הוראת וקטורים - MathematicAmos

‫על הוראת נושא הוקטורים‬
‫ע‪ .‬ארליך‬
‫משפט המנסרה ושימושיו ביסודות תורת הוקטורים‬
‫משפט המנסרה‪ ,‬שבתורת הוקטורים נעשה בו שלושה שימושים‬
‫חשובים‪ ,‬הוא משפט מגיאומטרית‪-‬המרחב האומר כך‪:‬‬
‫אם ‪ AA`B`B‬מקבילית ו‪ BB`C`C -‬מקבילית‬
‫אז גם ‪ AA`C`C‬מקבילית‪.‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫משפט זה נובע מטרנזיטיביות ההקבלה בגיאומטרית המרחב‪ .‬הוכחה של טרנזיטיביות ההקבלה‬
‫נמצאת במאמרו של מ‪ .‬קורן "תורת הוקטורים וטרנזיטיביות ההקבלה"‪ ,‬על"ה ‪ , 12‬אלול תשנ"ג‪ ,‬וב‪-‬‬
‫‪http://kesher-cham.technion.ac.il/clickit_files/files/index/552619713/468395775/429462975.pdf‬‬
‫כדי שלא להתרחק מנושאיו הישירים של פרק הוקטורים אני הולך בעקבות המלצתו של מ‪ .‬קורן‬
‫ומציע לפתוח את פרק הוקטורים בציטוט משפט המנסרה‪.‬‬
‫השימושים‬
‫‪ .1‬טרנזיטיביות השקילות‪-‬של‪-‬וקטורים מוכחת כשהמקביליוּת קשורה בשויון והקבלה של המקצועות‬
‫הצדדיים‪.‬‬
‫‪ .2‬חיבור וקטורים אינו תלוי במיצגים‪ .‬זה מוכח כשהמקביליוּת קשורה בשויון והקבלה של מקצועות‬
‫הבסיסים‪.‬‬
‫‪ .3‬הזוית אינה תלויה במיצגים‪ .‬זה נדרש לצורך הגדרת מכפלה סקלרית‪ .‬ההוכחה על‪-‬ידי חפיפת‬
‫הבסיסים‪ ,‬בעזרת משפט החפיפה השלישי צצ"צ‪.‬‬
‫פירוט להלן‪.‬‬
‫שוויון וקטורים‬
‫עמיצור‪' :‬הרעיון ששני דברים שאינם זהים ייקראו "שווים" מקובל במתימטיקה )ההדגשה שלי‪ .‬ע‪.‬א‪(.‬‬
‫מצדיקים שוויונות כאלה באפשרויות להשתמש בהן‪'.‬‬
‫הסתמכות על "המקובל במתימטיקה" )= "סמוך עלי! זה בסדר!"( מסיעת לתלמידים לקבל דברים‬
‫תמוהים‪ ,‬אך אסור לה להיות נימוק בלעדי לקבלתם‪ .‬יתר על כן‪ ,‬אין בה אלא רמז קלוש ביותר למה‬
‫שנובע מהשואתם של עצמים שונים‪.‬‬
‫הצעתי‪ :‬תחילה נגדיר וקטור כקטע עם כיוון‪ ,‬שהוא קטע שקצהו האחד נחשב זנבו וקצהו השני נחשב‬
‫ראשו‪ .‬אחר כך נגדיר שקילות וקטורים‪ ,‬ונראה שלשקילות שלש תכונות דומות לתכונות השוויון‬
‫) ‪ , ( a ≡ a , a ≡ b ⇒ b ≡ a , a ≡ b ∧ b ≡ c ⇒ a ≡ c‬ואחר כך נאמר משהו מעין זה‪:‬‬
‫"תורת הוקטורים אינה עוסקת בתכונות המבדילות בין וקטור אחד ובין חברו השקול לו אלא רק‬
‫בתכונות המשותפות לכל שני וקטורים השקולים זה לזה‪ .‬לכן נתיחס אל וקטורים שקולים כאילו היו‬
‫שוים זה לזה ונכתוב ביניהם סימן שויון "="‪ .‬דבר זה מקובל במתימטיקה‪ ,‬ומשמעו‪ :‬אין בכונתנו‬
‫לומר על וקטור אלא מה שנכון גם בשביל כל חבריו השקולים לו‪ .‬כל וקטור ייצג לא רק את עצמו אלא‬
‫גם את חבריו אלה‪".‬‬
‫כדוגמא ראשונה נגש להגדיר סכום של שני וקטורים נתונים ‪ u‬ו‪v -‬‬
‫והרי ההגדרה‪ :‬לחיבורם של שני וקטורים ‪ u‬ו‪ v -‬נשרטט‪ ,‬במקום כלשהו‪ ,‬וקטור שוה ל‪ ,u -‬מקצהו‬
‫הקדמי נשרטט וקטור שוה ל‪ ,v -‬והסכום ‪ u+v‬יהיה הוקטור שזנבו בזנב הראשון וראשו בראש‬
‫השני‪.‬‬
‫כדי להראות שמה שעשינו אינו תלוי במיצגים עלינו להראות שאם ‪u` ≡ u‬‬
‫ו‪ v` ≡ v -‬אז הסכום המתקבל באמצעות ‪ u‬ו‪ v -‬שקול לסכום המתקבל‬
‫באמצעות `‪ u‬ו‪: v` -‬‬
‫‪u‬‬
‫‪v‬‬
‫'‪u‬‬
‫'‪v‬‬
‫משפט המינסרה נותן זאת‪.‬‬
‫‪--------------------‬‬‫נושאים שיילמדו בכתה וכאן לא ניכנס לפרטים שלהם‪:‬‬
‫חיבור וקטורים הוא חילופי וקיבוצי‪ .‬וקטור ה‪) 0-‬יחשב נטול כיוון(‪ .‬וקטור נגדי וחיסור וקטורים‪.‬‬
‫מכפלת וקטור בסקלר וחוקיה‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫וקטור‬
