Prevodnost grafenovih nanotrakov

PREVODNOST GRAFEN NANO-­‐TRAKOV DOMACA NALOGA ZA PREDMET: FIZIKA NANOSISTEMOV :ŽǎĞƵŚ͕DĞŶƚŽƌ͗dŽŵĂǎZejec Naloga: ŝůũ ŶĂůŽŐĞ ũĞ ŝnjƌĂēƵŶĂƚŝ ƉƌĞǀŽĚŶŽƐƚ ŶĂŶŽ-­‐traku narejenega iz grafena. Pri tem se bom upiral na ēůĂŶĞŬůĞĐƚƌŝĐĂůŽďƐĞƌǀĂƚŝŽŶŽĨƐƵďďĂŶĚformation in graphene nanoribbons [1]. Postavitev Experimenta: Odkritje in izolacija grafena ƐƚĂ ŽŵŽŐŽēŝůĂ ŵŶŽŐĞ ĞdžƉĞƌŝŵĞŶƚĞ njĂ ƉƌĞƵēĞǀĂŶũĞ ŽƐŶŽǀŶŝŚ ĨŝnjŝŬĂůŶŝŚ
konceptov v 2D materialih. Grafen je polprevodnik brez energijske verzeli vendar bi bilo za nekatere ĂƉůŝŬĂĐŝũĞďŽůũƵŐŽĚŶŽēĞďŝǀŐƌĂĨĞŶƵůĂŚŬŽ imeli energijsko verzel. dŽůĂŚŬŽĚŽƐĞǎĞŵŽƚĂŬŽĚĂŐƌĂĨĞŶ
omejimo v eni dimenziji in tako zaradi robnega pogoja odpremo energijsko verzel. ǀƚŽƌũŝ njŐŽƌĂũ ŽŵĞŶũĞŶĞŐĂ ēůĂŶŬĂ ƐŽ ƉƌĞƵēĞǀĂůŝ ůĂƐƚŶŽƐƚŝ ϯϬŶŵ ozkega traku narejenega iz enoplastnega lista grafena. Grafen je bil z ŵĞŚĂŶƐŬŽ ĞŬƐĨŽůŝĂĐŝũŽ ŶĂŶĞƓĞŶ ŶĂ Ɖ-­‐dopiran silicijev substrat z 300nm debelo izolativno plastjo silicijevega oksida. <ĂƐŶĞũĞƐŽĂǀƚŽƌũŝƐƉŽŵŽēũŽũĞĚŬĂŶũĂ
z kisikovo plazmo oblikovali ozke trakove grafena. Za izvedbo meritev so s postopkom litografije naparili paladijeve ĞůĞŬƚƌŽĚĞ ŶĂ ŬŽŶĐĞ ŐƌĂĨĞŶŽǀŝŚ ƚƌĂŬŽǀ͘ dŝ ĚǀĞ ĞůĞŬƚƌŽĚŝ ƚĂŬŽ ƐůƵǎŝƚĂ njĂ ƐŽƵƌĐĞ ŝŶ
drain elektrodi silicij v substratu (pod plastjo silicijevega oksida) pa predstavlja ŐĂƚĞĞůĞŬƚƌŽĚŽ͘DŽǎŶŽ
je torej sedaj meriti prevodnost tako pripravljene naprave v odvisnosti od napetosti na vratih pri ƌĂnjůŝēŶŝŚƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĂŚ͘dĂŵĞƌŝƚĞǀŶĂŵĚĂŶĞŬĂũŝŶĨŽƌŵĂĐŝũo energijski verzeli. Shema take naprave, skupaj z AFM sliko je prikazana na sliki 1. Slika 1: A) Shema naprave prikazuje grafenov nanotrak na silicijevem oksidu in dve elektrodi iz Paladija. Spodaj je silicij, ki ƐůƵǎŝ ŬŽƚ ŐĂƚĞ ĞůĞŬƚƌŽĚĂ͘ Ϳ AFM slika naprave na kateri so avtorji merili prevodnost. sŝũŽůŝēŶŽ ũĞ ŽďĂƌǀĂŶ ŐƌĂĨĞŶŽǀ ƚƌĂŬ͕
