro daný typ vazby. Vazby v radikálech jsou uve­
deny v závorkách.
Molekula
H2
Na
Oa
F2
Cla
Bra
Ia
Molekula
d
pm
Hd
kj . mol-1
74,6
109,7
120,8
141,7
198,8
229,0
262,2
435,78
945,33
498,34
158,3
242,93
193,86
152,53
Tvar
d
pm
H t>
kj . mol"1
P
10-*® C . m
HF
HC1
HBr
HI
CO
NO
IC1
91,6
127,7
141,4
160,4
113
115
229
569,9
431,49
366,31
298,39
1 076,5
630,6
211
6,07
3,60
2,73
1,47
0,37
0,51
a
Vazba
0
oc=o
COa
CSa
NaO
lineární
lineární
lineární
—
HaO
lomený
105
H 2S
lomený
92
f 2o
CIO2
lomený
lomený
lomený
103
110
117
SO2
lomený
120
cuo
Molekula
—
SC=S
O N=N
N N =0
HO—H
(O -H )
HS—H
(S -H )
F—O—F prům.
Q —O—Cl prům.
OCl—O
(Cl—O)
d
pm
116,3
155,4
112,6
118,6
95,8
134
141
170
149
o s= o
143
(S = 0 )
0N =0
0 0 —0
HC—CH
HCC—H
119
128
120
106
Hv
kj . mol-1
P
10-*® C . m
532
500
481
167
499
428
381
353
190
205
250
272
552
522
305
0
0
—
6,14
3,23
—
2,60
5,44
1,05
0
0
NO 2
O3
C 2H 2
lomený
lomený
lineární
134
118
bf3
rovinný
120
Bn-F prům.
129
594
BCI3
rovinný
120
B—Cl prům.
172
393
0
143
454
0
SO3
rovinný
—
120
VI
S = 0 prům.
962
523
0
Vlastnosti
látek
Molekula
Tvar
a
O
d
pm
Hd
k j . mol-1
P
10-3° C . m
H aC =0
O H C -H
(OC—H)
HaN—H
(H N —H)
(NT-H)
123
106
102
732
370
127
435
377
356
4,90
Vazba
rovinný
HCH
HCO
125
117
NHa
jehlan
H NH
107
3
jehlan
HPH
93
P —-H prům.
142
330
1,93
PCU
P4
jehlan
tetraedr
C1PC1
PPP
100
60
P—Cl prům.
P—P prům.
204
221
328
210
2,60
0
CCU
CH 4
tetraedr
tetraedr
C1CC1
HCH
109,5
109,5
C—Cl prům.
CH 3—H
177
109
340
430
474
444
339
0
0
203
107
134
111
154
139
108
219
204
158
380
431
682
410
368
510
413
322
0
0
326
0
C H aO
ph
•
Vlastnosti
látek
(C H a — H )
(C H -H )
(C -H )
s íq 4
CH 2CH 2
C H aC H
tetraedr
rovinný
3
benzen
rovinný
PCU
trojboký
dvojjehlan
čtyřboký
dvojjehlan
SF„
148
CISiCl
HCH
HCC
HCH
109,5
116
122
109
CCC
HCC
C1PC1
120
120
120
90
90
FSF
SÍ--C1 prům.
C H 2CH —H
H 2C—CH 2
H 3CH 2C—H
H 3C—CHs
C—C prům.
H —C prům.
axiální
ekvatoriální
F jS —F
„V L
S—F prům.
318
0
0
0
31
H ustota, dynam ická viskozita, tep eln á vodivost, objem ová roztažnost
a povrchové napětí kapalin při 20 °C
£20 - hustota při 20 °C ; rj20 - dynamická viskozita při 20 °C ; A20 - součinitel tepelné vodivosti při 20 °C ;
/?20 - součinitel teplotní objemové roztažnosti při 20 °C ; cr2o - povrchové napětí při 20 °C
Kapalina
Aceton
Anilin
Benzín
Benzen
Diethylether
Ethanol
Glycerol
Glyceroltrinitrát
Chloroform
Kyselina dusičná
Kyselina mravenčí
Kyselina octová
Kyselina sírová
Methanol
Olej ricinový
Olej terpentýnový
Olej transformátorový
Petrolej
Rtuť
Sirouhlík
T etrachlormethan
Toluen
Voda
Vzorec
CsHeO
CoHjN
C oH b
C 4H 10O
C2H«0
C 3H 803
C 3H 509 N 3
CH C b
H N 03
C H 202
C 2H 402
H 2S 04
c h 4o
—
CioHia
—
—
Hg
CSz
CCLi
c 7h 8
H aO
£20
kg . m -3
790
1 022
700—750
877
714
789
1 261
1 593
1 483
1 527
1 220
1 049
1 840
791
960
855
866
760—860
13 546
1 263
1 594
867
998
,
»?20
10"3 Pa . s
0,33
4,43
0,53
0,65
0,24
1,20
1 480
—
0,58
0,91
1,78
—
25,4
0,58
987
1,49
31,6
—
1,55
0,31
0,97
0,59
1,00
W .m -i.K -1
(¡20
10-3 K -1
0,180
0,172
0,131
0,154
0,138
0,182
0,285
—
0,129
—
0,257
0,193
0,314
0,212
0,181
—
0,124
0,151
9,30
0,160
0,108
0,151
0,598
1,43
0,85
—
1,06
1,62
1,10
0,50
—
1,28
1,24
1,02
1,07
0,57
1,19
0,69
0,97
—
0,96
0,18
1,19
1,22
1,08
0,18
/.20
<720
IO- 3 N . m -1
23,3
40,5
—
29,1
16,4
22,0
62,5
—
26,5
—
37,8
28,0
—
22,7
36,4
27
—
27
491
33,8
25,9
28,4
73,0
Kapaliny
32 Z ávislost tlaku a hustoty sytých vodních p ar na tep lo tě
t - teplota; p - tlak; g - hustota
t
Kapaliny
t
P
e
t
P
10* Pa
g . m~3
X“
102 Pa
4,8
6,8
9,4
50
55
60
123,3
157,6
199,2
17,06
23,33
31,73
12,8
17,3
23,0
65
70
75
250,1
311,6
385,4
30
35
40
42,40
56,26
73,73
30,3
39,6
51,2
80
85
90
473,6
578,0
701,1
45
50
95,86
123,3
95
100
845,3
1 013,2
P
e
102 Pa
g . m~3
—50
—45
—40
0,039
0,069
0,124
0,038
0,067
0,117
0
5
10
6,106
8,666
12,27
—35
—30
—25
0,223
0,373
0,627
0,198
0,333
0,55
15
20
25
—20
— 15
— 10
1,027
1,653
2,600
0,88
1,38
2,14
—5
0
4,013
6,106
3,24
4,84
t
t
P
X
105 Pa
100
105
110
1,013
1,208
1,433
150
160
170
115
120
125
1,691
1,985
2,321
180
190
200
130
135
140
2,701
3,130
3,614
145
150
4,155
4,760
—
—
P
t
P
t
P
10» Pa
XT
105 Pa
XT
10« Pa
4,760
6,180
7,920
250
260
270
39,78
46,95
55,05
350
360
370
165,4
186,7
210,5
10,03
12,55
15,55
280
290
300
64,20
74,45
85,92
372
374
—
215,7
220,8
—
210
220
230
19,08
23,20
27,98
310
320
330
98,69
112,9
128,6
—
—
—
—
—
—
240
250
33,48
39,78
340
350
146,1
165,4
—
—
—
—
Teplota rosného bodu tT je teplota, při níž by byly vodní páry obsažené ve vzduchu právě syté. Zjistí se
měřením. Relativní vlhkost
kde ftr - hustota syté páry při teplotě tr rosného bodu, Qt - hustota syté páry při teplotě t vzduchu.
150
Kapaliny
33 Závislost tep lo ty
varu vody na tlaku
p - tlak; fv - teplota varu
Závislost lze přibližně vyjádřit
rovnicí číselných hodnot:
Í - 7 ‘,6 + 28.—
V rozmezí (0,9— 1,075) . 105 Pa
jsou odchylky od správné
hodnoty menší než 0,1 % .
96
0,90
0,92
0,94
34 T epelné konstanty kapalin
Kapaliny
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
10» Pa
Závislost teploty varu vody na tlaku.
tt - teplota tání; lt - měrné skupenské teplo tání; řv - teplota varu; /v - měrné skupenské teplo varu;
ík - kritická teplota; />k - kritický tlak;
- hustota v kritickém stavu; c^o - měrná tepelná kapacita při
20 °C. Údaje kromě kritických jsou udány při tlaku 10® Pa.
Tání
Látka
Aceton
Anilin
Benzín
Benzen
Diethylether
Ethanol
Glycerol
Glyceroltri nitrát
Chloroform
Kyselina
dusičná
Kyselina
mravenčí
Kyselina octová
Kyselina sírová
Methanol
Olej ricínový
Olej terpentýnový
Olej transfor­
mátorový
Petrolej
Rtuť
Sirouhlík
Tetrachlormethan
Toluen
Voda
152
Var
Kritický stav
V
O
ca
O
Vzorec
CaHeO
C«H7N
—
CgH»
C 4 H 10 O
CaH sO
CsHgOa
CsHisOsNa
CHCla
HNOa
h
ít
°C
k j . kg"1
—95,4
—6,0
—
5,5
— 116,3
— 117,3
18,6
13,2
—63,5
—41,6
96
113
—
127
100,5
105
200
96
80
40
Iv
tk
P*
k j . kg-1
°C
105 Pa
56,2
184,4
—
80,1
34,6
78,4
290
—
61,2
83
523
448
—
396
360
879
—
—
247
481
236
425,7
—
288,6
194
243
—
—
260
—
58,8
51,4
řv
_5č
e*
kg . m -3
tt
8
>— 1
47,1
35,6
61,8
—
—
53,8
—
252
—
—
305
265
280
—
—
496
—
2,16
2,06
2,09
1,74
2,33
2,47
2,43
—
—
—
2,18
56,0
—
—
—
—
351
—
—
—
—
2,03
1,38
2,47
1,93
1,80
0,97
1,72
CHjO*
8,4
276
100,7
494
CaH 4Oa
H aS 0 4
CH 4 O
—
CioHu
16,6
10,4
93,9
194
109
100
117,9
—
—
406
—
1 101
— 10
—
160
293
321,6
—
—
—
376
—
—
—
—
—
—
—
—
1,89
—
—
—38,8
— 110,1
—22,8
—
11,7
74
15,7
—
356,6
46,3
76,8
—
Hg
CSa
CCU
301
373
193
—
—
—
—
—
—
277
283
73,6
44,1
441
558
2,14
0,14
1,02
0.85
C7Hg
H aO
— 95
0,0
72
332,4
110,6
99,6
356
2257
40,8
221,3
315
—
—
64,7
—
320,6
374,15
—
1,68
4,18
35
Molární hm otnosti, norm ální hustoty a m ěrné plynové konstanty plynů
M m - molární hmotnost; gn - hustota při teplotě 0 °C a tlaku 105 Pa; r - měrná plynová konstanta,
r = RmIM m (R m - 8,314 4 J . m o l'* . K~i)
Látka
Acetylen
Amoniak
Argon
Bromovodík
Butan
Difluordichlormethan
Dimethylether
Dusík
Ethan
Ethen
Fluor
Fosfan (fosforovodík)
Helium
Chlor
Chlorovodík
Jodovodík
Krypton
Kyslík
Methan
Methylamin
Methylfluorid
Methylchlorid
Neon
Oxid dusnatý
Oxid dusný
Oxid siřičitý
Oxid uhelnatý
Oxid uhličitý
Ozon
Propan
Propen
Sulfan (sirovodík)
Vodík
Vzduch
Xenon
Vzorec
CaHa
3
Ar
HBr
C4 H 10
CF 2CI3
C2HeO
N2
C 2H«
C2H4
f2
PHs
He
CI2
HC1
HI
Kr
O2
ch4
c h 5n
c h 3f
c h 3q
Ne .
NO
N 2O
SOa
CO
nh
co 2
o3
CsHg
CsHo
HaS
Ha
—
Xe
Mm
g . mol-1
26,04
17,03
39,95
80,92
58,12
120,91
46,07
28,01
30,07
28,05
38,00
34,00
4,00
70,91
36,46
127,91
83,80
32,00
16,04
31,06
34,03
50,49
20,18
30,01
44,01
64,06
28,01
44,01
48,00
44,10
42,08
34,08
2,02
28,96
131,30
gn
r
kg . m-3
kj . kg~> . K -1
1,147
0,750
1,759
3,563
2,559
5,324
2,028
1,234
1,24
1,235
1,673
1,479
0,176 2
3,12
1,605
5,632
3,690
1,409
0,707
1,37
1,499
2,277
0,888
1,323
1,938
2,820
1,234
1,951
2,114
1,942
1,853
1,501
0,008 895
1,275 9
5,78
0,319 3
0,488 2
0,208 2
0,102 7
0,143 2
0,068 8
0,180 4
0,296 7
0,276 5
0,296 4
0,218 7
0,244 5
2,078 6
0,117 3
0,228 0
0,065 0
0,099 2
0,259 8
0,518 4
0,267 7
0,244 3
0,164 8
0,412 0
0,277 1
0,188 9
0,129 8
0,296 9
0,188 8
0,173 4
0,188 8
0,197 6
0,244 7
4,116 0
0,287 0
0,063 3
Plyny
153
36 Tepelné konstanty plynů
h - teplota tání při 105 Pa; řv - teplota varu při tlaku 105 Pa; fk - kritická teplota; p k - kritický tlak; ok - hustota v kritickém stavu;
cp - mérná tepelná kapacita při stálém tlaku při teplotě 15 °C; cPlcv - Poissonova konstanta; »/o - dynamická viskozita při 0 °C; ¿o - tepelná
vodivost při 0 °C
Látka
Acetylen
Amoniak
Argon
Dusík
Ethan
Ethen
Chlor
Chlorovodík
Kyslík
Methan
Oxid dusnatý
Oxid dusný
Oxid siřičitý
Oxid uhelnatý
Oxid uhličitý
Sulfan (sirovodík)
Vodík
Vzduch (bez CO 2)
Vzorec
C2H 2
NH3
Ar
Nj
C2He
C 2H 4
Cis
HC1
O2
CH 4
NO
N 2O
SO 2
CO
C0a
H2S
h2
tt
°c
—81
—77,7
— 189,2
—209,86
— 183,3
— 169
— 101
— 112
—218,4
— 182
— 163,6
— 90,8
—72,7
—199
—56,6
—85,5
—259,14
--
ty
"X
—83,8*)
—33,35
— 185,7
— 195,8
—88,6
— 103,9
—34,6
— 85,1
— 182,96
— 154
—151,8
—88,5
—10,0
—191
—78,5
—60,7
—252,9
— 193
ík
°C
36,3
132,35
-1 2 2 ,4 4
— 146,9
32,27
9,9
144
51,4
— 118,38
—82,1
—92,9
36,5
157,5
—140,2
31,04
100,4
—239,92
— 140,7
pk
10» p a
ßk
kg.m "3
62,42
112,77
48,64
33,98
48,84
51,17
77,11
88,58
50,80
46,41
65,46
72,60
78,82
34,96
73,81
90,08
12,97
38,50
231
235
530,8
311
203
227
573
423
410
162
520
459
524
301
468
348,8
31,02
Cp
kJ.k g -1.K _1
cv
cv
no
10~®Pa.s
1,604
2,190
0,525
1,037
1,616
1,504
0,481
0,812
0,912
2,212
0,975
0,893
0,635
1,038
0,833
1,060
14,189
1,005
1,26
1,310
1,668
1,404
1,22
1,225
1,355
1,41
1,401
1,31
M
1,303
1,29
1,404
1,304
1,32
1,41
1,40
9,35
9,18
20,96
17,07
8,48
9,07
12,97
13,85
18,9
10,26
17,8
13,5
11,58
16,6
13,9
11,66
8,35
17,1
*) Sublimuje.
