α - מתמטיקה-המדריך המלא לפתרון תרגילים

‫אלכס זיו‬
‫מתמטיקה‬
‫המדריך המלא לפתרון תרגילים‬
‫טריגונומטריה‬
‫לתלמידי ‪ 4‬ו‪ 5 -‬יחידות לימוד‬
‫כ‪ 350-‬תרגילים עם פתרונות מלאים‬
‫הקדמה‬
‫ספר זה הוא חלק מסדרת ספרים "המדריך המלא לפתרון תרגילים"‪ .‬הסדרה מיועדת לשימוש‬
‫כהשלמה לכל ספר לימוד מקובל‪ .‬כל ספר בסדרה כולל בתוכו מגוון רחב של תרגילים המלווים‬
‫בהסברים ובפתרונות מלאים ומפורטים כדי להתאים לצרכים רבים יותר ולהיות יעיל כספר עזר‪.‬‬
‫ספר זה מיועד לתלמידי ‪ 4‬ו‪ 5 -‬יח"ל הניגשים לשאלונים ‪.35807 – 35804‬‬
‫הוא מכסה את כל החומר היסודי בטריגונומטריה ומקנה טכניקות יעילות לפתרון בעיות‪.‬‬
‫כל פרק פותח בהצגה ברורה של הגדרות‪ ,‬משפטים ונוסחאות בשילוב הבהרות‪ .‬תשומת לב רבה‬
‫הוקדשה לשיבוץ התרגילים בכל נושא לפי דרגות קושי‪ .‬התרגילים המסומנים ב‪ ∗ -‬הם תרגילים‬
‫יותר קשים ואתגריים‪ .‬התרגילים הפתורים משמשים לפישוט והבהרה של תיאוריה ומאפשרים‬
‫לתלמיד לרכוש ידע‪ ,‬מיומנות וביטחון עצמי שחשובים מאוד להצלחה‪.‬‬
‫תודה מיוחדת לבארי ז'יבוטובסקי שעזר רבות בהכנת ספר זה‪ ,‬העיר הערות חשובות והארות‬
‫מועילות‪.‬‬
‫תודה למורים צביה פורת‪ ,‬רומן דורפמן‪ ,‬ורה יונובה שבדקו את הספר מבחינה מקצועית ותרמו‬
‫רבות מהידע שלהם‪.‬‬
‫בברכה ובהכרת טובה אקבל כל הערה והארה‪.‬‬
‫אלכס זיו‬
‫‪E-mail: [email protected].com‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לאלכס זיו‬
‫תוכן עניינים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫הגדרות‬
‫ונוסחאות‪,‬‬
‫תרגילים‬
‫מושגי יסוד‬
‫‪7‬‬
‫אורך קשת‬
‫‪8‬‬
‫שטח גזרה‬
‫הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות לגבי זווית חדה במשולש‬
‫ישר‪-‬זווית‬
‫הרחבת הגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות על – ידי‬
‫מעגל היחידה‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות )טבלה(‬
‫‪9‬‬
‫‪12‬‬
‫חיוביות ושליליות של סינוס‪ ,‬קוסינוס‪ ,‬טנגנס וקוטנגנס‬
‫‪13‬‬
‫זהויות טריגונומטריות‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪14‬‬
‫ייצוג של פונקציות טריגונומטריות בעזרת זווית חדה‬
‫‪14‬‬
‫הזהויות הטריגונומטריות היסודיות‬
‫‪18‬‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות של סכום והפרש שתי זוויות‬
‫‪20‬‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות של זווית כפולה‬
‫‪24‬‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות של מחצית הזווית‬
‫‪26‬‬
‫זהויות לסכום והפרש שתי פונקציות טריגונומטריות‬
‫‪29‬‬
‫זהויות המעבר מכפל לסכום או הפרש פונקציות טריגונומטריות‬
‫‪30‬‬
‫פונקציה זוגית ואי‪-‬זוגית‬
‫‪32‬‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫הגדרות‬
‫ונוסחאות‪,‬‬
‫תרגילים‬
‫מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות‬
‫‪34‬‬
‫משוואות טריגונומטריות מהצורה ‪ sin x = a‬או ‪sin x = sin α‬‬
‫‪35‬‬
‫הפתרונות המיוחדים עבור סינוס‬
‫משוואות טריגונומטריות מהצורה ‪ cos x = a‬או ‪cos x = cos α‬‬
‫הפתרונות המיוחדים עבור קוסינוס‬
‫משוואות טריגונומטריות מהצורה ‪ tan x = a‬או ‪tan x = tan α‬‬
‫הפתרונות המיוחדים עבור טנגנס‬
‫‪36‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪38‬‬
‫‪39‬‬
‫פתרון משוואות טריגונומטריות בתחום נתון‬
‫‪39‬‬
‫משוואות טריגונומטריות שונות‬
‫‪41‬‬
‫משוואות בהן מופיע ריבוע של פונקציה טריגונומטרית‬
‫‪41‬‬
‫משוואות עם פירוק לגורמים‬
‫‪41‬‬
‫משוואות הכוללות משוואה ריבועית‬
‫משוואות הומוגניות ממעלה ראשונה‬
‫‪42‬‬
‫‪a ⋅ sin mx + b ⋅ cos mx = 0‬‬
‫משוואות הומוגניות ממעלה שנייה‬
‫‪a ⋅ sin 2 mx + b ⋅ sin mx ⋅ cos mx + c ⋅ cos 2 mx = 0‬‬
‫תרגילים לסיכום הפרק‬
‫‪42‬‬
‫‪43‬‬
‫‪43‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות‬
‫ונוסחאות‪,‬‬
‫תרגילים‬
‫בעיות טריגונומטריות במשולש ישר‪-‬זווית‬
‫‪46‬‬
‫חישובים במשולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪49‬‬
‫חישובים במרובעים‬
‫‪50‬‬
‫שטח משולש על‪-‬פי שתי צלעות וזווית שביניהן‬
‫‪52‬‬
‫מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי‪-‬זווית‬
‫‪53‬‬
‫משפט הסינוסים‬
‫‪54‬‬
‫משפט הקוסינוסים‬
‫‪57‬‬
‫תרגילים לסיכום הפרק‬
‫‪61‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות‬
‫ונוסחאות‪,‬‬
‫תרגילים‬
‫זוויות במרחב‬
‫‪75‬‬
‫זווית בין ישר למישור‬
‫‪75‬‬
‫זווית בין שני מישורים‬
‫‪77‬‬
‫משפט שלושת האנכים‬
‫‪78‬‬
‫מנסרה‬
‫‪80‬‬
‫תיבה‬
‫‪81‬‬
‫מנסרה ישרה משולשת‬
‫‪85‬‬
‫מנסרה ישרה שבסיסה מצולע כלשהו‬
‫‪87‬‬
‫פירמידה‬
‫‪90‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה‪-‬צלעות‬
‫‪91‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪93‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה משולש ישר‪-‬זווית‬
‫‪95‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה משולש שונה צלעות‬
‫‪96‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע‬
‫‪97‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה מצולע כלשהו‬
‫‪99‬‬
‫פירמידה לא ישרה‬
‫‪100‬‬
‫גליל ישר‬
‫‪102‬‬
‫חרוט ישר‬
‫‪105‬‬
‫* הנושאים המסומנים באדום אינם כלולים בשאלוני בגרות של ‪ 4‬ו‪ 5-‬יח"ל‬
‫)שאלונים ‪ 35805‬ו‪.(35807 -‬‬
‫** הנושאים הבאים‪ :‬הזווית בין שני מישורים‪ ,‬השימוש במשפט הסינוסים או‬
‫במשפט הקוסינוסים בגופים במרחב אינם כלולים בשאלון ‪ 4) 35805‬יח"ל(‪.‬‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫מושגי יסוד‬
‫הגדרה‬
‫הגדרה‬
‫זווית בת מעלה אחת ) ‪ (1°‬היא הזווית המרכזית‬
‫‪1‬‬
‫מאורך היקף‬
‫במעגל הנשענת על קשת שהיא‬
‫‪360‬‬
‫המעגל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫זווית מרכזית במעגל‪ ,‬הנשענת על קשת שאורכה‬
‫שווה לרדיוס המעגל‪ ,‬נקראת זווית בת רדיאן אחד‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫ידוע כי היקף מעגל שרדיוסו ‪ R‬הוא ‪ , (π ≈ 3.14) 2πR‬לכן בסיבוב מלא יש ‪ 2π‬רדיאנים‬
‫‪ 2π‬רדיאנים = ‪ , 360°‬מכאן ‪ π‬רדיאנים = ‪. 180°‬‬
‫)או ‪ .( 360°‬לפיכך מתקיים‬
‫אם ‪ α°‬מסמנת את הזווית במעלות ו‪ γ -‬מסמנת את אותה הזווית ברדיאנים‪ ,‬מתקיימת‬
‫הפרופורציה‬
‫‪γ α°‬‬
‫=‬
‫‪π 180°‬‬
‫‪.‬‬
‫מהפרופורציה הנ"ל נוכל לקבל נוסחאות מעבר‪:‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪⋅ 180°‬‬
‫‪π‬‬
‫‪α°‬‬
‫‪⋅π‬‬
‫‪180°‬‬
‫= ‪α°‬‬
‫=‪γ‬‬
‫רדיאנים‬
‫‪1.01‬‬
‫חשב את גודלן של הזוויות הבאות ברדיאנים‪:‬‬
‫ד‪108° .‬‬
‫ג‪60° .‬‬
‫ב‪45° .‬‬
‫א‪30° .‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3π‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪7‬‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪1.02‬‬
‫רשום במעלות את הזוויות הבאות הנתונות ברדיאנים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪3‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪1.5 .‬‬
‫א‪. 120° .‬‬
‫ב‪. 135° .‬‬
‫ג‪. 85.99° .‬‬
‫אורך קשת‬
‫לפי הגדרת הרדיאן‪ ,‬הזווית המרכזית שגודלה ‪ 1‬רדיאן‪ ,‬מתאימה לקשת שאורכה שווה לרדיוס‬
‫‪ R‬של המעגל‪ .‬לפיכך הזווית המרכזית שגודלה ‪ γ‬רדיאן מתאימה לקשת שאורכה ‪: γR‬‬
‫‪L = γ⋅R‬‬
‫‪ – L‬אורך הקשת‪.‬‬
‫‪ – R‬רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ – γ‬הזווית המרכזית ברדיאנים‪.‬‬
‫אורך הקשת המתאימה לזווית בת ‪ α°‬הוא‪:‬‬
‫‪πRα°‬‬
‫‪180°‬‬
‫=‪L‬‬
‫‪1.03‬‬
‫נתונה זווית מרכזית )ברדיאנים( במעגל שרדיוסו ‪ 3‬ס"מ = ‪. R‬‬
‫חשב את אורך הקשת המתאימה לזווית‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪π .‬‬
‫ג‪2.7 .‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪ 1.57 .‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ 5.23 .‬ס"מ‪.‬‬
‫ג‪ 8.1 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1.04‬‬
‫נתונה זווית מרכזית )במעלות( במעגל שרדיוסו ‪ 2.2‬ס"מ = ‪. R‬‬
‫חשב את אורך הקשת המתאימה לזווית‪:‬‬
‫ג‪α = 154° .‬‬
‫ב‪α = 72° .‬‬
‫א‪α = 45° .‬‬
‫ג‪ 5.91 .‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ 2.763 .‬ס"מ‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 1.727 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1.05‬‬
‫אורך הקשת הוא ‪ 5.4‬ס"מ‪ .‬חשב את הזווית המרכזית )ברדיאנים( המתאימה לקשת הנתונה‪,‬‬
‫אם רדיוס המעגל הוא ‪ 3.6‬ס"מ = ‪. R‬‬
‫תשובה‪. 1.5 :‬‬
‫‪8‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫‪1.06‬‬
‫אורך הקשת הוא ‪ 3.2‬ס"מ‪ .‬חשב את הזווית המרכזית )במעלות( המתאימה לקשת הנתונה‪,‬‬
‫אם רדיוס המעגל הוא ‪ 2‬ס"מ = ‪. R‬‬
‫תשובה‪. 91.72° :‬‬
‫שטח גזרה‬
‫שטח העיגול ניתן באמצעות הנוסחה ‪ . S = π R 2‬ידוע כי בסיבוב מלא יש ‪ 2π‬רדיאנים‪ ,‬לכן‬
‫‪R2‬‬
‫‪2‬‬
‫שטח הגזרה המתאימה לזווית מרכזית בת ‪ 1‬רדיאן הוא‪:‬‬
‫ולכן שטח הגזרה המתאימה לזווית מרכזית בת ‪ γ‬רדיאן הוא‪:‬‬
‫‪R2 ⋅ γ‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪ – S‬שטח הגזרה‪.‬‬
‫‪ – R‬רדיוס המעגל‪.‬‬
‫‪ – γ‬הזווית המרכזית ברדיאנים‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫שטח הגזרה המתאימה לזווית מרכזית בת ‪ α°‬הוא‪:‬‬
‫=‬
‫‪πR2‬‬
‫‪2π‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪π R 2 ⋅ α°‬‬
‫‪360°‬‬
‫‪g‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪1.07‬‬
‫נתונה זווית מרכזית )ברדיאנים( במעגל שרדיוסו ‪ 5‬ס"מ = ‪ . R‬חשב את שטח הגזרה המתאימה‬
‫לזווית‪:‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪1.8 .‬‬
‫א‪ 26.17 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫ב‪ 22.5 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪1.08‬‬
‫נתונה זווית מרכזית )במעלות( במעגל שרדיוסו ‪ 5‬ס"מ = ‪ . R‬חשב את שטח הגזרה המתאימה‬
‫ב‪38° .‬‬
‫א‪84° .‬‬
‫לזווית‪:‬‬
‫ב‪ 8.29 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 18.32 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪9‬‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪1.09‬‬
‫רדיוס של גזרה הוא ‪ 6‬ס"מ = ‪ R‬ושטחה ‪ 15‬סמ"ר‪ .‬חשב את אורך הקשת של הגזרה‪.‬‬
‫תשובה‪ 5 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪1.10‬‬
‫‪2π‬‬
‫אורך הקשת של גזרה הוא‬
‫ס"מ ושטחה הוא ‪ 4π‬סמ"ר‪ .‬חשב את רדיוס הגזרה ואת הזווית‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫המרכזית של הגזרה‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪ 4‬ס"מ = ‪, R‬‬
‫‪π‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪.γ‬‬
‫הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות לגבי זווית חדה במשולש ישר‪-‬זווית‬
‫הערה‪:‬‬
‫הגדרות ותכונות הבאות נכונות גם לזוויות הנתונות במעלות וגם לזוויות הנתונות‬
‫ברדיאנים‪.‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪()C = 90°) ABC‬‬
‫נסמן‪. )B = β , )A = α , AB = c , AC = b , BC = a :‬‬
‫להלן נביא הגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫היתר‬
‫‪1‬‬
‫‪tanα‬‬
‫= ‪cotα‬‬
‫⇒‬
‫= ‪cosα‬‬
‫⎫‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎬‬
‫⎪‬
‫⎪‬
‫⎭‬
‫‪a‬‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫היתר‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫= ‪sinα‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪tanα‬‬
‫= ‪cotα‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫נתבונן במשולש שבציור הנ"ל ונביע את ‪ tan β , cos β , sin β‬ו‪ cot β -‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬
‫לפי ההגדרות של פונקציות טריגונומטריות נקבל‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫היתר‬
‫‪a‬‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫‪10‬‬
‫= ‪cos β‬‬
‫= ‪cot β‬‬
‫‪b‬‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫היתר‬
‫= ‪sin β‬‬
‫‪b‬‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫= ‪tan β‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫קל לראות את הקשרים הבאים‪:‬‬
‫‪cot β = tan α‬‬
‫; ‪tan β = cot α‬‬
‫; ‪cos β = sin α‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ , α + β = 90°‬מכאן‬
‫‪. β = 90° − α‬‬
‫לכן מתקיים‪:‬‬
‫‪cos ( 90° − α ) = sinα‬‬
‫; ‪sin β = cos α‬‬
‫‪sin ( 90° − α ) = cosα‬‬
‫‪1‬‬
‫‪tanα‬‬
‫‪cot ( 90° − α ) = tanα‬‬
‫= ‪tan ( 90° − α ) = cotα‬‬
‫הגדרות הנ"ל מתייחסות רק לזוויות חדות‪ .‬בהמשך נראה שאפשר להגדיר את‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות גם לזוויות קהות וגם לזווית המוגדרות כזוויות‬
‫שליליות‪.‬‬
‫הערה‬
‫הרחבת הגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות על‪-‬ידי מעגל היחידה‬
‫הגדרה‬
‫המעגל שרדיוסו ‪ R = 1‬ומרכזו בראשית הצירים‪ ,‬נקרא מעגל היחידה‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫זווית במעגל היחידה‪ :‬קודקוד הזווית נמצא בראשית‬
‫הצירים )‪ , (0, 0‬קרן אחת מתלכדת עם הכיוון החיובי‬
‫של ציר ה‪ , x -‬והקרן השנייה של הזווית היא קרן ניידת‪.‬‬
‫כאשר הקרן הניידת נעה נגד כיוון השעון‪ ,‬מתקבלת זווית‬
‫‪x‬‬
‫חיובית‪ ,‬וכאשר היא נעה עם כיוון מחוגי השעון‪,‬‬
‫מתקבלת זווית שלילית‪.‬‬
‫בציור ‪ α ,‬היא זווית חיובית ) ‪ β , ( α > 0‬היא זווית שלילית ) ‪( β < 0‬‬
‫נגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות לזוויות‬
‫שאינן בהכרח חדות‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫במעגל היחידה מתאימה‬
‫לכל זווית מרכזית‬
‫נקודה אחת ויחידה על המעגל )נקודת החיתוך‬
‫של הקרן הניידת עם המעגל(‪ .‬נסמנה ) ‪P( x , y‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬שיעוריה של הנקודה מקיימים‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫⇒‬
‫‪= sin α‬‬
‫‪O‬‬
‫‪b‬‬
‫‪y‬‬
‫‪90‬‬
‫)‪P (x , y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = sin α‬‬
‫⇒‬
‫‪= sin α‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪y‬‬
‫=‪R‬‬
‫‪x = cos α‬‬
‫⇒‬
‫‪= cos α‬‬
‫‪x‬‬
‫⇒‬
‫‪= cos α‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪360 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪O‬‬
‫‪180‬‬
‫‪R‬‬
‫‪y‬‬
‫‪R‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪270‬‬
‫‪11‬‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫לזווית המרכזית ‪) α = 0°‬הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון החיובי של ציר ה‪ ( x -‬מתאימה‬
‫הנקודה )‪ . P(1, 0‬זאת אומרת‪. sin 0° = 0 , cos 0° = 1 ,‬‬
‫לזווית המרכזית ‪) α = 90°‬הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון החיובי של ציר ה‪ ( y -‬מתאימה‬
‫הנקודה )‪ . P(0, 1‬כלומר‪. sin 90° = 1 , cos 90° = 0 ,‬‬
‫לזווית המרכזית ‪) α = 180°‬הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון השלילי של ציר ה‪ ( x -‬מתאימה‬
‫הנקודה )‪ . P(−1, 0‬דהיינו‪. sin180° = 0 , cos180° = −1 ,‬‬
‫לזווית המרכזית ‪) α = 270°‬הקרן הניידת מתלכדת עם הכיוון השלילי של ציר ה‪ ( y -‬מתאימה‬
‫הנקודה )‪ . P(0, − 1‬כלומר‪. sin 270° = −1 , cos 270° = 0 ,‬‬
‫מהגדרתו של מעגל היחידה נובע כי ‪ . −1 ≤ y ≤ 1 , −1 ≤ x ≤ 1‬לכן לכל זווית ‪ α‬מתקיים‪:‬‬
‫‪. − 1 ≤ sin α ≤ 1‬‬
‫‪, − 1 ≤ cos α ≤ 1‬‬
‫נוסף על כך‪ ,‬במעגל היחידה היחס בין שיעור ה‪ y -‬לשיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ , P‬שווה לטנגנס‬
‫הזווית ‪ . α‬היחס בין שיעור ה‪ x -‬לבין שיעור ה‪ y -‬שווה לקוטנגנס הזווית ‪ , α‬דהיינו‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪( y ≠ 0‬‬
‫‪y‬‬
‫תחום הערכים של טנגנס וקוטנגנס הוא‪:‬‬
‫= ‪cotα‬‬
‫‪,‬‬
‫)‪( x ≠ 0‬‬
‫∞ < ‪, − ∞ < cot α‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫∞ < ‪. −∞ < tan α‬‬
‫= ‪tanα‬‬
‫מהגדרות של ‪ cot α , tan α , cos α , sin α‬ניתן לראות את הקשרים הבאים‪:‬‬
‫‪cosα‬‬
‫‪sinα‬‬
‫‪tanα ⋅ cotα = 1‬‬
‫‪sinα‬‬
‫‪cosα‬‬
‫= ‪cotα‬‬
‫= ‪tanα‬‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות מיוחדות‬
‫נרכז בטבלה את ערכי הפונקציות הטריגונומטריות עבור זוויות מיוחדות‪.‬‬
‫‪360°‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪270°‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪180°‬‬
‫‪π‬‬
‫‪90°‬‬
‫‪π‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪π‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪π‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0°‬‬
‫‪0‬‬
‫‪α‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪sinα‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cosα‬‬
‫‪0‬‬
‫לא‬
‫מוגדרת‬
‫‪0‬‬
‫לא‬
‫מוגדרת‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪tanα‬‬
‫לא‬
‫מוגדרת‬
‫‪0‬‬
‫לא‬
‫מוגדרת‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫לא‬
‫מוגדרת‬
‫‪cotα‬‬