‫של‬
‫נגדי‬
‫חבור‬
‫או‬
‫וקטורים‬
‫חיסור‬
‫אבל נדגיש כאן פרט מועיל‪:‬‬
‫‪-u+v‬‬
‫יעשו על ידי "הליכה אחורנית"‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-------------------‬‬‫קומבינציה קמורה‬
‫נפרט ענין אחד ונפתח בבעיה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫יהיו ‪ u = OA‬ו‪ v = OB -‬תהי ‪ C‬נקודה בקטע ‪AB‬‬
‫כך ש‪ .AC:CB = 1:4 -‬כתוב את הוקטור ‪ OC‬בעזרת ‪ u‬ו‪.v -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪u‬‬
‫‪w‬‬
‫‪)/‬‬
‫‪ , AB = v-u‬ולפי יחס החלוקה הנתון‪. AC= 0.2 AB ,‬‬
‫‪O‬‬
‫לכן ‪OC = u + AC = u + 0.2(v - u) = 0.8u + 0.2v‬‬
‫ובדרך כלל‪:‬‬
‫אם ‪C‬נקודה בקטע ‪ AB‬נסמן ב‪ λ -‬את המנה ‪) AC/AB‬היחס שבין ‪ AC‬ובין הקטע השלם(‪,‬‬
‫‪B‬‬
‫ואז ‪) CB/AB = 1-λ‬בציור‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪1− λ‬‬
‫(‬
‫ואז ‪OC = u + AC = u + λ (v - u) = (1 - λ )u + 0.2v‬‬
‫הערה‪ :‬הסב את תשומת לב התלמידים ל"הצטלבות" הכופלים ‪ λ‬ו‪) .1−λ -‬הוקטור המקבל את הכופל‬
‫היותר גדול הוא בעל ההשפעה היותר גדולה על התוצאה וזה מקרב את התוצאה אליו‪(.‬‬
‫ובענין האות היוונית ‪ :λ‬ציין שלמרות דמיונה ל‪-‬ג היא מקבילתה של ל‪ .‬באנגלית נכתב שמה‬
‫‪ Lambda‬וזה חלק מהתופעה הבאה‪ :‬כאשר מלה עוברת מעברית )או מכנענית פיניקית( ליוונית‬
‫הופכות‪ ,‬לפעמים‪ ,‬ב ו‪-‬מ דגושות לצירוף ‪ .mb‬דוגמה לכך הוא הנהר האגדי סמבטיון ששמו נגזר‬
‫מ"שבת" בגלל מנוחתו ביום זה‪.‬‬
‫אתנחתא לא מתימטית מסוג זה מסיעת לביטול התנגדותם של התלמידים לאות חדשה ובלתי מוכרת‪.‬‬
‫ומכיוון שהעלינו נושא זה אביא גם את סיפורן של שתי אותיות יווניות אחרות‪) .‬בכיתה העלה את‬
‫סיפורן כאשר תזדקק לאותן אותיות‪(.‬‬
‫סיפורה של ‪ : θ‬הצורה הקדומה של ט העברית היא ‪ .‬מבטאה המקורי קרוב לצירוף של ת=‬
‫‪.‬‬
‫ושל ע=‬
‫סיפורה של ‪ ξ=Ξ‬מתחיל בזה ש‪ Σ -‬נגזרה מהאות העברית‪-‬פיניקית ש שצורתה הקדומה דומה ל‪.w -‬‬
‫נותרה פנויה ונלקחה לתפקיד ‪. Ξ‬‬
‫האות העברית ס=‬
‫המעבר אל הצורה הרהוטה‪:‬‬
‫‪--------------------‬‬‫יחידות ההצגה כקומבינציה לינארית של איברי בסיס‬
‫נפתח בבעיה‪ :‬נתונים ‪ u‬ו‪ v -‬בעלי כיוונים שונים ונתון וקטור שלישי ‪ s‬באותו מישור‪ .‬מצא מספרים ‪a‬‬
‫ו‪ b -‬כך ש‪) . s=au+bv -‬כלי ההנדסה שלרשותך כוללים סרגל‪-‬מדידה(‬
‫פתרון‪ :‬נשרטט את ‪ v ,u‬ו‪ s -‬יוצאים מנקודה אחת‪ .‬דרך קצהו של ‪ s‬נשרטט ישר מקביל לישר של ‪.v‬‬
‫הוקטור ‪ bv‬ישורטט "אחורנית" מקצה ‪ ,s‬במקביל ל‪ ,v -‬עד נקודת החיתוך של מקביל זה עם הישר של‬
‫‪ .u‬הוקטור ‪ au‬ישורטט "אחורנית" משם אל נקודת המוצא‪ .‬מדידות בסרגל תתנה את הערכים‬
‫המספריים של ‪ a‬ושל ‪.b‬‬
‫‪bv‬‬
‫‪u‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v‬‬
‫‪s‬‬
‫‪au‬‬
‫‪u‬‬
‫‪bv‬‬
‫‪au‬‬
‫‪v‬‬
‫תוצאה‪ :‬אם ‪ u‬ו‪ v -‬שוני‪-‬כיוון אז לכל וקטור ‪ s‬שבמישור המכיל אותם יש מספרים ‪ a‬ו‪ b -‬כך ש‪-‬‬
‫‪. s= a u + b v‬‬
‫‪2‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬אם גם ‪ cu+dv = s‬אז חייב ‪ dv‬לצאת מנקודה שעל הישר של ‪ u‬וללכת במקביל ל‪ v -‬עד‬
‫קצהו של ‪ .s‬לכן הוא חייב להיות שוה ל‪ bv -‬שבנינו לעיל‪ ,‬לכן חייב ‪ cu‬להיות שווה ל‪ ,av -‬לכן ‪ d=b‬ו‪-‬‬
‫‪.c=a‬‬
‫‪. a u+ bv= c u+ dv ⇒ a = c , b= d‬‬