svetlorumene so elektrode iz paladija in modro silicijev oksid [1]. Meritev prevodnosti v odvisnosti od napetosti na vratih razkrije platoje, Ŭŝ ƐĞ ƉŽũĂǀŝũŽ Ɖƌŝ ƌĂnjůŝēŶŝh napetostih na vratih. Funkcija prevodnosti je ponovljiva. Slika 2 prikazuje prevodnost in gostoto ƐƚĂŶũnjĂϯϭŶŵƓŝƌŽŬzig-­‐zag grafenov trak. Slika 2: Ϳ'ŽƐƚŽƚĂƐƚĂŶũnjĂŐƌĂĨĞŶŶĂŶŽƚƌĂŬƓŝƌŝŶĞϯϭŶŵ͘ͿWƌĞǀŽĚŶŽƐƚǀŽĚǀŝƐŶŽƐƚŝŽĚŐĂƚĞŶĂƉĞƚŽƐƚ͘^ƉŽĚĂũĚĞƐŶŽũĞ
ƐŚĞĂƚŝēŶŝƉƌŝŬĂnjƉŽůũĂŝŶĞŬǀŝƉŽƚĞŶĐŝĂůŶŝŚƉůŽƐŬĞǀŶĂŶŽƚĂŬƵ͘^ŚĞŵĂƉƌŝŬĂnjƵũĞƉŽŵĞŵďŶŽƌĂnjůŝŬŽǀƉƌŝŵĞƌũĂǀŝnjƉůŽƓēĂƚŝŵ
kondenzatorje [1]. dĞŽƌĞƚŝēŶŽŽnjĂĚũĞ͗ EĂũƉƌĞũũĞ ƉŽƚĞƌďŶŽŝnjƌĂēƵŶĂƚŝĚŝƐƉĞƌnjŝũŽnjĂŶĞƐŬŽŶēŶŝϮůŝƐƚ ŐƌĂĨĞŶĂ͘dŽƐƚŽƌŝŵ s ƉƌŝďůŝǎŬŽŵƚĞƐŶĞ
vezi [2]. Wƌŝ ƚĞũ ŵĞƚŽĚŝ ũĞ ƉŽƚƌĞďŶŽ ŝnjƌĂēƵŶĂƚŝ ƉƌĞŬƌŝǀĂůŶŝ ŝŶƚĞŐƌĂů njĂ ŶĂũďůŝǎũĞ ƐŽƐĞĚĞ Ɛ ēŝŵĞƌ njĂ ĚŝƐƉĞƌnjŝũŽ
dobimo: ߝ൫݇ሬറ ൯ ൌ ห‫ ݐ‬൅ ‫’š‡ݐ‬൫െ݇ሬറሬሬሬሬറ൯
ܽଵ ൅ ‫’š‡ݐ‬൫െ݇ሬറሬሬሬሬറ൯หǡ ܽଶ
tu je t prekrivalni integral ‫ۦ‬Ȱ஺ ȁȰ஻ ͕ۧŬŝũĞnjĂƌĂĚŝƐŝŵĞƚƌŝũĞĞŶĂŬnjĂǀƐĞŬŽŵďŝŶĂĐŝũĞŶĂũďůŝǎũŝŚƐŽƐĞĚŽǀ
in ĂƚŽŵŽǀǀŵƌĞǎŝ͘ ߝ൫݇ሬറ ൯ ൌ േห݃൫݇ሬറ ൯ห‫ ݐ‬ ݃൫݇ሬറ ൯ ൌ ඨͳ ൅ Ͷ …‘• ቆ
݇௫
݇௫
ξ͵݇௬
ܽቇ…‘• ൬ ܽ൰ ൅ Ͷ …‘•ଶ ൬ ܽ൰ǡ ʹ
ʹ
ʹ
ܽ ũĞƚƵŬĂũƌĂnjĚĂůũĂŵĞĚŶĂũďůŝǎũŝŵĂƐŽƐĞĚŽŵĂǀŵƌĞǎŝ͘ <ĂƌůĂŚŬŽƉƌŝŬĂǎĞŵŶĂƐůŝŬŝϯnjĂƉƌǀŽďƌŝůũĞŶŽǀŽ
cono. Slika 3: ŝƐƉĞƌnjŝũĂnjĂŶĞƐŬŽŶēĞŶϮŐƌĂĨĞŶza kx in ky = [-­‐ʋ͕ʋ΁͘ WŽŵĞŵďŶĂũĞƓĞŽďůŝŬĂnjŐŽƌŶũĞĨƵŶŬĐŝũĞǀďůŝǎŝŶŝ<ƚŽēŬĞŐƌĂĨĞŶĂ;ƚŽēŬĂŬũĞƌũĞĞŶĞƌŐŝũĂŶĂũŶŝǎũĂͿ , saj nam ta pomaga najti povezavo med napetostjo na vratih in Fermijevo energijo. ξ͵
ߝ൫݇ሬറ ൯ ൎ
ܽ‫ݐ‬ห݇ሬറ െ ݇ሬറ଴ หǡ ʹ