‫‪12‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫חיוביות ושליליות של ‪cotα , tanα , cosα , sinα‬‬
‫על‪-‬ידי התבוננות במעגל היחידה נמצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציות‬
‫הטריגונומטריות‪.‬‬
‫) ‪( 0° < α < 90°‬‬
‫‪, x>0‬‬
‫∗‬
‫ברביע הראשון‬
‫∗‬
‫ברביע השני ) ‪( 90° < α < 180°‬‬
‫∗‬
‫ברביע השלישי ) ‪ (180° < α < 270°‬מתקיים‪:‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪, y>0‬‬
‫לכן‬
‫‪sin α > 0 , cos α > 0 , tan α > 0 , cot α > 0‬‬
‫‪, x<0‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪ , y > 0‬מכאן‬
‫‪sin α > 0 , cos α < 0 , tan α < 0 , cot α < 0‬‬
‫‪, x<0‬‬
‫‪ , y < 0‬לפיכך‬
‫‪sin α < 0 , cos α < 0 , tan α > 0 , cot α > 0‬‬
‫∗‬
‫ברביע הרביעי‬
‫) ‪( 270° < α < 360°‬‬
‫‪, x>0‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪,y<0‬‬
‫לכן‬
‫‪sin α < 0 , cos α > 0 , tan α < 0 , cot α < 0‬‬
‫בציורים הנ"ל ניתן לראות את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציות הטריגונומטריות‪.‬‬
‫טנגנס ‪ ,‬קוטנגנס‪:‬‬
‫‪90‬‬
‫‪0‬‬
‫‪360 x‬‬
‫קוסינוס‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪90‬‬
‫‪+‬‬
‫‪O‬‬
‫‪180‬‬
‫‪+‬‬
‫‪270‬‬
‫‪tana, cota‬‬
‫‪0‬‬
‫‪360 x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫סינוס‪:‬‬
‫‪O‬‬
‫‪90‬‬
‫‪180‬‬
‫‪0‬‬
‫‪360 x‬‬
‫‪270‬‬
‫‪cosa‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪O‬‬
‫‪180‬‬
‫‪270‬‬
‫‪sina‬‬
‫‪13‬‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫זהויות טריגונומטריות‬
‫ייצוג של פונקציות טריגונומטריות בעזרת זווית חדה‬
‫כל זווית ‪ β‬הנתונה במעלות ניתן להציג בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪ , β = 90°n ± α‬כאשר ‪ n‬מספר שלם‬
‫‪π‬‬
‫ו‪ α -‬זווית חדה‪ .‬אם הזווית נתונה ברדיאנים‪ ,‬אז ניתן להציג אותה בצורה ‪, β = 2 ⋅ n ± α‬‬
‫) ‪ n = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬ו‪-‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫< ‪. (0 < α‬‬
‫כדי להציג פונקציות ) ‪cot ( 90°n ± α ) , tan ( 90°n ± α ) , cos ( 90°n ± α ) , sin ( 90°n ± α‬‬
‫באמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה ‪ , α‬נוח להשתמש בכלל הבא‪:‬‬
‫כלל‬
‫א‪.‬‬
‫אם ‪ n‬מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬אזי שם הפונקציה סינוס משתנה לקוסינוס‪,‬‬
‫קוסינוס משתנה לסינוס‪ ,‬טנגנס משתנה לקוטנגנס‪ ,‬וקוטנגנס‬
‫משתנה לטנגנס‪.‬‬
‫אם ‪ n‬מספר זוגי‪ ,‬אזי שם הפונקציה איננו משתנה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הסימן של הפונקציה המתקבלת )פונקציה של זווית חדה( זהה‬
‫לסימנה של הפונקציה המקורית ברביע שבו "מסתיימת" הזווית‬
‫המקורית‪.‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫הצג את הפונקציה ) ‪ sin ( 90°n − α‬באמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה ‪ α‬כאשר‪:‬‬
‫א‪n = 1 .‬‬
‫ב‪n = 2 .‬‬
‫ג‪n = 3 .‬‬
‫ד‪n = 4 .‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬עבור ‪ n = 1‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = 1 . sin ( 90° − α‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬לכן‬
‫שם הפונקציה המקורית סינוס משתנה לשם קוסינוס‪.‬‬
‫‪ α‬היא זווית חדה‪ ,‬לפיכך הזווית ) ‪" ( 90° − α‬מסתיימת" ברביע הראשון‪ .‬הפונקציה‬
‫המקורית סינוס חיובית ברביע הראשון‪ ,‬לכן הפונקציה המתקבלת גם היא חיובית‪ .‬לפיכך‬
‫נקבל‪. sin ( 90° − α ) = cos α :‬‬
‫‪14‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫ב‪.‬‬
‫עבור ‪ n = 2‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = 2 . sin (180° − α‬הוא מספר זוגי‪ ,‬לכן שם‬
‫הפונקציה אינו משתנה‪.‬‬
‫‪ α‬היא זווית חדה‪ ,‬מכאן הזווית ) ‪" (180° − α‬מסתיימת" ברביע השני שבו הפונקציה‬
‫‪. sin (180° − α ) = sin α‬‬
‫סינוס חיובית לכן נקבל‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כאשר ‪ n = 3‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = 3 . sin ( 270° − α‬מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬לפיכך‬
‫השם סינוס של הפונקציה המקורית משתנה לקוסינוס‪.‬‬
‫‪ α‬היא זווית חדה‪ ,‬לכן הזווית ) ‪" (270° − α‬מסתיימת" ברביע השלישי‪ ,‬שבו סינוס‬
‫שלילי ולכן הפונקציה המתקבלת )קוסינוס( גם תהיה שלילית‪ .‬כלומר מתקיים‪:‬‬
‫‪. sin(270° − α) = − cos α‬‬
‫ד‪.‬‬
‫עבור ‪ n = 4‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = 4 . sin ( 360° − α‬הוא מספר זוגי ‪ ,‬לכן שם‬
‫הפונקציה אינו משתנה‪.‬‬
‫‪ α‬היא זווית חדה‪ ,‬מכאן הזווית ) ‪" (360° − α‬מסתיימת" ברביע הרביעי‪ ,‬שבו סינוס‬
‫שלילי‪ .‬לפיכך נקבל‪. sin ( 360° − α ) = − sin α :‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫הצג את הפונקציה ) ‪ cos(90°n + α‬באמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה ‪, α‬‬
‫ד‪n = 5 .‬‬
‫ג‪n = 3 .‬‬
‫ב‪n = 2 .‬‬
‫א‪n = 1 .‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬עבור ‪ n = 1‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = 1 . cos(90° + α‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬לכן‬
‫השם קוסינוס של הפונקציה משתנה לסינוס‪.‬‬
‫‪ α‬היא זווית חדה‪ ,‬לפיכך הזווית ) ‪" (90° + α‬מסתיימת" ברביע השני שבו קוסינוס‬
‫שלילי‪ ,‬לכן הפונקציה המתקבלת גם תהיה שלילית‪ .‬מכאן קיבלנו‪:‬‬
‫‪. cos ( 90° + α ) = − sin α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כאשר ‪ n = 2‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = 2 . cos (180° + α‬הוא מספר זוגי‪ ,‬לכן‬
‫השם המקורי קוסינוס איננו משתנה‪.‬‬
‫הזווית ) ‪" (180° + α‬מסתיימת" ברביע השלישי שבו קוסינוס שלילי‪ .‬מכאן שהפונקציה‬
‫‪. cos(180° + α ) = − cos α‬‬
‫המתקבלת גם היא תהיה שלילית‪ .‬לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫עבור ‪ n = 3‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = 3 . cos(270° + α‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬לכן‬
‫השם המקורי קוסינוס משתנה לסינוס‪.‬‬
‫הזווית ) ‪" (270° + α‬מסתיימת" ברביע הרביעי שבו קוסינוס חיובי‪ ,‬לפיכך הפונקציה‬
‫המתקבלת גם תהיה חיובית‪ .‬כלומר‪. cos ( 270° + α ) = sin α ,‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪15‬‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫ד‪.‬‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫כאשר ‪ n = 5‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = 5 . cos ( 450° + α‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬לפיכך‬
‫השם המקורי קוסינוס משתנה לסינוס‪.‬‬
‫הזווית )‪" (450° + α‬מסתיימת" ברביע השני ) כי ‪ . 450° + α = 360° + 90° + α‬הזווית‬
‫‪ 360°‬היא סיבוב מלא‪ ,‬והזווית ‪" 90° + α‬מסתיימת" ברביע השני(‪.‬‬
‫הפונקציה המקורית קוסינוס שלילית ברביע השני‪ ,‬מכאן שהפונקציה המתקבלת אף היא‬
‫שלילית‪ .‬כתוצאה מכך נקבל‪:‬‬
‫‪. cos ( 450° + α ) = − sin α‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫הצג את הפונקציה ) ‪ tan ( 90°n + α‬באמצעות פונקציה טריגונומטרית של זווית חדה ‪, α‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫א‪. n = −2 .‬‬
‫ב‪. n = 1 .‬‬
‫ג‪n = 4 .‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬עבור ‪ n = −2‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = −2 . tan ( −180° + α‬הוא מספר זוגי‪ ,‬לכן‬
‫השם המקורי טנגנס איננו משתנה‪.‬‬
‫הזווית ) ‪" (−180° + α‬מסתיימת" ברביע השלישי שבו טנגנס חיובי‪ ,‬לפיכך הפונקציה‬
‫‪. tan ( −180° + α ) = tan α‬‬
‫המתקבלת גם תהיה חיובית‪ .‬אי לכך מתקיים‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כאשר ‪ n = 1‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = 1 . tan ( 90° + α‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬לכן‬
‫השם המקורי טנגנס משתנה לקוטנגנס‪ .‬הזווית ) ‪" (90° + α‬מסתיימת" ברביע השני שבו‬
‫טנגנס שלילי מכאן שהפונקציה המתקבלת גם תהיה שלילית‪ .‬לפיכך נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪tan ( 90° + α ) = − cot α‬‬
‫‪. tan ( 90° + α ) = −‬‬
‫או‬
‫‪tan α‬‬
‫ג‪.‬‬
‫עבור ‪ n = 4‬הפונקציה המקורית היא ) ‪ n = 4 . tan ( 360° + α‬הוא מספר זוגי‪ ,‬לפיכך‬
‫השם המקורי טנגנס איננו משתנה‪.‬‬
‫הזווית ) ‪" (360° + α‬מסתיימת" ברביע הראשון שבו טנגנס חיובי ומכך נובע שהפונקציה‬
‫המתקבלת גם חיובית‪ .‬לכן מתקיים‪. tan ( 360° + α ) = tan α :‬‬
‫הערה‬
‫ניתן להשתמש בכלל הנ"ל גם אם לא נתון במפורש ש‪ α -‬היא זווית חדה‪ .‬במקרים‬
‫אלה‪ ,‬יש להניח ש‪ α -‬היא חדה ולהסתמך על הכלל‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫דוגמה ‪4‬‬
‫הצג את הפונקציות הטריגונומטריות הבאות באמצעות פונקציות טריגונומטריות של זווית ‪. α‬‬
‫ג‪. tan(270° + α ) .‬‬
‫ב‪. cos(180° − α ) .‬‬
‫א‪. sin(180° + α ) .‬‬
‫ד‪. sin(450° − α ) .‬‬
‫ה‪. cos ( 540° + α ) .‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬הזווית הנתונה מקיימת‪ . 180° + α = 90° ⋅ 2 + α :‬במקרה זה ‪) n = 2‬מספר זוגי(‪ ,‬לכן‬
‫השם המקורי סינוס איננו משתנה‪.‬‬
‫מהנחה ש‪ α -‬זווית חדה‪ ,‬נקבל כי הזווית ) ‪" (180° + α‬מסתיימת" ברביע השלישי שבו‬
‫‪. sin (180° + α ) = − sin α‬‬
‫סינוס שלילי‪ .‬לפיכך נקבל‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הזווית הנתונה מקיימת‪ . 180° − α = 90° ⋅ 2 − α :‬במקרה זה ‪) n = 2‬מספר זוגי( ‪ ,‬לכן‬
‫השם המקורי קוסינוס איננו משתנה‪.‬‬
‫מהנחה ש‪ α -‬זווית חדה נקבל כי הזווית ) ‪" (180° − α‬מסתיימת" ברביע השני שבו‬
‫‪. cos (180° − α ) = − cos α‬‬
‫קוסינוס שלילי‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הזווית הנתונה מקיימת‪ . 270° + α = 90° ⋅ 3 + α :‬במקרה זה ‪) n = 3‬מספר אי‪-‬זוגי(‪,‬‬
‫לפיכך השם המקורי טנגנס משתנה לקוטנגנס‪.‬‬
‫מהנחה ש‪ α -‬זווית חדה נקבל כי הזווית ) ‪" (270° + α‬מסתיימת" ברביע הרביעי שבו‬
‫‪1‬‬
‫‪. tan ( 270° + α ) = −‬‬
‫טנגנס שלילי‪ .‬לכן‪ tan ( 270° + α ) = − cot α :‬או‬
‫‪tan α‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הזווית הנתונה מקיימת‪ . 450° − α = 90° ⋅ 5 − α :‬במקרה זה ‪) n = 5‬מספר אי‪-‬זוגי(‪,‬‬
‫לכן השם המקורי סינוס משתנה לקוסינוס‪.‬‬
‫מההנחה ש‪ α -‬היא זווית חדה‪ ,‬נקבל שהזווית )‪" (450° − α‬מסתיימת" ברביע הראשון‬
‫שבו סינוס חיובי‪ .‬זאת אומרת‪. sin ( 450° − α ) = cos α ,‬‬
‫ה‪.‬‬
‫הזווית הנתונה מקיימת‪ . 540° + α = 90° ⋅ 6 + α :‬במקרה זה ‪) n = 6‬מספר זוגי(‪,‬‬
‫לכן השם המקורי קוסינוס איננו משתנה‪.‬‬
‫‪(540‬‬
‫מהנחה ש‪ α -‬זווית חדה‪ ,‬הזווית ) ‪° + α‬‬
‫"מסתיימת" ברביע השלישי שבו קוסינוס‬
‫‪. cos ( 540° + α ) = − cos α‬‬
‫שלילי‪ .‬לפיכך נקבל‪:‬‬
‫כדי להציג את הפונקציות הטריגונומטריות של הזוויות‬
‫‪π‬‬
‫‪ x = 90°n ± α‬או ‪, x = 2 n ± α‬‬
‫כאשר ‪ n = 1, 2, 3, 4‬בעזרת זווית ‪ , α‬ניתן להיעזר בטבלה הבאה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪17‬‬
‫ מושגי יסוד וזהויות‬:1 ‫פרק‬
‫ תרגילים‬,‫הגדרות ונוסחאות‬
90° − α
x
π
2
90° + α
π
−α
2
180° − α
180° + α
+α
π−α
π+α
270° − α
3π
270° + α
3π
−α
2
2
360° − α
+α
2π − α
sinx
cos α
cos α
sin α
− sin α
− cos α
− cos α
− sin α
cosx
sin α
− sin α
− cos α
− cos α
− sin α
sin α
cos α
tanx
cot α
− cot α
− tan α
tan α
cot α
− cot α
− tan α
cotx
tan α
− tan α
− cot α
cot α
tan α
− tan α
− cot α
:‫ חשב ללא מחשבון‬1.19 − 1.11 ‫בתרגילים‬
tan 225°
cot 300°
15π
tan
4
.−
.−
3
2
2
2
1.13
1.16
cos 240°
17π
cos
6
1.19
. 1.14
. 1.18
cos135°
. 1 . 1.13
.−
2
2
. 1.17
.−
.−
2
2
3
3
1.12
1.15
sin 315°
13π
sin
4
1.18
. 1.12
. 1.16
1.11
1.14
sin120°
3
2
. 1.11
.− 1
. 1.15
.
2
1.17
:‫תשובות‬
. −1 . 1.19
‫הזהויות הטריגונומטריות היסודיות‬
sin 2α + cos 2α = 1
:‫ מתקיים‬α ‫לכל זווית‬
(1)
1 ‫דוגמה‬
. cos α ‫מצא את‬
, 90° < α < 180°
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
1
, sin α = 2 ‫נתון כי‬
18
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫פתרון‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪cos α = ± 1 − sin 2 α‬‬
‫⇒‬
‫‪cos 2 α = 1 − sin 2 α‬‬
‫‪sin 2α + cos 2α = 1‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬הזווית ‪" α‬מסתיימת" ברביע השני שבו קוסינוס שלילי‪ ,‬לכן נקבל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos α = −‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫⇒‬
‫‪=−‬‬
‫‪2‬‬
‫)(‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪cos α = − 1 −‬‬
‫‪cos α = − 1 − sin 2 α‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫נתון כי ‪ , 180° < α < 270° , cos α = −0.8‬מצא את ‪. sin α‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪sin α = ± 1 − cos 2 α‬‬
‫⇒‬
‫‪sin 2 α = 1 − cos 2 α‬‬
‫‪sin 2α + cos 2α = 1‬‬
‫הזווית ‪" α‬מסתיימת" ברביע השלישי שבו סינוס שלילי לפיכך מתקיים‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪sin α = −0.6‬‬
‫‪sin α = − 1 − (−0.8) 2 = − 0.36‬‬
‫⇒‬
‫‪sin α = − 1 − cos 2 α‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫נתון כי‬
‫‪5‬‬
‫‪13‬‬
‫‪ , 270° < α < 360° , sin α = −‬מצא את‬
‫‪. cot α , tan α , cos α‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪cos α = ± 1 − sin 2 α‬‬
‫‪cos 2 α = 1 − sin 2 α‬‬
‫⇒‬
‫‪sin 2α + cos 2α = 1‬‬
‫הזווית ‪" α‬מסתיימת" ברביע הרביעי שבו קוסינוס חיובי ‪ ,‬לכן מתקיים ‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫= ‪cos α‬‬
‫‪144‬‬
‫‪169‬‬
‫⇒‬
‫=) (‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪13‬‬
‫‪cos α = 1 − sin 2 α ⇒ cos α = 1 − −‬‬
‫נחשב את ‪ tan α‬ואת ‪: cot α‬‬
‫;‬
‫‪−5‬‬
‫‪12‬‬
‫= ‪tan α‬‬
‫‪−12‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪cot α‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪−5 12 −5 13‬‬
‫‪:‬‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪13 13 13 12‬‬
‫= ‪tan α‬‬
‫⇒‬
‫‪sinα‬‬
‫‪cosα‬‬
‫= ‪tanα‬‬
‫‪12 −5 12 13‬‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪:‬‬
‫‪13 13 13 −5‬‬
‫= ‪cot α‬‬
‫⇒‬
‫‪cosα‬‬
‫‪sinα‬‬
‫= ‪cotα‬‬
‫נעבור לזהויות הבאות‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪19‬‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪1‬‬
‫)‪( 3‬‬
‫‪sin 2α‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( 2‬‬
‫= ‪1 + cot 2α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos α‬‬
‫) ‪( sin α ≠ 0‬‬
‫= ‪1 + tan 2α‬‬
‫) ‪( cos α ≠ 0‬‬
‫הזהות )‪ (2‬מתקבלת כאשר את שני האגפים של זהות )‪ (1‬מחלקים ב‪. cos 2 α -‬‬
‫הזהות )‪ (3‬מתקבלת כאשר את שני האגפים של זהות )‪ (1‬מחלקים ב‪. sin 2 α -‬‬
‫‪1.20‬‬
‫נתון כי ‪ . 90° < α < 180° , tan α = − 3‬מצא את ‪. cot α , sin α , cos α‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, cos α = − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪, sin α‬‬
‫‪. cot α = −‬‬
‫‪1.21‬‬
‫נתון כי ‪. 0° < α < 90° , cot α = 8‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪, sinα = 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את ‪. tan α , cos α , sin α‬‬
‫= ‪, cos α‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫= ‪. tan α‬‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות של סכום והפרש שתי זוויות‬
‫∗ הסינוס של סכום והפרש שתי זוויות‪:‬‬
‫)‪( 4‬‬
‫‪sin ( α + β ) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪sin ( α − β ) = sinα ⋅ cosβ − cosα ⋅ sinβ‬‬
‫דוגמה‬
‫פשט את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin 53° ⋅ cos 37° + cos 53° ⋅ sin 37°‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪sin ⋅ cos − cos ⋅ sin‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬בהסתמך על זהות )‪ (4‬נקבל‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫ תרגילים‬,‫הגדרות ונוסחאות‬
‫ מושגי יסוד וזהויות‬:1 ‫פרק‬
sin ( α + β ) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ
⇒
⇒
sin 53° ⋅ cos 37° + cos 53° ⋅ sin 37° = sin ( 53° + 37° ) = sin 90° = 1
:‫( נקבל‬5) ‫בהסתמך על זהות‬
sin ( α − β ) = sinα ⋅ cosβ − cosα ⋅ sinβ
⇒
sin
π
2
⋅ cos
π
3
.‫ב‬
⇒
(
)
π
π
π π
π 1
− cos ⋅ sin = sin −
= sin =
2
3
2
3
2
6
1.22
sin 7β ⋅ cos 3β − cos 7β ⋅ sin3β
:‫פשט את הביטויים הבאים‬
sin α ⋅ cos 2α + cos α ⋅ sin2α .‫א‬
. sin 4β .‫ב‬
. sin 3α .‫ א‬:‫תשובה‬
.‫ב‬
1.23
sin105°
.
2 ( 3 +1)
4
sin15°
.‫ג‬
.‫ג‬
.‫ב‬
2 ( 3 −1)
.
4
sin 75°
.‫ב‬
.