‫תוצאה‪ :‬אם ‪ u‬ו‪ v -‬שוני‪-‬כיוון אז‬
‫שתי תוצאות אלה יחדיו נקראות משפט הבסיס במישור‪) .‬בגללן קוראים לכל שני וקטורים בעלי‬
‫כיוונים שונים הנמצאים במישור אחד בשם בסיס למישור(‪ .‬משפט מקביל בשביל המרחב התלת‪-‬‬
‫ממדי יתקבל להלן דרך גירסה מרחבית של הבעיה שממנה יצאנו‪:‬‬
‫נתונים ‪ v ,u‬ו‪ w -‬שאם משרטטים אותם יוצאים מאותה נקודה אז אף שניים מהם אינם במישור‬
‫אחד‪ ,‬ונתון וקטור שלישי ‪ .s‬מצא מספרים ‪ b ,a‬ו‪ c -‬כך ש‪. s=au+bv+cw -‬‬
‫)כלי ההנדסה שלרשותך כוללים לא רק סרגל‪-‬מדידה אלא גם אמצעים לשרטוט "באויר"‪(.‬‬
‫פתרון‪ bv ,au :‬ו‪ cw -‬משורטטים בציור הבא‪ .‬הדרך‬
‫לשרטוטם אינה בכיוון החיצים אלא "אחורנית"‪.‬‬
‫‪ cw‬הולך אחורנית מקצהו של ‪ , s‬במקביל ל‪ ,w -‬עד שהוא‬
‫מגיע למישור של ‪ u‬ו‪) v -‬בציור ניקדנו חלק ממישור זה(‪bv .‬‬
‫הולך אחורנית מנקודה זאת‪ ,‬במקביל ל‪ ,v -‬עד שהוא מגיע‬
‫לישר של ‪ au . u‬הולך משם אחורנית על הישר של ‪ u‬עד‬
‫שהוא מגיע לנקודת ההתחלה המשותפת לשלושת‬
‫הוקטורים הנתונים‪.‬‬
‫אחרי ששרטטנו את ‪ bv ,au‬ו‪ cw -‬נוכל למצוא את ‪ b ,a‬ו‪c -‬‬
‫על‪-‬ידי מדידה‪.‬‬
‫‪s‬‬
‫‪cw‬‬
‫‪v‬‬
‫‪u bv‬‬
‫‪au‬‬
‫‪w‬‬
‫בזאת הראינו שקיימים ‪ b ,a‬ו‪ c -‬כך ש‪ .au+bv+cw = s -‬כעת נראה שקיימת רק שלשה אחת של‬
‫ערכים מתאימים בשביל ‪ b ,‬ו‪ .c -‬כלומר‪ ,‬נראה שאם גם ‪ a'u+b'v+c'w = s‬אז '‪ b=b' , a=a‬ו‪.c=c' -‬‬
‫ואמנם‪ ,‬מכיוון שהסכום ‪ a'u+b'v‬נמצא במישורם של ‪ u‬ו‪ v -‬חייב ‪) c'w‬שבהתחברו אליהם נותן את ‪(s‬‬
‫להתחיל במישור זה‪ ,‬להקביל ל‪ w -‬ולהגיע אל ראשו של ‪ ,s‬לכן ‪ c'w‬הוא בדיוק ‪ cw‬שבנינו לעיל‪ ,‬לכן‬
‫‪ .c'=c‬הוקטור ‪ b'v‬חייב להתחיל בישר של ‪ ,u‬להקביל ל‪ v -‬ולהגיע אל הנקודה שממנה יוצא ‪ cw‬לכן‬
‫הוא בדיוק ‪ bv‬שבנינו לעיל‪ ,‬לכן ‪.b'=b‬‬
‫‪ a'u‬חייב לצאת מנקודת ההתחלה של ‪ w‬ולהגיע אל הנקודה שממנה יוצא ‪ , bv‬לכן ‪ a'u= au‬לכן ‪.a'=a‬‬
‫בזאת הושלמה הוכחת משפט הבסיס במרחב‪.‬‬
‫)שלושה וקטורים שאם משרטטים אותם יוצאים מאותה נקודה אז אף שניים מהם אינם במישור אחד‪,‬‬
‫יקראו בסיס למרחב(‬
‫שימושים להנדסת המישור‬
‫תחילה נוכיח שתיכוני משולש מחלקים זה את זה ביחס ‪ .1/3 : 2/3‬משפט זה יקרא משפט התיכונים‪.‬‬
‫‪ .1‬מכיוון שצלעות המשולש משמשות נקודת‪-‬מוצא לבניה נבחר שתיים מהן להיות בסיס‪:‬‬
‫‪u :=AB , v :=AC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .2‬נבטא בעזרתן את הצלע השלישית ואת התיכונים‪:‬‬
‫‪AM = u/2 +v/2‬‬
‫‪CN = u/2 -v‬‬
‫‪CB = u-v‬‬
‫‪u N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ .3‬המאפיין את הנקודה ‪ P‬הוא היותה גם על ‪ AM‬וגם על ‪ ,CN‬כלומר‪,‬‬
‫‪P‬‬
‫קיים ‪ x‬אשר ‪ AP = x AM‬וקיים ‪ y‬אשר ‪.CP = y CN‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪(.‬‬
‫=‪x=y‬‬
‫‪2/3‬‬
‫הבה נחפש את ‪ x‬ואת ‪) .y‬משפטנו יוכח אם נראה ש‪-‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ .4‬נחפש אפוא שויון וקטורים שביטוייהם כוללים ‪ x‬ו‪ ,y -‬וזה יתן שתי‬
‫משוואות ב‪ x -‬ו‪.y -‬‬
‫שוויון כזה הוא ‪AP = AC + CP‬‬
‫כלומר‪x(u/2 +v/2) = v + y(u/2 -v) ,‬‬
‫‪x‬‬
‫נפתח‪/2 u +x/2 v = y/2 u + (1-y/2)v :‬‬
‫‪x/2 =1-y/2‬‬
‫‪ .5‬לכן על‪-‬פי משפט הבסיס‪,‬‬
‫‪x/2 = y/2‬‬
‫ו‪-‬‬
‫ופתירת מערכת משוואות זאת נותנת ‪ּ x=y= 2/3‬‬
‫‪3‬‬