I
¿0
lO -sW .m -í.K -1
—
21,8
16,24
23,78
18,0
16,54
7,2
—
23,86
30,14
19,26
14,78
—
22,69
13,90
12,0
174,2
24,28
37 Rozpustnost plynů ve vodě za norm álního tlaku
mr - hmotnost látky, která se rozpustí ve 100 g vody při tlaku 1,013 . 105 Pa; t - teplota
t
^C
20
0
m,
Plyn
Acetylen
Amoniak
Dusík
Ethan
Ethen
Helium
Chlor
Chlorovodík
Kyslík
Methan
Oxid dusnatý
Oxid uhelnatý
Oxid uhličitý
Oxid siřičitý
Sulfan (sirovodík)
Vodík
50
0,117
52,9
0,001 90
0,006 20
0,014 9
0,000 174
0,729
72,1
0,004 34
0,002 32
0,006 17
0,002 84
0,169
11,28
0,385
0,000 160
0,200
89,5
0,002 94
0,013 2
0,028 1
—
1,46
84,5
0,006 95
0,003 95
0,009 83
0,004 40
0,335
22,83
0,707
0,000 192
CaHa
NHs
Na
CaH«
CaH4
He
Cla
HC1
Oa
CH4
NO
CO
COa
SOa
HaS
Ha
_
23,5
0,001 22
0,002 94
0,001 18 (30 °C)
0,000 169
0,393
59,6
0,002 66
0,001 36
0,003 76
0,001 8
0,076 1
5,41 (40 °C)
0,188
0,000 129
38 S třed n í volná dráha m olekul a jiné konstanty plynů
r] - dynamická viskozita; d - průměr molekuly; A - střední volná dráha molekul; z - počet srážek za jed­
notku času
při 0 °C a 1,1013 . 105 Pa
Plyn
Argon
Dusík
Ethen
Helium
Kyslík
Methan
Oxid dusný
Oxid uhelnatý
Oxid uhličitý
Vodík
Ar
N*
CaH4
He
Oa
ch4
NaO
CO
COa
Ha
V
10-« P a . s
d
nra
A
nm
z
109 s-1
20,96
17,07
9,07
18,73
18,9
10,26
13,5
16,6
13,9
8,35
0,368
0,378
0,502
0,218
0,364
0,418
0,470
0,378
0,466
0,274
6,2
5,9
3,3
17,5
6,3
4,8
3,8
5,9
3,9
11,1
6,1
7,8
13,7
6,9
6,7
12,6
9,5
7,8
9,4
15,3
155
Plyny
39
Střední kvadratická rychlost pohybu molekul plynů
í-te p lo ta ; T - termodynamická teplota; R„, - molární plynová konstanta; Rm = 8,314 4 ] . m o l'1 K ! ;
M m - molární hmotnost (kg . mol l);
- střední kvadratická (efektivní) rychlost pohybu molekul plynu;
v - průměrná rychlost pohybu molekul plynu; w - nejpravděpodobnější rychlost pohybu molekul plynu,
H/5
-V
3 RmT
v ■=
w
t
— 100
“sc
y
i
«
8
3t í
0
Plyny
156
300
500
715
1 892
449
667
715
570
546
2 666
703
331
828
2 192
521
774
828
660
634
3 090
815
383
100
1 000
v*
Plyn
Dusík
Helium
Chlor
Kyslík
Oxid uhelnatý
Oxid uhličitý
Ozon
Vodík
Vzduch
Xenon
0 ,8 1 6 v k,
m . s~l
N2
He
Cl2
o2
CO
C 02
o3
h2
—
Xe
394
1 041
248
369
394
314
302
1 471
388
182
493
1 305
310
461
493
393
377
1 839
485
228
577
1 527
363
539
577
460
441
2152
567
267
1 065
2 828
669
995
1 065
849
814
3 970
1047
492
40
Vzduch
a) Hustota suchého vzduchu
Hustota suchého vzduchu q při tlaku p a teplotě t se určí z výrazu
g==
.eo...
jp _ .
l + yt po
oo = 1,276 kg . m -3; p0 = 105 Pa; y = 0,003 66 K "1
b) Složeni atmosférického vzduchu
<p- objemový zlomek; w - hmotnostní zlomek
Plyn
Ní
o2
Ar
CO*
Hj
9
78,03
20,99
0,933
0,030
0,000 05
75,47
23,20
1,28
0,046
0,001
%
tu
%~
He
Kr
X,
0,001 8
0,000 5
0,000 1
0,000 009
0,001 2
0,000 07
0,000 3
0,000 04
Ne
c) Tlak, teplota a hustota vzduchu v různých výškách
h - nadmořská výška; p - tlak; t - teplota;
q - hustota vzduchu při tlaku
p a teplotě t
V levé části tabulky je uvedena závislost těchto veličin na nadmořské výšce s tím, že ve výšce 0 m n. m.
je t = 15 °C, p = p o — 105 Pa. Pokles teploty s výškou se považuje až do výše 11 km za stálý (dtjdh =
= —0,006 5 K . m -1). Pak platí ( T0 = 273,15 K ):
, dř
h
\5'225
P ~ p0 \ + ďh - T0 + t)
Pravá část tabulky slouží k informativnímu zjištění nadmořské výšky ze změřeného tlaku. Tabulka vy­
chází z předpokladu, že tlak u mořské hladiny je 1 000 hPa. Je-li tlak vzduchu u mořské hladiny v ob­
vyklých mezích, nebudou odchylky z tabulek odečtené výšky zpravidla větší než 2 % . Odpovídající
přibližnou výšku najdeme lineární interpolací.
h
P
t
m
hPa
*č
É?
kg . m-3
0
100
200
500
1 000
1 500
2 000
2 500
3 000
3 500
4000
4 500
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
11 000
1 000
988,2
976,5
942,1
886,9
834,6
784,5
737,1
691,8
649,0
608,2
569,7
533,0
465,6
405,1
351,1
303,3
260,7
223,2
15,00
14,35
13,70
11,75
8,50
5,25
2,00
— 1,25
— 4,50
— 7,75
— 11,00
— 14,25
— 17,50
— 24,00
— 30,50
— 37,00
— 43,50
— 50,00
— 56,50
1,210
1,198
1,184
1,153
1,098
1,045
0,994
0,945
0,898
0,852
0,809
0,770
0,727
0,651
0,582
0,518
0,460
0,407
0,359
P
h
hPa
m
1 000
950
900
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
0
431
880
1 349
1 842
2 359
2 907
3 487
4 104
4 764
5 475
6 247
7 090
8 024
9 073
10 274
11 686
-
157
Plyny
d) Redukce tlaku vzduchu na mořskou hladinu
h - nadmořská výška; t - teplota; p - měřený tlak; po - tlak ve výšce 0 m n. m.;
T - termodynamická teplota; r - měrná plynová konstanta vzduchu ( r =
g
- tíhové zrychlení;
) , r = 287 J . kg- 1 . K '1
\
Tlak vzduchu po ve výšce 0 m n. m. při dané teplotě určíme z výrazu
gh
po — p{ 1 + £)>
Plyny
kde
k = e rT — 1.
Příklad: Ve výšce 420 m při teplotě 20 °C je tlak 950 hPa. Příslušný tlak při mořské hladině při téže teplotě
je po = 950 (1 + 0,050 2) hPa = 998 hPa.
t
X"
— 30
— 20
— 10
0
20
30
40
h
W
h
m
158
10
20
40
60
2,8
5,6
8,5
2,7
5,4
8,1
2,6
5,2
7,9
2,5
5,0
7,6
2,4
4,8
7,3
2,3
4,7
7,0
2,3
4,5
6,8
2,2
4,4
6,6
80
100
120
11,3
14,1
17,0
10,9
13,6
16,4
10,5
13,1
15,8
10,1
12,6
15,2
9,7
12,1
14,6
9,4
11,7
14,1
9,0
11,3
13,6
8,7
10,9
13,1
140
160
180
19,9
22,8
25,7
19,1
21,9
24,7
18,4
21,1
23,7
17,7
20,3
22,8
17,0
19,5
21,9
16,5
18,8
21,2
15,9
18,1
20,4
15,4
17,6
19,9
200
220
240
28,6
31,5
34,4
27,4
30,2
33,0
26,4
29,1
31,7
25,4
28,0
30,6
24,4
26,9
29,4
23,6
26,0
28,4
22,7
25,0
27,3
22,1
24,4
26,6
260
280
300
37,3
40,2
43,1
35,7
38,5
41,3
34,4
37,1
39,7
33,1
35,7
38,3
31,9
34,4
36,9
30,8
33,2
35,6
29,6
32,0
34,4
28,9
31,1
33,4
320
340
360
46,0
49,0
51,9
44,1
47,0
49,8
42,4
45,1
47,9
40,9
43,5
46,1
39,4
41,9
44,4
38,0
40,4
41,8
36,7
39,1
41,4
35,7
37,9
40,2
380
400
420
54,8
57,8
60,8
52,6
55,5
58,4
50,6
53,3
56,0
48,7
51,3
53,9
47,0
49,5
52,0
45,3
47,7
50,2
43,7
46,1
48,5
42,4
44,7
47,0
440
460
480
63,8
66,8
69,8
61,2
64,1
67,0
58,8
61,5
64,3
56,6
59,2
61,8
54,6
57,1
59,6
52,6
55,1
57,5
50,8
53,2
55,5
49,3
51,5
53,8
500
72,8
69,8
67,1
64,5
62,2
60,0
57,9
56,1
41
Rychlost šíření zvuku v různých látkách
v - rychlost šíření zvuku. Není-li uvedena teplota, jde o rychlost při běžných teplotách (okolo 20 °C).
Látka
Oxid uhličitý
Kyslík
Vzduch 0 °C
Dusík
Vzduch 20 °C
Vodní pára
Svítiplyn
Helium
Vodík
Diethylether
Benzín
Methanol
Rtuť
Voda 4 °C
Voda 13 °C
Voda 25 °C
v
m . s-1
260
317
331
336
343
405
453
971
1 270
1 020
1 170
1 240
1 400
1 400
1 410
1 500
Látka
Mořská voda
Kaučuk
Korek
Olovo
Ebonit
Beton
Stříbro
Platina
Led
Mosaz
Dřevo bukové, dubové
Méd
Cihly
Ocel
Hliník
Sklo
v
m . s-1
1 500
40
5u0
1 300
1 570
1 700
2 700
2 800
3 200
3 400
3 400
3 500
3 600
5 000
5 100
5 200
Závislost rychlosti šíření zvuku ve vzduchu na teplotě
Zvuk
159
42
Přehled hladin akustického tlaku
L - hladina akustického tlaku; p - akustický tlak; po - prahový akustický tlak, po = 2 . 10~5 P a;
L = 20 log —
Po
L
Druh zvuku
dB
práh slyšení
šumění listů při slabém větru
klidná zahrada
šepot, velmi tichý byt a velmi tichá ulice
relativní dcho v obsazeném hledišti kina (divadla)
malý šum v bytě
obvyklá mluva, živá ulice
hluk v kancelářích a obchodech
reprodukovaná hudba v uzavřené místností
hluk v autech, tramvajích a železničních vozech
strojovna, hlučný hostinec, živější ulice, potlesk v sále
velmi silná reprodukovaná hudba, velmi živé ulice, podzemní dráha
velký orchestr
hluk v kabině letadla
nýtování, nejsilnější signál auta ve vzdálenosti 7 m, motocykl bez tlumiče
kovárna kotlů (pneumatická kladiva)
hluk letadla ve vzdálenosti asi 20 metrů
práh bolesti
0
10
20
30
30— 35
40
40— 60
40— 70
40— 80
50— 80
70
80
20—80
80— 100
100
110
120
130
Zvuk
43
Tem perované ladění
/ - kmitočet; a1 ^ 440,00 Hz
Oktáva
Ca
Ci
C
c
g
gis, as
a
ais, b
h
160
ca
c3
c4
1 046,50
1 108,73
1 174,66
1 244,51
1 318,51
1 396,91
1 479,98
1 567,98
1 661,22
1 760,00
1 864,65
1 975,53
2 093,00
2 217,46
2 349,31
2 489,01
2 637,02
2 793,82
2 959,95
3 135,95
3 322,43
3 520,00
3 729,30
3 951,06
/
Hz
Tón
c
cis, des
d
dis, es
e
f
fis, ges
c1
16,35
17,32
18,35
19,45
20,60
21,83
23,13
24,50
25,96
27,50
29,14
30,87
32,70
34,64
36,71
38,89
41,20
43,65
46,25
49,00
51,92
55,00
58,27
61,74
65,41
69,29
73,42
77,78
82,40
87,31
92,50
98,00
103,83
110,00
116,54
123,47
130,81
138,59
146,84
155,56
164,81
174,61
185,00
196,00
207,65
220,00
233,08
246,94
261,62
277,18
293,67
311,13
329,63
349,23
369,99
392,00
415,30
440,00
466,16
493,88
523,25
554,37
587,33
622,25
659,25
698,46
739,98
783,99
830,61
880,00
932,33
987,77
44
Součinitelé smykového třen í
fo - součinitel smykového třem, začíná-li pohyb z klidu; / - součinitel smykového tření v pohybu
Látka
/o
Ocel na oceli, suchá
Ocel na bronzi, suchá
Ocel na bronzi, dobře mazáno
Ocel na dřevě (průměrně)
Dřevo na dřevě (průměrně)
Kůže na kovu
Kožený řemen na litině
Kožený řemen na dřevě
Ocel na ledě
Dřevo na ledě nebo sněhu
Pryž (pneumatika) na náledí
Pryž na mokrém asfaltu
Pryž na suchém asfaltu
Pryž na dlažbě (velké kostky)
Pryž na dlažbě (malé kostky)
Pryž na betonu
45
/
0,10
0,16
0,01
0,35
0,30
0,25
0,28
0,27
0,027
0,035
—
—
—
—
—
—
0,15
0,18
0,1
0,55
0,65
0,60
0,56
0,47
—
—
0,1— 0,2
0,2— 0,5
0,55
0,6
0,6—0,7
0,7— 0,8
Ram ena valivého odporu
Ft - síla působící proti pohybu; r - poloměr kola; F n - tlaková síla kola na podložku; £ - rameno valivého
odporu
rF t = f F n
Látka
Tvrdé dřevo na tvrdém dřevu
Měkká ocel na měkké oceli
Tvrdá ocel na tvrdé oceli
Kalené kuličky na kalených kroužcích
Pryžová kola na kamenné dlažbě
Pryžová kola na válcované silnici
Pryžová kola na asfaltu
Ocelová kola na kolejnicích
Kolo s ocelovými obručemi na asfaltové vozovce
Kolo na dlážděné vozovce
Kolo na štěrkové vozovce
í
Tření
mm
0,8
0,5
0,03
0,01
2,5
2
1,6
0,5
5
10
15— 60
161
46
Měrný elektrický odpor vodičů
qo - měrný elektrický odpor vodičů při 0 °C; a - teplotní součinitel elektrického odporu
Měrný elektrický odpor v ¡xQ . m = Q.. mm2 . m_1 má stejnou číselnou hodnotu jako odpor drátu délky
1 m a průřezu 1 mm2. U kovů, jejichž a ^ 0,004 K “1 se zvětšuje odpor o 10 % při zvětšení teploty o 25 °C.