.‫א‬
2 ( 3 +1)
4
:‫חשב ללא מחשבון‬
.‫א‬
:‫תשובה‬
:‫∗ הקוסינוס של סכום והפרש שתי זוויות‬
cos ( α + β ) = cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ
(6)
cos ( α − β ) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ
(7)
cos 2x ⋅ cos
4x
3
+ sin2x ⋅ sin
4x
3
‫דוגמה‬
:‫פשט את הביטויים הבאים‬
π
π
π
π
cos ⋅ cos − sin ⋅ sin
.‫א‬
3
4
3
4
.‫ב‬
:‫פתרון‬
:‫( ונקבל‬6) ‫ נשתמש בזהות‬.‫א‬
cos ( α + β ) = cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ
⇒
21
⇒
(
)
π
π
π
π
π π
7π
cos ⋅ cos − sin ⋅ sin = cos +
= cos
3
4
3
4
3
4
12
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫על‪-‬פי זהות )‪ (7‬נקבל‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫⇒‬
‫‪2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪) = cos‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫‪= cos 2x −‬‬
‫‪cos ( α − β ) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+ sin2x ⋅ sin‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cos 2x ⋅ cos‬‬
‫⇒‬
‫‪1.24‬‬
‫) ‪cos ( 45° − α ) ⋅ cos (15° + α ) − sin ( 45° − α ) ⋅ sin (15° + α‬‬
‫פשט את הביטוי הבא‪:‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 12‬‬
‫‪1.25‬‬
‫חשב ללא מחשבון‪:‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪cos15°‬‬
‫)‪2 ( 3 +1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪cos150°‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.−‬‬
‫∗ הטנגנס של סכום והפרש שתי זוויות‪:‬‬
‫) ‪(8‬‬
‫‪tanα + tanβ‬‬
‫‪1 − tanα ⋅ tanβ‬‬
‫= ) ‪tan ( α + β‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪tanα − tanβ‬‬
‫‪1 + tanα ⋅ tanβ‬‬
‫= ) ‪tan ( α − β‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫‪tan 26° + tan19°‬‬
‫‪1 − tan 26° ⋅ tan19°‬‬
‫פשט את הביטוי‪:‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נשתמש בזהות )‪ (8‬ונפשט את הביטוי‪:‬‬
‫‪tan 26° + tan19°‬‬
‫‪= tan ( 26° + 19° ) = tan 45° = 1‬‬
‫‪1 − tan 26° ⋅ tan19°‬‬
‫⇒‬
‫‪tanα + tanβ‬‬
‫‪1 − tanα ⋅ tanβ‬‬
‫= ) ‪tan ( α + β‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫פשט את הביטוי‪:‬‬
‫‪22‬‬
‫‪β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪β‬‬
‫‪3β‬‬
‫‪⋅ tan‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− tan‬‬
‫‪3β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪tan‬‬
‫‪1 + tan‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫ תרגילים‬,‫הגדרות ונוסחאות‬
‫ מושגי יסוד וזהויות‬:1 ‫פרק‬
:‫( נקבל‬9) ‫פי זהות‬-‫על‬
tanα − tanβ
tan ( α − β ) =
1 + tanα ⋅ tanβ
⇒
tan
3β
2
1 + tan
β
2
3β
β
⋅ tan
2
2
− tan
= tan
(
3β
2
−
β
2
:‫פתרון‬
) = tan β
3 ‫דוגמה‬
tan ( 2x + y ) + tan ( x − y )
1 − tan ( 2x + y ) ⋅ tan ( x − y )
:‫פשט את הביטוי‬
:‫( נקבל‬8) ‫בהסתמך על זהות‬
tan ( α + β ) =
⇒
tanα + tanβ
1 − tanα ⋅ tanβ
:‫פתרון‬
⇒
tan ( 2x + y ) + tan ( x − y )
= tan ⎡⎣( 2x + y ) + ( x − y ) ⎤⎦ = tan 3x
1 − tan ( 2x + y ) ⋅ tan ( x − y )
:‫ הוכח את הזהויות הבאות‬1.37 − 1.26 ‫בתרגילים‬
cos α − cos3 α
= tan α
sin α − sin 3 α
sin 2 α = ( sin 2 α − sin 4 α ) ⋅ (1 + tan 2 α )
1.27
1
1
+
= 2 + 2 tan 2 α
1 − sin α 1 + sin α
1.28
cos 4 α − sin 4 α = 1 − 2 sin 2 α
sin α
1 − cos α
=
1 + cos α
sin α
1.29
tan 2 (180° + α ) ⋅ cos 2 ( 90° + α ) = tan 2 α − sin 2 α
1.31
sin 2 α − sin 2 β = sin ( α − β ) ⋅ sin ( α + β )
1.32
(
)=
1.30
2
( cos α − sin α )
2
1.33
sin ( α + 45° ) − sin ( α − 45° ) = 2 cos α
1.34
(
1.35
cos α +
π
4
cos β = cos
23
1.26
π
3
)
+ β + cos
(
π
3
−β
)
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪1.36‬‬
‫‪1.37‬‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫‪1 − tan α‬‬
‫) ‪= tan ( 45° − α‬‬
‫‪1 + tan α‬‬
‫) ‪sin ( α + β‬‬
‫= ‪tan α + tan β‬‬
‫‪cos α ⋅ cos β‬‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות של זווית כפולה‬
‫∗ הסינוס של זווית כפולה‪:‬‬
‫בזהות )‪ (4‬נציב את ‪ α‬במקום ‪ β‬ונקבל‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪sin ( α + α ) = sin α ⋅ cos α + cos α ⋅ sinα‬‬
‫) ‪(10‬‬
‫⇒‬
‫‪sin2α = 2 ⋅ sinα ⋅ cosα‬‬
‫דוגמה השתמש בזהות )‪ (10‬ומצא את‪:‬‬
‫ב‪. sin10α .‬‬
‫א‪. sin 4α .‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫על‪-‬פי הזהות‬
‫ד‪. sin α .‬‬
‫ג‪. sin 7α .‬‬
‫‪sin2α = 2 ⋅ sinα ⋅ cosα‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin 4α = sin ⎡⎣ 2 ⋅ ( 2α ) ⎤⎦ = 2 sin 2α ⋅ cos 2α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪sin10α = sin ⎡⎣ 2 ⋅ ( 5α ) ⎤⎦ = 2 sin 5α ⋅ cos 5α‬‬
‫ג‪.‬‬
‫⋅ ‪sin 7α = sin ⎡⎢ 2‬‬
‫⎣‬
‫‪7α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( )⎤⎥⎦ = 2 sin ⋅ cos‬‬
‫‪sin α = sin ⎡⎢ 2 ⋅ ( ) ⎤⎥ = 2 sin ⋅ cos‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫‪7α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪7α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫∗ הקוסינוס של זווית כפולה‪:‬‬
‫בזהות )‪ (6‬נציב את ‪ α‬במקום ‪ β‬ונקבל‪:‬‬
‫⇒‬
‫)‪(11‬‬
‫‪24‬‬
‫‪cos ( α + α ) = cos α ⋅ cos α − sin α ⋅ sinα‬‬
‫‪cos2α = cos 2α − sin 2α‬‬
‫⇒‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫ תרגילים‬,‫הגדרות ונוסחאות‬
‫ מושגי יסוד וזהויות‬:1 ‫פרק‬
‫( ניתן‬11) ‫ לפיכך מזהות‬. cos 2 α = 1 − sin 2 α -‫ ו‬sin 2 α = 1 − cos 2 α ‫( נובע כי‬1) ‫מזהות‬
:‫לקבל את הזהויות הבאות‬
(11′)
cos2α = 2cos 2α − 1
. cos α
cos2α = 1 − 2sin 2α
;
(11′′)
:‫( ומצא את‬11′′) , (11′) , (11) ‫דוגמה השתמש בזהויות‬
. cos 5α .‫ג‬
. cos14α .‫ב‬
. cos 6α .‫א‬
:‫פתרון‬
.‫ד‬
cos 6α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 3α ) ⎤⎦ = cos 2 3α − sin 2 3α ;
.‫א‬
cos 6α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 3α ) ⎤⎦ = 2 cos 2 3α − 1 ;
cos 6α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 3α ) ⎤⎦ = 1 − 2 sin 2 3α
cos14α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 7α ) ⎤⎦ = cos 2 7α − sin 2 7α ;
cos14α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 7α ) ⎤⎦ = 2 cos 2 7α − 1 ;
( )
( )
.‫ב‬
cos14α = cos ⎡⎣ 2 ⋅ ( 7α ) ⎤⎦ = 1 − 2 sin 2 7α
5α
5α
cos 5α = cos ⎡⎢ 2 ⋅ 5α ⎤⎥ = cos 2
;
− sin 2
2
2
2 ⎦
⎣
5α
5α
cos 5α = cos ⎡⎢ 2 ⋅ 5α ⎤⎥ = 2 cos 2
cos 5α = cos ⎡⎢ 2 ⋅ 5α ⎤⎥ = 1 − 2 sin 2
−1 ;
2
2
2 ⎦
2 ⎦
⎣
⎣
.‫ג‬
( )
α
α
⎡
α ⎤
cos α = cos ⎢ 2 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ = cos 2 − sin 2 ;
2
2
⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
α
⎡
α ⎤
cos α = cos ⎢ 2 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ = 2 cos 2 − 1 ;
2
2
⎣ ⎝ ⎠⎦
.‫ד‬
α
⎡
α ⎤
cos α = cos ⎢ 2 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ = 1 − 2 sin 2
2
2
⎣ ⎝ ⎠⎦
:‫∗ הטנגנס של זווית כפולה‬
:‫ ונקבל‬β ‫ במקום‬α ‫( נציב את‬8) ‫בזהות‬
tan ( α + α ) =
⇒
25
tan α + tan α
1 − tan α ⋅ tan α
tan2α =
2 tanα
1 − tan 2α
⇒
(12)
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫דוגמה השתמש בזהות )‪ (12‬ומצא את‪:‬‬
‫ב‪tan 3α .‬‬
‫א‪tan 4α .‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪tan α‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2 tan 2α‬‬
‫= ⎦⎤ ) ‪tan 4α = tan ⎡⎣ 2 ⋅ ( 2α‬‬
‫‪1 − tan 2 2α‬‬
‫‪3α‬‬
‫‪2 tan‬‬
‫‪α‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫=⎤‬
‫⋅ ‪tan 3α = tan ⎢⎡ 2‬‬
‫⎥ ‪2‬‬
‫⎣‬
‫‪⎦ 1 − tan 2 3α‬‬
‫א‪.‬‬
‫) (‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2 tan‬‬
‫⎤⎞ ‪⎡ ⎛ α‬‬
‫‪2‬‬
‫= ⎥ ⎟ ⎜ ⋅ ‪tan α = tan ⎢ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 1 − tan 2 α‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫בתרגילים ‪ 1.41 − 1.38‬הוכח את הזהויות הבאות‪:‬‬
‫‪1.38‬‬
‫‪1.40‬‬
‫‪2 tan α‬‬
‫‪1 + tan 2 α‬‬
‫= ‪sin 2α‬‬
‫‪1.39‬‬
‫‪1 − tan 2 α‬‬
‫= ‪cos 2α‬‬
‫‪1 + tan 2 α‬‬
‫‪sin 4 α + cos 4 α = 1 − sin 2 2α‬‬
‫‪1.41‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= cot α − tan α‬‬
‫‪tan 2α‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות של מחצית הזווית‬
‫∗ הסינוס של מחצית הזווית‪:‬‬
‫ניעזר בזהות )‪ (11′′‬ונמצא‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪= 1 − cos α‬‬
‫) ‪(13′‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 sin 2‬‬
‫‪1 − cosα‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫⇒‬
‫‪=±‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪cos α = 1 − 2 sin 2‬‬
‫⇒‬
‫‪1 − cosα‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(13‬‬
‫שים לב‪ ,‬הסימן לפני השורש בזהות ) ‪ (13′‬נקבע לפי הרביע בו נמצאת‬
‫‪26‬‬
‫‪cos2α = 1 − 2sin 2α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin 2‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫השתמש בזהות )‪ (13‬ומצא את‪:‬‬
‫דוגמה‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin 2 α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪sin 2 3α‬‬
‫‪5α‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin 2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪( α ) = 1 − cos2 2α‬‬
‫‪α 1 − cos 6α‬‬
‫= ) ( ‪sin 3α = sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α 1 − cos 5α‬‬
‫= ) ( ‪sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪sin 2 α = sin 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫∗ הקוסינוס של מחצית הזווית‪:‬‬
‫ניעזר בזהות )‪ (11′‬ונמצא‪:‬‬
‫‪= 1 + cos α‬‬
‫⇒‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 cos 2‬‬
‫‪1 + cosα‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(14′‬‬
‫‪=±‬‬
‫⇒‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos α = 2 cos 2‬‬
‫⇒‬
‫‪1 + cosα‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(14‬‬
‫‪cos‬‬
‫שים לב‪ ,‬הסימן לפני השורש בזהות ) ‪ (14′‬נקבע לפי הרביע בו נמצאת‬
‫דוגמה‬
‫‪cos2α = 2cos 2α − 1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos 2‬‬
‫‪.‬‬
‫השתמש בזהות )‪ (14‬ומצא את‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪cos 2 α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪cos 2 4x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪7β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos 2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1 + cos 2α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 + cos 8x‬‬
‫= ⎟⎞ ‪cos 2 4x = cos 2 ⎛⎜ 8 x‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 + cos 7β‬‬
‫‪7β‬‬
‫‪cos 2‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫= ⎟⎞ ‪cos 2 α = cos 2 ⎛⎜ 2α‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2‬‬
‫) (‬
‫‪27‬‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫∗ הטנגנס של מחצית הזווית‪:‬‬
‫נחלק את הזהות )‪ (13‬בזהות ) ‪ (14‬ונקבל‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪1 − cos α‬‬
‫‪2‬‬
‫⋅‬
‫‪2‬‬
‫‪1 + cos α‬‬
‫‪α‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 − cosα‬‬
‫‪1 + cosα‬‬
‫) ‪(15′‬‬
‫‪=±‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin 2‬‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫‪cos‬‬
‫‪1 − cos α 1 + cos α‬‬
‫=‬
‫‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫שים לב‪ ,‬הסימן לפני השורש בזהות ) ‪ (15′‬נקבע לפי הרביע בו נמצאת‬
‫דוגמה‬
‫‪2‬‬
‫‪: cos 2‬‬
‫‪1 − cosα‬‬
‫‪1 + cosα‬‬
‫) ‪(15‬‬
‫‪tan‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin 2‬‬
‫‪tan 2‬‬
‫‪.‬‬
‫השתמש בזהות )‪ (15‬ומצא את‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪tan 2 α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪tan 2 5β‬‬
‫ג‪.‬‬
‫⎟⎞ ‪tan 2 ⎛⎜ 9 x‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2α‬‬
‫‪( α ) = 11 +− cos‬‬
‫‪cos 2α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1 − cos10β‬‬
‫‪1 + cos10β‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪tan 2 α = tan 2‬‬
‫= ⎟⎞ ‪tan 2 5β = tan 2 ⎛⎜ 10β‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2‬‬
‫‪1 − cos 9x‬‬
‫‪1 + cos 9x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫= ⎟⎞ ‪tan 2 ⎛⎜ 9 x‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2‬‬
‫בתרגילים ‪ 1.44 − 1.42‬הוכח את הזהויות הבאות‪:‬‬
‫‪1.42‬‬
‫‪1.43‬‬
‫‪1.44‬‬
‫‪28‬‬
‫‪sin α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪= tan‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 + cos α‬‬
‫‪α 1 − cos α‬‬
‫= ‪tan‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin α‬‬
‫‪1 − cos 2α cos α‬‬
‫‪α‬‬
‫⋅‬
‫‪= cot‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin 2α 1 − cos α‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫זהויות לסכום והפרש שתי פונקציות טריגונומטריות‬
‫∗ סכום והפרש של שתי פונקציות סינוס‪:‬‬
‫דוגמה‬
‫) ‪(16‬‬
‫‪α+β‬‬
‫‪α −β‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sinα + sinβ = 2sin‬‬
‫) ‪(17‬‬
‫‪α −β‬‬
‫‪α+β‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sinα − sinβ = 2sin‬‬
‫נבטא את סכום )או הפרש( של שתי פונקציות בעזרת מכפלה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin 5x + sin 3x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪sin10β − sin 4β‬‬
‫‪5α‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪+ sin‬‬
‫‪7α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin‬‬
‫בהסתמך על זהויות )‪ (16‬ו‪ (17) -‬נקבל‪:‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪5x + 3x‬‬
‫‪5x − 3x‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪= 2 sin 4x ⋅ cos x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10β − 4β‬‬
‫‪10β + 4β‬‬
‫‪sin10β − sin 4β = 2 sin‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪= 2 sin 3β ⋅ cos 7β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7α‬‬
‫‪5α‬‬
‫‪7α‬‬
‫‪5α‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪α‬‬
‫‪7α‬‬
‫‪5α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪+ sin‬‬
‫‪= 2 sin‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪= 2 sin 3α ⋅ cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin 5x + sin 3x = 2 sin‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫∗ סכום והפרש של שתי פונקציות קוסינוס‪:‬‬
‫) ‪(18‬‬
‫) ‪(19‬‬
‫דוגמה‬
‫‪α+β‬‬
‫‪α −β‬‬
‫‪⋅ sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cosα − cosβ = −2sin‬‬
‫נבטא את סכום )או הפרש( של שתי פונקציות בעזרת מכפלה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪α+β‬‬
‫‪α −β‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cosα + cosβ = 2cos‬‬
‫‪cos 9α + cos 4α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪cos11x − cos 5x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪cos − cos‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫על‪-‬פי זהויות )‪ (18‬ו‪ (19) -‬נקבל‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪29‬‬
‫ מושגי יסוד וזהויות‬:1 ‫פרק‬
‫ תרגילים‬,‫הגדרות ונוסחאות‬
9 α + 4α
9 α − 4α
13α
5α
⋅ cos
⋅ cos
= 2 cos
2
2
2
2
11x + 5x
11x − 5x
cos11x − cos 5x = −2 sin
⋅ sin
= −2 sin 8x ⋅ sin 3x
2
2
γ γ
γ γ
+
−
γ
γ
γ
5γ
cos − cos = −2 sin 2 3 ⋅ sin 2 3 = −2 sin ⋅ sin
2
3
12
12
2
2
cos 9α + cos 4α = 2 cos
.‫א‬
.‫ב‬
.‫ג‬
:‫ הוכח את הזהויות הבאות‬1.47 − 1.45 ‫בתרגילים‬
sin 3α + 2 sin 2α + sin α = 4 sin 2α ⋅ cos 2
α
2
sin 5α − sin α
= 2 sin α
cos 4α + cos 2α
sin 5α + sin 3α + sin α
= tan 3α
cos 5α + cos 3α + cos α
1.45
1.46
1.47
‫זהויות המעבר מכפל לסכום או הפרש פונקציות טריגונומטריות‬
cosα ⋅ cosβ =
1
⎡cos ( α − β ) + cos ( α + β ) ⎤⎦
2⎣
( 20 )
.‫נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת סכום‬
cos
α
5α
⋅ cos
2
2
cos 7 γ ⋅ cos 6γ
.‫ג‬
.‫ב‬
cos 3x ⋅ cos x
:‫( נקבל‬20) ‫בהסתמך על זהות‬
1
1
cos 3x ⋅ cos x = ⎡⎣ cos ( 3x − x ) + cos ( 3x + x ) ⎤⎦ = ( cos 2x + cos 4x )
2
2
1
1
cos 7 γ ⋅ cos 6 γ = ⎡⎣ cos ( 7 γ − 6 γ ) + cos ( 7 γ + 6γ ) ⎤⎦ = ( cos γ + cos13γ )
2
2
cos
5α
2
⋅ cos
α
2
=
(
)
(
)
α
α ⎤ 1
1⎡
5α
5α
cos
−
+ cos
+
= ( cos 2α + cos 3α )
⎢
2
2
2
2 ⎥
2⎣
⎦ 2
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫דוגמה‬
.‫א‬
:‫פתרון‬
.‫א‬
.‫ב‬
.‫ג‬
30
‫ תרגילים‬,‫הגדרות ונוסחאות‬
‫ מושגי יסוד וזהויות‬:1 ‫פרק‬
1
sinα ⋅ sinβ = ⎣⎡cos ( α − β ) − cos ( α + β ) ⎤⎦
2
( 21)
.‫נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת הפרש‬
sin 2γ ⋅ sin
γ
sin 5β ⋅ sin2β
.‫ג‬
2
sin 4x ⋅ sin2x
.‫ב‬
.‫א‬
:‫( נקבל‬21) ‫פי זהות‬-‫על‬
:‫פתרון‬
1
1
⎡⎣ cos ( 4x − 2x ) − cos ( 4x + 2x ) ⎤⎦ = ( cos 2x − cos 6x )
2
2
1
1
sin 5β ⋅ sin2β = ⎡⎣ cos ( 5β − 2β ) − cos ( 5β + 2β ) ⎤⎦ = ( cos 3β − cos 7β )
2
2
sin 4x ⋅ sin2x =
sin 2 γ ⋅ sin
γ
2
=
)
(
) (
(
γ
γ ⎤ 1
1⎡
3γ
5γ
cos 2 γ − − cos 2 γ + ⎥ = cos − cos
2
2 ⎦
2
2
2 ⎣⎢
2
1
sinα ⋅ cosβ = ⎡⎣sin ( α + β ) + sin ( α − β ) ⎤⎦
2
.‫א‬
.‫ב‬
)
.‫ג‬
( 22 )
.‫נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת סכום‬
sin
5x
3
⋅ cos
2x
3
sin
.‫ג‬
7α
⋅ cos 3α
2
sin 9β ⋅ cos 4β
.‫ב‬
1
1
⎡sin 9β + 4β ) + sin ( 9β − 4β ) ⎤⎦ = ( sin13β + sin 5β )
2⎣ (
2
(
) (
) (
x 1⎡
x
x
x
x ⎤ 1
= sin ( + ) + sin ( −
)⎦⎥ = 2 (sin
2 ⎣⎢
sin
7α
2
⋅ cos 3α =
sin
5x
3
⋅ cos
α
1⎡
7α
7α
1
13α
sin
+ 3α + sin
− 3α ⎤ = sin
+ sin
⎥⎦ 2
2 ⎢⎣
2
2
2
2
2
3
5
3
2
3
5
3
2
3
1
cosα ⋅ sinβ = ⎡⎣sin ( α + β ) − sin ( α − β ) ⎤⎦
2
7x
3
+ sin x
:‫פתרון‬
.‫א‬
)
.‫ב‬
)
.‫ג‬
( 23)
.‫נבטא את מכפלה של שתי פונקציות בעזרת הפרש‬
cos
31
7x
6
⋅ sin
2x
3
.‫ג‬
cos
α
3α
⋅ sin
4
2
‫דוגמה‬
.‫א‬
:‫( ונקבל‬22) ‫נשתמש בזהות‬
sin 9β ⋅ cos 4β =
‫דוגמה‬
.‫ב‬
cos10γ ⋅ sin 8γ
‫דוגמה‬
.‫א‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פתרון‪:‬‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫נשתמש בזהות )‪ (23‬ונקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪⎡⎣sin (10 γ + 8γ ) − sin (10 γ − 8γ ) ⎤⎦ = ( sin18γ − sin 2 γ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‬
‫ג‪.‬‬
‫)‬
‫( )‬
‫( )‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫= ‪cos10 γ ⋅ sin 8γ‬‬
‫‪α ⎤ 1‬‬
‫‪α‬‬
‫⎡‪1‬‬
‫‪3α α‬‬
‫‪3α‬‬
‫‪5α‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− sin‬‬
‫‪−‬‬
‫‪⎥ = 2 sin 4 − sin 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫⎦ ‪2‬‬
‫⎢⎣ ‪2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫⎡‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪7x‬‬
‫⎤ ‪2x‬‬
‫‪11x‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− sin‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= sin‬‬
‫‪− sin‬‬
‫‪⎥ 2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫⎦ ‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫⎢⎣ ‪2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪⋅ sin‬‬
‫‪3α‬‬
‫‪4‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪⋅ sin‬‬
‫‪7x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪cos‬‬
‫פונקציה זוגית ואי‪-‬זוגית‬
‫הגדרה‬
‫פונקציה זוגית – פונקציה המקיימת ) ‪ f ( − x ) = f ( x‬לכל ‪ x‬ו‪ (−x) -‬בתחום‬
‫הגדרתה‪.‬‬
‫פונקציה אי‪-‬זוגית – פונקציה המקיימת ) ‪ f ( − x ) = −f ( x‬לכל ‪ x‬ו‪(−x) -‬‬
‫בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫הערה‬
‫משפט‬
‫לא כל פונקציה היא בהכרח זוגית או אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫אם הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית‪ ,‬אזי היא סימטרית ביחס לציר ה‪. y -‬‬