‫הערה‪ :‬ההוכחה הקלסית של משפטנו‪ ,‬על‪-‬פי הציור שלהלן‪ ,‬משתמשת פעמים במשפט על קטע‬
‫האמצעים במשולש ופעם במשפט על אלכסוני המקבילית‪.‬‬
‫יתרונה הוא בזה שהיא "מראה בעיניים למה זה נכון"‪ .‬יתרונה של ההוכחה הוקטורית הוא בזה שהיא‬
‫בנויה על חישוב ישיר ללא תחבולות‪ ,‬בשיטה הניתנת לישום במקרים רבים‪ .‬התרגילים הבאים ידגימו‬
‫זאת‪.‬‬
‫תרגילים‪:‬‬
‫התרגילים ‪ 1‬ו‪ 2-‬נפתרים בדרך כמעט זהה להוכחת משפט התיכונים‪ .‬בתרגיל ‪ 1‬ניתן לנחש את‬
‫התוצאה מראש‪ ,‬וניתן להוכיחה בקלות יחסית גם בדרך הגיאומטרית הקלסית )בעזרת משפט טלס או‬
‫דמיון משולשים(‪ .‬תרגיל ‪ 2‬מדגים את עוצמתה של הדרך הוקטורית‪.‬‬
‫‪ .1‬הקטעים המשורטטים במשולש שלהלן מחלקים את הצלעות ביחס ‪1/3 : 2/3‬‬
‫כמתואר בציור‪ .‬באילו יחסים מחלקים הם זה את זה?‬
‫‪1/3‬‬
‫‪ .2‬הקטעים מהקדקדים של המשולש אל צלעותיו מחלקים את הצלעות‬
‫ביחסים הכתובים בציור שמשמאל‪.‬‬
‫הוכח שהם מחלקים זה את זה ביחסים ‪ 1/7 : 6/7‬ו‪. 3/7 : 4/7 -‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪1/3‬‬
‫התרגיל הבא הוא תרגיל קל ותפקידו להציע אימון פשוט בשיטה שנלמדה‪ .‬בדרך כלל ראוי לפתוח‬
‫בתרגילים מעין זה‪ .‬יכולנו להקדים לו את התרגילים ‪ 1‬ו‪ 2-‬משום שדמיונם להוכחת משפט התיכונים‬
‫עושה גם אותם קלים למדי‪.‬‬
‫‪ .3‬הוכח בדרך וקטורית דומה שאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה‪.‬‬
‫התרגיל הבא מדגים הן את החופש לבחור בסיס כרצוננו והן את היתרון שבבחירת בסיס המכניס‬
‫סימטריות לחישובים‪.‬‬
‫‪ .4‬הוכח את משפט התיכונים על‪-‬ידי חישוב ‪ BP‬בשני אופנים‪ ,‬כשהבסיס הוא‬
‫‪v := BC‬‬
‫‪u := BA‬‬
‫)סימני הנקודות הם כבציור המלווה את ההוכחה הראשונה‪(.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ M .5‬ו‪ N -‬הם אמצעי הצלעות שבמקבילית שבציור שמשמאל‪ .‬באילו‬
‫יחסים מחלקים ‪ AN‬ו‪ DM -‬זה את זה?‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .6‬הוכח בדרך וקטורית שקטע‪-‬אמצעים במשולש מקביל לבסיס ושוה לחציו‪.‬‬
‫בעיה‪ :‬הנקודות ‪ L ,K‬ו‪ M -‬מחלקות את צלעות המשולש ‪ ABC‬ביחסים ‪ β : 1−β , α : 1−α‬ו‪-‬‬
‫‪ γ: 1−γ‬כבציור הימני‪ α .‬ו‪ β -‬נתונים‪ .‬מה צריך להיות ‪) γ‬או איזה שויון עליו למלא( כדי שהקטע ‪CL‬‬
‫יעבור דרך ‪ ,P‬שהיא נקודת החיתוך של ‪ AK‬ו‪BM -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪α‬‬
‫‪1−γ‬‬
‫‪K‬‬
‫‪C‬‬
‫‪L‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1−α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪K‬‬
‫‪u‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1−β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪u-v‬‬
‫‪-u+βv‬‬
‫‪L‬‬
‫‪P‬‬
‫‪γu+(1-γ)v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪(1-α)u-v‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫פתרון‪ :‬יהיו ‪ u := CB‬ו‪ v := CA -‬כבציור השמאלי‪ ,‬ואז ‪ ,AB =u-v‬ועל פי יחסי החלוקה‬
‫‪CL = γu+(1-γ)v‬‬
‫‪AK = α(-v)+(1-α)(u-v) = (1-α)u-v‬‬
‫‪BM = β(-u+v)+(1-β)(-u) = -u+βv‬‬
‫‪ P‬הוא נקודת החיתוך של ‪ BM‬ו‪ AK -‬לכן קיימים כופלים ‪ x‬ו‪ y -‬כך ש‪ CP -‬שוה מחד גיסא ל‪-‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪ u+x(-u+βv‬ומאידך גיסא ל‪. v+y((1-α)u-v) -‬‬
‫)‪(1-x)u+xβv = y(1-α)u+(1-y)v ⇒ u+x(-u+βv) = v+y((1-α)u-v‬‬