Látka
Bronz
Cekas (15 % Fe, 65 % Ni, 20 % Cr)
Qn
Hliník
Hořčík
Chróranikl (20 % Cr, 80 % Ni)
Iridium
Kadmium
Kanthal (72 % Fe, 5 % AI, 20 % Cr, 3 % Co)
Kobalt
Konstantan
Manganin (86 % Cu, 12 % Mn, 2 % Ni)
Měď
Molybden
Mosaz
Nikclin (54 % Cu, 26 % Ni, 20 % Zn)
Nikl
Olovo
Platina
Platinrhodium (10 % Rh)
Rtuť
Stříbro
Tantal
Uhlíkové vlákno
Wolfram
Zinek
Ocel měkká
Litina
Transformátorový plech (4 % Si)
Elektřina
a magne­
tismus
162
eo
a
ixíl . m
1 0 -3 K - i
0,17
1,13
0,17
0,027
0,044
1,1
0,053
0,073
1,4
0,06
0,50
0,42
0,018
0,05
0,08
0,38— 0,42
0,07
0,21
0,105
0,2
0,958
0,016
0,14
60
0,053
0,06
0,1 — 0,2
0,6— 1,5
0,5
2
0,4
4,7
4,0
4,0
0,18
4,1
4,0
0,06
6,0
0,05
0,02
4,0
4,7
1,5
0,18
5,8
3,9
3,6
1,7
0,9
3,8
3,2
— 0 ,2 ------ 0,8
4,4
3,8
5
1,9
0,9
47
Elektrické vlastnosti izolantů
er - poměrná permitívita; q-m ěrný elektrický odpor; E p-elektrická pevnost (1 kV . mm*1 = 10® V . m _1)
Látka
Bakelit
Dusík
Ebonit
Ethanol
Fíbr
Glycerol
Jantar
Kalafuna
Keramika umělá
Kyslík
Methanol
Mikanit
Mramor
Olej olivový
Olej transformátorový
Parafín
Papír parafinovaný
Papír tvrzený
Petrolej
Polystyren (trolitul)
Polyvinylchlorid
Porcelán
Sklo
Slída
Terpentýn
Voda
Vodík
Vzduch (suchý)
6r
4 ,8 - 5 ,3
1,000 61
2 ,5 - 3 ,5
24
3
43
2,8
2,6
až 100
1,00 55
34
4,5— 6
8,5
3,1
2,2
2,0— 2,2
3,5— 6
3 ,5 -5
2,1
2,3—2,5
3 ,4 - 4 ,0
6
5 — 16
5 —8
2 ,1 - 2 ,3
81,6
1,000 26
1,000 60
e
Ev
n .m
k V . mm-1
10»
10
—
35
—
2
málo
6
7
10
—
—
30
2
17
25
30
30
25
—
50
45
30
15
70
16
—
1013— 10«
—
10«— 10«
—
>10«
10«
1010— 1013
—
—
10«
107— 10»
—
—
10«— 10«
10«
1010— 1012
—
>10«
>10«
10«
1011— 10«
1 0 « — 10«
—
—
—
—
—
—
3
Elektřina
a magne­
tismus
163
P om ěrn é p erm itiv ity (při 18 °C a 105 Pa)
Pevné látky
Břidlice
Dřevo (suché)
Gutaperča
Kamenná sůl
Kaučuk
Křemen
Mastek
Mycalex
Papír
Parafín
Porcelán
Sklo obyčejné
Skla optická
Slída
Šelak
48
Bt
6 ,6 — 7,4
2— 8
4,4
5,6
2 ,2 — 3
4,4
4 ,1 -6 ,4
8,0
2 — 2,5
2
6
5— 7
až 10
6— 8
3 — 3,7
Kapaliny
Benzen
Ethanol
Ethylether
Glycerol
Chloroform
Kyselina mravenčí
Methanol
Nitrobenzen
Petrolej
Ricínový olej
Sirouhlík
Terpentýnový olej
Voda
£r
2,3
24
4,4
43
5,2
58
34
36,4
2,0
4,6
2,6
2,3
81
Plyny
Dusík
Amoniak
Ethylen
Ethylchlorid
Helium
Chlorovodík
Kyslík
Methan
Oxid siřičitý
Oxid uhelnatý
Oxid uhličitý
Vodík
Vzduch
Er
1,000
1,007
1,001
1,014
1,000
1,003
1,000
1,000
1,009
1,000
1,000
1,000
1,000
61
2
45
7
07
55
94
5
69
96
26
60
T erm o elek tro m o to rick á napětí
Elektromotorická napětí Ue termočlánků, jejichž druhý vodič je platinový, při teplotách stykových míst
0 °C a 100 °C. (Znaménko + značí, že u teplejšího spoje má platina vyšší potenciál.) Elektromotorické
napětí termočlánku ze dvou různých vodičů při teplotách spojů 0 °Ca 100 °C dostaneme jako rozdíl hodnot
uvedených v tabulce.
-
Příklad: Termočlánek Fe-Cu: 1,8 mV - 0,75 mV = 1,05 mV; termočlánek Fe - konstantan: 1,8 mV —
( - 3 , 4 mV) = 5,2 mV.
Kov
Elektřina
a magne­
tismus
Křemík
Antimon
Železo
Molybden
Kadmium
Wolfram
Méd
Zlato
Stříbro
Zinek
164
mV
+45
+ 4,7
+ 1,8
+ 1,2
+ 0,9
+ 0,8
+ 0,75
+ 0,7
+ 0,7
+ 0,7
Kov
Rhodium
Iridium
Manganin
Tantal
Cesium
Cín
Olovo
Hořčík
Hliník
Uhlík
Ue
mV
+ 0,65
+ 0 ,6 5
+ 0 ,6
+ 0 ,5
+ 0 ,5
+ 0,45
+ 0,45
+ 0 ,4
+ 0,4
+ 0 ,3
Kov
Grafit
Rtuť
Platina
Sodík
Palladium
Draslík
Nikl
Kobalt
Konstantan
Bismut
Ue
mV
+ 0,2
0,0
0,0
— 0,2
- 0 ,3
- 0 ,9
-1
-1
-3
-7
,5
,6
,4
,0
49
Polovodivé prvky a látky
ít - teplota tání; //n - pohyblivost elektronů; //p - pohyblivost děr; Ee - šířka zakázaného pásu při 20 °C
Prvky
nebo sloučeniny
Skupina
Es
řt
°C
cm 2 . V - 1 . s~l
/*P
cm 2 . V- 1 . s-1
eV
/¿a
Si
Ge
C
IV
1 420
936
3 500
1 800
3 800
1 800
600
1 800
1 200
1,1
0,65
5,2
GaP
GaAs
InSb
AIUBV
1 4o7
i 240
523
2 500
7 000
80 000
1 000
400
4 000
2,3
1,4
0,17
An B VI
1 850
1 000
1 475
1 250
1 040
165
100
200
200
600
ZnS
ZnSe
CdS
CdSe
C dTc
50
3,7
2,6
20
2,4
1,8
100
1,4
E lektrochem ické ekvivalenty
A - elektrochemický ekvivalent; m - hmotnost vyloučené látky; Q - prošlý náboj; A = —
Látka
Baryum
Bismut
Cín
Cín
Draslík
Hliník
Hořčík
Chrom
Mangan
Mangan
M čd
Nikl
Nikl
Olovo
Platina
A
Ion
10-« k g . c -i
Ba2+
Bi3+
Sn2+
Sn4+
K+
AP+
0,712
0,722
0,615
0,308
0,405
0,093
0,126
0,180
0,285
0,190
0,329
0,304
0,203
1,074
0,505
M g2+
C r3+
M n2+
M n3+
Cu2+
Ni2+
Nis+
P b 2+
Pť>+
Látka
Rtuť
Sodík
Stříbro
Vápník
Vodík
Zinek
Zlato
Železo
Železo
Brom
Fluor
Chlor
Kyslík
A
Ion
ÍO-« kg . c -i
H g+
Na+
Ag+
C a2+
H+
Zn2+
Au3+
F e 2t
F e 3+
B rF"
c io 2-
2,079
0,233
1,118
0,208
0,010
0,339
0,681
0,289
0,193
0,828
0,197
0,367
0,083
Elektřina
a magne­
tismus
165
Proud 1 A vyloučí nebo rozloží
Za
dobu
1
1
1
1
s
min
h
d
51
cm 3 při 0 °C a 1,013 Pa
mg
Cu
Ag
1,1 &8
67,08
4 024,8
96 595,2
H zO
0,329 4
19,764
I 185,84
28 460,2
0,093 34
5,600 4
336,026
8 064,62
E°
Elektroda
V
E lek tro d y
p rvn íh o d ru h u
L i+ |Li
K + |K
Ba2+ j Ba
Ca2+ |Ca
Na+ |Na
Mg2+ |Mg
B c2+ |Be
Al3+ |AI
M n2+ |Mn
C r2+ |C r
Zn2+ |Zn
C r3+ |Cr
F e 2+ |Fe
Cd2+ |Cd
Co2+ |Co
Ni2+ |Ni
Sn2+ | Sn
Pb2+ i Pb
H + |H a(g)
Cu2+ |Cu
O H - |Oj (g)
I “ |I 2
Hg|+ |Hg
Ag+ |Ag
Hg2+ |Hg
B r - |B r (1)
a-icufe)
Au3+ |Au
F - 1 Fa (g)
166
0,174 2
10,454
627,26
15 054,2
O2
Ha
0,058 02
3,481 3
208,88
5 013,1
0,116 22
6,973 0
418,38
10 041,2
Standardní elektrodové potenciály při 25 °C vztahující se ke standardní
vodíkové elektrodě
Elektroda
Elektřina
a magne­
tismus
O 2 4" 2 H2
— 3,040
— 2,931
— 2,912
— 2,868
— 2,71
— 2,372
— 1,847
— 1,662
— 1,185
— 0,913
— 0,761
— 0,744
— 0,447
— 0,403
— 0,28
— 0,257
— 0,137
— 0,126
1
8
0
5
2
0,000 0
0,341 9
0,401
0,535 5
0,797 3
0,799 6
0,851
1,066
1,358 27
1,498
2,866
E°
V
E lek tro d y d ru h éh o druhu
SOJ - |PbSO j(s), Pb
— 0,358 8
I - |Agl(s), Ag
— 0,152 24
— 0,040 5
I - |Hgala(s), Hg
0,071 33
B r - |AgBr(s), Ag
0,123
O H - |HgO(s), Hg
B r - |Hg2B r2(s), Hg
0,139 23
0,222 33
C l- |AgCl(s), Ag
0,268 08
C l- |HgaClaís), Hg
0,612 5
SO4- |HgaS0 4 (s), Hg
1,691 3
S 0| -| P b S 04(s),
PbOa-Pb(s)
O xid ačn ě red u k čn í elek trod y
— 0,407
C r3+ |C r2+
S4OŽ- |SaO^0,08
Sn4+ |Sn2+
0,151
B rO - |B r0,761
F e 3f |F e 2+
0,771
0,920
Hg2- |Hg|+
1,232
C raO f- |Cr3)ClO j |c i 1,389
1,451
CIO5 i c i 1,455
P b 0 2 |Pb2+
1,507
M nOí |M n2+
1,541 5
M n3+ |M n2+
1,61
Ce4+ |Ce3+
1,776
HaOa |HaO
2,010
S2O2- | s o | P o ten ciál s ro v n á v a cí kalom elové
elek trod y
0,280 0
1 molální KC1
1 molární KC1
0,280 1
0,1 molární KC1
0,333 7
0,241 2
nasycený KC1
nasycený NaCl
0,236 0
52
Měrný elektrický odpor vodných roztoků při 18 °C
\v - hmotnostní zlomek (hmotnost bezvodé soli/hmotnost výsledného roztoku); q - měrný elektrický
odpor při teplotě 18 °C
Látka
NHUCl
NaCl
C u SO í
ZnSOj
NaOH
H 2S O 1
0,058
0,032
0,024
0,020
0,019
0,051
0,032
0,029
0,030
0,037
0,048
0,026
0,018
0,015
0,014
_6 _
w
ÍJ . m
"%
5
10
15
20
25
KOH
0,149
0,083
0,061
0,051
0,047
0,109
0,056
0,039
0,030
0,025
0,529
0,313
0,238
0,524
0,312
0,241
0,213
0,208
—
—
Qn,o = 2,27 . 105 £1 . m (měrný elektrický odpor čisté vody při 18 °C)
53
Závislost m agnetické indukce a pom ěrné perm eability
na intenzitě m agnetického pole
H - intenzita magnetického pole; B - magnetická indukce; //r - poměrná permeabilita; fio - permeabilita
vakua, ¡aq — A t . . 10-7 H . m _i
Magnetická indukce ve feromagnetickém prostředí není lineární funkcí elektrického proudu, který pole
vytváří. Místo proudu se uvádí jako nezávisle proměnná veličina intenzita magnetického pole, která se
např. u dlouhého solenoidu v homogenním prostředí určí z výrazu H — N I // (N - celkový počet závitů,
/ - proud, /- délka solenoidu). Tabulka uvádí příklad závislosti B na H pro některé látky.
B
^ ~ fio H *
B
Heuslerova slitina*)
Co
Ni
Fe
H
A . m -1
B
B
B
~T
flr
T
fii
T
/‘ r
T
80
120
200
0,580
0,750
0,920
5 800
5 000
3 680
0,065
0,135
0,280
650
900
1 120
__
—
0,021
—
—
84
—
—
0,012
—
—
48
400
800
1 600
1,100
1,230
1,345
2 200
1 230
673
0,433
0,494
0,540
865
494
270
0,057
0,170
0,340
114
170
170
0,040
0,072
0,107
80
72
54
4 000
8 000
12 000
1,485
1,600
1,686
297
160
112
0,585
0,620
0,640
117
62
43
0,596
0,784
0,900
119
78
60
0,154
0,197
0,225
31
20
15
24 000
40 000
80 000
1,840
1,920
2,000
61,3
38,4
20,0
0,670
0,691
0,737
22
14
7,4
—
—
—
—
—
—
0,280
0,312
0,367
9,3
6,2
3,7
160 000
240 000
320 000
2,106
2,210
2,313
10,5
7,4
5,8
0,840
0,938
1,040
4,2
3,1
2,6
—
—
—
—
—
0,471
0,575
0,678
2,4
1,9
1,7
400 000
480 000
2,412
2,513
4,8
4,2
—
—
—
—
—
—
0,779
0,879
1,6
1,5
—
—
—
(ir
Elektřina
a magne­
tismus
*) 75,5 % Cu + 14,25 % Mn + 10,25 % AI.
167
54
M agnetické perm eability neferom agnetických látek
fiT - poměrná permeabilita; xm - magnetická susceptibilita; při t — 20 °C, u plynů za normálních podmínek
_ , ,
fir — 1 +
Kra
Látka
Argon
Baryum
Benzen
Bismut
Cín
Dusík
Hliník
Chrom
Iridium
55
y.m
Látka
io-«
— 0,011
+
7,1
— 8,0
— 170
+
2,3
— 0,007
+ 22
+320
+ 40
Xm
Látka
10^
— 20
+ 1,85
+
3,4
+ 810
8,9
+
0,82
— 0,01
— 17
+ 280
Kadmium
Kyslík
Lithium
Mangan
M éd
Olovo
Oxid dusný
Oxid dusnatý
Platina
Rtuť
Síra
Stříbro
Tantal
Vápník
Voda
Vodík
Vzduch
Zinek
Zlato
y.m
T(F»
— 31
— 12
— 26
+ 180
+ 22
— 9
— 0,002
+
0,38
- 14
- 37
Přehled televizních pásem
K - číslo kanálu; /o - nosný kmitočet obrazu; /z - nosný kmitočet zvuku. Ve světě se užívá celá řada růz­
ných norem. Uvádíme pouze normu D, užívanou v zemích sdružených v O IR T a normu B, užívanou
v zemích sdružených v CCIR.
Norma D: Bulharsko, Čína, Č SSR , Madarsko, Mongolsko, Polsko, Rumunsko, SSSR .
Norma B: Austrálie, Dánsko, Holandsko, Itálie, Jugoslávie, Norsko, NDR, NSR, Rakousko, Švédsko,
Švýcarsko, Španělsko, Turecko a další.
Kmitočtový rozsah kanálu začíná u obou norem 1,25 MHz pod /o a končí 0,25 MHz nad /2, např. u 2. ka­
nálu O IR T je (58—66) MHz. Šířka kanálu je u normy D 8 MHz, u normy B 7 MHz.
Norma D (O IR T )
Pásmo
K
I
II
Záření
III
168
fz
M Hz
_
_
56,25
65,75
—
49,75
59,25
—
3
4
5
77,25
85,25
93,25
83,75
91,75
99,75
6
7
8
9
10
11
12
—
175,25
183,25
191,25
199,25
207,25
215,25
223,25
—
181,75
189,75
197,75
205,75
213,75
221,75
229,75
—
—
1
2
Elektřina
a magne­
tismus
/o
M Hz
Norma B (CC IR)
—
K
1
2
3
4
fo
MHz
/i
MHz
41,25
48,25
55,25
62,25
46,75
53,75
60,75
67,75
_
_
_
—
—
—
—
—
—
5
6
7
8
9
10
11
12
175,25
182,25
189,25
196,25
203,25
210,25
217,25
224,25
180,75
187,75
194,75
201,75
208,75
215,75
222,75
229,75
IV. pásmo začíná kanálem 21 (/o = 471,25 MHz). V. pásmo začíná kanálem 38 (/o = 607,25 MHz) a končí
kanálem 69. Odstup mezi kanály je u obou norem 8 MHz a nosný kmitočet obrazu se určí ze vztahu:
= 463,25 + 8 . (K —20)
Nosný kmitočet zvuku je v zemích užívajících normu D 6,5 MHz nad obrazovým, v zemích s normou B
jen 5,5 MHz nad obrazovým.
56
Přehled elektrom agn etického záření
/ - kmitočet; X - vlnová délka ve vzduchu
A/ = c == 3 . 108 m . s_1
/
Hz
Název
Technické střídavé proudy
Střídavé proudy při telefonii
Radiové vlny
Dlouhé vlny
Střední vlny
Krátké vlny
Velmi krátké vlny
Mikrovlny
Optické záření
Infračervené záření
Viditelné záření
Střední červená
Střední oranž
Střední žlutá
Střední zelená
Střední modrá
Střední fialová
Ultrafialové záření
Rentgenové záření
Záření gama
A
16 — 102
10* _ 104
1,5
0,5
0,6
0,2
3
.