‫אם הפונקציה )‪ f (x‬היא אי‪-‬זוגית‪ ,‬אזי היא סימטרית ביחס לראשית הצירים‪.‬‬
‫קוסינוס היא פונקציה זוגית‪ .‬כלומר‪. cos( − x) = cos x ,‬‬
‫פונקציות סינוס‪ ,‬טנגנס וקוטנגנס הן אי‪-‬זוגיות‪ .‬דהיינו‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪sin(− x) = − sin x , tan( − x) = − tan x , cot(− x) = − cot x‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. f ( x ) = sin x ⋅ cos 2x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נראה שהפונקציה )‪ f (x‬מקיימת )‪. f (− x) = −f (x‬‬
‫‪cos ( −2x ) = cos2x‬‬
‫מ ‪.‬ש ‪ .‬ל ‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫הוכח כי ) ‪ f ( x‬היא פונקציה אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫‪sin ( − x ) = −sinx‬‬
‫)‪f (− x) = −f (x‬‬
‫⇒‬
‫) ‪f ( − x ) = sin ( − x ) ⋅ cos ( −2x‬‬
‫‪f (− x) = − sin x ⋅ cos 2x‬‬
‫⇒‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :1‬מושגי יסוד וזהויות‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫‪sin 2x‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪tan 3x‬‬
‫פתרון‪ :‬נראה כי הפונקציה )‪ f (x‬מקיימת )‪. f (− x) = f (x‬‬
‫= )‪.f (x‬‬
‫‪− sin 2x sin 2x‬‬
‫=‬
‫‪− tan 3x tan 3x‬‬
‫⇒‬
‫מ ‪.‬ש ‪ .‬ל ‪.‬‬
‫הוכח כי ) ‪ f ( x‬היא פונקציה זוגית‪.‬‬
‫= ) ‪f ( −x‬‬
‫⇒‬
‫)‪f ( − x) = f (x‬‬
‫⇒‬
‫‪sin ( −2x ) = −sin2x‬‬
‫‪tan ( −3x ) = −tan3x‬‬
‫) ‪sin ( −2x‬‬
‫) ‪tan ( −3x‬‬
‫= ) ‪f ( −x‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. f ( x ) = 3 − cos x ⋅ sin 2 4x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הוכח כי ) ‪ f ( x‬היא פונקציה זוגית‪.‬‬
‫נראה כי )‪ f (x‬מקיימת )‪. f (− x) = f (x‬‬
‫‪sin ( −4x ) = −sin4x‬‬
‫‪cos ( − x ) = cosx‬‬
‫‪f ( − x ) = 3 − cos x ⋅ sin 2 4x‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫) ‪f ( − x ) = 3 − cos ( − x ) ⋅ sin 2 ( −4x‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪f ( − x ) = 3 − cos x ⋅ ( − sin 4x‬‬
‫⇒‬
‫)‪f (− x) = f (x‬‬
‫⇒‬
‫מ ‪.‬ש ‪ .‬ל ‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 1.50 − 1.48‬הוכח את הזהויות הבאות‪:‬‬
‫∗‪1.48‬‬
‫∗‪1.49‬‬
‫∗‪1.50‬‬
‫‪cos ( 270° + 4α ) + sin (180° − 8α ) − sin ( 360° − 12α ) = 4 cos 2α ⋅ cos 4α ⋅ sin 6α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( β − α ) = sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin α ⋅ sin ( β − α ) + sin 2‬‬
‫‪sin 7α‬‬
‫‪− 2 ( cos 2α + cos 4α + cos 6α ) = 1‬‬
‫‪sin α‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪33‬‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫מחזוריות הפונקציות הטריגונומטריות‬
‫הגדרה‬
‫פונקציה )‪ f (x‬נקראת מחזורית‪ ,‬אם קיים מספר קבוע ‪ , T > 0‬כך שלכל ‪x‬‬
‫בתחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬גם ‪ x − T‬וגם ‪ x + T‬נמצאים בתחום‬
‫ההגדרה ומתקיים‪ . f ( x − T ) = f ( x ) = f ( x + T ) :‬המספר החיובי ‪ , T‬הקטן‬
‫ביותר המקיים את השוויון הנ"ל‪ ,‬נקרא המחזור של הפונקציה‪.‬‬
‫משפט‬
‫הפונקציות הטריגונומטריות סינוס‪ ,‬קוסינוס‪ ,‬טנגנס וקוטנגנס הן פונקציות‬
‫מחזוריות‪ .‬המחזור של סינוס וקוסינוס הוא ‪ (360°) 2π‬והמחזור של טנגנס‬
‫וקוטנגנס הוא ‪ . (180°) π‬כלומר‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪K = 0, ± 1, ± 2,..‬‬
‫‪cos x = cos ( x ± 2πK ) ,‬‬
‫‪sin x = sin ( x ± 2πK ) ,‬‬
‫) ‪cot x = cot ( x ± πK‬‬
‫‪tan x = tan ( x ± πK ) ,‬‬
‫הערות‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪A ⋅ f (x) + B‬‬
‫אם מחזורה של פונקציה )‪ f (x‬הוא ‪ , T‬אזי הפונקציה‬
‫) ‪ A , B‬מספרים קבועים‪ ( A ≠ 0 ,‬גם היא מחזורית‪ ,‬בעלת אותו מחזור ‪. T‬‬
‫אם הפונקציה )‪ f (x‬היא מחזורית בעלת מחזור ‪ , T‬אזי הפונקציה )‪f (mx + n‬‬
‫) ‪ m , n‬מספרים קבועים‪ ( m ≠ 0 ,‬גם היא מחזורית‪ ,‬בעלת מחזור‬
‫‪T‬‬
‫‪m‬‬
‫‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫מצא את המחזור של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪. f (x) = 3sin x + 7 .‬‬
‫‪. f (x) = 3cos x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪. f ( x ) = tan 2x‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪. f (x) = 2 cos + 5 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪34‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫פתרון‪:‬‬
‫המחזור של ‪ cos x‬הוא ‪ . T = 2π‬על‪-‬פי הערה א'‪ ,‬המחזור של הפונקציה ‪f (x) = 3cos x‬‬
‫א‪.‬‬
‫גם הוא ‪. T = 2π‬‬
‫ב‪.‬‬
‫המחזור של ‪ sin x‬הוא ‪ . T = 2π‬על סמך הערה א'‪ ,‬מחזורה של הפונקציה‬
‫‪ f (x) = 3sin x + 7‬גם הוא ‪. T = 2π‬‬
‫ג‪.‬‬
‫המחזור של ‪ tan x‬הוא ‪ . T = π‬על‪-‬פי הערה ב'‪ ,‬מחזורה של הפונקציה ‪f (x) = tan 2x‬‬
‫‪π‬‬
‫הוא‬
‫‪2‬‬
‫= ‪.T‬‬
‫המחזור של ‪ cos x‬הוא ‪ . T = 2π‬לפי הערות א' וב'‪ ,‬המחזור של הפונקציה‬
‫‪2π‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. T = 1 = 6π‬‬
‫‪ f (x) = 2 cos + 5‬הוא‬
‫ד‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫משוואות טריגונומטריות מהצורה ‪ sinx = a‬או ‪sinx = sinα‬‬
‫המשוואות ‪ sin x = a‬ו‪ sin x = sin α -‬הן משוואות שקולות‪,‬‬
‫כאשר ‪a = sin α‬‬
‫)‪. (−1 ≤ a ≤ 1‬‬
‫הערה‬
‫אם ‪ α‬זווית במעלות‪ ,‬אזי פתרונות המשוואה הם‪:‬‬
‫‪⎡ x1 = α° + 360°K‬‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎣ x 2 = 180° − α° + 360°K‬‬
‫אם ‪ α‬זווית ברדיאנים‪ ,‬אזי פתרונות המשוואה הם‪:‬‬
‫‪⎡ x1 = α + 2πK‬‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎣ x 2 = π − α + 2πK‬‬
‫⇒‬
‫‪sinx = sinα°‬‬
‫⇒‬
‫‪sinx = sinα‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.06 − 2.01‬תן פתרון כללי למשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.01‬‬
‫‪2.04‬‬
‫‪sin x = sin 52°‬‬
‫‪2.02‬‬
‫‪sin 2x = −‬‬
‫‪2.05‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪5‬‬
‫‪π‬‬
‫‪9‬‬
‫‪sin x = sin‬‬
‫‪2.03‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪2.06‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= sin‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫= ‪sin x‬‬
‫‪sin ( 3x + 15° ) = −‬‬
‫‪35‬‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪2.01‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪. x 2 = 128° + 360°K , x1 = 52° + 360°K‬‬
‫‪. x 2 = 35π + 2πK‬‬
‫‪2.03‬‬
‫‪. x 2 = 160.53° + 360°K , x1 = 19.47° + 360°K‬‬
‫‪. x 2 = 105° + 180°K , x1 = −15° + 180°K‬‬
‫‪2.04‬‬
‫‪2.02‬‬
‫‪. x 2 = 409π + 10πK‬‬
‫‪, x1 = 25π + 2πK‬‬
‫‪2.06‬‬
‫‪2.05‬‬
‫‪, x1 = 59π + 10πK‬‬
‫‪. x 2 = 75° + 120°K , x1 = −25° + 120°K‬‬
‫הפתרונות המיוחדים עבור סינוס‬
‫) ‪( x = πK‬‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫‪π‬‬
‫⎛‬
‫⎞‬
‫⎟ ‪⎜ x = 2 + 2πK‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫‪π‬‬
‫⎛‬
‫⎞‬
‫⎟ ‪⎜ x = − 2 + 2πK‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫‪x = 180°K‬‬
‫⇒‬
‫‪sinx = 0‬‬
‫‪x = 90° + 360°K‬‬
‫⇒‬
‫‪sinx = 1‬‬
‫‪x = −90° + 360°K‬‬
‫⇒‬
‫‪sinx = −1‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.09 − 2.07‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.07‬‬
‫‪2.08‬‬
‫‪2.09‬‬
‫‪( x − 28°) = 0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪sin ( 6x + ) = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2sin ( x + 36° ) + 2 = 0‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪. x = 42° + 270°K 2.07‬‬
‫‪2.09‬‬
‫‪36‬‬
‫‪2.08‬‬
‫‪π‬‬
‫‪. x = − 60 + π3K‬‬
‫‪. x = −126° + 360°K‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫משוואות טריגונומטריות מהצורה ‪ cosx = a‬או ‪cosx = cosα‬‬
‫המשוואות ‪ cos x = a‬ו‪cos x = cos α -‬‬
‫כאשר ‪. (−1 ≤ a ≤ 1) a = cos α‬‬
‫הערה‬
‫הן משוואות שקולות‪,‬‬
‫אם ‪ α‬זווית במעלות‪ ,‬אזי פתרונות המשוואה הם‪:‬‬
‫‪⎡ x1 = α° + 360°K‬‬
‫‪K = 0, ± 1, ± 2,...‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎣ x 2 = −α° + 360°K‬‬
‫אם ‪ α‬זווית ברדיאנים‪ ,‬אזי פתרונות המשוואה הם‪:‬‬
‫‪⎡ x1 = α + 2πK‬‬
‫‪K = 0, ± 1, ± 2,...‬‬
‫⎢ או‬
‫‪⎣ x 2 = −α + 2πK‬‬
‫⇒‬
‫‪cosx = cosα°‬‬
‫⇒‬
‫‪cosx = cosα‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.15 − 2.10‬תן פתרון כללי למשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪cos x = cos‬‬
‫‪2.11‬‬
‫‪cos x = cos 38° 2.10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2.13‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.15‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪2.10‬‬
‫‪. x = ±38° + 360°K‬‬
‫‪2.11‬‬
‫‪+ 2πK‬‬
‫‪2.12‬‬
‫‪. x = ±40° + 120°K‬‬
‫‪2.13‬‬
‫‪. x 2 = −6° + 72°K , x1 = 12° + 72°K‬‬
‫‪2.14‬‬
‫‪. x 2 = − 76π + 4πK , x1 = π6 + 4πK‬‬
‫‪2.15‬‬
‫‪. x 2 = −138° + 432°K , x1 = 186° + 432°K‬‬
‫‪2.12‬‬
‫‪2 cos 3x + 1 = 0‬‬
‫‪2.14‬‬
‫‪(x + π)−3 = 0‬‬
‫‪4‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6 cos‬‬
‫= ) ‪cos ( 5x − 15°‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫)‬
‫‪− 20° +‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪10‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫= ‪+ 2πK , x1‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪10‬‬
‫‪. x2 = −‬‬
‫הפתרונות המיוחדים עבור קוסינוס‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫) ‪( x = π + πK‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪( x = 2πK‬‬
‫) ‪( x = π + 2πK‬‬
‫‪x = 90° + 180°K‬‬
‫⇒‬
‫‪cosx = 0‬‬
‫‪x = 360°K‬‬
‫⇒‬
‫‪cosx = 1‬‬
‫‪x = 180° + 360°K‬‬
‫⇒‬
‫‪cosx = −1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪37‬‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫בתרגילים ‪ 2.18 − 2.16‬פתור את המשואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.16‬‬
‫)‬
‫‪2.18‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪− 31° = 0‬‬
‫‪11x‬‬
‫‪12‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪cos‬‬
‫‪2.17‬‬
‫(‬
‫‪( x + π) =1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪+ 72° + = 0‬‬
‫‪°K‬‬
‫‪. x = 132° + 2160‬‬
‫‪11‬‬
‫תשובות‪2.16 :‬‬
‫‪2.18‬‬
‫‪2.17‬‬
‫‪. x = − 32π + 9πK‬‬
‫‪. x = 126° + 420°K‬‬
‫משוואות טריגונומטריות מהצורה ‪ tanx = a‬או ‪tanx = tanα‬‬
‫הערה‬
‫המשוואות ‪ tan x = a‬ו‪ tan x = tan α -‬הן משוואות שקולות‪,‬‬
‫כאשר ‪a = tan α‬‬
‫) ∞ < ‪. (−∞ < a‬‬
‫אם ‪ α‬זווית במעלות‪ ,‬אזי פתרון המשוואה הוא‪:‬‬
‫‪x = α° + 180°K , K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫אם ‪ α‬זווית ברדיאנים‪ ,‬אזי פתרון המשוואה הוא‪:‬‬
‫‪x = α + πK , K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫הערה‬
‫‪sinx‬‬
‫היות ש‪-‬‬
‫‪cosx‬‬
‫⇒‬
‫‪tanx = tanα°‬‬
‫⇒‬
‫‪tanx = tanα‬‬
‫= ‪ , tanx‬הפונקציה ‪ tanx‬מוגדרת עבור ‪ . cos x ≠ 0‬כלומר‪,‬‬
‫‪x ≠ 90° + 180°K‬‬
‫)‬
‫‪+ πK‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫≠ ‪ . x‬לפיכך בכל משוואה שכוללת את פונקציית‬
‫הטנגנס צריך לשים לב לתחום ההגדרה של המשוואה‪.‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.22 − 2.19‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.19‬‬
‫‪tan x = tan63°‬‬
‫‪2.20‬‬
‫‪2.21‬‬
‫‪tan ( 5x + 41° ) = 3‬‬
‫‪2.22‬‬
‫‪38‬‬
‫‪8π‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪tan 4x = tan‬‬
‫‪( x + π)=2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6 ⋅ tan‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫תשובות‪:‬‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪2.19‬‬
‫‪. x = 63° + 180°K‬‬
‫‪2.20‬‬
‫‪2.21‬‬
‫‪. x = 6.11° + 36°K‬‬
‫‪2.22‬‬
‫‪. x = 215π + π4K‬‬
‫‪4 πK‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪π‬‬
‫‪9‬‬
‫= ‪.x‬‬
‫הפתרונות המיוחדים עבור טנגנס‬
‫) ‪( x = πK‬‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫) ‪( x = π + πK‬‬
‫) ‪( x = − π + πK‬‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫‪4‬‬
‫‪K = 0 , ± 1, ± 2 ,...‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x = 180°K‬‬
‫⇒‬
‫‪tanx = 0‬‬
‫‪x = 45° + 180°K‬‬
‫⇒‬
‫‪tanx = 1‬‬
‫‪x = −45° + 180°K‬‬
‫⇒‬
‫‪tanx = −1‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.25 − 2.23‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.23‬‬
‫‪)=0‬‬
‫‪2.25‬‬
‫‪( x + 18°) + 1 = 0‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫‪tan 4x +‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪2.23‬‬
‫‪2.24‬‬
‫‪( x − 25°) = 1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪tan‬‬
‫‪tan‬‬
‫‪. x = − π6 + π4K‬‬
‫‪2.24‬‬
‫‪. x = 112° + 288°K‬‬
‫‪. x = −56° + 160°K 2.25‬‬
‫פתרון משוואות טריגונומטריות בתחום נתון‬
‫כדי למצוא את הפתרונות בתחום הנתון‪ ,‬צריך למצוא את הפתרון הכללי של המשוואה‬
‫הטריגונומטרית ולהציב מספר ערכים שלמים במקום ‪. ( K = 0 , ± 1, ± 2 ,...) K‬‬
‫מבין הפתרונות המתקבלים יש לבחור את אלה שנמצאים בתחום הנתון‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫פתור את המשוואה‬
‫‪tan ( 4x + 20° ) = 3‬‬
‫בתחום ‪. −90° < x < 90°‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪39‬‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פתרון‪:‬‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫ידוע כי ‪ , 3 = tan 60°‬לכן מתקיים‪:‬‬
‫נמצא את הפתרון הכללי של המשוואה‪.‬‬
‫‪4x + 20° = 60° + 180°K‬‬
‫⇒‬
‫‪K = 0, ± 1, ± 2,...‬‬
‫‪x = 10° + 45°K ,‬‬
‫‪tan ( 4x + 20° ) = tan 60°‬‬
‫⇒‬
‫‪4x = 40° + 180°K : 4‬‬
‫⇒‬
‫נמצא את הפתרונות בתחום ‪ . −90° < x < 90°‬נציב בפתרון הכללי‬
‫⇒‬
‫) ‪( x = 10° + 45°K‬‬
‫מספר ערכים שלמים במקום ‪. K‬‬
‫אינו שייך לתחום‬
‫‪x = − 125°‬‬
‫⇒‬
‫)‪x = 10° + 45° ⋅ ( −3‬‬
‫‪K = −3 :‬‬
‫‪x = −80°‬‬
‫⇒‬
‫) ‪x = 10° + 45° ⋅ ( −2‬‬
‫‪K = −2 :‬‬
‫‪x = −35°‬‬
‫⇒‬
‫)‪x = 10° + 45° ⋅ ( −1‬‬
‫‪K = −1 :‬‬
‫‪x = 10°‬‬
‫⇒‬
‫‪x = 10° + 45° ⋅ 0‬‬
‫‪K=0 :‬‬
‫‪x = 55°‬‬
‫⇒‬
‫‪x = 10° + 45° ⋅1‬‬
‫‪K =1 :‬‬
‫‪x = 10° + 45° ⋅ 2‬‬
‫‪K=2:‬‬
‫⇒‬
‫אינו שייך לתחום ‪x = 100°‬‬
‫על מנת לפשט את תהליך הפתרון ניתן להשתמש בטבלה הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪K‬‬
‫‪100°‬‬
‫‪55°‬‬
‫‪10°‬‬
‫‪−35°‬‬
‫‪−80°‬‬
‫‪−125°‬‬
‫‪x = 10° + 45°K‬‬
‫קבוצת הפתרונות של המשוואה השייכים לתחום ‪ −90° < x < 90°‬היא‪:‬‬
‫}‪x = {−80° , − 35° , 10° , 55°‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.31 − 2.26‬פתור את המשוואות הבאות ומצא את הפתרונות בתחום הרשום‬
‫משמאל למשוואה‪.‬‬
‫‪2.26‬‬
‫‪tan ( 6x + 150° ) = tan x‬‬
‫‪2.27‬‬
‫‪2 ⋅ cos 4x = 1‬‬
‫‪2.28‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2.29‬‬
‫‪2.30‬‬
‫‪2.31‬‬
‫‪40‬‬
‫‪. 0° ≤ x ≤ 360°‬‬
‫(‬
‫‪) = cos 2x‬‬
‫‪2sin ( + 18° ) − 2 = 0‬‬
‫) ‪sin ( 3x + ) = sin ( − x‬‬
‫‪cos 4x −‬‬
‫‪9x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪6‬‬
‫‪. 90° < x < 270°‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cos 4x − sin x = 0‬‬
‫‪. −π ≤ x ≤ π‬‬
‫‪. 0° ≤ x ≤ 360°‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫≤ ‪.− 2 ≤ x‬‬
‫‪. −π ≤ x ≤ π‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫}‪222°, 258°‬‬
‫תשובות‪2.26 :‬‬
‫‪. x = {114°, 150°, 186°,‬‬
‫}‪. x = {15°, 75°,105°,165°,195°, 255°, 285°, 345°‬‬
‫‪2.27‬‬
‫‪2.28‬‬
‫}‬
‫‪2.29‬‬
‫}‪. x = {6°, 26°, 86°,106°,166°,186°, 246°, 266°, 326°, 346°‬‬
‫‪2.30‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−‬‬
‫‪7π‬‬
‫‪,‬‬
‫‪10‬‬
‫}‬
‫}‬
‫‪2.31‬‬
‫‪2π π π 4π 7 π‬‬
‫‪, , , ,‬‬
‫‪9 9 3 9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪−‬‬
‫‪11π 23π 5 π 35 π‬‬
‫‪,‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪4‬‬
‫‪24‬‬
‫‪π π 9π‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪10 2 10‬‬
‫‪π‬‬
‫‪6‬‬
‫‪− ,‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪,‬‬
‫‪9‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪8π‬‬
‫‪,‬‬
‫‪9‬‬
‫{‬
‫‪.x = −‬‬
‫{‬
‫‪. x = − 24 , 4 ,‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪,‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪,‬‬
‫‪6‬‬
‫{‬
‫‪.x = −‬‬
‫משוואות טריגונומטרית שונות‬
‫משוואות בהן מופיע ריבוע של פונקציה טריגונומטרית‬
‫בתרגילים ‪ 2.35 − 2.32‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.32‬‬
‫‪tan 2 x = 3‬‬
‫‪2.33‬‬
‫‪2.34‬‬
‫‪2 cos 2 2x = 1‬‬
‫‪2.35‬‬
‫תשובות‪2.32 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.33‬‬
‫‪. x 2 = −60° + 180°K , x1 = 60° + 180°K‬‬
‫‪. x 2 = −30° + 120°K‬‬
‫‪2.35‬‬
‫‪sin 2 3x = 1‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪4 sin 2‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪2.34‬‬
‫‪± 22.5° + 180° K‬‬
‫= ‪ x‬או‬
‫}‪40° + 240° K , 80° + 240°K , 160° + 240° K‬‬
‫‪, x1 = 30° + 120°K‬‬
‫‪± 67.5° + 180° K‬‬
‫=‪.x‬‬
‫‪. x = {−40° + 240°K ,‬‬
‫משוואות עם פירוק לגורמים‬
‫בתרגילים ‪ 2.40 − 2.36‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.36‬‬
‫‪2.38‬‬
‫‪2.40‬‬
‫‪)=0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪6‬‬
‫(‬
‫‪sin x ⋅ tan x +‬‬
‫‪2 cos 2 x + 3 cos x = 0‬‬
‫)‬
‫‪(1 + 2 sin 2x ) ⋅ (1 −‬‬
‫‪2.37‬‬
‫‪2 cos 5x = 0‬‬
‫‪2.39‬‬
‫‪5 tan 2 3x − 2 tan 3x = 0‬‬
‫‪3sin 2 4x = 2sin 4x‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪41‬‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫תשובות‪:‬‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫{‬
‫‪2.36‬‬
‫}‬
‫‪2.37‬‬
‫}‪± 9° + 72° K , 105° + 180° K‬‬
‫‪. x = πK , − π6 + πK‬‬
‫‪. x = {−15° + 180°K ,‬‬
‫‪. x = {90° + 180°K‬‬
‫‪2.38‬‬
‫}‪, ± 150° + 360° K‬‬
‫‪2.39‬‬
‫}‪x = {60°K , 7.27° + 60°K‬‬
‫‪2.40‬‬
‫}‪x = {45°K , 10.45° + 90°K , 34.55° + 90° K‬‬
‫משוואות הכוללות משוואה ריבועית‬
‫בתרגילים ‪ 2.44 − 2.41‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.41‬‬
‫‪2.43‬‬
‫‪3 tan 2 x + 2 tan x − 1 = 0‬‬
‫‪2 tan x − 12 cot x − 5 = 0‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪2.41‬‬
‫‪2.42‬‬
‫‪2.43‬‬
‫‪2.44‬‬
‫‪2.42‬‬
‫‪2.44‬‬
‫}‪18.43° + 180° K‬‬
‫}‪360° K‬‬
‫‪2 cos 2 x − cos x − 1 = 0‬‬
‫‪4sin 2x − 8sin 2x + 3 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. x = {−45° + 180°K ,‬‬
‫‪. x = {±120° + 360°K ,‬‬
‫}‪75.96° + 180° K‬‬
‫}‪75° + 180° K‬‬
‫‪. x = {−56.31° + 180°K ,‬‬
‫‪. x = {15° + 180°K ,‬‬
‫משוואות הומוגניות ממעלה ראשונה‬
‫)‪(a ⋅ sinmx + b ⋅ cosmx = 0‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.47 − 2.45‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.45‬‬
‫‪2.47‬‬
‫‪sin x + 3 cos x = 0‬‬
‫‪x π‬‬
‫‪x π‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪3 sin + − cos +‬‬
‫)‬
‫‪4‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪42‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪2.45‬‬
‫‪. x = −60° + 180°K‬‬
‫‪2.47‬‬
‫‪. x = − π6 + 2πK‬‬
‫‪2.46‬‬
‫‪2.46‬‬
‫‪3sin 2x − 4 cos 2x = 0‬‬
‫‪. x = 26.565° + 90°K‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫משוואות הומוגניות ממעלה שנייה‬
‫) ‪( a ⋅ sin 2mx + b ⋅ sinmx ⋅ cosmx + c ⋅ cos2mx = 0‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.50 − 2.48‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪sin 2 x + sin x ⋅ cos x − 2 cos 2 x = 0‬‬
‫‪2.48‬‬
‫‪4sin 2x − 7 sin 2x ⋅ cos 2x − 2 cos 2x = 0 2.49‬‬