‫ולפי משפט הבסיס נקבל )‪1-x = y(1-α‬‬
‫‪xβ = 1-y‬‬
‫נפתור ונקבל )‪ . x=α/(1-β+αβ‬נציב זאת בביטוי ‪ CP= (1-x)u+xβv‬ונקבל‪ ,‬אחרי קצת חישוב‪,‬‬
‫) ‪CP = (1-β+αβ) ( (1−α)(1−β) u + αβ v‬‬
‫= ‪CL‬‬
‫‪γ u + (1-γ) v‬‬
‫לעיל מצאנו ש‪-‬‬
‫ומכאן שהתנאי לכך ש‪ P -‬יהיה על ‪ CL‬הוא )‪(1−α)(1−β)/γ = 1−α)(1−β)/(1−γ‬‬
‫‪ (1−α)(1−β)(1−γ) = αβγ‬וכך קיבלנו את משפט צֶ 'בָ ה ‪.‬‬
‫נכתוב זאת בצורה‬
‫שימושים להנדסת המרחב‬
‫בעיה‪ :‬הוכח ששלשת הקטעים המחברים אמצעי מקצועות נגדיים בארבעון )טטראדר( נפגשים בנקודה‬
‫אחת‪.‬‬
‫‪w-u w‬‬
‫הוכחה‪ :‬בציור שלהלן מודגשים אמצעי שני מקצועות נגדיים‪ .‬סביר לשער שנקודת‬
‫הפגישה היא אמצע הקטע המחבר את שתי הנקודות האלה‪ ,‬לכן נדגיש גם את‬
‫האמצע הזה‪ ,‬ונלך לחשב את הוקטור אל נקודה זאת ונקבל ‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫‪( u+(w-u)/2) + v/2 )/2 = (u+v+w)/4‬‬
‫‪v‬‬
‫בגלל הסימטריה שבבעיה נקבל אותו ביטוי גם כשנצא משני מקצועות נגדיים‬
‫אחרים ּ‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫תיכון של ארבעון יוגדר כקטע המחבר קדקד עם נקודת הפגישה של התיכונים של הפאה שמולו‪.‬‬
‫שאלה ‪:‬‬
‫האם כל שני תיכונים של ארבעון פוגשים זה את זה?‬
‫‪D‬‬
‫ואם כן‪ ,‬באיזה יחס הם מחלקים זה את זה?‬
‫‪w‬‬
‫פתרון‪ :‬נשרטט ונסמן כבציור הבא‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫כדי ש‪ AM -‬ו‪ DN -‬יפגשו צריך שיהיו קימים ‪ x‬ו‪ y -‬כך ש‪-‬‬
‫‪u‬‬
‫‪. w+xDN = yAM‬‬
‫)‪DN = -w+(u/3+v/3‬‬
‫נחשב‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪AM‬‬
‫=‬
‫‪w‬‬
‫(‪+‬‬
‫‪u‬‬
‫‬‫‪w‬‬
‫‪)/‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪+‬‬
‫‪v‬‬
‫‬‫‪w‬‬
‫‪)/‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪u‬‬
‫‪/‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪v‬‬
‫‪/‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪w‬‬
‫‪/‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪v‬‬
‫)‪w+x(u/3+v/3-w) = y(u/3+v/3+w/3‬‬
‫לכן צריך ש‪-‬‬
‫כלומר‪ ,‬צריכים להתמלא שלושת השוויונים ‪.1-x/3=y/3 , x/3=y/3 ,x/3=y/3‬‬
‫זה מתמלא בשביל ‪.x=y=3/4‬‬
‫מסקנות‪ :‬התיכונים נפגשים‪ ,‬ובנקודת הפגישה מתחלק כל אחד ביחס ‪ ,1/4 : 3/4‬ומכאן שגם‬
‫שני התיכונים האחרים עוברים באותה נקודת פגישה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אפשר היה לפתור את הבעיה על‪-‬ידי התבוננות במשולש שקדקדיו הם ‪ D ,A‬ואמצע הצלע ‪,BC‬‬
‫ושימוש בתוצאת התרגיל שאחרי משפט התיכונים‪ .‬העדפתי את הדרך הנוכחית כדי שהטיפול‬
‫הוקטורי יכלול גם את השאלה "האם נפגשים?" ‪.‬‬
‫וקטורים "אלגבריים"‬
‫את משפט הבסיס ניתן לנסח גם כך‪ :‬בחירת שלושה וקטורים ‪ v ,u‬ו‪ w -‬שאינם במישור אחד לתפקיד‬
‫בסיס ‪,‬יוצרת התאמה הדדית בין קבוצת הוקטורים שבמרחב ובין קבוצת השלָשות של מספרים‬
‫ממשיים‪ .‬לכל וקטור ‪ s‬מותאמת שלשה )‪ (a,b,c‬כך ש‪ . s = av+bu+cw -‬בהתאמה זאת‪ ,‬לכל וקטור‬
‫מתאימה בדיוק שלשה אחת ולכל שלשה מתאים בדיוק וקטור אחד‪.‬‬
‫לאור זה נהוג להשתמש בשלשה‪-‬של‪-‬מספרים בתפקיד של שם לוקטור המתאים‪ ,‬כלומר‪ ,‬לכתוב‬
‫)‪ (a,b,c‬במקום הכתיב המלא ‪. au+bv+cw‬‬
‫לאור זה‪ :‬א‪(a,b,c) + (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f) .‬‬