.
.
.
.
104 _
1013
10»
10«
10’
10«
10«
3 . 105
2 . 10«
2 . 107
3 . 10«
1013
—
—
—
—
—
10i2 — 3 . 101«
3 )g . 1Q14
1012 _
3,8 . 1 0 « —
4,6 .
5.
5 ,2 .
5,75 .
6,7 .
7,5 .
7,7 . 10»4 —
7,7 . 1014
1014
1014
10“
1014
1014
10i4
3 . 101«
3 . 101« — 3 . 1020
> 1 0 18
18 000 km — 3 000 km
3 000 km — 30 km
30 km
2 000 m
600 m
50 m
15 m
1m
—
—
—
—
—
—
0,03 mm
1 000 m
150 m
15 m
1m
0,03 mm
0,3 mm — 10 nm
0,3 mm — 790 nm
790 nm — 390 nm
650 nm
600 nm
580 nm
525 nm
450 nm
400 nm
400 nm — 10 nm
10 nm — 1 pm
< 3 0 0 pm
Záření
169
Mezinárodni tříděni elektromagnetických vln (1985)
Značka
V LF
LF
MF
HF
VHF
UHF
SH F
EH F
57
Označeni vln
podle kmitočtu
velmi nízké
nízké
střední
vysoké
velmi vysoké
ultra vysoké
superiomi
extrém ní vysoké
Kmitočet
pod 30 kHz
30 — 300 kHz
300 — 3 000 kHz
3 000 — 30 000 kHz
30 000 k H z— 300 M Hz
300 — 3 000 MHz
3 0 0 0 — 30 000 MHz
3 0 000 — 3 0 0 0 0 0 MHz
Označení vlny
myriametrové
kilometrové
hektometrové
dekametrové
metrové
decimetrové
centimetrové
milimetrové
Vlnová délka
v metrech
nad 10 000
1 0 0 0 0 — 1 000
1 000 — 100
1 0 0 — 10
10— 1
1 — 0,1
0 ,1 — 0,01
0,01 — 0,001
Doporučená osvětlení
E - doporučené osvědení; tabulka uvádí výběr z ČSN 36 0450 - Umělé osvětlení vnitřních prostorů,
ČSN 36 0451 - Umělé osvětlení průmyslových prostorů a ČSN 36 0452 - Umělé osvětlení obytných
budov.
Prostor
Vnitřní, málo frekventované komunikace
Skladové prostory, hygienická zařízení apod.
Hrubé práce, pracoviště v domácnosti
Běžná výroba, obchodní prostory, kanceláře, učebny, ošetřovny, domácí práce apod.
Jemné práce, křes limy, laboratoře, obrábění apod.
Velmi jemné práce, napr. hodinářské, rýsovny apod.
Mimořádně jemné práce klenotnické, restaurátorské, montáž měřicích přístrojů
Speciální výrobny a laboratoře, montáž mikroelektroniky
Operační sály, ambulance pro speciální zákroky
E
Tx
20 _ 50
50 — 100
100 — 200
200 — 500
500 — 1 000
1 0 0 0 — 2 000
2 000 — 5 000
5 000 — 10 000
20 000
10 000
58
Vlnové délky některých intenzivních čar ve spektrech
X - vlnové délky ve vzduchu při 15 °C a tlaku 1,013 . 105 Pa; f - kmitočty. Jsou uvedeny jen některé vy­
brané čáry, které jsou vhodné pro kalibraci spektrálních přístrojů.
X
nm
/
THŽ
Ag
520,907
546,549
575,353
548,360
Ca
422,673
714,815
709,072
419,277
Cd
467,816
479,992
508,582
643,847
640,648
624,397
589,296
465,492
Cs
455,535
459,318
657,920
652,501
Cu
521,820
H
410,174
434,047
486,132
656,278
Prvek
X
nm
/
TH z
447,148
471,314
492,193
501,568
587,563
667,815
706,520
670,260
635,894
608,919
597,537
510,082
448,785
424,200
Hg
435,833
546,074
576,960
579,066
687,661
548,837
519,456
517,567
574,347
K
730,679
690,497
616,506
456,680
404,414
404,720
766,491
769,898
741,086
740,526
391,010
389,280
Li
460,286
670,785
651,129
446,798
Prvek
He
X
f
nm
ŤH z
Mg
517,270
518,362
579,399
578,178
Na
588,997
589,593
508,840
508,326
Ne
533,078
540,056
585,249
594,484
614,306
640,225
562,217
554,953
512,099
504,144
487,877
468,125
Zn
468,020
472,216
481,054
518,199
636,235
640,369
634,827
623,018
578,360
471,061
Prvek
Záření
171
59
Index lomu různých látek
n - index lomu dané látky vůči vzduchu; .9 - střední disperze, 9 — tiy — ne/, A- vlnová délka; ř. - řádný
paprsek, m. - mimořádný paprsek
Fraunhoferova
čára
A
B
C
D
E
F
G
H
A
um
760,82
686,72
656,28
589,30
527,00
486,14
430,78
396,85
n
Látka
Voda
Ethanol
Benzen
Diethylcther
Kassiový olej
Sirouhlík
Fluorit (kazivec)
Křemenné sklo
Korunové sklo
lehké
Flintové sklo
těžké
Kuchyňská sůl
Sylvin
Kalcit ř.
m.
Křemen ř.
m.
Látka
Vakuum
Vodik
Vodní pára
Kyslík
Vzduch
Dusík
Záření
*
172
&
1,432
1,456
1,512
1,331
1,360
1,496
1,351
1,596
1,618
1,432
1,457
1,513
1,333
1,362
1,501
1,353
1,604
1,628
1,434
1,459
1,515
1,335
1,364
1,508
1,355
1,619
1,641
1,436
1,461
1,519
1,337
1,366
1,513
1,357
1,634
1,652
1,437
1,464
1,521
1,341
1,370
1,524
1,361
1,665
1,677
1,440
1,468
1,527
1,343
1,374
1,534
1,364
1,701
1,699
1,442
1,471
1,531
0,006
0,006
0,017
0,006
0,038
0,034
0,005
0,007
0,008
1,735
1,741
1,743
1,752
1,762
1,772
1,792
1,811
0,029
1,537
1,484
1,650
1,483
1,539
1,548
1,539
1,486
1,653
1,484
1,541
1,550
1,541
1,487
1,654
1,485
1,542
1,551
1,544
1,490
1,658
1,486
1,544
1,553
1,549
1,494
1,663
1,489
1,547
1,556
1,553
1,498
1,668
1,491
1,550
1,559
1,561
1,505
1,676
1,495
1,554
1,564
1,568
1,512
1,683
1,498
1,558
1,568
0,012
0,011
0,014
0,006
0,008
0,008
1,329
1,358
1,491
1,349
1,586
1,609
1,431
1,454
1,510
1,330
1,359
1,495
1,350
1,592
1,615
Látka
rtD
0,999
0,999
0,999
0,999
1,000
1,000
71
85
96
98
00
01
Led
Methanol
Glycerol
Ricínový olej
Lněný olej
Cedrový olej
«D
1,31
1,329
1,469
1,478
1,486
1,505
Látka
Kanadský balzám
Flintové sklo lehké
Korunové sklo těžké
oc-monobromnaftalen
Diamant
>tD
1,542
1,608
1,615
1,658
2,417
60
Ionizační práce volných atom ů
IVi - ionizační práce (ionizační energie); Wn - ionizační práce atomu vodíku; Z - protonové číslo
Ionizační práce je práce, kterou musíme vynaložit na odstranění elektronu z volného atomu (je větší než
výstupní práce - tab. 61 - při níž jsou atomy v krystalické struktuře látky). Číselné hodnoty ionizační
práce v eV jsou shodné s číselnými hodnotami ionizačního napětí ve V.
z
Prvek
Wi
Wn
PPi
eV
Z
_____ _____
Prvek
Wt
Wn
eV
Wi
1
2
3
H
Hc
Li
vodík
helium
lithium
1,00
1,81
0,40
13,53
24,57
5,41
28
29
30
Ni
Cu
Zn
nikl
mčd
zinek
0,56
0,57
0,69
7,63
7,71
9,34
4
5
6
Be
B
C
beryllium
bor
uhlík
0,69
0,61
0,83
9,34
8,30
11,27
31
32
33
Ga
Ge
As
gallium
germanium
arsen
0,44
0,58
0,72
5,95
7,88
9,80
7
8
9
N
O
F
dusík
kyslík
fluor
1,07
1,00
1,29
14,53
13,60
17,42
34
35
36
Se
Br
Kr
selen
brom
krypton
0,72
0,88
1,03
9,75
11,84
13,94
10
11
12
Ne
Na
Mg
neon
sodík
hořčík
1,59
0,38
0,56
21,51
5,14
7,64
37
38
39
Rb
Sr
Y
rubidium
stroncium
yttrium
0,31
0,42
0,49
4,19
5,68
6,60
13
14
15
AI
Si
P
hliník
křemík
fosfor
0,44
0,60
0,78
5,95
8,15
10,60
40
41
47
Zr
Nb
Ag
zirkon
niob
stříbro
0,51
0,50
0,56
6,95
6,77
7,58
16
17
18
S
Cl
Ar
síra
chlor
argon
0,76
0,96
1,16
10,34
13,00
15,69
48
49
50
Cd
In
Sn
kadmium
indium
cín
0,66
0,43
0,54
8,93
5,82
7,31
19
20
21
K
Ca
Sc
draslík
vápník
skandium
0,32
0,45
0,84
4,33
6,09
6,56
51
52
53
Sb
Te
I
antimon
tellur
jod
0,64
0,66
0,77
8,60
8,93
10,42
22
23
24
Ti
V
Cr
titan
vanad
chrom
0,50
0,50
0,50
6,83
6,74
6,76
54
55
56
Xe
Cs
Ba
xenon
cesium
baryum
0,89
0,29
0,39
12,04
3,92
5,21
25
26
27
Mn
Fe
Co
mangan
železo
kobalt
0,55
0,58
0,58
7,43
7,90
7,83
79
80
81
Au
zlato
rtuť
thallium
0,68
0,77
0,45
9,20
10,42
6,09
Hg
TI
173
Záření
61
Výstupní práce elektronů z kovů; mezní vlnové délky
fo toelektrickéh o jevu
IFV- výstupní práce; Áo - mezní vlnová délka fotoelektrického jevu; h - Planckova konstanta; c - rychlost
hc
siření světla ve vakuuj / - kmitočet; ¿o = *7^ — > hc = 1,99 . 10 ~25 J . m = 1,24 . 10 "6 eV . m
wv
Prvek
Cs
Rb
K
Na
Li
Ba
Ce
Ca
Tli
n
Mg
Zr
Mu
Ti
Nb
Pb
Sb
Ga
Ta
Co
Mo
Sn
Bi
Cr
Cu
Hg
W
Ag
Se
Te
Au
Fe
Pd
Ni
As
Pt
Záření
174
cesium
rubidium
draslík
sodík
lithium
baryum
cer
vápník
thorium
thallium
huičík
/irkonium
mangan
titan
niob
olovo
antimon
gallium
tantal
kobalt
molybden
cín
bismut
chrom
mčd
rtuť
wolfram
stříbro
selen
tellur
zlato
železo
palladium
nikl
arsen
platina
Wy
eV
Ao
nm
/
TH z
1,93
2,13
2,24
2,28
2,36
2,52
2,84
2,96
3,35
3,68
3,69
3,84
3,95
3,95
3,99
4,02
4,05
4,12
4,12
4,18
4,24
4,38
4,44
4,45
4,48
4,53
4,54
4,70
4,72
4,72
4,76
4,77
4,97
5,00
5,11
5,36
642
582
554
544
525
492
437
419
370
337
336
323
314
314
311
308
306
301
301
297
292
283
279
279
277
274
273
264
263
263
260
260
250
248
243
231
476
515
541
551
571
609
686
715
810
889
892
928
954
954
964
973
979
996
996
1 009
1 026
1 059
1074
1 074
1082
1094
1 098
1 135
1 140
1 140
1 153
1 153
1 199
1 208
1233
1297
62
Závislost hm otnosti částice, hm otnosti a energie elektronu na rychlosti
m - hmotnost částice; wo - klidová hmotnost částice; me - hmotnost elektronu; moe - klidová hmotnost
elektronu, woe = 9,109 . 10-31 kg; v - rychlost; c - rychlost šíření světla, c = 2,998 . 108 m . s_1;
Ee - energie elektronu
m
1
"»o
¿ž
1 /
r - i *
Ee = (me — moc) c2
Číselná hodnota energie elektronu v MeV se rovná číselné hodnotě napětí v MV, které je potřebné k urych­
lení elektronu na tuto energii.
v
c
0,001
0,002
0,005
v
106m .s -1
0,30
0,60
m
mo
me
10-3«
kg
Ee
v
v
m
MeV
c
10sm .s -1
wo
mc
10-30 kg
MeV
Ee
1,5
1,000 00
1,000 00
1,000 01
0,911
0,911
0,911
0,000 000
0,000 001
0,000 006
0,90
0,92
0,94
269,8
275,8
281,8
2,29
2,55
2,93
2,089
2,324
2,67
0,661
0,793
0,986
0,01
0,02
0,05
3,0
6,0
15
1,000 05
1,000 20
1,001 25
0,911
0,911
0,912
0,000 026
0,000 102
0,000 640
0,95
0,96
0,97
284,8
287,8
290,8
3,20
3,57
4,11
2,92
3,25
3,75
1,126
1,316
1,591
0,10
0,20
0,30
30
60
90
1,005
1,021
1,048
0,915
0,930
0,955
0,002 56
0,010 73
0,024 53
0,98
0,985
0,990
293,8
295,3
296,8
5,03
5,79
7,10
4,58
5,28
6,46
2,057
2,45
3,12
0,40
0,50
0,60
120
150
180
1,091
1,155
1,25
0,994
1,052
1,139
0,046 50
0,079 2
0,127 8
0,992
0,994
0,996
297,4
298,0
298,6
7,93
9,13
11,2
7,22
8,32
10,18
3,54
4,16
5,20
0,65
0,70
0,75
195
210
225
1,32
1,40
1,51
1,199
1,275
1,377
0,161 5
0,204
0,262
0,997
0,998
0,999
298,9
299,2
299,5
12,9
15,8
22,4
11,76
14,40
20,37
6,09
7,57
10,92
0,80
0,85
240
255
1,67
1,90
1,518
1,722
0,341
0,455
0,999 5
1
299,7
299,8
31,6
oo
28,78
oo
15,64
00
Záření
175
63
Energie a hm otnosti fotonů
A- vlnová délka; E - energie fotonu; m - hmotnost fotonu; h - Planckova konstanta, h = 6,626 . 10~34 J . s;
c - rychlost šíření světla ve vakuu, c = 2,998 . 108 m . s -1; hic — 2 ,2 1 . 10~42 kg . m; hc = 1,99 .
10-25 j . m; me - klidová hmotnost elektronu, me = 9,109 . 10-31 kg
E
m
J
kg
6,20 .
4,13 .
2,48 .
1,24 .
1,24 .
1,24 .
1,24 .
1,24 .
1 ,2 4 .
1 ,2 4 .
1,240
1 ,2 4 .
1,24 .
1 ,2 4 .
1 ,2 4 .
1,24 .
1 ,2 4 .
10-1°
10-»
10-»
10-7
10-«
ÍO-5
10-»
IO”3
IO"«
IO-»
101
102
10«
104
10«
10«
9,93 .
6 ,6 2 .
3,97 .
1 ,9 9 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1,99 .
1 0 -«
IO"2*
10-*»
IO"2«
IO"2«
IO"24
IO“2»
10-22
10-21
IO"2»
10-1®
IO -«
IO-17
10-1«
IO -«
1 0 -n
10-13
1,105 . ÍO"15
7,37 . 1 0 - “
4,42 . 10-*4
2,21 . IO-»3
2,21 . IO-*2
2,21 . IO -«
2,21 . 1 0 - "
2,21 . IO*8»
2,21 . IO"3*
2,21 . IO '3?