‫‪6sin 2 x + 13sin x ⋅ cos x + 7 cos 2 x = 1 2.50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫}‪45° + 180° K‬‬
‫‪. x = {−63.43° + 180°K ,‬‬
‫‪2.48‬‬
‫‪. x = {−7° + 90°K , 31.72° + 90°K} 2.49‬‬
‫‪. x = {−63.43° + 180°K , − 30.96° + 180°K} 2.50‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫תרגילים לסיכום הפרק‬
‫בתרגילים ‪ 2.61 − 2.51‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.52‬‬
‫‪cos 2x − 3cos x + 2 = 0‬‬
‫‪2.54‬‬
‫‪sin 2x + 3 cos x = 0‬‬
‫‪2.56‬‬
‫‪cos 2 3x − sin 2 3x + cos 2x = 0‬‬
‫‪cos 4 3x − sin 4 3x = sin 5x‬‬
‫‪2.51‬‬
‫‪2 cos 2 x + 5sin x + 1 = 0‬‬
‫‪6‬‬
‫= ‪25 tan x − 8‬‬
‫‪cos 2 x‬‬
‫‪2.55‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.57‬‬
‫‪2 tan x‬‬
‫‪+ 2 cot 2x = 3‬‬
‫‪1 − tan 2 x‬‬
‫‪2.58‬‬
‫‪2.59‬‬
‫‪cos 2 5x + sin 2 2x = 1‬‬
‫‪2.60‬‬
‫‪2.53‬‬
‫∗‪2.61‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪sin 7x − 2 sin‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 − cos x + 5sin‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin 4 x + cos 4 x = sin 2x‬‬
‫}‪, 210° + 360° K‬‬
‫‪. x = {−30° + 360°K‬‬
‫תשובות‪2.51 :‬‬
‫‪. x = {33.69° + 180°K , 74.05° + 180°K} 2.53 . x = {±60° + 360°K , 360°K} 2.52‬‬
‫‪. x = {90°K , 18° + 36°K} 2.55 . x = {90° + 180°K , − 60° + 360°K , 240° + 360°K} 2.54‬‬
‫‪. x = {22.5° + 90°K , 31.72° + 90°K} 2.57 . x = {22.5° + 45°K , − 45° + 90°K} 2.56‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪43‬‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪2.58‬‬
‫‪, − 90° + 360°K‬‬
‫}‬
‫‪2.60‬‬
‫}‪, 420° + 720° K‬‬
‫= ‪.x‬‬
‫‪2.59‬‬
‫}‬
‫‪. x = {−60° + 720°K‬‬
‫‪2.61‬‬
‫‪. x = 45° + 180°K‬‬
‫‪360° K‬‬
‫‪11‬‬
‫‪+‬‬
‫‪90°‬‬
‫‪11‬‬
‫{‬
‫‪180° K‬‬
‫‪7‬‬
‫‪K,‬‬
‫‪{60°‬‬
‫= ‪.x‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.64 − 2.62‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.62‬‬
‫‪sin 2x‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪1 + cos 2x‬‬
‫‪2.62‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪cos 2x‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪1 + tan x‬‬
‫‪2.63‬‬
‫‪2.63‬‬
‫‪. x = 180°K‬‬
‫)‬
‫∗‪− 1 = 0 2.64‬‬
‫‪. x = 45° + 180°K‬‬
‫‪2.64‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪tan x ⋅ tan‬‬
‫‪. x = 360°K‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.72 − 2.65‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.65‬‬
‫‪2.67‬‬
‫‪cos 3x + cos 2x + cos x = 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos 2x − cos x = sin‬‬
‫‪2.66‬‬
‫‪sin 7x + sin x = − 3 sin 4x‬‬
‫‪2.68‬‬
‫‪sin 4x + sin 2x = cos 5x − cos x‬‬
‫‪2.69‬‬
‫‪sin 2 x + sin 2 2x = cos 2 3x + cos 2 4x‬‬
‫‪2.70‬‬
‫) ‪sin ( 3x + 60° ) + sin ( 3x − 60°‬‬
‫) ‪= tan ( x + 10°‬‬
‫) ‪cos ( 3x + 60° ) + cos ( 3x − 60°‬‬
‫‪2.71‬‬
‫‪2.72‬‬
‫‪cos 3x + 2 cos x = 0‬‬
‫‪sin 9x − 2 sin 3x = 0‬‬
‫‪2.65‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫}‪± 120° + 360° K‬‬
‫‪. x = {45° + 90°K ,‬‬
‫}‪. x = {45°K , ± 50° + 120°K‬‬
‫‪2.67‬‬
‫}‪− 20° + 240° K , 140° + 240° K‬‬
‫‪. x = {360°K ,‬‬
‫‪2.66‬‬
‫‪. x = {45° + 90°K , 18° + 36°K} 2.69 . x = {60°K , − 90° + 360°K , − 30° + 120°K} 2.68‬‬
‫‪. x = {90° + 180°K , ± 60° + 180°K} 2.71‬‬
‫‪. x = 5° + 90°K 2.70‬‬
‫‪. x = {60°K , ± 10° + 60°K} 2.72‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.77 − 2.73‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2.73‬‬
‫‪44‬‬
‫)‬
‫‪π‬‬
‫‪9‬‬
‫(‬
‫‪= sin x −‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪9‬‬
‫‪+ cos 5x ⋅ sin‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪9‬‬
‫‪sin 5x ⋅ cos‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :2‬משוואות טריגונומטריות‬
‫‪2.74‬‬
‫)‬
‫‪2.75‬‬
‫‪sin 2x + 3 cos 2x = 1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪6‬‬
‫(‬
‫‪cos 7x ⋅ cos x − sin 7x ⋅ sin x = cos 2x −‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2.76‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪2.77‬‬
‫‪4 sin x − cos x = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪2.75‬‬
‫‪2.77‬‬
‫‪− cos‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3 sin‬‬
‫‪2‬‬
‫}‬
‫‪2.73‬‬
‫‪πK‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪54‬‬
‫{‬
‫‪. x = − π6 + π2K ,‬‬
‫}‪. x = {−15° + 180°K , 45° + 180°K‬‬
‫‪2.74‬‬
‫}‬
‫‪πK‬‬
‫‪5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪π‬‬
‫‪60‬‬
‫{‬
‫‪π‬‬
‫‪πK‬‬
‫‪. x = − 36‬‬
‫‪+ ,‬‬
‫‪3‬‬
‫}‪. x = {150° + 720°K , 330° + 720°K‬‬
‫‪2.76‬‬
‫}‪. x = {43° + 360°K , 165° + 360°K‬‬
‫בתרגילים ‪ 2.81 − 2.78‬פתור את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫∗‪2.78‬‬
‫∗‪2.79‬‬
‫∗‪2.80‬‬
‫∗‪2.81‬‬
‫‪cos 8x ⋅ cos 4x − cos x ⋅ cos 3x = 0‬‬
‫‪sin 6x ⋅ sin 2x = cos 3x ⋅ cos x‬‬
‫) ‪) ⋅ cos ( 2x − π ) = − sin (6x − π ) ⋅ sin ( x − π‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫(‬
‫‪sin 5x +‬‬
‫‪8sin x ⋅ sin ( x + 60° ) ⋅ sin ( x − 60° ) = −1‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪2.78‬‬
‫‪2.80‬‬
‫}‬
‫{‬
‫‪°‬‬
‫‪. x = 36°K , 180‬‬
‫‪K‬‬
‫‪7‬‬
‫}‪. x = {22.5° + 45°K , 90° + 180°K‬‬
‫‪. x = {18° + 36°K , 30° + 60°K } 2.79‬‬
‫‪. x = {10° + 120°K , 50° + 120°K} 2.81‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪45‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫בעיות טריגונומטריות במשולש ישר‪-‬זווית‬
‫בפרק ‪ 1‬הגדרנו פונקציות טריגונומטריות לגבי זווית חדה במשולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫היתר‬
‫‪a‬‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫היתר‬
‫= ‪sinβ‬‬
‫= ‪cosβ‬‬
‫‪b‬‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫‪a‬‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫היתר‬
‫= ‪sinα‬‬
‫‪b‬‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫היתר‬
‫= ‪cosα‬‬
‫נשתמש בהגדרות הנ"ל לפתרון בעיות גיאומטריות במישור‪.‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫‪ 5.88‬ס"מ = ‪BC = 10 ⋅ sin 36°‬‬
‫⇒‬
‫= ‪tanα‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‪ :‬במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ABC‬נתונים אורך היתר‬
‫וגודל הזווית החדה‪ BC .‬הוא הניצב שמול הזווית הנתונה‪.‬‬
‫נשתמש בהגדרה של פונקציית הסינוס ונחשב את אורכו של ‪: BC‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪10‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫נביא דוגמה לחישובים‬
‫דוגמה‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ABC‬שבו ‪, )C = 90°‬‬
‫‪ 10 , )A = 36°‬ס"מ = ‪ , AB‬מצא את אורכי‬
‫הניצבים ‪ BC‬ו‪. AC -‬‬
‫= ‪sin 36°‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫= ‪tanβ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫⇒‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫הניצב מול הזווית‬
‫=‬
‫היתר‬
‫‪c‬‬
‫‪36‬‬
‫‪A‬‬
‫= ‪sinα‬‬
‫הניצב השני ‪ AC‬הוא הניצב שליד הזווית הנתונה‪ .‬נשתמש בהגדרה של פונקציית הקוסינוס‬
‫ונחשב את אורכו של ‪: AC‬‬
‫‪ 8.09‬ס"מ = ‪AC = 10 ⋅ cos 36°‬‬
‫‪46‬‬
‫⇒‬
‫‪AC‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪⇒ cos 36°‬‬
‫הניצב ליד הזווית‬
‫‪b‬‬
‫=‬
‫‪c‬‬
‫היתר‬
‫= ‪cosα‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.01‬‬
‫‪B‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪, ()C = 90°) ABC‬‬
‫נתון‪ 7 :‬ס"מ = ‪. )B = 71° , AB‬‬
‫חשב את ‪ AC‬ואת ‪ . BC‬מצא את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪ 6.62 :‬ס"מ ‪ 2.28 ,‬ס"מ‪ 7.547 ,‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.02‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪()C = 90°) ABC‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪. )A = 19° , BC‬‬
‫חשב את אורכי הצלעות ‪ AB , AC‬ומצא את ‪. )B‬‬
‫תשובה‪ 11.62 :‬ס"מ‪ 12.29 ,‬ס"מ‪. 71° ,‬‬
‫‪71‬‬
‫‪4‬‬
‫‪19‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.03‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית‪ ,‬אחד מהניצבים גדול ב‪ 5 -‬ס"מ מהניצב השני‪ .‬אחת מהזוויות החדות‬
‫היא בת ‪ . 31°‬חשב את ניצבי המשולש‪.‬‬
‫תשובה‪ 7.5 :‬ס"מ ‪ 12.5 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪3.04‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ , ()C = 90°) ABC‬נתון‪ 8 :‬ס"מ = ‪ 5 , AB‬ס"מ = ‪. AC‬‬
‫חשב את הזוויות החדות של המשולש ומצא את שטחו‪.‬‬
‫תשובה‪ 15.61 , 38.68° , 51.32° :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪3.05‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא ישר‪-‬זווית )‪ AD , ()C = 90°‬הוא‬
‫התיכון לניצב ‪ . BC‬נתון‪ 13 :‬ס"מ = ‪)B = 32° , AB‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית ‪. ADC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך התיכון ‪. AD‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 51.35° .‬ב‪ 8.82 .‬ס"מ‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪A‬‬
‫‪13‬‬
‫‪B‬‬
‫‪32‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪47‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪3.06‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ CE , ()C = 90°) ABC‬הוא‬
‫הגובה ליתר ‪ . AB‬נתון‪ 9.4 :‬ס"מ = ‪. )BCE = 35° , AB‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הניצב ‪. AC‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שטח המשולש ‪. AEC‬‬
‫ב‪ 13.945 .‬ס"מ‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 7.7 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪9.4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪35‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.07‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪, ()C = 90°) ABC‬‬
‫‪ AE‬הוא חוצה הזווית ‪. )BAC‬‬
‫נתון‪ 11.6 :‬ס"מ = ‪ 7.4 , AB‬ס"מ = ‪. BC‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪. AE‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שטח המשולש ‪. ABE‬‬
‫ב‪ 18.66 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 9.49 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.08‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪, ()C = 90°) ABC‬‬
‫‪ AD‬הוא חוצה הזווית ‪)BAC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪5‬‬
‫) ‪. ()A1 = )A 2‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪ 5 :‬ס"מ = ‪ 4 , BD‬ס"מ = ‪. CD‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית ‪. )B‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪. AD‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪ . 53.13° .‬ב‪ 12.65 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.09‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש ישר‪-‬זווית )‪, ()C = 90°‬‬
‫הקטע ‪ BE‬הוא חוצה הזווית ‪ABC‬‬
‫) ‪. ()B1 = )B2‬‬
‫‪ CD‬הוא הגובה ליתר ‪ . AB‬הקטעים נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון‪ 2.43 :‬ס"מ = ‪ 3 , BD‬ס"מ = ‪. OB‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. OE‬‬
‫תשובה‪ 6.6 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪O‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.10‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ BD , ()C = 90°) ABC‬הוא התיכון‬
‫‪B‬‬
‫לניצב ‪ , AC‬ו‪ BE -‬הוא חוצה הזווית ‪. ()B1 = )B2 ) ABC‬‬
‫נתון‪ 5 :‬ס"מ = ‪ 8.5 , BC‬ס"מ = ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית ‪. EBD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. EBD‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 7.54° .‬ב‪ 2.23 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪8.5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.11‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ()C = 90°) ABC‬העבירו קטע ‪. AE‬‬
‫נתון‪. tan α = 2 tan β , )EAC = β , )BAC = α :‬‬
‫הוכח כי ‪. BE = EC‬‬
‫‪5‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫חישובים במשולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪3.12‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ , ABC‬נתון‪ 7 , )BAC = 48° :‬ס"מ = ‪. AB = AC‬‬
‫א‪ .‬חשב את הגובה לבסיס ‪. BC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ 18.21 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 6.39 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪3.13‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪, (AB = AC‬‬
‫‪ AE‬הוא הגובה לבסיס ‪. BC‬‬
‫נתון‪ 6.2 :‬ס"מ = ‪ 4.6 , AB‬ס"מ = ‪AE‬‬
‫א‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪. 47.9° , 47.9° ,84.2° .‬‬
‫‪6.2‬‬
‫ב‪ 19.14 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪C‬‬
‫‪4.6‬‬
‫‪E‬‬
‫‪6.2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪49‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪3.14‬‬
‫חשב את הזוויות של משולש שווה‪-‬שוקיים שבו חוצה זווית הראש שווה באורכו לבסיס‪.‬‬
‫תשובה‪. 63.43° , 63.43° ,53.14° :‬‬
‫‪3.15‬‬
‫‪ +ABC‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים )‪ AD . (AB = AC‬הוא תיכון‬
‫לבסיס ‪ BE , BC‬הוא גובה לשוק ‪ AC‬והם נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪. )EBC = 28° , EC‬‬
‫חשב את אורך הקטע ‪. AO‬‬
‫תשובה‪ 5.74 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪28‬‬
‫‪3.16‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ AD , (AB = AC) ABC‬הוא חוצה‬
‫‪12‬‬
‫זווית הראש ) ‪ CE , ()A1 = )A 2‬הוא התיכון לשוק ‪ . AB‬הקטעים‬
‫נפגשים בנקודה ‪ . O‬נתון‪ 9 :‬ס"מ = ‪ 6.3 , AD‬ס"מ = ‪. CE‬‬
‫חשב את גודל הזווית ‪. AEC‬‬
‫תשובה‪. 117.49° :‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.17‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬אורך השוק שווה ל‪ a -‬וזווית הבסיס היא ‪ . β‬הבע את היקף המשולש‬
‫ואת שטחו באמצעות ‪ a‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪; P = 2a (1 + cos β ) :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. S = 2 a 2 sin 2β‬‬
‫חישובים במרובעים‬
‫‪B‬‬
‫‪3.18‬‬
‫במלבן ‪ ABCD‬נתון‪ 14 :‬ס"מ = ‪. )DOC = 124° , AC‬‬
‫חשב את צלעותיו של המלבן‪.‬‬
‫תשובה‪ 6.57 :‬ס"מ ‪ 12.36 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪124‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.19‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫בריבוע ‪ ABCD‬הקטע ‪ BF‬חותך את האלכסון ‪AC‬‬
‫‪1‬‬
‫בנקודה ‪ . E‬נתון‪. CF = 2 DF :‬‬
‫‪E‬‬
‫חשב את זוויות המשולש ‪. ABE‬‬
‫תשובה‪. 63.43° , 71.57° , 45° :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪3.20‬‬
‫האלכסון הקטן במעוין הוא ‪ 7.2‬ס"מ והזווית הקהה היא ‪. 136°‬‬
‫א‪ .‬מצא את האלכסון הגדול של המעוין‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גובה המעוין‪.‬‬
‫ב‪ 6.68 .‬ס"מ‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 17.82 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪3.21‬‬
‫בטרפז ישר‪-‬זווית ‪, )D = 90° ) ABCD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪( AB & CD‬‬
‫נתון‪. )ABC = 116° , AB = AD = a :‬‬
‫הבע את היקף הטרפז באמצעות ‪. a‬‬
‫תשובה‪. P = 4.6a :‬‬
‫‪11‬‬
‫‪6‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.22‬‬
‫‪3.23‬‬
‫בטרפז ישר‪-‬זווית ‪(AB & CD , )B = )C = 90°) ABCD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫במלבן ‪ ABCD‬נתון‪. )BDC = α , AE ⊥ BD :‬‬
‫‪S+ ABE 1‬‬
‫‪= cos 2 α‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪SABCD 2‬‬
‫‪AE 3‬‬
‫=‬
‫נתון‪, AD = a , CE ⊥ AD :‬‬
‫‪DE 7‬‬
‫הבע את בסיסי הטרפז באמצעות ‪. a‬‬
‫תשובה‪. 0.97a , 0.25a :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. )ACE = 24° ,‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪51‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫שטח משולש על‪-‬פי שתי צלעות וזווית שביניהן‬
‫‪A‬‬
‫שטח משולש שווה למחצית מכפלת שתיים מצלעותיו‬
‫בסינוס הזווית הכלואה ביניהן‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S+ = ⋅ a ⋅ b ⋅ sinγ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪g‬‬
‫‪a‬‬
‫דוגמה‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ 3.2 :‬ס"מ = ‪ 5.6 , AB‬ס"מ = ‪, BC‬‬
‫‪ . )B = 54°‬חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫⇒‬
‫‪A‬‬
‫‪3.2‬‬
‫שטח המשולש הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S+ ABC = ⋅ AB ⋅ BC ⋅ sin )B‬‬
‫‪ 7.25‬סמ"ר = ‪S+ ABC‬‬
‫‪54‬‬
‫‪C‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪B‬‬
‫‪5.6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S+= ⋅ a ⋅ b ⋅ sinγ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S+ ABC = ⋅ 3.2 ⋅ 5.6 ⋅ sin 54°‬‬
‫⇒‬
‫‪3.24‬‬
‫במשולש ‪ +ABC‬נתון‪ 7 :‬ס"מ = ‪ 4.3 , AB‬ס"מ = ‪, AC‬‬
‫‪ . )A = 112°‬חשב את שטח המשולש‪.‬‬
‫תשובה‪ 13.95 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4.3‬‬
‫‪112‬‬
‫‪C‬‬
‫‪7‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.25‬‬
‫שטחו של משולש הוא ‪ 18.7‬סמ"ר‪ .‬שתי הצלעות שלו הן ‪ 7.2‬ס"מ ו‪ 5.8 -‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שני הערכים האפשריים לזווית שבין שתי הצלעות הנ"ל‪.‬‬
‫‪ 63.58°‬או ‪. 116.42°‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪52‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי‪-‬זווית‬
‫‪3.26‬‬
‫מחומש משוכלל חסום במעגל שרדיוסו ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המחומש‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היקף המחומש‪.‬‬
‫ב‪ 23.5 .‬ס"מ ‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 38.05 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪3.27‬‬
‫במשושה משוכלל חסום מעגל שרדיוסו ‪ 5.2‬ס"מ‪ .‬חשב את שטחו של המשושה‪.‬‬
‫תשובה‪ 93.6 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪3.28‬‬
‫מתומן משוכלל )מתומן ‪ -‬מצולע בעל ‪ 8‬צלעות( חסום במעגל‪ .‬היקפו של המתומן הוא ‪ 32‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המתומן‪.‬‬
‫ב‪ 77.36 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 27.35π .‬סמ"ר‪.‬‬
‫∗‪3.29‬‬
‫מצולע משוכלל בעל ‪ 2n‬צלעות ) ‪ , n ≥ 2‬מספר טבעי( שאורך צלעו הוא ‪ , a‬חוסם מעגל‬
‫שרדיוסו ‪ r‬וחסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ r‬ו‪ R -‬באמצעות ‪ a‬ו‪. n -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי היחס בין שטח המעגל החסום במצולע הנ"ל לבין שטח המעגל החוסם את‬
‫המצולע‪ ,‬הוא‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪90°‬‬
‫‪. cos 2‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪90°‬‬
‫‪2 tan‬‬
‫=‪; r‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪90°‬‬
‫‪2 sin‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪53‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫משפט הסינוסים‬
‫משפט‬
‫בכל משולש קיים יחס קבוע בין כל צלע לסינוס‬
‫הזווית מולה‪ .‬יחס זה שווה לפעמיים רדיוס המעגל‬
‫החוסם את המשולש‪ ,‬דהיינו‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= 2R‬‬
‫‪sinα sinβ sinγ‬‬
‫‪ R‬הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫דוגמה‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 5‬ס"מ = ‪. R‬‬
‫נתון‪. )B = 55° , )A = 83° :‬‬
‫מצא את אורכי הצלעות של המשולש ‪ABC‬‬
‫‪O‬‬
‫‪g‬‬
‫‪c‬‬