‫ב‪λ(a,b,c) = (λa, λb, λc) .‬‬
‫הוכחת א‪:‬‬
‫‪( au+bv+cw)+( du+ev+fw) = ( au+ du)+(bv+ev)+(cw+fw) = (a+d)u+(b+e)v+(c+f)w‬‬
‫‪5‬‬
‫הוכחת ב‪:‬‬
‫‪λ(au+bv+cw) = λ(au)+λ(bv)+λ(cw) = (λa)u+(λb)v+(λc)w‬‬
‫מכפלה סקלרית‬
‫בסיס מוסכם וסימנים מוסכמים‬
‫בהנתן מערכת צירים ניצבים במרחב מקובל לסמן ב‪ i -‬ב‪ j -‬וב‪ k -‬את שלושת‬
‫הוקטורים שזנבותיהם בראשית הצירים‪ ,‬אורך כל אחד מהם הוא ‪ ,1‬והם נמצאים‬
‫על הקרניים החיוביות של ציר‪ ,x -‬ציר‪ y -‬וציר‪ ,z -‬בהתאמה‪.‬‬
‫בסעיף זה ישמשו ‪ j ,i‬ו‪ k -‬כבסיס‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪k‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪x‬‬
‫אם וקטור ‪ v‬יוצא מראשית הצירים אז קואורדינטות קצהו תסומנה‪ ,‬בהתאמה‪,‬‬
‫‪ vx,vy,vz‬ולאור זה )‪v = vx⋅i+vy⋅j+vz⋅k = (vx,vy,vz‬‬
‫ארכו של וקטור ‪ v‬מסומן |‪ |v‬ולפעמים בקצרה ‪.v‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪v‬‬
‫‪vy‬‬
‫‪vz‬‬
‫הגדרת מכפלה סקלרית‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫תוצאה ‪ .1‬אם הזוית שבין שני וקטורים היא אז מכפלתם הסקלרית היא‬
‫‪0‬‬
‫ישרה‬
‫חיובית‬
‫חדה‬
‫שלילית‪.‬‬
‫קהה‬
‫‪. i⋅j = j⋅k = k⋅i = 0‬‬
‫ובפרט‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫תוצאה ‪.2‬‬
‫‪. v ⋅v = v‬‬
‫‪. i⋅i = j⋅j = k⋅k = 1‬‬
‫ובפרט‪,‬‬
‫תוצאה ‪) .3‬חוק החילוף( ‪. u⋅v = v⋅u‬‬
‫תוצאה ‪ .4‬לכל כופל ממשי ‪. au⋅v = a(u⋅v) = u⋅av ,a‬‬
‫תוצאה ‪ .5‬מכפלה סקלרית של שני וקטורים שוה למכפלת אורך האחד באורך היטלו של השני עליו‪,‬‬
‫וב‪) ±1 -‬ב‪ +1 -‬כאשר הזוית שביניהם חדה ולכן ההיטל הוא על הוקטור עצמו‪ ,‬ב‪ -1 -‬כאשר הזוית קהה‬
‫וההיטל הוא על המשכו האחורי של הוקטור(‬
‫‪vx x‬‬
‫)‪u⋅v := u⋅v⋅cos(u,v‬‬
‫‪w ⋅( u + v ) = w ⋅u + w ⋅v‬‬
‫משפט ‪.6‬‬
‫הערה‪ :‬משפט זה אינו חוק פילוג משום שהחיבור שבאגף שמאל הוא חיבור‪-‬וקטורים ואילו החיבור‬
‫שבאגף ימין הוא חיבור מספרים‪.‬‬
‫הוכחת המשפט‪ :‬נשים צירים באופן שראשית הצירים תהיה בנקודת ההתחלה של וקטורינו וציר ‪x‬‬
‫יהיה על הישר של ‪ ,w‬ונציין את ההיטלים המתאימים כבציור שלקמן‪:‬‬
‫על‪-‬פי ‪ 5‬נקבל‪:‬‬
‫‪v‬‬
‫‪w ⋅u + w ⋅v = w ⋅u x + w ⋅v x‬‬
‫‪w⋅(u+v) = w⋅(u+v)x = w⋅(ux+vx) = w⋅ux+ w⋅vx‬‬
‫ומכאן מש"ל‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫‪w‬‬
‫‪(u+v)x‬‬
‫‪vx‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ux‬‬
‫תוצאות ‪ 7‬ו‪ .8-‬בדרך דומה לזו שבה מוכיחים בעזרת חוק הפילוג טענות מקבילות על מספרים נוכל‬
‫לקבל מ‪ 6-‬תוצאות על )‪ u⋅(v1+v2+v3‬ועל )‪ (u1+u2)⋅(v1+v2‬וכדומה‪.‬‬
‫‪u⋅v = ux⋅vx+ uy⋅vy + uz⋅vz‬‬
‫משפט ‪.9‬‬
‫הערה‪ :‬לוקטורים במישור ‪. u⋅v = ux⋅vx+ uy⋅vy ,‬‬
‫= )‪u⋅v = (ux⋅i+uy⋅j+uz⋅k)⋅(vx⋅i+vy⋅j+vz⋅k‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪= uxi⋅vxi + uxi⋅vyj + uxi⋅vzk + uyj⋅vxi + uyj⋅vyj +...‬‬
‫)ע"פ ‪ 7‬ו‪(8-‬‬
‫‪6‬‬
‫)ע"פ ‪( 4‬‬
‫)ע"פ ‪ 1‬ו‪(2-‬‬
‫‪= (uxvx)i⋅i + (uxvy)i⋅j + (uxvz)i⋅k + (uyvx)j⋅i + (uyvy)j⋅j +...‬‬
‫‪= (uxvx)⋅1 + (uxvy)⋅0 + (uxvz)⋅0 + (uyvx)⋅0 + (uyvy)⋅1 +...‬‬
‫‪= uxvx+ uyvy + uzvz‬‬
‫בעיה‪ :‬מהי הזוית שבין )‪ u = (3,-4,12‬ובין )‪? v = (6,2,-3‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪. u⋅v = 6⋅3 + 2⋅(-4) + (-3)⋅12 =18-8-36 = -26‬‬