2,21 . ÍO-3«
2,21 . 10-35
2,21 . ÍO '34
2,21 . 10-33
2,21 . 10-32
2,21 . 10-31
2,21 . 10-30
m
mi
1,211 . IO-15
8,09 . 10-1«
4,85 . 10-1“
2,43 . ÍO-“
2,43 . IO-12
2,43 . IO-11
2,43 . 10-1°
2,43 . 10-»
2,43 . ÍO '8
2,43 . ÍO"7
2,43 . 10-«
2,43 . ÍO"5
2,43 . 10-»
2,43 . ÍO"3
2,43 . ÍO"2
0
1
2 000 m
300 m
50 m
10 m
1m
100 mm
10 mm
1 mm
100 |im
10 ¡im
1 |xm
100 nm
10 nm
1 nm
100 pm
10 pm
1 pm
E
ěV
•u
OJ
A
2,43
Poznámka: Foton, jehož hmotnost se rovná hmotnosti elektronu, má vlnovou dílku Ác = 2,426 . 1 0 ~12 m (tzv. Comptonova vlnová dílka).
Záření
V
64
Slunce, Z em ě, Měsíc
Slunce
Poloměr
695 550 km
Hmotnost
1,99 . 1030 kg
Střední hustota
1 408,9 kg . m -3
Tíhové zrychlení na rovníku
274,1 m . s-2
Zdánlivý střední poloměr
Sklon rovníku k ekliptice
Doba rotace siderická
Doba rotace synodická
Teplota povrchu
Zářivý výkon
Zdánlivá magnituda
Absolutní magnituda
Úniková rychlost na povrchu Slunce
= 109,048 poloměrů Země
= 333 000 hmotností Země
= 0,255 střední hustoty Země
= 27,95 tíhového zrychlení na Zemi
15' 5 9 ,63"
7° 15' 0 "
25,4 d
27,3 d
5 770 K
3,83 . 1028 W
— 26,8™
+ 4 ,7 “
618 km . s_1
Zem í
Rovníkový poloměr
Poloměr koule se stejným objemem
Zploštění
Povrch Země
Povrch souší
Povrch oceánů
Hmotnost
Střední hustota
Střední rychlost oběhu
Úhlová rychlost rotace Země
Úniková rychlost na povrchu Země
6,38 . 108 m
6,37 . 108 m
0,003 37
5 1 0 . 108 km2
149 . 10« km3
361 . 108 km2
5,98 . 102< kg
5 520 kg . m “3
29,77 km . s -1
7,27 . 10-» rad . s ' 1
11,2 km . s - 1
M ěsíc
Poloměr
Hmotnost
Střední hustota
Střední vzdálenost od Země
Nejmenší vzdálenost od Země
Největšf vzdálenost od Země
Číselná výstřednost trajektorie
Sklon trajektorie k ekliptice
Tíhové zrychlení na rovníku
Zdánlivý střední poloměr
Oběžná doba siderická (vzhledem ke hvězdám)
Oběžná doba synodická (vzhledem ke Slunci)
Úniková rychlost na povrchu Měsíce
1,74 . 10« m
7,35 . 1022 kg
3 340 kg . m -3
384 400 km
356 400 km
407 700 km
0,055
18,3°
1,625 m . s -2
15' 3 3 "
27 d 7 h 43 min 11,5 s
29 d 12 h 44 min 2,8 s
2,38 km . s~l
Astro­
nomie
177
65
Elem enty tra je k to rií planet
a - střední vzdálenost od Slunce; e - číselná výstřednost (numerická excentricita); i - sklon roviny tra­
jektorie k rovině ekliptiky; Q - délka výstupního uzlu; co - délka perihélia; T - siderická oběžná doba;
Ts - synodická oběžná doba
Planeta
Merkur
Venuše
Země
Mars
Jupiter
Saturn
Uran
Neptun
Pluto
a
0,387
0,723
1,000
1,523
5,202
9,560
19,285
30,265
39,620
i
e
AU
10
33
00
69
57
22
39
32
37
0,205 63
0,006 78
0,016 71
0,093 39
0,048 06
0,051 05
0,046 88
0,007 25
0,251 86
o>
5
O
7,004 5
3,394 5
—
1,849
1,305
2,485
0,774
1,770
17,131
8
2
6
2
3
8
48,157
76,548
—
49,444
100,340
113,546
73,994
131,643
110,222
77,227
131,365
102,688
335,789
15,438
92,864
176,441
359,336
224,421
9
1
6
4
0
2
3
1
8
2
8
7
8
0
3
8
9
T
T»
r
d
0,240
0,615
1,000
1,880
11,862
29,457
84,013
167,793
248,430
85
21
04
89
23
72
12
95
2
115,88
583,92
—
779,94
398,88
378,09
369,66
367,48
366,73
Siderická oběžná doba je skutečná doba oběhu vzhledem ke hvězdám; synodická oběžná doba je doba, za niž se opakuje
stejná poloha planety vzhledem ke Slunci a k Zemi.
66
Fyzikální ch arakteristiky planet
m - hmotnost; M% - hmotnost Země;
g - tíhové zrychlení na povrchu
Planeta .
Merkur
Venuše
Země
Mars
Jupiter
Saturn
Uran
Neptun
Pluto
Astro­
nomie
178
m
Mz
0,055
0,815
1,000
0,107
317,892
95,168
14,559
17,239
0,002
q - průměrná hustota;
Q
A
km
kg . m -3
27
0
0
4
6
5 400
5 248
5 515
3 940
1 330
690
1 600
1 580
700
4
12
12
6
142
120
50
48
3
878
104
756,3
794,4
796
000
800
600
000
dT- rovníkový průměr; T - perioda rotace;
r
g
d
h
min s
58
243
15
0
23
24
9
10
24
18
9
30
14
56
37
50
14
00
24
17
6
04
23
30
—
m . s-2
3,60
8,87
9,82
3,76
26,00
11,20
9,40
12,00
zdánlivá
hvězdná
magnituda
— 1,8 až
— 4,3 až
—
— 2,8 až
— 2,6 až
— 0,3 až
+ 5,5 až
+ 7,6 až
+ 13,6 až
+ 3 ,3
— 3,3
+ 2 ,0
— 1,3
+ 0 ,9
+ 6 ,3
+ 8 ,0
+ 1 5 ,9
67
Měsíce planet
d - vzdálenost od planety; T - siderická oběžná doba; Ts - synodická oběžná doba; e - číselná výstřednost;
D - průměr; m - zdánlivá hvězdná magnituda
(Stav v r. 1985)
Měsíc
d
T
AU
i)
~a~
T.
d
h
min
e
D
km
4)
m
Z em č
0,002 569
27,322
29
12
44
0,055
3 476
— 12,7
M ars
I. Phobos
II. Deimos
0,000 063
0,000 157
0,319
1,262
1
7
6
39
21
0,015
0,001
27X 19
16X 10
11,5
12,5
Ju p ite r
X V I. Metis
X V . Adrastea
V. Amalthea
X IV . Thebe
I. Io
II. Europa
II I. Ganymed
IV . Kallisto
X I I I . Leda
V I. Himalia
V II. Elara
X . Lysithea 5)
X I I . Ananke
X I . Carme
V III. Pasiphae
IX . Sinope
0,000
0,000
0,001
0,001
0,002
0,004
0,007
0,012
0,074
0,076
0,078
0,079
0,141
0,150
0,157
0,158
848
848
207
478
820
486
156
586
159
723
455
217
773
834
20
5
0,29
0,29
0,498
0,68
1,769
3,551
7,154
16,689
•238,7
250,57
259,65
263,55
631,1
692,5
735
758
1
3
7
16
252
265
276
280
738
824
891
918
6
6
11
16
18
13
4
18
19
23
5
15
17
6
3
19
59
59
57
32
29
18
00
05
0,003
0,013
0,004
0,009
0,002
0,007
0,148
0,159
0,207
0,130
0,169
0,207
0,378
0,275
40
30
265X 140
70 -f- 80
3640
3 130
5 280
4 840
10 - ř 20
170
80
10
20
20
30
40
30
S a tu rn 3)
X V . Atlas
1980 S 27 *)
1980 S 26 2)
X . Janus
X I . Epimetheus
I. Mimas
II. Enceladus
III. Tethys
1980 S 13 2)
IV. Dione
1980 S 6 2)
V. Rhea
V I. Titan
V II. Hyperion
V III. Japetus
IX . Phoebe
0,000
0,000
0,000
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,002
0,002
0,003
0,008
0,009
0,023
0,086
920
931
947
012
012
241
592
970
970
523
527
524
166
913
797
564
0,602
0,613
0,628
0,695
0,694
0,942
1,369
1,885
1,885
2,733
2,739
4,511
15,910
21,281
79,155
549,148
79
522
14
14
15
16
16
22
8
21
21
17
17
12
22
7
17
11
27
43
04
41
39
37
52
15
15
37
45
19
24
45
48
U ra n * )
V. Miranda
I. Ariel
0,000 825
0,001 282
1,414
2,520
2
9
12
57
30
Měsíc
1
1
1
2
2
4
15
21
1
r*14
«a 13
<«15
5,5
6,0
5,1
6,2
19 -f- 20
14,7
19 - r 20
19
18,1
19
17,0
18,6
18
16,5
16
14,5
15,5
12,1
11,7
10,6
0,001
0,029
0,104
0,028
0,163
60
1 4 0 X 80
11 0 X 70
220X 160
140X 100
390
510
1 050
60
1 120
60
1 530
S 5 120 «)
410X 220
1 440
200
0,027
0,003
400
1 330
16,8
14,8
0,002
0,004
0,004
0,007
0,009
0,020
0,004
0,000
0,002
10,7
10,0
8,3
15
10,8
16,5
179
I
d
Měsíc
AU
T
d
d
»)
r.
h
min
D
e
km
4)
m
II. Umbriel
III. Titania
IV . Oberon
0,001 786
0,002 930
0,003 919
4,144
8,706
13,463
4
8
13
3
17
11
28
00
16
0,004
0,002
0,001
1 110
1 600
1 600
15,4
13,9
14,3
N eptun
I. Triton
II. Nereida
0,002 364
0,036 841
5,877
361,568
5
368
21
21
03
0,000
0,748
4 000
«¡300
13,6
18,7
P lu to
I. Charon
0,000 13
6,387
0,0
¿ 1 200
x) Rozumí se vzdálenost od středu planety.
2) Satelity zachycené sondami Voyager 1 nebo Pioneer 11, jejichž existence je velmi pravděpodobná. Údaje je však
nutno chápat jen jako předběžné.
3) Na základě údajů z průletu Voyageru 1 je uváděno několik typových satelitů, jejichž existence je dosud nejistá a tra­
jektorie nejsou známy s dostatečnou přesností. Jsou to:
• 1981 S 12 na trajektorii satelitu Mimas, asi 180° za Mimasem, průměr asi 10 km ;
• ( • • ) 2 satelity na trajektorii Tethys, 99° (236°) před Tethys, průměr 20 km až 30 km, nazvané X I I I . Telesto,
X IV . Calypso;
• 1981 S 10 ve vzdálenosti 0,002 340 A U , oběžná doba 2,44 d, průměr asi 15 km ;
• ( • • ) 1 až 2 satelity na trajektorii Dione, 61° (62°) před Dione a asi 12° před satelitem 1980 S 6 ;
• 1981 S 9 ve vzdálenosti 0,003 142 A U , oběžná doba asi 3,8 d, průměr 15 km až 20 km.
4) Údaj tvaru DD x dd znamená satelit nepravidelného tvaru. Dále je možné počítat s nepravidelným tvarem satelitů
do průměru 100 km.
6) Podle údajů sondy Voyager 1 má Lysithea menší vzdálenost od Jupitera než Elara.
6) S atmosférou 5 680 km.
* ) Sonda Voyager 2 objevila v r. 1986 dalších deset malých měsíců Uranu.
68
Údaje o některých významných planetkách
a —střední vzdálenost od Slunce; e - číselná výstřednost (numerická excentrická); i - sklon roviny trajek­
torie k rovině ekliptiky; T - siderická oběžná doba kolem Slunce
Jméno
a
ÄXT
e
O
i
T
i
1
2
3
4
433
588
Ceres
Pallas
Juno
Vesta
Eros
Achilles
2,77
2,77
2,67
2,36
1,46
5,24
0,08
0,23
0,25
0,09
0,22
0,15
10,6
34,7
13,0
7,1
10,8
10,3
4,60
4,61
4,36
3,63
1,76
11,98
617
Patroclus
5,19
0,14
22,1
11,82
13,7
1,29
1,08
0,38
0,47
0,83
6,9
4,7
23,0
50,7
1,47
1,10
Číslo
Astro­
nomie
2060
1566
Chiron
Hermes
Icarus
Poznámka
\
1 čtyři největší a nejznámější planetky;
[ první byla objevena v r. 1801
J
přiblížení k Zemi: 23 000 000 km
patří do skupiny Trojanů, 60° před
Jupiterem
patří do skupiny Trojanů, 60° za
Jupiterem
největší střední vzdálenost
přiblížení k Zem i: 800 000 km
malá perihéliová vzdálenost a největší
výstřednost
Skupina planetek nazývaná Trojané tvoří rovnostranný trojúhelník se Sluncem a Jupiterem. Mají přibližně stejnou dobu
oběžnou jako Jupiter a obíhají kolem Slunce stále přibližně 60° před Jupiterem nebo za ním.
180
69
N ěkteré kom ety a m eteorick é ro je
a) Vybrané krátkoperiodické komety
T - doba oběžná; q - vzdálenost komety od Slunce v periheliu
T
Název (objevitel)
Encke
Tempel 2
W olf 1
Tuttle
Schwassmann-Wachmann I
Tempel-Tuttle
Olbers
Pons-Brooks
Halley
T
Poslední pozorovaný
návrat roku
AU
Počet pozorovaných
návratů
3,30
5,26
8,43
13,8
16,1
32,9
69,5
71,0
76,1
1984,2
1983,4
1984,5
1981,0
1974,1
1965,5
1956,5
1954,4
1986,3
0,339
1,364
2,506
1,023
5,538
0,982
1,179
0,774
0,587
53
17
13
10
4
4
3
3
30
b) Hlavni pravidelné meteorické roje
Název
quadrantidy
lyridy
éta-aquaridy
delta-aquaridy
perseidy
orionidy
tauridy-arietidy
leonidy
geminidy
ursidy
70
Souhvězdí
Maximum dne
Bootes
Lyra
Vodnář
Vodnář
Perseus
Orión
Býk-Beran
Lev
Blíženci
Malá medvědice
4.
29.
3.
29.
12.
22.
6.
17.
14.
23.
I.
IV.
V.
V II.
V III.
X.
X I.
X I.
X II.
X II.
Trvání
dní
Hodinový
počet
1
2
18
10
20
8
30
4
6
2
35
12
13
20
50
25
12
12
60
15
Mateřská kometa
?
Tchatcher
Halley
?
Swift-Tuttle
Halley
Encke
Tempel-Tuttle
?
Tuttle
Paralaxy a vzdálenosti blízkých hvězd
n - roční paralaxa; d - vzdálenost
Hvězda
Proxima Centauri
a Centauri
61 Cygni
Sirius
Procyon
Vega
Polárka
71
d
It
pc
0,763
0,756
0,299
0,376
0,291
0,140
0,008
1,31
1,31
3,34
2,66
3,42
7,15
125,00
Poznámka
po Slunci nej bližší známá hvězda
Astro­
nomie
první změřená paralaxa (Bessel, 1838)
a Velkého psa
a Malého psa
a Lyry
a Malé medvědice (Malého vozu)
181
71
Sp ektrální klasifikace hvězd
T - průměrná povrchová teplota
Spektrální
třída
W
O
B
A
F
G
K
M
T
Vzhled spektra
TC
>
intenzívní spojité spektrum se širokými emisními čarami vodíku, helia, uhlíku,
dusíku aj. (tzv. Wolfovy-Rayetovy hvězdy)
jasné spojité spektrum, absorpční čáry ionizovaného helia
absorpční čáry neutrálního helia, zesilující se čáry Balmerovy série vodíku
nejintenzivnější čáry Balmerovy série vodíku, objevují se čáry ionizovaného vápníku
a čáry kovů
slábnou čáry vodíku, sílí čáry vápníku a kovů
tlusté čáry ionizovaného vápníku, dále slábne série vodíku, zvýrazňují se čáry kovů,
zejména železa
nejtlustší čáry kovů, objevují se pásy molekul, zejména C N a C H , velmi tenké čáry
vodíku
mnoho výrazných pásů molekul, zejména TiO
50 000
35 000
20 000
10 000
7 500
6 000
4 500
3 500
Doplňkové třídy jsou: R ,N a S . Hvězdy třídy R mají pásy uhlovodíkových sloučenin, tzv. uhlíkové hvězdy.