‫‪B b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪83‬‬
‫‪5‬‬
‫‪C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪O‬‬
‫‪55‬‬
‫‪B‬‬
‫נמצא את הזווית ‪ C‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫‪)C = 180° − ( 83° + 55° ) = 42°‬‬
‫⇒‬
‫‪)A + )B + )C = 180°‬‬
‫בהסתמך על משפט הסינוסים‪ ,‬נמצא את אורכי הצלעות של המשולש ‪: ABC‬‬
‫‪AB = 2R ⋅ sin )C = 2 ⋅ 5 ⋅ sin 42°‬‬
‫⇒‬
‫‪ 6.69‬ס"מ = ‪AB‬‬
‫⇒‬
‫‪ 8.19‬ס"מ = ‪AC‬‬
‫⇒‬
‫‪AC = 2R ⋅ sin )B = 2 ⋅ 5 ⋅ sin 55°‬‬
‫⇒‬
‫‪ 9.93‬ס"מ = ‪BC‬‬
‫⇒‬
‫‪BC = 2R ⋅ sin )A = 2 ⋅ 5 ⋅ sin 83°‬‬
‫⇒‬
‫‪3.30‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ 8 , )C = 63° , )B = 39° :‬ס"מ = ‪. BC‬‬
‫חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬
‫וחשב את אורכי הצלעות ‪ AB‬ו‪. AC -‬‬
‫תשובה‪ 4.09 :‬ס"מ = ‪ 7.29 , R‬ס"מ = ‪ 5.15 , AB‬ס"מ = ‪. AC‬‬
‫‪54‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪= 2R‬‬
‫‪sin )C‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪= 2R‬‬
‫‪sin )B‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪= 2R‬‬
‫‪sin )A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪63‬‬
‫‪8‬‬
‫‪39‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.31‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ 10 , AB‬ס"מ = ‪. )B = 129° , AC‬‬
‫חשב את הזוויות הנותרות‪ ,‬ואת שטחו של המשולש‪.‬‬
‫תשובה‪ 10.86 , 32.88° , 18.12° :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪10‬‬
‫‪4‬‬
‫‪129‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.32‬‬
‫שתי צלעות של משולש הן ‪ 4.8‬ס"מ = ‪ 6.4 , a‬ס"מ = ‪ . b‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש הוא‬
‫‪ 4.2‬ס"מ = ‪ . R‬חשב את זוויות המשולש‪.‬‬
‫תשובה‪ 34.82° , 130.36° , 14.82° :‬או ‪34.82° , 49.64° , 95.54°‬‬
‫‪3.33‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪. )ACB = 32° , )ABC = 76° :‬‬
‫‪ BE‬הוא חוצה הזווית ‪ )ABC‬ואורכו ‪ 11‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את אורכי הצלעות ‪ AB‬ו‪. BC -‬‬
‫תשובה‪ 10.87 :‬ס"מ = ‪ 19.51 , AB‬ס"מ = ‪. BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪11‬‬
‫‪32‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.34‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ CD , (AB = AC) ABC‬חוצה‬
‫הזווית ‪ . )ACB‬נתון‪ )BAC = 42° :‬ורדיוס המעגל‬
‫החוסם את המשולש הוא ‪ 6.5‬ס"מ = ‪. R‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורכו של ‪. CD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ACD‬‬
‫ב‪ 28.71 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 8.35 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫‪3.35‬‬
‫בטרפז שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪B‬‬
‫‪( AB & CD ) ABCD‬‬
‫נתון‪ 14 :‬ס"מ = ‪. )C1 = 45° , )ADC = 65° , CD‬‬
‫חשב את היקף הטרפז‪.‬‬
‫תשובה‪ 40.15 :‬ס"מ‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪65‬‬
‫‪14‬‬
‫‪D‬‬
‫‪55‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫∗‪3.36‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ 6 , AB‬ס"מ = ‪, AC‬‬
‫‪ . )B = 2)C‬חשב את אורך הצלע ‪. BC‬‬
‫תשובה‪ 5 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.37‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ BD‬הוא התיכון לצלע ‪ AC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫נתון‪ 4.2 :‬ס"מ = ‪. )B 2 = 18° , )B1 = 50° , BD‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4.2‬‬
‫‪C‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪ 9 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.38‬‬
‫בטרפז ‪ (AB & CD) ABCD‬נתון‪ 5 :‬ס"מ = ‪, AD‬‬
‫‪ 4‬ס"מ = ‪ 7.2 , AB‬ס"מ = ‪. )C = 36° , BC‬‬
‫חשב את גודל הזווית ‪ , )D‬ואת אורך הבסיס ‪. CD‬‬
‫תשובה‪ 12.48 , )D = 57.89° :‬ס"מ = ‪. CD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪7.2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪36‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.39‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ CE‬הוא חוצה הזווית הישרה במשולש ישר‪-‬זווית ‪ABC‬‬
‫)‪ . ()C = 90°‬נתון‪. AC = b , )A = α :‬‬
‫‪b‬‬
‫הבע את ‪ CE‬ואת ‪ BE‬באמצעות ‪ b‬ו‪. α -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪b ⋅ sin α‬‬
‫) ‪sin (135° − α‬‬
‫= ‪; CE‬‬
‫‪2 ⋅ b ⋅ tan α‬‬
‫) ‪2sin (135° − α‬‬
‫= ‪. BE‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫∗‪3.40‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ (AB = AC) ABC‬נתון‪. )B = β :‬‬
‫הוכח את הזהות ‪. sin 2β = 2 sin β ⋅ cos β‬‬
‫‪56‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.41‬‬
‫נתון מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ . r‬המשיק למעגל בנקודה ‪C‬‬
‫חותך את המשכו של הרדיוס ‪ OB‬בנקודה ‪. A‬‬
‫נתון ‪. ( α < 45° ) )ACB = α‬‬
‫א‪ .‬הבע את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬
‫באמצעות ‪ r‬ו‪. α -‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטחו של המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪ r‬ו‪. α -‬‬
‫‪r tan 2α‬‬
‫ב‪. r 2 tan 2α sin 2 α .‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2 cos α‬‬
‫∗∗‪3.42‬‬
‫‪A‬‬
‫המשולש שווה‪-‬צלעות ‪ ABC‬חסום במעגל שרדיוסו ‪. R‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על המעגל‪ .‬נתון‪. )ACE = γ :‬‬
‫הוכח‪. AE + BE = CE :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪g‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫משפט הקוסינוסים‬
‫משפט‬
‫ריבוע צלע במשולש שווה לסכום ריבועי‬
‫שתי הצלעות האחרות פחות פעמיים‬
‫מכפלתן בקוסינוס הזווית הכלואה ביניהן‪,‬‬
‫דהיינו‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪c‬‬
‫‪g‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c 2 = a 2 + b 2 − 2abcosγ‬‬
‫מהמשפט נובע כי‪:‬‬
‫‪a2 + b 2 − c2‬‬
‫‪2ab‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪B‬‬
‫= ‪cosγ‬‬
‫‪57‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪A‬‬
‫דוגמה‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ 6 , AC‬ס"מ = ‪, BC‬‬
‫‪ . )C = 34°‬חשב את אורך הצלע ‪. AB‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪34‬‬
‫‪B‬‬
‫‪6‬‬
‫נשתמש במשפט הקוסינוסים ונחשב את ‪: AB‬‬
‫⇒‬
‫‪AB2 = AC2 + BC2 − 2AC ⋅ BC ⋅ cos )C‬‬
‫‪ 3.49‬ס"מ = ‪AB‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪c 2 = a 2 + b 2 − 2abcosγ‬‬
‫⇒‬
‫‪AB2 = 42 + 62 − 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ cos 34° = 12.21‬‬
‫‪3.43‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ 3.2 :‬ס"מ = ‪ 5.1 , AB‬ס"מ = ‪. )B = 116° , BC‬‬
‫חשב את אורך הצלע ‪. AC‬‬
‫תשובה‪ 7.11 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪3.44‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ 6 :‬ס"מ = ‪ 4.5 , AB‬ס"מ = ‪, AC‬‬
‫‪ 7‬ס"מ = ‪ . BC‬חשב את זוויות המשולש‪.‬‬
‫תשובה‪. 58.13° , 39.57° , 82.3° :‬‬
‫‪3.45‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬נתון‪ 5 :‬ס"מ = ‪, AD‬‬
‫‪ 8‬ס"מ = ‪. )ADC = 70° , CD‬‬
‫חשב את אורכי האלכסונים ‪ AC‬ו‪ BD -‬של המקבילית‪.‬‬
‫תשובה‪ 7.85 :‬ס"מ = ‪ 10.79 , AC‬ס"מ = ‪. BD‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪7‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪8‬‬
‫‪70‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.46‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ 3.6 :‬ס"מ = ‪ 4.8 , AB‬ס"מ = ‪ 5.7 , AC‬ס"מ = ‪. BC‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪ 8.6 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪58‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.47‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪, AB‬‬
‫‪ 6.5‬ס"מ = ‪ 8 , BC‬ס"מ = ‪. AC‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. BAD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך האלכסון ‪. BD‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 83.65° .‬ב‪ 7.2 .‬ס"מ‪.‬‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪6.5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.48‬‬
‫בתוך משולש ‪ ABC‬חסום מעגל המשיק לצלעות ‪, AB‬‬
‫‪ AC‬ו‪ BC -‬בנקודות ‪ E , D‬ו‪ F -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נתון‪ 3 :‬ס"מ = ‪ 4 , AE‬ס"מ = ‪. )A = 82° , CE‬‬
‫חשב את אורכי הצלעות ‪ AB‬ו‪. BC -‬‬
‫תשובה‪ 12.15 :‬ס"מ = ‪ 13.15 , AB‬ס"מ = ‪. BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪3.49‬‬
‫‪A‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬נתון‪ 14 :‬ס"מ = ‪, AB‬‬
‫‪ 9‬ס"מ = ‪ 8 , BC‬ס"מ = ‪ 12 , CD‬ס"מ = ‪. AD‬‬
‫חשב את שטח המרובע ‪. ABCD‬‬
‫תשובה‪ 109.62 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪12‬‬
‫‪8‬‬
‫‪14‬‬
‫‪C‬‬
‫‪9‬‬
‫‪B‬‬
‫∗‪3.50‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪ (AB & CD) ABCD‬האלכסון ‪BD‬‬
‫‪2‬‬
‫שאורכו ‪ 8 2‬ס"מ יוצר זווית בת ‪ 45°‬עם הבסיס הגדול ‪. CD‬‬
‫אורך הבסיס ‪ AB‬קטן ב‪ 8 -‬ס"מ מכל שוק של הטרפז‪.‬‬
‫חשב את אורך הבסיס ‪. CD‬‬
‫תשובה‪ 14 :‬ס"מ = ‪. CD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪45‬‬
‫‪3.51‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬נתון‪, AB = b , AD = a :‬‬
‫‪. AC = d 2 , BD = d1‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫) ‪. d12 + d 2 2 = 2(a 2 + b 2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪d2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪8‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪59‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫∗‪3.52‬‬
‫‪ BE , AD‬ו‪ CF -‬הם שלושת התיכונים במשולש ‪ABC‬‬
‫לצלעות ‪ AC , BC‬ו‪ AB -‬בהתאמה‪ .‬התיכונים נפגשים‬
‫בנקודה ‪ . O‬נתון‪. CF = m c , BE = m b , AD = m a :‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪2m b 2 + 2m c 2 − m a 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪. BC‬‬
‫)הדרכה‪ :‬היעזר בתוצאה של תרגיל קודם(‬
‫∗‪3.53‬‬
‫‪B‬‬
‫בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪(AB & CD) ABCD‬‬
‫‪m‬‬
‫‪A‬‬
‫‪p‬‬
‫נתון כי ‪. AD = BC = p , CD = n , AB = m‬‬
‫הבע את אורך אלכסון הטרפז באמצעות ‪ n , m‬ו‪. p -‬‬
‫‪p‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובה‪. p 2 + nm :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪n‬‬
‫∗‪3.54‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪. (t > 0) AC = ta , AB = 1.5a , BC = a :‬‬
‫עבור אילו ערכי ‪ , t‬המשולש ‪ ABC‬יהיה קהה זווית?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪13‬‬
‫‪2‬‬
‫> ‪ t‬או‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫< ‪.0 < t‬‬
‫∗‪3.55‬‬
‫‪B‬‬
‫במעוין ‪ ABCD‬הנקודה ‪ E‬נמצאת על הצלע ‪. CD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון‪. )AEB = γ , )ADC = β , CE = 3 CD :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הבע את ‪ cos γ‬באמצעות ‪. β‬‬
‫מצא את הזווית ‪ , γ‬כאשר ‪. β = 60°‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪60‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪7 − 3cos β‬‬
‫) ‪(13 − 12 cos β )(10 + 6 cos β‬‬
‫‪g‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪b‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪. 54.79° .‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫תרגילים לסיכום הפרק‬
‫‪3.56‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ B , A‬ו‪ C -‬הן נקודות על מעגל שמרכז ‪ AB . O‬ו‪OC -‬‬
‫נחתכים בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫נתון‪. + BOE = 5 , )OAC = )BOC :‬‬
‫‪S+ ACE 9‬‬
‫חשב את ‪. )AEO‬‬
‫תשובה‪. 71.82° :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪3.57‬‬
‫‪C‬‬
‫במשולש ‪ BE , ABC‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬
‫נתון‪. )AEB = γ , )ABC = β , AC = b :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ BE‬באמצעות ‪ β , b‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪. β = 2 γ , AE = EC :‬‬
‫‪3‬‬
‫הבע את ‪ BE‬באמצעות ‪. b‬‬
‫) ‪( β2 ) ⋅ sin ( γ + β2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b ⋅ sin γ −‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin β ⋅ sin γ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .‬ב‪. b 3 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3.58‬‬
‫בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪ ( AB & CD ) ABCD‬חסום מעגל‬
‫שרדיוסו ‪ . R‬קטע האמצעים ‪ MN‬מחלק את ‪ABCD‬‬
‫לשני טרפזים ‪ ABNM‬ו‪) MNCD -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. ( 90° < α < 180° ) )BAD = α :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטחי הטרפזים ‪ ABNM‬ו‪MNCD -‬‬
‫באמצעות ‪ R‬ו‪. α -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪SABNM 2‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫=‬
‫‪SMNCD 3‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪= R 2 ⋅ 2 + cos α .‬‬
‫‪sin α‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .‬חשב את ‪. α‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪, SABNM‬‬
‫‪A‬‬
‫)‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫(‬
‫‪ . SMNCD = R 2 ⋅ 2 − cos α‬ב‪. 113.58° .‬‬
‫‪sin α‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪61‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪3.59‬‬
‫בטרפז ישר‪-‬זווית ‪, ( )C = 90° , AD & BC ) ABCD‬‬
‫‪ DE‬חוצה את הזווית ‪) ADB‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. (α > 45°) )A = α , DE = m , AD = BD :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי שטח הטרפז שווה ל‪. m 2 sin 2α -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪S+ ABD 5‬‬
‫נתון‪= :‬‬
‫‪SABCD 8‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 63.43° .‬‬
‫‪ .‬חשב את ‪. α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.60‬‬
‫נתון מעגל שקוטרו ‪ AB . BC‬הוא מיתר במעגל זה‪.‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ A‬חותך את המשך הקוטר ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ . E‬נתון‪. ( 0° < β < 45° ) )B = β , CE = m :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪m cos β‬‬
‫)‪ . (i‬הראה כי רדיוס המעגל שווה ל‪-‬‬
‫‪1 − cos 2β‬‬
‫) ‪ . (ii‬חשב את ‪ β‬שעבורה רדיוס המעגל שווה ל‪. m -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪m 2 cos 2β‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי שטח המשולש ‪ ABE‬הוא‪:‬‬
‫‪2 tan 3 β‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪. β = 30° . (ii ) .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3.61‬‬
‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכז ‪ O‬כך ש‪ AD -‬הוא קוטר‬
‫במעגל )ראה ציור(‪ .‬נתון‪)ADC = γ , )BAD = α , CD = a :‬‬
‫הראה כי היקף המרובע ‪ ABCD‬הוא‪:‬‬
‫⎤ ‪a ⋅ ⎡1 + cos α + cos γ − cos α + γ‬‬
‫(‬
‫⎦)‬
‫⎣ ‪cos γ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.62‬‬
‫במשולש שווה‪-‬צלעות ‪ ABC‬חסום משולש שווה‪-‬צלעות ‪DEF‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. )AEF = α :‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪. EF‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‬
‫) ‪AB 2 cos ( 60° − α‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. EF = 1 :‬‬
‫‪AB 2‬‬
‫)‪ . (i‬חשב את ‪. α‬‬
‫) ‪ . (ii‬מה התכונה ההנדסית של הנקודות ‪ , E , D‬ו‪F -‬‬
‫עבור התוצאה שקיבלת ב‪. (i) -‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪ . (ii) . 60° (i) .‬אמצעי הצלעות‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.63‬‬
‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ ,‬כך שהצלעות ‪ AD‬ו‪BC -‬‬
‫נמצאות על ישרים הניצבים זה לזה )ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )DAC = β , )BAC = α , AD = m :‬‬
‫א‪ .‬הבע את האלכסונים ‪ BD‬ו‪ AC -‬באמצעות ‪ α , m‬ו‪. β -‬‬
‫‪B‬‬
‫הראה כי ) ‪. BD = tan ( α + β‬‬
‫ב‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪AC‬‬
‫) ‪m sin ( α + β‬‬
‫= ‪, BD‬‬
‫א‪.‬‬
‫) ‪cos ( α + 2β‬‬
‫) ‪m cos ( α + β‬‬
‫) ‪cos ( α + 2β‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪. AC‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.64‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( )ACB = 90° ) ABC‬נתון‪:‬‬
‫‪) MN & AB , )NAC = )B = β‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S+ ANM S+ NAC‬‬
‫=‬
‫הראה כי‪= tan 2 β :‬‬
‫‪S+ BAN S+ ABC‬‬
‫‪S‬‬
‫נתון כי ‪ . + MCN = 1‬חשב את ‪. β‬‬
‫‪S+ ANM 2‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 30° .‬‬
‫‪b‬‬
‫‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪3.65‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ AD , (AB = AC) ABC‬הוא גובה‬
‫לבסיס ‪ CF . BC‬חותך את ‪ AD‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )FCB = γ , )ABC = β , BC = 2a :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הבע את היחס ‪ ED‬באמצעות ‪ β‬ו‪. γ -‬‬
‫‪AD‬‬
‫הבע את ‪ AB‬ו‪ FB -‬באמצעות ‪ β , a‬ו‪. γ -‬‬
‫נתון‪ . ED = 2 :‬הראה כי ‪) FB = 4‬היעזר בסעיפים‬
‫‪AB 9‬‬
‫‪AD 7‬‬
‫א' וב'(‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪tan γ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪tan β‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪, AB = a‬‬
‫‪cos β‬‬
‫‪2a ⋅ sin γ‬‬
‫) ‪sin ( β + γ‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫= ‪. FB‬‬
‫‪3.66‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ b , a , ABC‬ו‪ c -‬הם אורכי הצלעות ‪, BC‬‬
‫‪ AC‬ו‪ AB -‬בהתאמה‪ R .‬הוא רדיוס במעגל החוסם‬
‫את ‪ . +ABC‬הנקודות ‪ M‬ו‪ N -‬נמצאות על הצלע‬
‫‪ BC‬כך ש‪) )AMN = )ANM = α -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪S+ ABC a ⋅ R ⋅ tan α‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫=‬
‫‪S+ AMN‬‬
‫‪b⋅c‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪a‬‬
‫‪N‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪63‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪3.67‬‬
‫‪A‬‬
‫הנקודות ‪ E , D , C , B‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת מחוץ לישר‪ .‬חיברו את ‪ A‬עם‬
‫כל הנקודות הנ"ל )ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )BAC = )CAD = )DAE = 30° :‬‬
‫הוכח‪. BC ⋅ DE = 1 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪BD ⋅ CE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.68‬‬
‫בטרפז ‪ E , ( AB & CD ) ABCD‬נקודה כלשהי על השוק‬
‫‪ . AD‬נתון‪. )ABE = β , )A = α , AD = BC = CD :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ α‬ו‪ β -‬את היחס בין שטח המשולש ‪DEB‬‬
‫לבין שטח המשולש ‪. AEB‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫) (‬
‫‪sin α − β ⋅ sin α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪sin 3α ⋅ sin β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.69‬‬
‫‪B‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ (AB = BC) ABC‬נקודה ‪ E‬היא‬
‫מרכז המעגל החוסם את המשולש‪ ,‬נקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל‬