torej ߩߨ‫ݒ‬ிଶ
‫ܧ‬ி ൌ ඨ ଶ Ǣ ߩ ൌ ‫ܥ‬௚ ൫ܸ௚ െ ܸௗ ൯ǡ ͵԰
tukaj je ‫ܥ‬௚ kapaciteta silicijevega oksida med trakom grafena in ozemljeno silicijevo elektrodo. ĞƐĞĚĂũƵǀĞĚĞŵƌŽďŶŝƉŽŐŽũ͗ ݇ሬറ ή ‫ܥ‬റ ൌ ߨǡ kjer je ‫ܥ‬റ ൌ ݊ଵ ܽറଵ ൅ ݊ଶ ܽറଶ in kjer sta a1 in a2 ǀĞŬƚŽƌũĂƌĂǀŝƐŽǀĞŵƌĞǎĞ͘Ăpasovno strukturo ǀďůŝǎŝŶŝ<1 in K2 ƚŽēŬĞŽď
ƵƉŽƓƚĞǀĂŶũƵƌŽďŶĞŐĂƉŽŐŽũĂůĂŚŬŽŝnjƌĂēƵŶĂŵƉƌǀŝŚŶĞŬĂũĞŶĞƌŐŝũƐŬŝŚƉĂƐŽǀnjŶĂũŶŝǎũŽĞŶĞƌŐŝũŽ;ƐůŝŬĂ
4). Na sliki 5 sem narisal ĞŶĞƌŐŝũƐŬŽĚŝƐƉĞƌnjŝũŽnjĂŐƌĂĨĞŶƐŬƵƉĂũnjēƌƚĂŵŝ;ŬŝũŝŚĚŽůŽēĂƌŽďŶŝƉŽŐŽũͿ
ǀnjĚŽůǎŬĂƚĞƌŝŚso izrisani pasovi na sliki 4. Slika 4: Levo: WƌǀŝŚŶĞŬĂũƉĂƐŽǀǀďůŝǎŝŶŝ< (na sliki 5 ŽnjŶĂēĞŶŝnj<1) ƚŽēŬĞ. Prikazani so pasovi za INT=[-­‐5,5]. Vsaka od modrih ēƌƚƉƌĞĚƐƚĂǀůũĂĚǀĂƉĂƐŽǀĂ, saj za INT in ʹINT robni pogoj da isto obliko pasu.Vendar pa je fizikalno gledano pas z INT enak pasu z-­‐ INT. Desno: WƌǀŝŚŶĞŬĂũƉĂƐŽǀǀďůŝǎŝŶŝ< (na sliki 5 ŽnjŶĂēĞŶŝnj<2) ƚŽēŬĞ. Prikazani so pasovi za INT=[500,505]. ^ĞĚĂũ ůĂŚŬŽ ŬŽŶēŶŽ ŝnjƌĂēƵŶĂŵ ƉƌĞǀŽĚŶŽƐƚ ǀ ŽĚǀŝƐŶŽƐƚŝ napetosti na vratih͘ /nj ēůĂŶŬĂ ƌĂnjďĞƌĞŵ
povezavo med Fermijevo energijo in napetosti na vratih͕ Ŭŝ njŶĂƓĂ ‫ܧ‬ி ൌ ͲǤͲͲ͹ͺඥܸ௚ . Sedaj lahko ŝnjƌĂēƵŶĂŵƉƌĞǀŽĚŶŽƐƚnjƵƉŽƌĂďŽ>ĂŶĚĂƵĞƌũĞǀĞŐĂƉƌŝƐƚŽƉĂ΀ϭ΁͗ ߲݂
‫ ܩ‬ൌ ቀʹ ݁ ൗ݄ቁ ෍ න ܶ௜ ሺ‫ܧ‬ሻ ቎െ ቌ ଴ൗ߲‫ ܧ‬ቍ቏ †‫ ܧ‬ǡ ଶ
௜
<ũĞƌƐĞƓƚĞǀĂŵŽ ƉŽǀƐĞŚ ƉĂƐŽǀŝŚ͘ ^ƉŽĚŶũĂŵĞũĂ ŝŶƚĞŐƌĂůĂ ũĞ ŶĂũŶŝǎũĂ ƚŽēŬĂ ƉŽƐĂŵĞnjŶĞŐĂ ƉĂƐƵ͕ ݂଴ je Fermijeva funkcija pri dani temperaturi in ܶ௜ ሺ‫ܧ‬ሻ je prepustnostni koeficient, ki je enak za prvih nekaj pasov in ga lako izpostavimo iz inteŐƌĂůĂ͘ŐŽƌŶũĞŝnjƌĂēƵŶĞƐĞŵŶĂƉƌĂǀŝůǀƉƌŽŐƌĂŵƵDĂƚŚĞŵĂƚŝĐĂ͘EĂ