‫ע"פ ‪, 9‬‬
‫ע"פ ‪ 9‬ו‪) 2-‬הנותנים‪ ,‬בעצם‪ ,‬את משפט פיתגורס במרחב(‪,‬‬
‫‪u2 = 62 + 22 + (-3)2 = 36+4+9 = 49 ⇒ u = 7‬‬
‫וכן‬
‫‪v2 = 32 + (-4)2 + 122 = 9+16+144 = 169 ⇒ v = 13‬‬
‫נסמן את הזוית המבוקשת ‪ α‬ואז לפי הגדרת מכפלה סקלרית‬
‫‪cos α = -26/(7⋅13) = -26/91 = -0.2857‬‬
‫לכן `‪. α = 106°36‬‬
‫תרגיל‪ u = (1,2,3) :‬ו‪ .v = (3,-2,5) -‬מצא וקטור הניצב לשניהם‪) .‬יש‪ ,‬כמובן‪ ,‬יותר מוקטור אחד‬
‫כזה(‬
‫שימושים לגיאומטריה‬
‫‪ .1‬זוית הנשענת על קוטר היא ישרה‪) .‬ראה ציור ‪(1‬‬
‫‪ .2‬אלכסוני מעויין ניצבים זה לזה‪) .‬ראה ציור ‪(2‬‬
‫גם ב‪ 1-‬וגם ב‪ 2-‬נתון ‪) u=v‬כלומר |‪(|u|=|v‬‬
‫ציור ‪1‬‬
‫ובשניהם צ"ל ‪ּ (v+u)⋅(v-u)=0‬‬
‫‪u‬‬
‫ציור ‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ .3‬ישר משיק למעגל ניצב לרדיוס אל נקודת ההשקה‪.‬‬
‫נתון‪ :‬לכל ‪ . |r| ≤ |r+xt| ,x‬צ"ל‪. r⋅t = 0 :‬‬
‫נכתוב את הנתון ע"י מכפלות סקלריות‪r⋅r ≤ (r+xt)⋅(r+xt) :‬‬
‫לכן )לכל ‪(x‬‬
‫‪0 ≤ 2x r⋅t+ x2t2‬‬
‫הגרף של אגף ימין)כפונקציה של ‪ (x‬הוא פרבולה דרך ראשית הצירים‪ ,‬וכפי‬
‫שהוכחנו זה עתה כולה מעל ציר ‪ ,y‬לכן המקדם של ‪ x‬הוא ‪ ,0‬מש"ל‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r+xt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ .4‬במשולש ישר זוית‪ ,‬הגובה ליתר שוה לממוצע ההנדסי של היטלי הניצבים על היתר‪.‬‬
‫‪ .5‬במשולש ישר זוית‪ ,‬ריבוע של ניצב שוה למכפלת היטלו ביתר‬
‫)משפט אוקלידס(‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫לשתי ההוכחות אותם נתונים‪:‬‬
‫‪−αp‬‬
‫)עם וקטורים ומספר חיובי ‪ α‬כבציור(‬
‫‪h+p ⊥ h-αp , h ⊥ p‬‬
‫ושתיהן בנויות על זה שאם ‪ u ⊥ v‬אז ‪. w⋅u = (w±v)⋅u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ּ h =h⋅h = h⋅(h+p) = (h-(h-αp)).(h+p) = αp⋅(h+p) = αp⋅p = αpp‬‬
‫הוכחת ‪:4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ּ |h+p| = (h+p)⋅(h+p) = (h+p)⋅(1+α)p = p⋅(1+α)p = (1+α)p‬‬
‫הוכחת ‪:5‬‬
‫‪ .7‬אם ישר ניצב לשני ישרים לא מקבילים במישור אחד‪ ,‬הוא ניצב‬
‫לכל ישרי המישור‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נעבור מהישרים לוקטורים ‪ w‬ו‪ u -‬ו‪ v-‬שעליהם‪ ,‬כבציור‪.‬‬
‫כל וקטור אחר במישור הוא קומבינציה לינארית של ‪ u‬ו‪.v -‬‬
‫‪ּ w⋅(αu+βv) = αw⋅u+βw⋅v = α⋅0+β⋅0 = 0‬‬
‫‪ .8‬זוית שבין ישר ובין היטלו על מישור‪ ,‬קטנה‪-‬או‪-‬שוה מכל זוית‬
‫שבינו ובין ישר אחר במישור‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ u‬על הישר ו‪ v-‬על היטלו באופן ש‪ u-v -‬ניצב למישור‬
‫)היינו‪ ,‬לכל הישרים שעליו(‪ ,‬ו‪ w-‬וקטור אחר במישור‪ ,‬כבציור‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪p‬‬
‫‪w‬‬
‫‪αu+ βv‬‬
‫‪u-v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪v‬‬
‫‪w‬‬
‫א‪ (u-v) ⋅ v = 0 .‬לכן ‪u⋅v = v2‬‬
‫ב‪ (u-v) ⋅ w = 0 .‬לכן ‪u⋅w = v⋅w‬‬
‫‪u⋅w‬‬
‫‪u⋅v‬‬
‫‪u⋅w u⋅v‬‬
‫≤‬
‫= ) ‪ cos (u, w‬לכן צ"ל ש‪-‬‬
‫= )‪ cos(u , v‬ו‪-‬‬
‫‪u⋅w‬‬
‫‪u⋅v‬‬
‫‪uw‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪v ⋅ w v2‬‬
‫≤‬
‫כלומר‪v ⋅ w ≤ vw ,‬‬
‫נציב לפי א ו‪-‬ב ‪ ,‬נבטל ‪-u‬ים במכנים ונקבל שצ"ל‬
‫‪w‬‬
‫‪v‬‬
‫)‪. v⋅w := v⋅w⋅cos(v,w‬‬
‫ּ‬
‫וזה נובע מההגדרה‬
‫תרגילים‬