‫החסום במשולש‪ .‬נתון‪. OE = a , )BAC = α :‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורכי הקטעים ‪ AO‬ו‪ AE -‬באמצעות ‪ a‬ו‪. α -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש לבין‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪−a cos α‬‬
‫א‪2 , AO = −a sin 2α .‬‬
‫= ‪. AE‬‬
‫‪α‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪cos 3α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. sin 2α ⋅ tan α .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.70‬‬
‫‪A‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל בעל רדיוס ‪ . R‬נתון‪:‬‬
‫‪ BE , )ABC = 2β , )BAC = α‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬
‫המשכו של ‪ BE‬חותך את המעגל בנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BD = 2R sin ( α + β ) :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2R sin α ⋅ sin β‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫) ‪sin ( α + β‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2R sin 2 β‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫) ‪sin ( α + β‬‬
‫‪64‬‬
‫= ‪. EC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫= ‪. ED‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.71‬‬
‫‪A‬‬
‫במעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬חסום משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪ ABC‬שבו ‪ . )ABC = β , AB = AC‬נקודה ‪ E‬היא נקודת‬
‫מפגש של גבהים במשולש הנ"ל )ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ AE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ COE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . −2R cos 2β .‬ב‪. −R 2 sin 3β ⋅ cos β .‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.72‬‬
‫נתון מעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬מנקודה ‪ A‬שמחוץ‬
‫למעגל העבירו משיק ‪ AB‬וישר ‪ . AO‬חיברו את ‪ O‬עם ‪. B‬‬
‫מעגל נוסף שמרכזו ‪ C‬ורדיוסו ‪ r‬משיק ל‪ OB -‬ומשיק‬
‫להמשכי הקטעים ‪ AB‬ו‪) AO -‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪. )A = α :‬‬
‫הראה כי‪. r = R 1 + tan α :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪3.73‬‬
‫‪A‬‬
‫הקודקודים ‪ A‬ו‪ C -‬של משולש ‪ ABC‬נמצאים על היקפו של‬
‫מעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬הקודקוד השלישי ‪ B‬נמצא על‬
‫הקוטר ‪) CD‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪)ABC = β , )BAC = α :‬‬
‫) ‪ α‬ו‪ β -‬זוויות ברדיאנים(‪.‬‬
‫א‪ .‬הבא את שטח המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪ α , R‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון‪ . β = π , α = 5π :‬הבע את השטח החסום בין‬
‫‪12‬‬
‫הקשת ‪ AC‬לבין המיתר ‪) AC‬השטח המקווקו שבציור(‬
‫באמצעות ‪. R‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪R 2 sin ( 2α + 2β ) ⋅ cos ( α + β ) ⋅ sin α‬‬
‫‪ .‬ב‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪sin β‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪R 2 ⋅ 2π − 3 3‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3.74‬‬
‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ AD . R‬ו‪BD -‬‬
‫שני מיתרים במעגל זה‪ .‬המשכו של הרדיוס ‪ OB‬חותך את‬
‫המיתר ‪ AD‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )DAC = α , BE ⊥ AC :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ BED‬באמצעות ‪ R‬ו‪. α -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪ α‬שעבורה ‪. OE = OF‬‬
‫‪S‬‬
‫עבור ‪ α‬שחישבת בסעיף ב'‪ ,‬מצא את היחס‪. + ADF :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪S+ BDE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪65‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫) ‪2 ⋅ R 2 sin 2 ( α + 45° ) ⋅ sin ( 45° − α‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪cos α‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪ .‬ב‪ . 22.5° .‬ג‪. 1 .‬‬
‫‪3.75‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ CD‬חוצה את הזווית ‪ C‬במשולש שונה צלעות ‪. ABC‬‬
‫נתון‪. AC = b , BC = a , )C = γ :‬‬
‫‪γ‬‬
‫הוכח‪2 :‬‬
‫‪2ab ⋅ cos‬‬
‫‪a+b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪. CD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.76‬‬
‫‪B‬‬
‫במשולש ‪ E , ABC‬היא נקודה על צלע ‪ BC‬כך ש‪AE = EC -‬‬
‫נתון‪) ( a > c ) AB = c , AC = b , BC = a :‬ראה ציור(‪.‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪a a 2 − c2‬‬
‫‪a + b − c2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫= ‪. BE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b‬‬
‫‪3.77‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫זוויות המשולש הן‪. )ACB = γ , )ABC = β , )BAC = α :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪sin α‬‬
‫‪2‬‬
‫הראה כי‬
‫‪β‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪2 cos ⋅ cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪. + BOC‬‬
‫‪S+ ABC‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון כי רדיוס המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬הוא ‪. r‬‬
‫הבע את המכפלה ‪ OA ⋅ OB ⋅ OC‬באמצעות ‪ β , α , r‬ו‪. γ -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪r3‬‬
‫‪β‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪sin α ⋅ sin ⋅ sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.78‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ E‬נקודה כלשהי בתוך משולש שווה‪-‬צלעות ‪ , ABC‬שאורך‬
‫צלעו ‪ . a‬נתון‪. )EBC = β , CE = r , BE = q , AE = p :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪p2 − r 2‬‬
‫הראה כי‬
‫) ‪2q ⋅ sin ( 30° − β‬‬
‫נתון‪ . β = 15° :‬הבע את שטח המשולש ‪BEC‬‬
‫באמצעות ‪ r‬ו‪. p -‬‬
‫= ‪.a‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪66‬‬
‫‪p2 − r 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.79‬‬
‫‪B‬‬
‫משולש חד‪-‬זווית ‪ ABC‬חוסם מעגל שרדיוסו ‪ . r‬הנקודות‬
‫‪ M , L , K‬הן נקודות ההשקה‪.‬‬
‫נתון‪) )KML = β , )KLM = α :‬ראה ציור(‪.‬‬
‫הראה כי רדיוס המעגל החוסם את ‪ +ABC‬הוא‪:‬‬
‫‪−r‬‬
‫‪4 cos ( α + β ) ⋅ cos α ⋅ cos β‬‬
‫‪L‬‬
‫‪a‬‬
‫‪K‬‬
‫‪b‬‬
‫=‪R‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪3.80‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬המיתר ‪BD‬‬
‫חותך את הרדיוס ‪ OC‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )OBD = β , )BOC = 60° :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ CDE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪ .‬מהו שטח המשולש ‪ CDE‬כאשר ‪. β = 30°‬‬
‫) ‪R 2 sin (120° − 2β ) ⋅ cos ( 30° + β‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫) ‪2sin ( 60° + β‬‬
‫ב‪3 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b‬‬
‫‪O‬‬
‫‪.R‬‬
‫‪3.81‬‬
‫בטרפז שווה שוקיים ‪ (AB & CD) ABCD‬שאלכסוניו‬
‫נחתכים בנקודה ‪ , M‬נתון‪. )CAD = β , )CAB = α :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי היחס בין שטח המשולש ‪ CMD‬לבין שטח‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪S+CMD‬‬
‫‪sin 2 β‬‬
‫=‬
‫המשולש ‪ AMB‬הוא‪:‬‬
‫)‪S+ AMB sin 2 (2α + β‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח כי היחס בין שטח המשולש ‪ CBD‬לבין‬
‫‪S+CBD 2sin (α + β) ⋅ cos α‬‬
‫‪.‬‬
‫שטח המשולש ‪ AMD‬הוא‪:‬‬
‫=‬
‫‪S+ AMD‬‬
‫)‪sin (2α + β‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪S+CBD 10‬‬
‫נתון גם‪, α = 15° :‬‬
‫=‬
‫‪S+ AMD‬‬
‫‪9‬‬
‫תשובה‪ :‬ג‪. 86.11° .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .‬חשב את ‪. β‬‬
‫‪3.82‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ E .‬היא נקודת המפגש של חוצי‬
‫הזוויות הפנימיות במשולש זה‪ .‬הישר ‪ BE‬חותך את המעגל‬
‫בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )ACB = 2γ , )ABC = 2β , BC = m :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ AE‬באמצעות ‪ β , m‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ‪ +AEF‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים והבע את‬
‫היקפו באמצעות ‪ β , m‬ו‪. γ -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪B‬‬
‫‪67‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪2m sin β ⋅ sin γ‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫) ‪sin ( 2β + 2γ‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪2m sin β ⋅ (1 + sin γ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪sin ( 2β + 2 γ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3.83‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪. )ACB = γ , )ABC = β , )BAC = α :‬‬
‫‪ γ , β , α‬הן זוויות חדות‪ .‬נקודה ‪ E‬היא נקודת חיתוך‬
‫גבהים במשולש‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪. AE = BE = CE‬‬
‫‪cos β‬‬
‫‪cos α‬‬
‫‪cos γ‬‬
‫נסמן ב‪ R -‬את רדיוס המעגל החוסם את ‪. +ABC‬‬
‫הראה כי המשולשים ‪ BCE , ACE , ABE‬ניתן לחסום‬
‫במעגלים בעלי רדיוס ‪. R‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.84‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬נתון‪)B = β , BC = b , AB = a :‬‬
‫) ‪ β‬חדה(‪ .‬מקודקוד ‪ C‬העבירו ישר החותך את הצלע‬
‫‪ AD‬בנקודה ‪ , F‬וחותך את המשכה של הצלע ‪AB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪ .‬שטח המרובע ‪ ABCF‬הוא ‪2 ab‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬הבע את עורך הקטע ‪ BE‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪. β -‬‬
‫‪S‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . + EAC = 1 :‬חשב את ‪. β‬‬
‫‪S+ ABC 2‬‬
‫‪5a sin β‬‬
‫‪ .‬ב‪. 36.87° .‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫) ‪2 ( 5sin β − 2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.85‬‬
‫נתון משולש שווה‪-‬שוקיים ‪ ( DE = EC ) DEC‬שבו ‪ . )DEC = θ , DC = m‬על השוקיים של‬
‫משולש זה בנו משולש שווי‪-‬צלעות ‪ AED‬ו‪) BEC -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. AB & CD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬הבע את ‪ AB‬באמצעות ‪ m‬ו‪. θ -‬‬
‫נתון‪. S+AEB = S+ DEC :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫חשב את ‪. θ‬‬
‫) ‪(i‬‬
‫)‪ (ii‬מה המשמעות ההנדסית של התוצאה שקיבלת‬
‫לגבי המרובע ‪. ABCD‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪m ⋅ cos θ − 30°‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬ג‪ (ii) . 120° (i) .‬מלבן‪.‬‬
‫‪sin θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.86‬‬
‫‪B‬‬
‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬אלכסוני המרובע נחתכים‬
‫בנקודה ‪ . E‬נתון‪. )CBD = γ , )ABD = β , AE = a , AB = BC :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ EC‬באמצעות ‪ β , α‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הראה כי רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪ABCD‬‬
‫‪b g‬‬
‫‪β−γ‬‬
‫(‬
‫) ‪2‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫‪β+γ‬‬
‫( ‪2sin β ⋅ cos‬‬
‫) ‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a cos‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪a ⋅ sin γ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin β‬‬
‫‪E‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3.87‬‬
‫טרפז ‪ ABCD‬ומשולש שווה‪-‬שוקיים ‪(EF = EG) EFG‬‬
‫חסומים במעגל‪ .‬הבסיס הגדול ‪ CD‬של הטרפז הוא קוטר‬
‫במעגל ומקביל לבסיס ‪ FG‬של המשולש‪ .‬שוקי הטרפז‬
‫מקבילות לשוקי המשולש‪ .‬נתון‪. )G = γ , FG = m :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שוקי הטרפז באמצעות ‪ m‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי שטח הטרפז שווה לשטח המשולש והבע את‬
‫השטח באמצעות ‪ m‬ו‪. γ -‬‬
‫‪ . AD = BC = m‬ב‪. 1 m 2 tan γ .‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2sin γ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪3.88‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬חוצי הזוויות ‪ )B , )A‬ו‪)C -‬‬
‫חותכים את המעגל בנקודות ‪ E , D‬ו‪ F -‬בהתאמה )ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )C = 2γ , )B = 2β , )A = 2α :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי היחס בין היקף המשולש ‪ ABC‬לבין היקפו של‬
‫‪sin 2α + sin 2β + sin 2γ‬‬
‫‪.‬‬
‫המשולש ‪ DEF‬הוא‪:‬‬
‫‪cos α + cos β + cos γ‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי היחס בין שטח המשולש ‪ ABC‬לבין שטח‬
‫המשולש ‪ DEF‬הוא‪8sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.89‬‬
‫‪B‬‬
‫טרפז ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכז ‪ AE . O‬הוא גובה בטרפז‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. )COD = 2β , )AOB = 2α , AE = h :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫הראה כי רדיוס המעגל שווה ל‪-‬‬
‫‪cos α + cos β‬‬
‫‪β‬‬
‫הראה כי שטח הטרפז ‪ ABCD‬הוא‪. h 2 tan α + :‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪69‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪3.90‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ BE‬הוא גובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪) ABC‬ראה ציור(‬
‫נתון‪. )ABC = )A + 45° , AC = b , BC = a :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫= ‪. BE‬‬
‫‪a‬‬
‫הראה כי‬
‫‪AE b 2 − a‬‬
‫נתון‪ . b = 4 , a = 3 :‬חשב את זוויות המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 38.06° , 93.47° , 48.47° .‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪3.91‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ()C = 90°) ABC‬העבירו ‪ BD‬כך ש‪-‬‬
‫‪ . )CBD = )A‬מנקודה ‪ D‬העבירו ‪ DE‬המקביל ל‪AB -‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. ( 0° < α < 45° ) )A = α :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪S+ ECD‬‬
‫‪sin 4 α‬‬
‫=‬
‫הראה כי‪:‬‬
‫‪S+ ABD cos 2 α ⋅ cos 2α‬‬
‫חשב את ‪ α‬אם ידוע ש‪. S+ ECD = S+ ABD -‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 38.17° .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪3.92‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪2Q ⋅ sin ( α + β‬‬
‫הראה כי‪:‬‬
‫‪sin α ⋅ sin β‬‬
‫נתון כי‪ 6 :‬ס"מ = ‪ 8 , EF‬ס"מ = ‪, α = 45° , m‬‬
‫‪. EF2 = m 2 −‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AB‬מיתר במעגל‪ .‬חיברו נקודה ‪ C‬עם הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬הן נקודות החיוך של ‪ BC‬ו‪ AC -‬עם המעגל‬
‫בהתאמה‪ .‬נתון‪. SABEF = Q , AB = m , )B = β , )A = α :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪m‬‬
‫) ‪ 12 ( 3 − 3‬סמ"ר = ‪ . Q‬חשב את ‪. β‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 60° .‬‬
‫‪3.93‬‬
‫‪C‬‬
‫בטרפז ‪ ( AB & CD ) ABCD‬נתון‪, CD = n , AB = m :‬‬
‫‪. )B = β , )A = α , BC = q , AD = p‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫(‬
‫)‬
‫הראה כי‪1 m 2 + n 2 − p 2 − q 2 = mn + pq ⋅ cos α + β :‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫נתון כי בטרפז ‪ ABCD‬ניתן לחסום מעגל‪ .‬הראה כי‪:‬‬
‫‪mn = sin 2 α + β‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪2 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪n‬‬
‫‪p‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪m‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.94‬‬
‫‪A‬‬
‫מעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬חוסם משולש ‪ ABC‬כך שמרכז‬
‫המעגל נמצא על צלע ‪ . AB‬נתון‪ , OE ⊥ AB :‬מעגל החסום‬
‫ב‪ +ABC -‬משיק ל‪. OE -‬‬
‫א‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬הבע את רדיוס המעגל החסום ב‪ +ABC -‬באמצעות ‪. R‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪. 30° , 60° , 90° .‬‬
‫‪O‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪. 0.365R .‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.95‬‬
‫‪A‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ AE .‬חוצה את הזווית ‪BAC‬‬
‫וחותך את המעגל בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. BC = a , AC = b , AB = c :‬‬
‫א‪ .‬הבע את המכפלה ‪ AE ⋅ EF‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . )BAC = 2α :‬הראה כי‪:‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪2 ( b + c ) ⋅ cos α‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪. AE = 2bc ⋅ cos α , EF‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b+c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪. a bc 2 .‬‬
‫)‪( b + c‬‬
‫‪F‬‬
‫‪3.96‬‬
‫‪A‬‬
‫בגזרה ‪ ABC‬שרדיוסה ‪ (AB = BC = R) R‬חסום מעגל‬
‫‪r‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ . r‬נתון כי‬
‫‪R 16‬‬
‫הבע את שטח הגזרה באמצעות ‪. r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובה‪. 4.84r 2 :‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3.97‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫מנקודה ‪ A‬הנמצאת מחוץ למעגל העבירו ישר המשיק למעגל‬
‫בנקודה ‪ B‬וישר שני החותך את המעגל בנקודות ‪ E‬ו‪. C -‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס''מ = ‪ 1.6 , AB‬ס''מ = ‪. )A = α , AE‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ sin )C‬באמצעות ‪. α‬‬
‫ב‪ .‬הבע את רדיוס המעגל באמצעות ‪. α‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2 ⋅ sin α‬‬
‫‪29 − 20 cos α‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪29 − 20 cos α‬‬
‫‪5sin α‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪C‬‬
‫‪71‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪3.98‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ (AB = AC) ABC‬מקודקוד ‪C‬‬
‫העבירו גובה ‪ CE‬לשוק ‪ . AB‬נתון כי ‪. )BCE = γ‬‬
‫הבע באמצעות ‪ γ‬את היחס בין רדיוס המעגל החסום‬
‫ב‪ +ABC -‬לבין רדיוס המעגל החוסם את ‪. +ABC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫)‬
‫‪γ‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪g‬‬
‫‪. sin 2γ⋅ tan 45°−‬‬
‫‪3.99‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ BM , ABC‬הוא התיכון לצלע ‪. AC‬‬
‫נתון‪ 2.5 :‬ס"מ = ‪ 4 , AB‬ס"מ = ‪ 3 , BC‬ס"מ = ‪. BM‬‬
‫חשב את זוויות המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪. 38.84° ,46.57° ,94.59° :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3.100‬‬
‫‪C‬‬
‫בטרפז ‪(AB & CD, AB > CD) ABCD‬‬
‫נתון‪ 11 :‬ס''מ = ‪ 4 , AB‬ס''מ = ‪ 6 , AD‬ס''מ = ‪, BC‬‬
‫‪. )B = β , )A = α‬‬
‫א‪ .‬הבע את הבסיס ‪ CD‬באמצעות ‪ α‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות הטרפז עבור ‪ 3‬ס''מ = ‪. CD‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫) ‪. 11 − 2 13 + 12 cos ( α + β‬‬
‫‪D‬‬
‫‪6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A a‬‬
‫‪11‬‬
‫ב‪. 133.43° , 151.04° , 28.96° , 46.57° .‬‬
‫‪3.101‬‬
‫טרפז ‪ ( AB & CD ) ABCD‬חסום במעגל‪.‬‬
‫נתון‪ 9 :‬ס"מ = ‪ 5 , AB‬ס"מ = ‪. )A =α , CD‬‬
‫א‪ .‬הבע את רדיוס ‪ R‬של המעגל באמצעות ‪. α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את הזווית ‪ , α‬כאשר‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪72‬‬
‫‪106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪49 + 4 tan 2 α‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2sin α‬‬
‫ס"מ = ‪. R‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A a‬‬
‫ב‪ 45° .‬או ‪. 74.05°‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.102‬‬