sliki 6 je rezultat simulacije pri temperaturi 20 in 80 K. Opazim dobro ujemanje med mojimi rezultati ŝŶƌĞnjƵůƚĂƚŝŝnjēůĂŶŬĂ͘ Slika 5: ͚Contour plot͛ za energijsko disperzijo ƐŬƵƉĂũnjǀƌŝƐĂŶŝŵŝēƌƚĂŵŝƉŽŬĂƚĞƌŝŚƌĂnjƌĞǎĞŶŽƚŽ
ĚŝƐƉĞƌnjŝũŽ ŶĂ ƐůŝŬŝ ϰ͘ EĂ ƐůŝŬŝ ƐƚĂ ƚƵĚŝ ŽnjŶĂēĞŶŝ Ϯ
finjŝŬĂůŶŽƌĂnjůŝēŶŝƚŽēŬŝ<1 in K2. Slika 6: Prevodnost kot funkcija napetosti na vratih njĂĚǀĞƌĂnjůŝēŶŝƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌi ŝnjƌĂēƵŶĂŶĂƐƉŽŵŽēũŽnjŐŽƌŶũĞĞŶĂēďĞ͘Vidimo lahko, ĚĂ ũĞ njĂƌĂĚŝ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌŶĞ ƌĂnjŵĂnjĂŶŽƐƚŝ ĨĞƌŵŝũĞǀĞ ĨƵŶŬĐŝũĞ Ɖƌŝ dсϴϬ ƐƚŽƉŶŝĐĞ ǀ ƉƌĞǀŽĚŶŽƐƚŝ ƚĞǎũĞ ŽƉĂnjŝƚŝ͘ Wƌŝ ǀŝƓũŝŚ
ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĂŚƐēĂƐŽŵĂƐƚŽƉŶŝĐŶĞďŝǀĞēŵŽŐůŝŽƉĂnjŝƚŝ, saj bi se popolnoma zamazale. Obratno so glede na to simulacijo pri ŶŝǎũŝŚƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĂh sƚŽƉŶŝĐĞǀƐĞŽƐƚƌĞũƓĞ͘ Komentar: EĞƐŬŽŶēŶŝ ůŝƐƚ ŐƌĂĨĞŶĂ ũĞ ƉŽůƉƌĞǀŽĚŶŝŬ ďƌĞnj ĞŶĞƌŐŝũƐŬĞ ǀĞƌnjĞůŝ͘ <Ž ƉĂ ŝnj ŶĞƐŬŽŶēŶĞŐĂ ůŝƐƚĂ ŐƌĂĨĞŶĂ
ŝnjƌĞǎĞŵŽŽnjĞŬƚƌĂŬ, njĂƌĂĚŝƌŽďŶĞŐĂƉŽŐŽũĂŽĚƉƌĞŵŽĞŶĞƌŐŝũƐŬŽǀƌnjĞů͘ĂƌĂnjůŝēŶĞŝŶĚĞŬƐĞ/EdĚŽďŝŵŽ
ƌĂnjůŝēŶĞƉƌĞǀŽĚŶĞŬĂŶĂůĞ͘dŽŬƐŬŽnjŝƚĞŬĂŶĂůĞƉĂƚĞēĞnjŐŽůũ, ēĞũĞĨĞƌŵŝũĞǀĂĞŶĞƌŐŝũĂǀĞēũĂ;ƉƌŝdсϬ͕pri t>0 je lahko zaradi teperaturne razmazanosti ‫ܧ‬ி ƚƵĚŝ ŶĞŬŽůŝŬŽ ŵĂŶũƓĂͿ ŽĚ ŵŝŶŝŵĂůŶĞ ĞŶĞƌŐŝũĞ
posameznega pasu. Torej z napetostjo na vratih premikamo Fermijevo energijo in ǀƐĂŬŝē, ko ta ĞŶĞƌŐŝũĂ ƉƌĞƐĞǎĞ ĞŶĞŐĂ ŽĚ minimumov pasov s slike 4 se nam v prevodnosti pojavi stopnica, saj k integralu dodamo dva nova kanala in sicer eneŐĂƉƌŝƚŽēŬŝ <ϭŝŶĚƌƵŐĞŐĂƉƌŝƚŽēŬŝ<Ϯ . Viri: [1] Yu-­‐Ming Lin, Vasili Perebeinos, Zhihong Chen, Phaedon Avouris, Physical Review B 78 (2008), 161409. [2] Ashcroft N., Mermin D., Solid State Physics, (1967). 
`