‫‪( u+ v) ( u+ v) + ( u- v) ( u - v) = . . .‬‬
‫‪.1‬א‪ .‬חשב‬
‫ב‪ .‬מסקנה‪ :‬במקבילית‪ ,‬סכום ריבועי שני האלכסונים שווה ל ‪. . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫שני מקצועות של ארבעון נקראים נגדיים אם הם מחברים קדקדים שונים‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכח שאם בארבעון‪ ,‬שלושת המקצועות הנפגשים בקדקד אחד שוים באורכם ושלושת הזויות‬
‫שהם יוצרים שוות זו לזו‪ ,‬אז כל אחד מהם ניצב למקצוע הנגדי לו‪.‬‬
‫‪ .3‬הוכח שאם בארבעון יש שני זוגות של מקצועות נגדיים הניצבים זה לזה אז גם שני המקצועות‬
‫הנותרים )גם הם נגדיים( ניצבים זה לזה‪.‬‬
‫נספח‪ :‬מקדם המיתאם של פירסון‬
‫סעיף זה אינו מיועד לתלמידים אלא למורים בלבד )אמנם‪ ,‬תמיד יש תלמידים שיוכלו לקרוא ולהבין‬
‫אותו(‪ .‬אני מניח שגם המורים המכירים את מושג מקדם המיתאם‪ ,‬לא פגשו בו במסגרות של "דוברי‬
‫מתמטיקה"‪ ,‬ולכן ימצאו עניין בדרך הוקטורית שבו אציגנו כאן‪ .‬ובכן‪,‬‬
‫בידי מחנך‪-‬כתה שבה ‪ n‬תלמידים‪ ,‬נמצאים שני וקטורים במרחב ‪ n‬ממדי‪ .‬האחד הוא וקטור הציונים‬
‫במתמטיקה של תלמידי כתתו‪ m = (m1,m2,...,mn) ,‬והשני‪ ,t = (t1,t2,...,tn) ,‬הוא וקטור ציוניהם‬
‫בתנ"ך‪ .‬לכל ‪ mi ,i‬ו‪ ti -‬הם ציוניו של אותו תלמיד‪ .‬המחנך סקרן לדעת מה מידת ההתאמה שבין ציוני‬
‫התלמידים השונים במתמטיקה ובתנ"ך‪ .‬הוא מחפש דרך להגדיר מספר שימדוד את ההתאמה הזאת‪.‬‬
‫צעד א‪.‬‬
‫נסמן )‪ . e = (1,1,...,1‬זהו וקטור ציונים שויוני שאינו מבחין בין התלמידים השונים‪ .‬כפולה שלו‬
‫מופיעה‪ ,‬כתוספת קבועה‪ ,‬בתוך כל וקטור ציונים‪ ,‬ומסווה במידה מסוימת את ההבדלים שבין‬
‫התלמידים השונים‪ .‬סילוק חלקי של התוספת הזאת נעשה כאשר‪ ,‬למשל‪ ,‬מסתכלים על הציון ‪ 4‬כעל‬
‫ציון שלילי‪ .‬דרך גיאומטרית לסילוק מלא של התוספת הזאת היא כך‪:‬‬
‫||‬
‫⊥‬
‫נפרק את ‪ m‬ואת ‪ t‬לשני רכיבים שאחד מהם מקביל ל‪ e -‬והשני ניצב לו‪ ,‬נסמן ‪m = m +m‬‬
‫⊥‬
‫ו‪ t = t| |+t⊥ -‬בהתאם‪ ,‬ולצורכי ההשוואה נשתמש רק ב‪ m⊥ -‬וב‪) .t⊥ -‬דרך החישוב של ⊥‪ m‬ו‪ t -‬תפורט‬
‫להלן‪(.‬‬
‫צעד ב‪.‬‬
‫אנו רוצים במדד ‪ r‬שיקבל את הערך ‪ 1‬כאשר ‪ m‬ו‪ t -‬שווי כיוון‪ ,‬יקבל את הערך ‪ -1‬כאשר כיווניהם‬
‫מנוגדים‪ ,‬ישווה ל‪ 0-‬כאשר הם ניצבים ויקבל ערכי ביניים מתאימים במצבים אחרים‪ .‬יתר על כן‪ ,‬אנו‬
‫רוצים שהמדד יהיה תלוי בכיווני הוקטורים ולא באורכיהם‪ ,‬כי האורכים תלויים בגודל טווח‪-‬הציונים‬
‫שבו משתמש המורה‪.‬‬
‫⊥ ⊥‬
‫‪m ⋅t‬‬
‫= ‪rm, t‬‬
‫) קוסינוס הזוית שבין הוקטורים(‬
‫לאור זאת נגדיר‬
‫| ⊥ ‪| m⊥ | | t‬‬
‫⊥‬
‫⊥‬
‫להלן נראה שזה אינו אלא נוסח "וקטורי" להגדרת מקדם המתאם של פירסון‪.‬‬
‫חישוב ⊥‪ m‬ו‪t⊥ -‬‬
‫| |‪ m‬צריך להיות שוה לְ מכפלה ‪ . µe‬הבה נמצא את ה‪ µ -‬המתאים‪ .‬כשנמצאנו נוכל לחשב ‪m⊥ = m-µe‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫מהאמור בשורה הקודמת נובע ש‪ , m-µe ⊥ e -‬לכן ‪ ( m-µe) e = 0‬לכן ‪ m e -µe = 0‬לכן‬
‫‪8‬‬
‫‪.µ = m.e / e2‬‬
‫בדרך דומה נמצא שבשביל ‪ τ = t.e / e2‬יהיה ‪t⊥ = t-τ e‬‬
‫הערה א‪ :‬נשים לב לכך ש‪ m.e = Σm i -‬ו‪ e2 = 1+1+...+1 = n -‬ונקבל ש‪ µ -‬הוא ממוצע ה‪-mi -‬ים‪.‬‬
‫)וקטור הסטיות של ציוני המתמטיקה מן הממוצע( = ‪m⊥ = m -µ e‬‬
‫מכאן ש‪-‬‬
‫⊥‬
‫)וקטור הסטיות של ציוני התנ"ך מן הממוצע( = ‪t = t - τ e‬‬
‫ובדרך דומה‬
‫‪9‬‬
`