Hvězdy třídy N mají spektrum podobné spektru hvězd třídy M (ztenčující se pásy CN). Hvězdy třídy S,
tzv. zirkonové hvězdy, ve spektru jsou absorpční pásy ZrO.
Spektrální třídy jsou dále děleny pomocí číslic 0 až 9 (např. třída B9 je blízká AO, G9 je blízká KO atd.).
72
Základní fyzikální charakteristiky hvězd
Sp - spektrální třída; T - povrchová teplota hvězdy; m - hmotnost; D - průměr; g - hustota; M - abso­
lutní hvězdná magnituda; symbol O označuje Slunce
Sp
Astro­
nomie
T
m
K
mo
veleobři
B
A
F
G
K
M
4 000
3 800
3 000
obři
G
K
M
5 200
4 100
3 500
hvězdy hlavní
posloupnosti
O
B
A
F
G
K
M
bílí
trpaslíci
A
F
G
182
35
22
10
7
5
4
3
000
000
700
400
900
900
600
50
16
13
10
13
16
D
20
40
65
100
200
500
Q
QO
0,006
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
Ai
3
5
01
002
000 1
-5
-5
-4
-4
-4
-4
,9
,3
,7
,2
,2
,2
10
24
76
0,003
0,000 3
0,000 02
+ 0,8
+ 0,4
- 0 ,3
32
16
3.0
1,6
1.0
0,76
0,49
20
9
2,2
1,5
1,0
0,83
0,60
0,005
0,025
0,28
0,50
1,0
1,3
2,3
- 5 ,1
- 3 ,2
+ 0 ,6
+ 3,0
+ 4,6
+ 6,2
+ 8,8
0,6
1,2
3
0,02
0,02
0,02
3,1
3,5
3,8
80 000
150 000
400 000
+ 13
-1-14
73
G alaxie (galaktická soustava)
30 kpc
2 kpc
2,8 . 104i kg - - 1 ,4 . 1011 M 0
1,5 . 10->» J
— 21«
(10,0 ± 0,8) kpc
(8
12) pc, severně
19,7 km . s"1
4,15 AU . r 1
250 km . s 1
Príuněr Galaxie
Tloušťka
Celková hmotnost
Potenciální energie
Absolutní hvězdná magnituda
Vzdálenost Slunce od středu Galaxie
Vzdálenost Slunce od galaktického rovníku
Rychlost Slunce vzhledem k blízkým hvězdám
Rychlost hvězd v okolí Slunce vzhledem ke středu Galaxie
Průměrné magnetické pole v Galaxii je řádu
0,1 n T
Naše Galaxie je spirální soustava; má dva průvodce: Velké a Malé mračno Magellanovo.
74
Místní skupina galaxií
m - zdánlivá magnituda; d - vzdálenost; D - průmčr; M - absolutní magnituda; vT - radiální rychlost;
M - hmotnost galaxie
Označení galaxie
Typ
d
D
kpc
kpc
M
'¿-'r
km . s~J
_
_
0,9
2,3
8,3
12,04
12,0
8,9
9,73
9,43
8,17
8,16
48
56
70
83
100
190
230
280
460
570
570
680
680
N
S
9,61
3,47
680
680
5
40
- 1 4 ,7
— 21,2
— 238
S
5,79
720
17
— 18,9
— 189
Naše Galaxie
Velké mračno Magellanovo
Malé mračno Magellanovo
Soustava v Malé medvědici
Soustava v Sochaři
Soustava v Draku
Soustava v Peci
Soustava Lev II.
Soustava Lev I.
NGC 6822
NGC 147
NGC 185
NGC 205
NGC 221 (M 32)
Andromcda
S
N
N
E
E
E
E
E
E
N
E
E
E
E
IC 1613
NGC 224 (M 31)
Andromeda
NGC 589 (M 33)
Trojúhelník
m
8,0
30
10
8
1
2,2
1,4
6 ,6
1,6
1,5
2,7
3
2,3
5
2,4
(-2 1 )
— 17,7
— 16,5
_
+ 276
+ 168
(-9 )
— 11,8
(-1 0 )
— 13,3
, — 10,0
- 1 0 ,4
— 14,8
- 1 4 ,5
— 14,8
— 16,5
— 16,5
M
Mo
..................
1 ,4 . 1011
2,5 . 10"“
2 až 4 . 10«
+39
1 až 2 . 107
1,1 . 106
— 32
— 305
— 239
— 214
4 . 10“
8 . 10»
Typ galaxie označují písmena: E - eliptická, N - nepravidelná, S - spirální
N GC je číslo v New General Catalogue of Nebulae and Clusters of Stars, IC - Index Catalogue, M - Messierův katalog
183
75
V esm ír
Hubbleova konstanta H
Hubbleův čas 1/H
Hustota galaktické látky
Hustota záření ve vesmíru
rádiové vlny
mikrovlny
optické záření
rentgenové záření
Stáří galaxií a kulových hvězdokup
Současný stav vesmíru vznikl rozpínáním z velmi hustého
a horkého stavu před
(75 ± 2 5 ) k m .s - 1 .M p c - 1
4 . 1017 s = 13 . 10» r
2 . 10~28 kg . m -3 — 0,1 atomu . m -3
IO '20 J . m~3
6,3 . 1 0 -“ J . m -3
1,3 . 10"16 J . m “3
3,2 . 1 0 -17 J . m '3
12 . 109 r
10 . 10» r až 20 . 109 r
Chemické složení vesmíru: na 1 000 atomů vodíku připadá přibližně 85 atomů helia, 1 atom uhlíku, dusíku
nebo kyslíku a 0,1 atomu prvků skupiny železa.
Hmotnostně: 70 % vodíku, 29 % helia a asi 1 % prvků s větší atomovou hmotností.
76
N ěkteré důležité astronom ické konstanty
(podle doporučení Mezinárodní astronomické unie)
Světelný čas pro astronomickou jednotku
Astronomická jednotka
Rovníkový poloměr Země
Sluneční paralaxa
Aberační konstanta (na rok 2000)
Hmotnost Slunce
Střední den
=
=
=
ar
71
=
A
=
Mq =
D
=
Poměr hmotností Slunce a Země
Mq
— 332 946,0
Mz
Poměr hmotností Měsíce a Země
Generální precese
Nutační konstanta pro epochu 2000
Sklon roviny ekliptiky ke světovému rovníku pro epochu 2000
Astro­
nomie
184
AU
/*
P
N
e
=
=
=
=
499,004 782 s
c fA = 1,495 978 70 . 10“ m
6 378 140 m
8,794 148'
20,495 52"
1,989 1 . 103° kg
86 400 s
0,012 300 2
5 029,096 6"
9,210 9"
23° 2 6 '2 1 ,4 4 8 "
77
Přehled důležitých fyzikálních konstant
Normální tíhové zrychlení
Gravitační konstanta
Avogadrova konstanta
M olámí plynová konstanta
Normální molámí objem při 1,013 25 . 105 Pa
Normální molámí objem při 105 Pa
Rychlost šíření svčtla ve vakuu
Permitivita vakua
Permeabilita vakua
Faradayova konstanta
Elementární náboj
Hmotnostní jednotka
Měrný náboj elektronu
Klidová hmotnost elektronu
Klidová hmotnost protonu
Klidová hmotnost neutronu
Rydbergova konstanta
Planckova konstanta
Boltzmannova konstanta
Konstanta Wienova zákona
Stefanova-Boltzmannova konstanta
Solární konstanta
Bohrův magneton
Jaderný magneton
Údaje v tabulce jsou z r. 1973.
__
9,806 65 m . s ' ! (přesně)
(6,672 0 ± 0,004 1) . 10"11 N . m2 . kg"2
(6,022 045 ± 0,000 031) . 1023 mol’ 1
(8,314 41 ± 0,000 26) J . mol"1 . K “*
(2,241 383 ± 0,000 070) . 10~2 m3 . mol"1
(2,271 081 ± 0,000 070) . 10"2 m3 . m o l'1
2,997 924 58 . 103 m . s ' 1 (přesně)
(8,854 187 818 ± 0,000 000 071) . 10->2 F . m ‘ J
4rc . lO -^ H .m "1 (přesně) = 1,256 637. lO ^ H .m -1
(9,648 455 i 0,000 027) . 10< C . mol’ 1
= (1,602 189 2 ± 0,000 004 6) . ÍO“18 C
e
mu = (1,660 565 5 ± 0,000 008 6) . 10~27 kg
e/me = (1,758 804 7 ± 0,000 004 9 ) . 10” C . kg"1
rite = (9,109 534 ± 0,000 047) . 10"31 kg
(5,485 97 ± 0,000 09) . 10-« u
mp = (1,672 648 5 ± 0,000 008 6) . 10"27 kg
= (1,007 276 63 ± 0,000 000 24) u
mn = (1,674 954 3 ± 0,000 008 6) . 10"27 kg
(1,008 665 4 ± 0,000 001) u
Hoo = (1,097 373 177 ± 0,000 000 083) . 107 m “1
— (6,626 176 ± 0,000 036) . 10~3“ J . s
h
= (1,054 558 7 ± 0,000 005 7) . 1 0 -34 J . s
*
= (1,380 662 ± 0,000 044) . 10"23 J . K “1
k
= (2,897 790 ± 0,000 090) . 1 0 '3 m . K
= (5,670 32 ± 0,000 71) . 10~8 W . m "2 . K - 4
a
= 1 327 W . m "2
N
Mß = (9,274 078 ± 0,000 036) . 10"24 A . m 2
(5,050 824 ± 0,000 0 2 0 ). 10~27 A . m 2
=
gn
X
=
ATa =
Rm =
VmO =
VmO =
=
C
=
eo
=
/to
—
F
78
Přehled důležitých fyzikálních vzorců
Přehled vzorců obsahuje důležité fyzikální vzorce probírané na středních školách. Nemá nahradit učebnici,,
ale připomenout vzorce, které si žák nezapamatoval. Předpokládá se, že žák vzorce zná a rozumí
jim; proto u nich není ani výklad, ani vysvětlení značek. Užívají se značky běžné v učebnicích a značky
uvedené v tab. 4. Definiční vzorce veličin jsou v přehledu uvedeny jen výjimečně tam, kde je to nutné pro
doplněni vzorců. Pro součty se užívá důsledně sumační znaménko.
a) Mechanika
Hustota homogenní látky
Objemová hmotnost nehomogenní látky (objem
se měří včetně mezer, např. u sypaných látek)
(? =
m
Qv — ~y
Rovnoměrný pohyb
rychlost
dráha
Průměrná rychlost nerovnoměrného pohybu
v — — = konst.
t
s = vt
Wp =
As
At
Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb
zrychlení
a = ——
rychlost
dráha
v = vo + at
s — so +
+ \ať2
zrychlení*
v
a = — = konst.
rychlost*
dráha*
v = at — ]j2as
s — \aťl = \vt
Volný pád*
zrychlení
rychlost
dráha
rychlost dopadu z výšky h
Svislý vrh vzhůru («o je počáteční rychlost)
výška
rychlost
g = 9,8 m . s~2 = konst.
v = gt
i = \gt2
v — ]/2gh
h = vot — \gt2
v = vo — gt
doba stoupání
T—
výška výstupu
H
* vzorce platí, jen když začíná pohyb z klidu.
186
= konst.
Vo
g
v±
V°
2g
Rovnoměrný pohyb po kružnici
úhlová dráha
<p =
s
—
r
As
dráhová rychlost
', ”
úhlová rychlost
a í “
vztah mezi dráhovou a úhlovou rychlostí
Ar
v = a>r
perioda pohybu
T= —
2” r /
J
(O
frekvence pohybu
dostředivé zrychlení
Hybnost tělesa
p = mv
Impuls síly
J = F Ař
Druhý pohybový zákon (zákon síly)
je-li m — konst.
F — ma
Tíhová síla
Fa = mg
Dostředivá síla
Ftx = mufir —
Sklon vozovky v zatáčce
tg * =
Výsledná síla
Rovnováha sil
gr
F — .2 ^ 1
¿ r - o '
i-l
M = rF
Moment síly
Momentová rovnováha
mvú
2 /ví, = o
i- l
Působiště výslednice dvou rovnoběžných sil (obě síly
mají k působišti výslednice stejný moment)
Moment silové dvojice
Mechanická práce
působí-li síla ve směru pohybu
n F i = r 2F2
D =Fd
W = Fs cos x — Pt
cos a = 1 W — Fs
Kinetická energie translačního pohybu tělesa
E\n — \mv*
Potenciální tíhová energie
Ep = mgh
Zákon zachování energie v mechanice
Ep + Ek = konst., mgh + \mv2 = konst.
Různé
Průměrný výkon
187
Výkon urychlující síly
Účinnost
Moment setrvačnosti tělesa k ose
pro hmotný bod
P = Fv
T) =
výkon
příkon
W
P
7 ,~ W0 ~ P o <
1 = mr2
n
pro tuhé těleso
l=
pro plný válec k ose symetrie
I = \mr2
pro kouli k ose procházející středem
2 mr*2
/i = —
neprocházející těžištěm tělesa (Steinerova věta)
1 = lo + m d 2
Kinetická energie rotujícího tělesa
min
I
= \Io>2
Třed síla
Ft = fF n
Valivý odpor
Fv = - F n
r
Jednoduché stroje
rovnováha na páce
rovnováha na volné kladce
rovnováha u kola na hřídeli
nakloněná rovina,
pohybová složka tíhové síly
tlaková síla
klín s jednostranným úkosem
šroub
Vážení na nerovnoramenných vahách
( « 1, mz hmotnosti závaží)
Redukce vážení na vakuum*
Gravitační síla (Newtonův gravitační zákon)
Intenzita gravitačního pole
F\a = F%b
F i = \F2
F i R - FiX
F — mg sin a
F q = mg cos a
F : Fi — h : z
F\ : Fz = h : 2nr
M = Mmmz
(l
1 \
m fy « o + (?v I ------------- \ m a
\Q
ť?m/
Fa — X
= o«
m
K = x
na povrchu planety
K= x
M
CR + h f
M_
R
Práce v homogenním gravitačním poli
km0
mimz
K = —
ve výšce h nad povrchem planety
— mo +
2
W - mK{h\ - hz)
* Vážime-li ve vzduchu (ov = 1,2 kg . m -3) mosazným závažím (pm = 8 400 kg . m -3) a závaží má hmotnost mo,
vážené těleso hmotnost m a hustotu o, pak při hustotě váženého předmětu 550 kg . m~3 je chyba výsledku při za­
nedbáni redukce vážení na vakuum 2 o/00) při hustotách váženého předmětu (5 000 —20 000) kg . m~3 je chyba
výsledku při zanedbání redukce vážení na vakuum menší než 0,1 o/oo.
188
<£-• <7 ■ ? / ( > " " A ' t - H f
-i
VE.H ‘
' ' « t l /. c o s *
= V6 S m * " <£.
Ev = mKh
Gravitační potenciální energie
Vj » o
£P
Gravitační potenciál
<Pe = ------
Tíhová síla
Fq =
m
A - . Ví,fc Cť>Sov
Fg + F0
Fq = mg
Tíha
2
/I
y= v0-t síwcx -
1
2 . - 0
G = mg
rovvůct Vw/elcVO^ie-
Kruhová rychlost družice
x siv \^
xM
ve výšce h nad povrchem planety
d o b a výs-HAfu.
xM
při povrchu planety
®k0
~ 1T
- v
T =
Oběžná doba družice
Parabolická rychlost
*
Vk
2x M
~Ř~
r f : T I - a~3r :
Třetí Keplerův zákon
T
2n(R + h)
V
vp
z
_X____
V» c e s *
R + h
- y
4
-
»ko . 1/2
«2
b) Hydromechanika
Tlak
P
S
F = pS
Tlaková síla
Hydraulický lis
Hydrostatický tlak v hloubce
P = Qgh
F = QghS
h
Hydrostatická tlaková síla na rovinnou plochu
v hloubce h
Hydrostatická vztlaková síla
Rovnice spojitosti (kontinuity)
ideální kapaliny
pro ustálené proudění stlačitelné kapaliny
Bernoulliova rovnice pro ustálené vodorovné
proudění ideální kapaliny
F yz = Vog
S v
S
vq
=
ko n st.
— ko n st.
p -f- \ q v z — k o n s t .
Rychlost kapaliny vytékající otvorem v nádobě
v — \2hg
Newtonův vzorec pro velikost odporové síly
F = C I qS v2
c) Molekulová fyzika a termodynamika
Tepelná kapacita tělesa
Měrná tepelná kapacita
C =
Q_
A
t
Q
Různé
mAt
189
Kalorimetrická rovnice
(C + wid) (t — ti ) = m ci(t2 — t )
První termodynamický zákon
AU :
■
W+Q
AU + W
Q
Střední kvadratická rychlost molekul plynu
4 1 / iV .V
3 kT
»k
m0
- V
Střední kinetická energie molekuly
Tlak ideálního plynu
Stavová rovnice ideálního plynu
Stavová zmčna ideálního plynu stálé hmotnosti
E0 =
2
moví = ~ rkT
2
LIL
P = 3 v m ovl
PV = N k T = nRmT
pv_ =
konst.
T
Izotermický děj
T = konst.
Izochorický děj
V = konst.
Izobarický děj
P'
Adiabatický děj
pV == konst.
P_
T
= konst.
_K
konst.
= konst.
T =
pV* = konst.
Měrná tepelná kapacita plynu
při stálém objemu
Cy =■
při stálém tlaku
Cp
Poissonova konstanta
Práce plynu při izobarickém ději
=
X =
w
=
Van der Waalsova stavová rovnice
Hookeův zákon
Teplotní roztažnost pevných látek
délková
objemová
Různé
Teplotní objemová roztažnost kapalin
190
Qv
mAT
cv
cv
pAV
W
Účinnost kruhového děje
Účinnost tepelného motoru
Qv
mAT
=
Qi
f} š í í?max :
(,P + P * ) { V - b )
0n
1
Ti
nRmT
■eE
AI
\ _F_
A/i :
E
l:
Qi
S
h (1 + a At)
V
Vi (1 + ß Ař)
V,
Vi (1 + ß At)
i
h
Ti
Povrchové napětí kapalin
Kapilární tlak pro povrch kapaliny kulového tvaru
Měrné skupenské teplo
F
" = 7
2
a
/>* = -
/ = A
m
Vlhkost vzduchu
absolutní
relativní
<P =
ý>
d) Mechanické kmitání, vlnčni a akustika
Kmitavý (harmonický) pohyb
okamžitá výchylka
rychlost
zrychlení
úhlová frekvence
y = y m sin ojt
v = wym cos wt
a — —co2y m sin un =
2n
co = ~ Y
=
2* /
Kmitavý pohyb s počáteční fází
y = y m sin (wt i- <p)
Síla vyvolávají harmonický pohyb
F = —ky
Vlastní kmitání oscilátoru
úhlová frekvence
a>o
frekvence
fo -
=v
2n
Doba kmitu matematického kyvadla
T:
Postupné vlnění šířící se ve směru osy x
y = y m sin co
2n
n g
= _ym sin 2n
Fázová rychlost vlnění
v —
Fáze vlnění
<P
Stojaté vlnění
y
Frekvence chvění pružného vlákna
f
Zákon lomu vlnění
-<t)2y
sm a
sin P
A /=
(-í)( ? - í)
-f
2nx
2k
.
2n
2y m cos - j - x sm — t
21
v\
Různé
V2
191
Intenzita zvuku
' - Í
Rychlost šíření zvuku ve vzduchu
Hladina hlasitosti
Vt = (331,82 + 0,61 {*}) m . s~i
B — B0 = 10 log 4 - dB
e) Elektřina a magnetismus
Coulombův zákon
1
QiQ z
47T6
Fe =
Intenzita elektrického pole bodového náboje
£ = ^FeL ;
Plošná hustota náboje
a
Elektrický potenciál
Elektrické napětí
Q ’
Ep
* - Q
W
~
IF = QU
o - %
Kapacita deskového kondenzátoru
-
4
W = \CU 2
Spojení kondenzátorů
sériové
paralelní
- =
c
c =
Ž
iéi
c- ,
q
1
i-1
Elektrický proud
/ =
A<2
Af
Ohmův zákon
pro část obvodu
/ =
pro uzavřený obvod
/ =
Elektrická vodivost
Měrný elektrický odpor (rezistivita)
Odpor drátu s kruhovým průřezem
192
Q
U = \<pe2 — <pel\
Kapacita vodiče
Energie nabitého kondenzátoru
47té
—
U =\E\d
Práce v homogenním elektrickém poli
£ = _ L
« - i
RS
(? =
l
7c a č
i
r2
r~ =■ iaa . <x_
Závislost měrného elektrického odporu na teplotě
Q - : go(l + <* A t)
Svorkové napětí zdroje
U-
^
\XJ — £
Ue ~ R iJ
Spojení rezistorů
t
sériové
~Ř
2 u = o
Qi 0 -x
2
r .~L
n
Uet =
2
*-1
Elektrická práce ve vnější části obvodu
s konstantním proudem
w = V it
Výkon konstantního proudu
p = UI
Proudový zesilovací činitel tranzistoru
fi
Síla působící
na přímý vodič v homogenním magnetickém poli
na nabitou částici v magnetickém poli
Síla mezi dvěma rovnoběžnými vodiči s proudem
c/
V^ct-h
m
Faradayův zákon
W
¿=*=1
i-l
Q q\
u /c *
Jl_
n
Druhý Kirchhoffův zákon
*
a
í-1
paralelní
První Kirchhoffův zákon
E Q
/ A *\
\A/s/ Í/CE " konst.
Va^
/
Mm
Fv
m —
F m = B II sin a
F m = QvB sin a
F =
H IM
2n
d
Magnetická indukce
přímého vodiče
B = jl L
ve středu kruhové smyčky
B
ve středu dlouhé válcové cívky
B
2 tz d
= )T =
= ,»
2r
N7
i
Moment dvojice sil působících na závit
v magnetickém poli
M = ¿J/.S sin a
Intenzita magnetického pole
H
Magnetický indukční tok
d>-. J3S cos a
Faradayův zákon elektromagnetické indukce
Ui
Indukčnost
Elektromotorické napětí indukované v cívce
L
t t - C & n <x
_ ^
/
u;
~>
1
B
<«
A<P
A(
-3
L
4 t
<P_
~
I
Ui — — L
A/
Ař
193
Energie magnetického pole cívky
Střídavý proud
okamžité hodnoty napětí a proudu
efektivní hodnoty napětí a proudu
u — Um sin wt, i
U=
Um.
r
1/2
I m sin (o>t — <p)
Im
j
I —
+
X
w
Sériové elektrické obvody se střídavým proudem
Z--
impedance
fázový posun
obvod s odporem
tg <p :
X ■
obvod s indukčností
XL
obvod s kapacitou
Xc
] / R 2
2
x_
R
(p =
0,
o
7T
a>L, <p = — —
7T
wC ’ 9
2
„
ojL
obvod s odporem a indukčností ( RL )
X
obvod s odporem a kapacitou ( RC )
X = —Xc, tg <p = —
obvod s odporem, indukčností a kapacitou ( R LC )
Thomsonúv vztah
X l,
tg <p = —
o)L —
X = wLmo —
ůjC
lIl c
Výkon střídavého proudu
v obvodu s odporem
P =
v obvodu s impedancí
P — UJ cos <p
Transformace napětí
proudu
Ul
Ui
Ni
A
Hi
n2
h
Rychlost šíření elektromagnetického vlnění
ve vakuu
c—
v prostředí
1
l/fo/ío
c
f ) Optika
Index lomu absolutní
Zákon odrazu
Různé
Zákon lomu
194
1
u)CR
v.
sin a
sin fl
Vj.
n-i
Ví
nv
» tg <P = -
R
1
(oC
«2
Mezný úhel
sm a m = —
«1
2_
Zobrazovací rovnice kulového zrcadla
r
tenké čočky
Ohnisková vzdálenost kulového zrcadla
J=
tenké čočky
/
Optická mohutnost
l)
(—
/ \n
\ »1
+
—
)
r2 /
0 = 7
Zvětšení příčné
Z=
T
úhlové
y =
-
a —f
f
Zvětšení kulového zrcadla, tenké čočky
f
a —f
S
Úhlové zvětšení lupy
y =
mikroskopu
dalekohledu
7 ='
Vztah mezi vlnovou délkou vlnění ve vakuu
a v optickém prostředí
h
Áo — Xn
l= n s
Optická dráha
Interferenční maxima v odraženém svědě
minima v odraženém svědě
Maxima při ohybu svěda mřížkou
2nd +
kX
2nd + ^ = ( 2 k + l ) j
b sin ak = kX
Svítivost
/ =
A&
AQ
Osvětlení
E =
A0
AS
E=
Wienův posunovací zákon
Stefanův-Boltzmannův zákon
cosa
XmT = b
Různé
M0 = o T 4
195
g) Speciální teorie relativity
Dilatace času
Ar =
^ ío
V'-J_
Kontrakce délek
/ I ^
Relativistické skládání rovnoběžných rychlostí
u ——
Relativistická hmotnost
m=
^
\ ' ~ í
Celková energie tělesa
E = Eo + J?k — mc2 =
m o c2
y>~?
Klidová energie
Eo = moc2
Přírůstek energie tělesa
AE — Amc2
h) Kvantová fyzika, fyzika elektronového obalu a atomového jádra
Energie fotonu
E = hf
Hybnost fotonu •
p = —¿r
Hmotnost fotonu
m = -s—
Einsteinova rovnice
hf —
De Broglieho vztah pro vlnovou délku pohybující se
částice
A = -----
hf
Ác
-\- \mv2
h
mv
Kinetická energie elektronu ve stacionárním stavu
Hmotnostní schodek jádra nuklidu £X
Vazebná energie jádra
Vazebná energie nukleonu v jádře
Zákon radioaktivní přeměny
B = Zmp + (A — Z) « „ — '«)
E vj = Bc2
E\ j
Ei = ~A~
N(t) = N0c -» , A =
Rychlost vzdalování galaxií
v = Hr
Mezní vlnová délka rentgenového záření
An =
Různé
196
hc
ln 2
T
79
Přehled vzorců pro chem ické výpočty
(Význam symbolů viz tab. 4)
S lo ž e n í lá t e k a j e j i c h s m ě s í
Hmotnostní zlomek látky B( v soustavě o celkové hmotnosti m :
ro(B ,) =
m = 2 r o ( Bj)
tn
Hmotnostní koncentrace látky Bi v soustavě o celkovém objemu V:
Hmotnostní zlomek prvku D ve sloučenině, která má stechiometrický vzorec DxEy:
X . Ar(D) _
Aír(DxEy)
. AÍ(D)
Aí(DxEy)
X
**
;
X . /ír(D)
X . ^ r(D) + y . A JE )
_ Kl(D) . /4r(E)
y — w(E). Ar(D)
X
M je molárni hmotnost, Mr je relativní molekulová hmotnost a At je relativní atomová hmotnost.
Objemový zlomek látky Bi v soustavě:
F (B 0
F (B .)
F (B j) je objem, který má čistá látka Bi před smísením.
Objemová koncentrace látky Bj v soustavě o celkovém objemu V:
Pro ideální roztoky, směsi ideálních plynů a pro ty reálné roztoky, u kterých můžeme zanedbat objemové
změny, k nimž dochází při smísení, platí:
2 F (B ,) = V,
cp(Bi) = C7(Bj)
M olárni (látkový) zlomek látky Bt :
* ( 8 ,) = .
2
« (B i)
M olárni (látková) koncentrace látky B<:
Různé
197
Směšovací rovnice a křížové pravidlo
Indexy 1 a 2 označují výchozí roztoky, index 3 roztok výsledný
m\. k>i(B) + m-z . ro2(B) = (mi + m-i) . ws(B)
K>3 —
«>2
Wl
W1
W'i
n t2
S w3 — w 2 )
a>l v .
W3
Wl > W2
—
W 2 ^
TO3 )
V i . a (B ) + V2 . c2( B) = (Vi + Vo) . c3(B)
(Zanedbávají se objemové změny při míšení.)
C3 - C 2
---------------- =
C1^
Vx
-T ř ~
^ 3 - ^ 2 )
. C3
Cl~ C3
Cl >
C2
^ ( c i - c 3)
F i . cm,i(B) + V2 . cm>2(B) = (F i + V2) •cm,3(B)
(Zanedbávají se objemové změny při míšení.)
Příprava roztoků určitého hmotnostního zlomku:
W 2 ttli
tn2 = —---------,
1 — H»2
kde
u>2 - požadovaný hmotnostní zlomek; m<i - hmotnost rozpuštěné látky; m\ - hmotnost rozpouštědla.
Příprava roztoků určitého objemového zlomku:
V = Vz —
<P
j
kde
<pz - objemový zlomek zásobního roztoku; <p - požadovaný objemový zlomek; V - objem požadovaného
roztoku; Vz - objem zásobního roztoku, který se ředí. (Zanedbávají se objemové změny při míšení; obje­
mový zlomek je roven objemové koncentraci.)
Výpočty na základě c h e m ic k é ro vn ice
Jestliže průběh chemické reakce lze vyjádřit rovnicí
aA + b B = k K + l L ,
platí pro:
a) Látková (m olární, částicová) množství zreagováných nebo vzniklých látek:
h(B)
b m(K)
k w(L)
«(A) — a ’ «(A) — a 5 n(A) “
1
a
3
b) Hmotnost zreagovaných nebo vzniklých látek:
w(B)
w(A)
b^ AÍ(B) _ b_ Aír(B)
a AÍ(A)
a M r(A)
c) Objemy vzniklých nebo zreagovaných plynů za předpokladu, že se chovají jako plyny ideální:
F(B) _
Různé
V
198
b
(A) ~ a
d) Hmotnosti navzájem reagujících roztoků látky A a látky B:
wír(B)
wr(A)
b Af(B) te(A)
a M(A) w(B)
e) Objemy navzájem reagujících roztoků látky A a látky B:
F(B )
b AÍ(B) w(A)
a Af(A) w(B)
V(A)
Lj (A)
<?(B) ’
kde g(A), <p(B) jsou hustoty příslušných roztoků.
V(B)
b c(A)
a c(B) “
F(A)
b M(B) cm(A)
a Aí(A) cm(B)
f) Rovnovážnou konstantu, rovnovážné molární zlomky, koncentrace a popřípadě rovnovážné parciální
tlaky
. Sv!
K c = 4 4 1 (-V ')
C AC B
Kp =
\c
'>>
£ví = k + 1 __
(c se vesměs udává v m o l. dm-3)
c° = 1 mol . dm-3,
/
pfpť ( ± )
>
a-
b
P° =
325 Pa (nově se doporučuje
také p° — 100 000 Pa = 1 bar)
irk „i
Kx =
,
XaXb
pro ideální plyny platí K p = K x(p/p0)Evi a K p = K c(RTc°/p°)2vi,
kam dosazujeme c° = 1 000 m ol. m -3 ( = 1 m ol. dm-3).
Značka p° se užívá místo běžně užívané značky p . pouze při chemických výpočtech.
g) Standardní m olární reakční entalpii (standardní reakční teplo za konstantního tlaku) a Gibbsovu
funkci
AH?,T = 2 vi(AH?iT),,
kde ( A H ^ i je standardní molární slučovací entalpie (standardní slučovací teplo za konstantního
tlaku), látky B](K, L , A, B), vj = k, 1, —a, — b ;
AH° T = — 2 vi(AH°>T) ,,
kde (AH° x)i je standardní molární spalná entalpie (standardní spalné teplo za konstantního tlaku)
látky Bj(K , L , A, B), vi = k, 1, —a, — b ;
A G °T = 2 ví(AG í’ x) i ,
kde (AG°jT) í je standardní molární slučovací Gibbsova funkce látky B i, vj = k, 1, —a, —b.
Pro teplotní závislost rovnovážné konstanty platí:
.
k
2
K!
ah?
R
/_1_____ 1_\
\T i
T 2/ ’
za předpokladu, že AH° v daném rozmezí teplot nezávisí na teplotě. Dále platí:
A G °X = — R T ln K t ,
kde hodnota AG° x i rovnovážné konstanty K t (při teplotě T ) závisí na volbě standardního stavu
Různé
199
80
Značky pro elektrotechnická schém ata
Značky pro elektrotechnická schémata jsou normalizovány státními normami řady ČSN 0133.
Hvězdičkou označené značky jsou příklady.
Další značky jsou uvedeny v příslušné normě.
Různé
200
201
REJSTŘÍK
A
»
abeceda, latinská, řecká 13
absolutní četnost hodnot 30
- hodnota komplexního čísla 23
reálného čísla 23
- chyba aproximace čísla 24
akustika, hladiny tlaku 160
algebraický tvar kompl. čísla 22
alternativa 1 4 ,2 0
ampér 103
antičástice 127
aproximace čísel 23, 24, 52
— , výpočty s nimi 53
argument funkce 50
- komplexního čísla 22
aritmetika finanční 29
asociativnost 22
asymptoty hyperboly 47
— , směrnice 47
definice jednotek 104
děleno, dělí 17
dělitel největší.společný 17
délka úsečky 18, 41
- vazby 147
- vlnová intenzivních čar 171
derivace funkcí 47— 48
diference tabulková 51
dichotomie 21
díly jednotek 109
disjunkce 1 4 ,2 0
- úplná 20
diskriminant 28
distributivnost 22
doplněk množiny 15
dráha volná střední 155
druhá mocnina a odmocnina 64,
66— 67
důkaz matematickou indukcí 21
- nepřímý 21
- sporem 21
B
barva anorganických sloučenin 132
binomická věta 30
binomický koeficient (součinitel)
30, 55, 62
body trojné 112
C
clark 118
cyklická záměna
34
Č
čára Fraunhoferova 172
částice elementární 127
čísla vyvolená 113
číslo atomové 118
- e 29
- imaginární 22
- kombinační 17, 30
- komplexní 22
- periodické 16
- protonové 118
- racionální 25
- reálné 22, 23
- ryze imaginární 22
čtverec 36
202
E
ekvivalence 1 4 ,2 0
ekvivalent elektrochemický 165
elipsa 3 7 ,4 5
- , rovnice 46
energie fotonu 176
- vazebná 147
entalpie disociační vazby 147
- reakční molámí standardní 199
- slučovací molární standardní
144, 199
- spalná molární standardní 146
entropie molární standardní 144
excentrická elipsy 45
- hyperboly 46
extrém y funkcí 48
F
faktoriál 18, 55, 61
formáty papíru 56, 63
funkce, definice 50
- cx, e
90— 91
- Gibbsova reakční molámí
standardní 199
- Gibbsova slučovací molární
standardní 144, 199
- goniometrické 32, 77
— , vzorce 32— 33
- - , tabulky 77— 78
- primitivní 48— 49
- složená, derivace 48
- *2 64, 66— 67
- x 3 65, 68— 69
G
galaxie 183
geometrie analytická 41— 47
grad 71
graf funkce cos x 79
c o tg * 89
cx, c~x 90
ln x, log x 94
sin x 79
- - tg x 89
x2, x3 70
— , užití 54
H
hladiny akustického tlaku 160
hmotnost atomová relativní 118
- fotonu 176
- molámí plynu 153
- relativní molekulová anorganických
sloučenin 132
- relativní molekulová organických
sloučenin 134
- , závislost na rychlosti 175
hodnota číselná veličiny 101
hodnoty funkce 51
- konstant 55, 61
- proměnné 51
hranol 38
hustota anorganických sloučenin 132
- kapalin 149
- nasyceného roztoku 142
- normální plynu 153
- organických sloučenin 134
- pevných látek 132
- prvků 118,131
- slitin 141
- sytých vodních par 150
- vzduchu 157
hvězda, fyzikální charakteristiky 182
hyperbola 46
Ch
charakteristika logaritmu 92
chyba aproximace, absolutní 24
- aproximace, relativní 24
- podílu aproximaci 24
- součinu aproximací 24
I
implikace 1 4 ,2 0
index lomu 172
indikátory neutralizační
acidobazické 114
indukce magnetická 167
inkluze 15
integrál určitý 49
integrály funkcí 49
intenzita magnetického pole
interpolace 51
intervaly 16
izolanty 163
167
J
jednotka imaginární 22
jednotky 101
- hlavní 104, 106 a dále
- jiné 110
- SI 104
- vedlejší 110
- základní 103
- zákonné měřicí 104
jehlan komolý 39
- pravidelný 39
jev doplňkový 31
- fotoelektrický 174
jevy nezávislé 31
kvantifikátor existenční 14
s jednoznačností 14
- obecný 14
K
L
kandela 103
kapacita tepelná měrná kapalin
-------plynů 154
-------prvků 138
-
152
molární při konstantním tlaku
144
kartézský součin množin 15
kelvin 103
kilogram 103
klasifikace spektrální hvězd
koeficient binomický 17
- korelace 31
kolmost přímek 42, 43
- rovin 44
- vektorů 40
kombinace 30
kombinatorika 30
komety 181
komutativnost 22
koncentrace hmotnostní 197
- molární 197
rovnovážná 199
- objemová 197
kongruence 16
konjunkce 1 4 ,2 0
konstanta disociační indikátoru 114
- plynová měrná 153
- Poissonova pro plyny 154
- rovnovážná 199
konstanty astronomické 185
- disociační kyselin 1 1 5 ,1 1 6
zásad 116
konstrukce algebraických výrazů 37
kořen rovnice binomické 27
kvadratické 27
kosinus hyperbolický 90
koule 39
kráceni odmocnitele 25
krát 17
krok tabulky 51
kruh 3 7 ,4 5
kružnice 1 9 ,3 7
- , rovnice 45
krychle 38
kužel rotační 39
komolý 39
kuželosečky 44— 47
kvádr 38
ladění temperované 160
látky polovodivé 165
lichoběžník 36
limita posloupnosti 29
lineární kombinace vektorů 40
logaritmus 25
- dekadický 25, 92
- přirozený 25, 92, 94, 95— 97
lomeno 17
182
M
mantisa logaritmu
92
maximum funkce 48
medián 31
Měsíc 177
měsíce planet 179
metr 103
minimum funkce 48
minus 17
minuta 19
mnohoúhelníky pravidelné 55, 63
množina, počet prvků 15
- , — sjednocení 21
- prázdná 15
mocniny 17
- čísla 2 55, 62
- komplexních čísel 22
- mnohočlenů 26
- mocniny 24
- odmocniny 25
- podílu 24
- reálných čísel 24
- součinu 24
mocnost bodu ke kružnici 37
modus 30
Moivre 23
mol 103
molekuly jednoduché, vlastnosti 147
moment dipólový elektrický molekuly
147
monotonie 2 1 ,2 3
N
napětí povrchová kapalin 149
napětí termoelektromotorické 164
násobek nejmenší společný 17
násobky jednotek 109
negace výroku 14, 20
s kvantifikátory 20
nerovnítko 16,19
nerovnosti, reálná čísla 23
- , násobení 23
normy státní ČSN 102
n-tý člen 28, 29
nuklid stabilní 124
O
obdélník 36
objem rotačního tělesa pomocí integrá­
lu 49
objemy těles 38— 39
oblast vnitřní, vnější, elipsy 46
-------, hyperboly 47
------ , kružnice 45
203
oblast vnitřní, vnější paraboly
oblouk kruhový 37
- kružnice
45
19
obsah plochy pomoci integrálu 49
obsahy rovinných útvarů 34— 37
odchylka přímek 1 8 ,4 2 ,4 3
- přímky od roviny 18, 44
- rovin 1 8 ,4 4
odmocniny 17
- komplexního čísla 23
- reálných čísel 24
- z odmocniny 25
odmocnítko 17
odpor elektrický měrný 1 6 2 ,1 6 3
-------izolantů 163
------- roztoků 167
odpor valivý 161
operátory logické 20
osvětlení doporučené 170
P
parabola 44— 45
rovníce 45
paralaxa blízkých hvězd 181
parametrické vyjádření přímky 41
parts per million 17
Pascalův trojúhelník 30
pás kulový 39
pásma televizní 168
perioda 16
periodičnost funkcí 32
permeabilita magnetická 168
- poměrná 167
permitivita poměrná 1 6 3 ,1 6 4
permutace 30
pevnost elektrická 163
planeta, fyzikální charakteristiky 178
plocha kulová 39, 47
plus 17
počet prvků množiny 15
sjednocení množin 21
podíl aproximací čísel 24
- komplexních čísel 22
- mocnin 24
- odmocnin 25
- zlomků 26
podmínky normální 102
podmnožina 1 5 ,1 9
podobnost 19
podslupky elektronové 121
pohyblivost elektronů, děr 165
pokles hodnoty 29
poloměr kružnice vepsané
204
a opsané trojúhelníku 35
poloosa hlavní, elipsy 45
— , hyperboly 46
- vedlejší, elipsy 45
— , hyperboly 46
poloprostor 18
- , rovnice 44
polopřímka 1 8 ,4 2
polorovina 1 8 ,4 3
rovnice 44
porovnávání zlomků 25
posloupnost aritmetická 28
- částečných součtů 29
- geometrická 29
- nekonečná 29
posunutí soustavy souřadnic 43
potenciál elektrodový standardní 166
povrchy těles 38— 39
práce ionizační 173
- výstupní 174
pravděpodobnost 31
- geometrická 31
pravdivost výroků 20
pravidlo křížové 198
procenta 1 7 ,2 6
promile 17
průměr aritmetický 31
vážený 31
- geometrický 25, 38
- molekul plynu 155
průměrná hodnota znaku x 31
průnik množin 15
- přímek, rovin 19
prvek inverzní 22
- neutrální 22
prvky 118
- polovodivč 165
- , rok objevu 118
předperioda 16
předpony jednotek 109
převod logaritmů 25
převody jednotek velikosti úhlů 71
- srupňů na radiány 7 1 ,7 4
- stupňů na grady 72, 75
- stupňů na dílce 72, 76
- minut a vteřin na stupně 73, 76
přímka 18
- , rovnice 42— 43
ft
řada nekonečná 29
řady radioaktivní přeměnové
- Renardovy 113
řešení rovnic grafické 54
R
radián
radioaktivita 129
redukce tlaku vzduchu
relativní četnost hodnot znaku x 30
roje meteorické 181
rovina 18
- , rovnice 44
rovnice algebraická 27
- anulovaná 27
- binomická 27
- lineární 28
- kvadratická 27, 28
- přímek 4 2 ,4 3
- reciproké 27
- roviny 44
- směšovací 198
- symbolická 40
rovnítka 15, 16, 19
rovnoběžník 36
rovnoběžnost nesouhlasná 19
- přímek 19, 42, 43
- souhlasná 19
- vektorů 40
rovnost komplexních čísel 22
- vektorů 40
vlastnosti 21
- zlomků 25
rozbor rovnice 28
rozdíl aproximací čísel 24
- množin 15
- zlomků a lomených výrazů 26
rozklad čísel v součin prvočísel 55,
57— 60
- mnohočlenů 26
v kořenové činitele 2 7 ,2 8
rozměr 106
rozptyl hodnot 31
rozpustnost anorganických sloučenin
142
- organických sloučenin 134
- pevných látek 142
- plynů ve vodě 155
rozsah souboru
rozšiřování odmocnitele 25
roztažnost objemová kapalin 149
rychlost střední kvadratická molekul
156
- šířeni zvuku 159
158
129
s
- přilehlé 34
- souhlasné 34
sekunda 103
tabulka funkce, sloupcová, plošná 50 - střídavé 34
shodnost 19
tečna elipsy 46
- vedlejší 34
schodek hmotnostní jádra 128
- vnější v trojúhelníku 34
- hyperboly 47
sinus hyperbolický 90
- vrcholové 34
- ke grafu funkce 48
- v pravidelném mnohoúhelníku 36
sjednocení množin 15
- kružnice 45
- v trojúhelníku 35
sloučeniny anorganické 132
- paraboly 45
- organické 134
umístění vektoru 40
tečná rovina kulové plochy 47
složeni látek 197
umocněno 17
teplo skupenské měrné kapalin 152
- slitin 141
- spalné měrné paliv 143
umořování půjčky 29
- směsí 197
úseč kruhová 37
teplota tání anorganických sloučenin
- vzduchu 157
132
- kulová 39
Slunce 177
úsečka 1 8 ,4 2
kapalin 152
směrnice přímky 43
organických sloučenin 134
úseky přímky na osách 43
směrodatná odchylka 31
plynů 154
útvary kvadratické 44— 47
soubor statistický 30
prvků 118
uzavřenost 22
součet aproximaci čísel 24,
slitin 141
- komplexních čísel 23
- varu anorganických sloučenin 132 V
- n členů posloupnosti 2 8 ,2 9
kapalin 152
- nekonečné řady 29
válec 38
organických sloučenin 134
- vektorů 40
plynů 154
variace 30
- všech ai 18
prvků 118
vektor 4 0 ,4 1
- zlomků a lomených výrazů 26 vody 151
- opačný 40
součin aproximací čísel 24
- normálový 43
termočlánek 164
- komplexních čísel 23
tlak parciální rovnovážný 199
roviny 44
- mocnin 24
- sytých vodních par 150
- směrový 41, 43
- odmocnin 24
veličiny 101, 106
trajektorie planet 178
- vektorů a reál. čísla 40
velikost úhlu 18
tranzitivnost nerovnosti 23
- vektoru 40
skalární 40
trichotomie 23
vektorový 41
vesmír 184
trojúhelník 1 9 ,3 4
- všech <2( 18
věta binomická 30
- Pascalův 30
- Eukleidova 36
- zlomků a lomených výrazů 26
- pravoúhlý 35
- kosinová 35
součinitel délkové roztažnosti teplotní, - rovnostranný 35
prvků 131
- Pythagorova 35
tření smykové 161
- sinová 35
- tepelné vodivosti pevných látek
třetí mocnina a odmocnina 65, 68,
- tangentová 35
141
69
viskozita dynamická kapalin 149
- teplotní elektrického odporu 162 tvar molekuly 147
plynů 154
součiny rozpustnosti 117
tvrdost 140
vlastnosti anorganických sloučenin
souřadnice bodů 41
- vektorů 40
132
Ú
spektra 171
- operaci 22
statistika 30
- organických sloučenin 134
úhel konvexní 18
- pevných látek mechanické 139
stav kritický kapalin 152
- nekonvexní 18
- prvků 118
plynů 154
- obvodový 37
stereometrie 38— 39
- rovnosti čísel 21
- orientovaný 19
střádání 29
vlnová délka mezní 174
- pravý 19
vlny elektromagnetické 170
střed úsečky 41
- středový 37
vodivost tepelná kapalin 149
střední geometrická úměrná 38
- vazebný 147
pevných látek 141
- vektorů 40
střední příčka lichoběžníku 36
stupeň 19
- , velikost 18
plynů 154
stupnice teplotní mezinárodní 112
úhlopříčky čtverce 36
vrchlík kulový 39
- tvrdosti Mohsova 140
vrstva kulová 39
- pravidelných mnohoúhelníků 36
vteřina 19
úhly doplňkové 34
T
205
výhřevnost 143
výpočty na základě chemické
rovnice 198
- stechiometrickč 197, 198
výrazy lomené 25
výroky 1 4 ,2 0
- složené 20
výseč kruhová 37
vzdálenost bodu od přímky 18, 43
od roviny 44
- dvou rovnoběžek 18
- rovnoběžných rovin 18
vzduch 1 5 7 ,1 5 8
vzorce fyzikální 186 a dále
206
- matematické 20 a dále
- pro chemické výpočty 197 a dále
vzorec Heronův 35
- Moivreův 23
vzrůst hodnoty 29
vztahy mezi goniom. funkcemi 33
kořeny a koeficienty
kvadratické rovnice 27, 28
Z
záměna cyklická 34
- mezi 49
záření elektromagnetické
169
závorky 16
Země 177
zlomek 25
- hmotnostní
197
prvku v zemské kůře 118
- molámí 197
rovnovážný 199
- objemový 197
- složený 26
značky matematické 13 a dále
- pro elektrotechnická schémata 200
- veličin a jednotek 106 a dále
- v počítačkách 1 6 ,1 7
RNDr. Jiří Mikulčák, C S e,
Doc. Ing. Dr. tech. Bohdan Klimeš, CSc.,
RNDr. Jarom ír Široký, C S c,
RNDr. Václav Sůla,
RNDr. František Zemánek
M A T E M A T IC K É ,
F Y Z IK Á LN Í
A C H EM IC K É
TABULKY
pro střední š k o ly
O bálku navrhl Ja ro sla v T u šer
V ydalo Státn í pedagogické n aklad atelstv í, n. p.,
v P raze roku 1989
ja k o svou publikaci č. 54-09-12/ 1 b
Ed ice P o m o cn é knihy pro žáky
O dpovědná redaktorka M arie N o váková
V ýtvarn ý red aktor V áclav H anuš
T ech n ick á red akto rka Ja n a T aran to v á
V ytiskla Polygrafia, n. p., závod 3 , P raha 7, D o bro v sk éh o 27
F o rm á t papíru 84 cm x 108 cm
P o čet stran 208
A A 1 6 , 2 8 - V A 18,10
N áklad 2 9 9 500 výtisků
T em a tick á skupina a podskupina 03/2
D o tisk 1. vydání
C en a vázaného výtisku K č s 2 1 ,0 0
101/23,853
231
4012
1 4 -2 5 7 -8 9
K č s 2 1 ,0 0