‫‪ CE‬הוא חוצה הזווית ‪ ACB‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס''מ = ‪ 7 , AE‬ס''מ = ‪. )AEC = 60° , BE‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורכו של ‪. CE‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. ACB‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪ 9 13 .‬ס''מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪60‬‬
‫‪E‬‬
‫‪7‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪. 48.93° .‬‬
‫‪3.103‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ BE , ABC‬הוא חוצה הזווית ‪. ()B1 = )B2 ) ABC‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪. BE = p , AB = c , BC = a :‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע את ‪ cos )B1‬באמצעות ‪ c , a‬ו‪. p -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את שטחו של המשולש ‪ , ABC‬כאשר ‪ 8‬ס''מ = ‪, a‬‬
‫‪ 5.5‬ס''מ = ‪ 6 , c‬ס''מ = ‪. p‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫)‪p(c + a‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2ac‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪c‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ 15.83 .‬סמ''ר‪.‬‬
‫‪3.104‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪(AB = AC) ABC‬‬
‫נתון‪ 8 :‬ס''מ = ‪ . )B = β , BC‬מקודקוד ‪ C‬של‬
‫המשולש העבירו תיכון ‪ CE‬לצלע ‪. AB‬‬
‫א‪.‬‬
‫הראה כי‪. CE = 2 9 + tan 2 β :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את זוויות המשולש ‪ , ABC‬עבור ‪ 2 11‬ס''מ = ‪. CE‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 70.52°, 54.74°, 54.74° .‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪8‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.105‬‬
‫בטרפז ישר‪-‬זווית ‪()A = )D = 90° , AB < CD , AB & CD) ABCD‬‬
‫‪B‬‬
‫חסום מעגל שמרכזו ‪ . O‬חיברו את ‪ O‬עם הקודקודים ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫נתון‪. OC = n , OB = m :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2mn‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪m2 + n 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הבע את היקף הטרפז ‪ ABCD‬באמצעות ‪ m‬ו‪. n -‬‬
‫= ‪sin )BCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪m‬‬
‫‪C‬‬
‫‪n‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫) ‪2 m2 + n 2 ⋅ ( m + n‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪m2 + n 2‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪73‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪3.106‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש חד‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים )‪. (AB = AC‬‬
‫המשולש חסום במעגל שמרכזו ‪ . O‬מקודקוד ‪ B‬דרך מרכז‬
‫המעגל ‪ O‬מעבירים ישר החותך את השוק ‪ AC‬בנקודה ‪. E‬‬
‫נתון‪. BC = 2a , )C = γ :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ AOE‬באמצעות ‪ a‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את הזווית ‪ γ‬אם ידוע כי ‪. S+ ABE = 2.5 ⋅ S+ AOE‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪S+ AOE‬‬
‫‪1‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫=‬
‫‪S+ ABE 4sin 2 γ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪−4sin γ ⋅ cos 3γ‬‬
‫‪g‬‬
‫‪2a‬‬
‫ג‪. 52.24° .‬‬
‫‪3.107‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ AM , )C = γ , )B =β :‬תיכון‬
‫‪1 2‬‬
‫לצלע ‪ AE , BC‬חוצה את הזווית ‪. ()A1 = )A 2 ) BAC‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪BE‬‬
‫‪2sin γ‬‬
‫=‬
‫‪MC sin β+ sin γ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g‬‬
‫‪E M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.108‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע של ‪ , BC‬ונקודה ‪M‬‬
‫היא אמצע של ‪ . AC‬אנך אמצעי לצלע ‪ BC‬חותך את ‪AC‬‬
‫בנקודה ‪ , D‬ואנך אמצעי לצלע ‪ AC‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪. N‬‬
‫‪BN 2 AD 1‬‬
‫‪,‬‬
‫נתון‪, AC = b :‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪NC 5 DC 2‬‬
‫הבע את אורכי הצלעות ‪ BC‬ו‪ AB -‬באמצעות ‪. b‬‬
‫‪2 b 30‬‬
‫‪b 210‬‬
‫= ‪. AB‬‬
‫= ‪, BC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪15‬‬
‫‪C‬‬
‫בתוך משולש ישר‪-‬זווית ‪( )C = 90° ) ABC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫חסום מעגל שמרכזו ‪ . O‬נתון ‪. OA = d , OB = d‬‬
‫‪74‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪3.109‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫מצא את הזוויות החדות של המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫הבע את אורכי הצלעות של המשולש באמצעות ‪. d‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 54.48° , 35.52° .‬ב‪. 1.35d , 1.89d , 2.32d .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪O‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫זוויות במרחב‬
‫זווית בין ישר למישור‬
‫הגדרה‬
‫ישר ‪ h‬מאונך למישור ‪ , ω‬אם הוא מאונך לכל ישר הנמצא במישור ‪. ω‬‬
‫כדי לקבוע אם ישר ניצב למישור ניעזר במשפט הבא‪:‬‬
‫משפט‬
‫אם ישר ‪ h‬מאונך לשני ישרים שונים במישור ‪ ω‬העוברים דרך נקודת החיתוך‬
‫של הישר עם המישור‪ ,‬אזי הישר ‪ h‬מאונך למישור ‪ ω‬כולו )כלומר‪ ,‬הישר ‪h‬‬
‫מאונך לכל ישר הנמצא במישור ‪.( ω‬‬
‫הערה‬
‫אם הישר ‪ h‬מאונך למישור ‪ ω‬והישר ‪ h ′‬מקביל ל‪ , h -‬אזי גם הישר ‪ h ′‬מאונך‬
‫למישור ‪. ω‬‬
‫הגדרה‬
‫ישר ‪A‬‬
‫משופע ‪A‬‬
‫החותך את מישור ‪ ω‬ואיננו ניצב לו נקרא משופע למישור‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫חותך את המישור ‪ ω‬בנקודה ‪. B‬‬
‫‪l‬‬
‫מנקודה ‪) A‬נקודה כלשהי על המשופע(‬
‫נוריד אנך ‪ h‬החותך את המישור בנקודה ‪. C‬‬
‫ישר ‪ p‬העובר דרך הנקודות ‪ B‬ו‪ C -‬נקרא היטל‬
‫‪B‬‬
‫‪h‬‬
‫‪p‬‬
‫‪C‬‬
‫המשופע על המישור‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫‪w‬‬
‫הזווית החדה שבין ישר משופע למישור לבין היטלו של הישר על המישור‪,‬‬
‫נקראת זווית בין ישר למישור‪.‬‬
‫בציור הנ"ל‪ ,‬הזווית בין ישר ‪A‬‬
‫למישור ‪ ω‬היא הזווית ‪. ABC‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪75‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪A‬‬
‫דוגמה‬
‫הישר ‪ AC‬מאונך למישור ‪) ω‬ראה ציור(‬
‫נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ 5.6 , AC‬ס''מ = ‪. AB‬‬
‫חשב את הזווית בין משופע ‪ AB‬למישור ‪. ω‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫היטלו של משופע ‪ AB‬על המישור ‪ ω‬הוא הישר ‪BC‬‬
‫ולכן הזווית בין הישר ‪ AB‬למישור ‪ ω‬היא הזווית ‪. ABC‬‬
‫; ‪ 5.6‬ס''מ = ‪ 4 , AB‬ס"מ = ‪)C = 90°, AC‬‬
‫‪sin )ABC = sin 45.58°‬‬
‫‪)ABC = 45.58°‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪AB 5.6‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪w‬‬
‫‪+ABC :‬‬
‫= ‪sin )ABC‬‬
‫)‪(0° < )ABC < 90°‬‬
‫‪4.01‬‬
‫הישר ‪ AC‬ניצב למישור ‪. ω‬‬
‫נתון‪ 4.5 :‬ס''מ = ‪ 3 , AB‬ס''מ = ‪. BC‬‬
‫חשב את הזווית בין המשופע ‪ AB‬למישור ‪. ω‬‬
‫תשובה‪. 48.19° :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪w‬‬
‫‪4.02‬‬
‫‪ ABCD‬הוא מלבן שצלעותיו הן‪ 4.5 :‬ס''מ= ‪ 6 , AD‬ס''מ= ‪. CD‬‬
‫מנקודה ‪ A‬העלו אנך ‪ AM‬למישור המלבן וחיברו‬
‫את ‪ M‬עם קודקוד ‪) C‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪ 5 :‬ס''מ = ‪. AM‬‬
‫חשב את אורך האלכסון ‪ AC‬ואת הזווית שבין‬
‫‪ MC‬למישור המלבן ‪. ABCD‬‬
‫תשובה‪ 7.5 :‬ס"מ‪. 33.69° ,‬‬
‫‪76‬‬
‫‪M‬‬
‫‪5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪6‬‬
‫‪D‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫‪4.03‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫)‪ (AB = AC‬שבו ‪ AD‬תיכון לבסיס ‪. BC‬‬
‫מקודקוד ‪ A‬העלו אנך ‪ AE‬למישור המשולש‬
‫וחיברו את הנקודה ‪ E‬עם הנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪ 4.2 :‬ס''מ = ‪ 5 , AE‬ס''מ = ‪. ) B = 35° , AB‬‬
‫חשב את הזווית בין הישר ‪ ED‬למישור המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪. 55.65° :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪4.2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪5‬‬
‫‪D‬‬
‫‪35‬‬
‫‪B‬‬
‫זווית בין שני מישורים‬
‫‪w2‬‬
‫‪n2‬‬
‫אם לשני מישורים יש נקודה משותפת‪ ,‬אזי יש להם ישר‬
‫חיתוך משותף‪ .‬למישורים ‪ ω1‬ו‪ ω2 -‬ישר חיתוך משותף ‪. d‬‬
‫מנקודה ‪) A‬נקודה כלשהי על ישר ‪ ( d‬נעלה שני אנכים‪:‬‬
‫‪ n1‬מאונך ל‪ d -‬במישור ‪ ω1‬ו‪ n 2 -‬מאונך ל‪ d -‬במישור ‪. ω2‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪w1‬‬
‫הזווית החדה ‪ α‬הכלואה בין ‪ n1‬לבין ‪ n 2‬היא‬
‫‪d‬‬
‫הזווית בין המישורים ‪ ω1‬ו‪) ω2 -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫זווית בין שני מישורים היא הזווית הכלואה בין שני האנכים לישר החיתוך‬
‫המשותף‪ .‬האנכים יוצאים מנקודה כלשהי על ישר החיתוך ונמצאים במישורים‬
‫שונים‪.‬‬
‫הערה‬
‫משפט‬
‫אם הזווית בין שני מישורים היא זווית ישרה‪ ,‬אזי המישורים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫אם ישר מאונך למישור נתון‪ ,‬אזי כל מישור שבו נמצא ישר זה מאונך גם הוא‬
‫למישור הנתון‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪77‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫משפט שלושת האנכים‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪ AC :‬אנך למישור ‪ AB , ω‬משופע ו‪BC -‬‬
‫הוא היטלו של ‪ AB‬על המישור‪ .‬דרך נקודה ‪B‬‬
‫עובר ישר ‪ m‬הנמצא במישור )ראה ציור(‪.‬‬
‫משפט‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪m‬‬
‫‪w‬‬
‫אם ישר עובר במישור דרך נקודת החיתוך של משופע עם המישור והוא מאונך‬
‫להיטלו של המשופע על המישור ‪ ,‬אזי הישר מאונך גם למשופע‪.‬‬
‫)אם הישר ‪ m‬מאונך ל‪ , BC -‬אזי ‪ m‬מאונך ל‪.( AB -‬‬
‫משפט הפוך אם ישר עובר במישור דרך נקודת חיתוך של משופע עם המישור והוא מאונך‬
‫למשופע‪ ,‬אזי הישר מאונך גם להיטלו של המשופע על המישור‪.‬‬
‫)אם הישר ‪ m‬מאונך ל‪ , AB -‬אזי ‪ m‬מאונך גם ל‪.( BC -‬‬
‫דוגמה‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים )‪ . (AB = AC‬מקודקוד ‪ A‬העלו אנך למישור המשולש ‪ABC‬‬
‫וחיברו את ‪ D‬עם ‪ B‬ועם ‪ . C‬נתון‪ 4.8 :‬ס''מ = ‪ 3 , AB‬ס''מ = ‪. )BAC = 36° , AD‬‬
‫חשב את הזווית שבין מישור המשולש ‪ BDC‬למישור המשולש ‪. ABC‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫המישורים ‪ BDC‬ו‪ ABC -‬נחתכים על‪-‬ידי הישר ‪. BC‬‬
‫בניית עזר‪ :‬במשולש ‪ ABC‬נעביר ‪ AE‬מאונך ל‪. BC -‬‬
‫במישור ‪ BDC‬נחבר את ‪ E‬עם הנקודה ‪. D‬‬
‫ידוע כי ‪ AD‬מאונך למישור ‪ . ABC‬על‪-‬פי בניית עזר‪,‬‬
‫‪ AE ⊥ BC‬לכן ‪ ) DE ⊥ BC‬משפט שלושת האנכים‪:‬‬
‫אם הישר מאונך להיטלו של המשופע‪ ,‬אזי הוא מאונך גם למשופע(‪.‬‬
‫מעצם העובדה ש‪ DE ⊥ BC -‬וגם‪ AE ⊥ BC -‬נובע כי‬
‫‪ )AED‬היא הזווית בין המישורים ‪ BDC‬ו‪. ABC -‬‬
‫‪78‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫שים לב‪:‬‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫אפשר להראות ש‪ DE ⊥ BC -‬מבלי להיעזר במשפט שלושת האנכים‪ .‬לשם כך‪ ,‬צריך‬
‫להוכיח כי המשולש ‪ DBC‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים )על‪-‬ידי חפיפת המשולשים‬
‫‪ ABD‬ו‪ ( ACD -‬ולהיעזר במשפט האומר שבמשולש שווה‪-‬שוקיים התיכון לבסיס‬
‫מתלכד עם הגובה לבסיס ועם חוצה זווית הראש‪.‬‬
‫נחשב את ‪. AE‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫; ‪ 4.8‬ס''מ = ‪)AEB = 90°, )BAE = )BAC = ⋅ 36° = 18°, AB‬‬
‫‪ 4.565‬ס"מ = ‪AE‬‬
‫⇒‬
‫‪AE = AB ⋅ cos ) BAE = 4.8 ⋅ cos18°‬‬
‫‪AE‬‬
‫‪AB‬‬
‫⇒‬
‫‪+ABE :‬‬
‫= ‪cos ) BAE‬‬
‫נמצא את הזווית ‪. AED‬‬
‫; ‪ 4.565‬ס''מ = ‪ 3 , AE‬ס''מ = ‪) DAE = 90°, AD‬‬
‫‪tan ) AED = tan 33.31°‬‬
‫⇒‬
‫‪) AED = 33.31°‬‬
‫‪+ ADE :‬‬
‫‪AD‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪AE 4.565‬‬
‫) ‪( 0°< ) AED < 90°‬‬
‫⇒‬
‫= ‪tan ) AED‬‬
‫‪4.04‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪ .‬מנקודה ‪ , O‬שהיא‬
‫מפגש האלכסונים‪ ,‬העלו אנך ‪ OM‬למישור המלבן‬
‫וחיברו את ‪ M‬עם ‪ B‬ו‪) C -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס''מ = ‪. ) BMC = 42° , ) AOD = 50° , AC‬‬
‫חשב את הזווית שבין מישור המשולש ‪BMC‬‬
‫למישור המלבן ‪. ABCD‬‬
‫תשובה‪. 35.01° :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪42‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪50‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4.05‬‬
‫מקודקוד ‪ A‬של מקבילית ‪ ABCD‬העלו אנך ‪ AE‬למישור‬
‫המקבילית וחיברו את ‪ E‬עם הקודקודים ‪ B‬ו‪) C -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪ 3.2 :‬ס''מ= ‪ 4.3 , AD‬ס''מ= ‪ 16 , AE‬סמ"ר = ‪. SABCD‬‬
‫חשב את הזווית שבין מישור המשולש ‪EBC‬‬
‫למישור המקבילית ‪. ABCD‬‬
‫תשובה‪. 40.7° :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪4.3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.2‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪D‬‬
‫‪79‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫מנסרה‬
‫הגדרה‬
‫פאון – חלק המרחב החסום על‪-‬ידי מצולעים מישוריים הנקראים פאות‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫מנסרה – פאון בו שתי פאות הן מצולעים חופפים‪ ,‬הנמצאים במישורים‬
‫מקבילים‪ ,‬הנקראים בסיסים‪ ,‬ושאר הפאות הן מקביליות‪.‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫פאות המנסרה‬
‫מקצועות צדדיים‬
‫מקצועות הבסיס‬
‫אלכסון המנסרה‬
‫– המקביליות הצדדיות‪.‬‬
‫– ישרי החיתוך של הפאות‪.‬‬
‫– צלעות הבסיסים‪.‬‬
‫– קטע המחבר שני קודקודים שאינם נמצאים על אותה פאה‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫מנסרה ישרה – מנסרה שבה מקצועות צדדיים מאונכים לבסיסים‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫מנסרה משוכללת – מנסרה ישרה שבסיסיה הם מצולעים משוכללים‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫שטח המעטפת – סכום שטחים של פאות צדדיות‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫שטח הפנים – סכום שטח המעטפת ושטח שני בסיסי המנסרה‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫נפח המנסרה – מכפלתם של שטח הבסיס בגובה המנסרה‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫תיבה‬
‫הגדרה‬
‫∗‬
‫∗‬
‫תיבה – מנסרה ישרה שבסיסיה הם מלבנים‪.‬‬
‫תיבה ריבועית – תיבה שבסיסה הוא ריבוע‪.‬‬
‫קובייה – תיבה שכל מקצועותיה שווים‪.‬‬
‫שטח המעטפת‪:‬‬
‫שטח הפנים‪:‬‬
‫הנפח‪:‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪M = 2(a + b ) ⋅ h‬‬
‫‪P = 2( a + b ) ⋅ h + 2ab‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪h‬‬
‫‪C‬‬
‫‪V = a ⋅b ⋅h‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.06‬‬
‫'‪C‬‬
‫בתיבה ‪ ABCDA′B′C′D′‬הבסיס ‪ABCD‬‬
‫הוא ריבוע‪ .‬אלכסון הפאה הצדדית יוצר‬
‫זווית בת ‪ 68°‬עם בסיס התיבה‪.‬‬
‫גובה התיבה הוא ‪ 5.4‬ס''מ ‪.‬‬
‫חשב את שטח המעטפת של התיבה ואת נפחה‪.‬‬
‫תשובה‪ 47.09 :‬סמ''ר‪ 25.66 ,‬סמ''ק‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪5.4‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.07‬‬
‫נתונה קובייה ‪. ABCDA′B′C′D′‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית שבין אלכסון הקובייה ‪BD′‬‬
‫לבסיס ‪. ABCD‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון‪ 2 3 :‬ס''מ = ‪ . BD′‬חשב את שטח הפנים‬
‫של הקובייה‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 35.26° .‬ב‪ 24 .‬סמ''ר‪.‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫'‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪81‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪4.08‬‬
‫בתיבה ‪ ABCDA′B′C′D′‬אלכסון הבסיס שאורכו ‪ 8‬ס''מ‬
‫יוצר זווית בת ‪ 40°‬עם מקצוע הבסיס‪.‬‬
‫אורך אלכסון התיבה הוא ‪ 10‬ס''מ‪.‬‬
‫חשב את שטח הפנים של התיבה ואת נפחה‪.‬‬
‫תשובה‪ 198.26 :‬סמ''ר‪ 189.05 ,‬סמ''ק‪.‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪40‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.09‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫בתיבה ‪ ABCDA′B′C′D′‬שבסיסה הוא ריבוע‪,‬‬
‫אלכסון ‪ BC′‬של הפאה הצדדית ‪BB′C′C‬‬
‫יוצר זווית בת ‪ 30°‬עם הפאה ‪. AA′B′B‬‬
‫נתון‪ . BC′ = d :‬הבע את שטח המעטפת של התיבה באמצעות ‪. d‬‬
‫תשובה‪. d 2 3 :‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.10‬‬
‫בתיבה ‪ ABCDA′B′C′D′‬שבסיסה ריבוע‪,‬‬
‫אלכסון ‪ BD′‬שאורכו ‪ 8‬ס''מ יוצר זווית ‪α‬‬
‫) ‪ ( 0°< α < 45°‬עם הפאה הצדדית ‪. AA′D′D‬‬
‫הבע את נפח התיבה באמצעות ‪. α‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובה‪. V = 512 sin 2 α ⋅ cos 2α :‬‬
‫‪4.11‬‬
‫בתיבה ‪ ABCDA′B′C′D′‬אלכסון ‪ AC′‬שאורכו ‪ 10.3‬ס''מ‬
‫יוצר זווית בת ‪ 25°‬עם פאה ‪ AA′B′B‬וזווית בת ‪ 38°‬עם‬
‫פאה ‪. AA′D′D‬‬
‫חשב את שטח הפנים של התיבה‪.‬‬
‫תשובה‪ 201.4 :‬סמ''ר = ‪. P‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪82‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫‪4.12‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫נתונה קובייה ‪ ABCDA′B′C′D′‬שצלע שלה ‪. a‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על המקצוע ‪. D′D‬‬
‫חיברו את ‪ E‬עם הקודקודים ‪ A‬ו‪. C -‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 2 34‬‬
‫‪.‬‬
‫שטח המשולש ‪ AEC‬הוא‬
‫‪8‬‬
‫חשב את הזווית שבין המישור ‪ AEC‬למישור הבסיס ‪. ABCD‬‬
‫תשובה‪. 46.69° :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.13‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫נתונה תיבה ‪ ABCDA′B′C′D′‬שצלעות הבסיס‬
‫שלה הן‪ 4 :‬ס''מ = ‪ 3 , AB‬ס''מ = ‪. BC‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע במקצוע ‪ . CC′‬חיברו את ‪E‬‬
‫עם הקדקודים ‪ B‬ו‪ .D -‬המישור ‪ BED‬יוצר זווית‬
‫בת ‪ 55°‬עם מישור הבסיס ‪. ABCD‬‬
‫חשב את נפח התיבה‪.‬‬
‫תשובה‪ 82.32 :‬סמ''ק‪.‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4.14‬‬
‫נתונה תיבה ‪ ABCDA′B′C′D′‬שבסיסה‬
‫‪ ABCD‬הוא ריבוע‪ .‬גובה התיבה הוא ‪. h‬‬
‫הזווית שבין האלכסונים של שתי פאות‬
‫סמוכות היוצאים מקודקוד ‪ B‬היא ‪2β‬‬
‫) ‪) ( 0°<β < 45°‬ראה ציור(‪.‬‬
‫הבע את שטח המעטפת של התיבה באמצעות ‪ h‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪4 2 ⋅ h 2 ⋅ sin β‬‬
‫‪cos 2β‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2b‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4.15‬‬
‫בתיבה ‪ ABCDA′B′C′D′‬האלכסון ‪ AC′‬יוצר‬
‫זווית ‪ α‬עם הפאה ‪ AA′B′B‬ואלכסון ‪AB′‬‬
‫של הפאה ‪ AA′B′B‬יוצר זווית ‪ β‬עם הפאה ‪. BB′C′C‬‬
‫אורך האלכסון ‪ AC′‬הוא ‪.m‬‬
‫הבע את נפח התיבה באמצעות ‪ β , α‬ו‪.m-‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. m4 sin 2 α ⋅ sin 2β ⋅ cos α‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫'‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪h‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪m‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪83‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫'‪C‬‬
‫‪4.16‬‬
‫נתונה תיבה ‪ ABCDA′B′C′D′‬שבסיסה ריבוע ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪ . BB′ = h :‬הזווית בין אלכסון ‪BD′‬‬
‫ופאה ‪ CC′D′D‬היא ‪.( 0° < γ < 45° ) γ‬‬
‫הוכח כי נפח התיבה הוא‬
‫‪h 3 sin 2 γ‬‬
‫‪cos 2 γ‬‬
‫‪.‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪h‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4.17‬‬
‫בתיבה ‪ , ABCDA′B′C′D′‬שבסיסה מלבן ‪, ABCD‬‬
‫האלכסון ‪ BD′‬יוצר זווית ‪ α‬עם מקצוע ‪,AB‬‬
‫זווית ‪ β‬עם מקצוע ‪ BC‬וזווית ‪ γ‬עם מישור‬
‫הבסיס‪ .‬אורכו של ‪ BD′‬שווה ל‪. d -‬‬
‫א‪ .‬הבע את נפח התיבה באמצעות ‪ γ , β , α‬ו‪. d -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪ . cos 2 γ = cos 2 α + cos 2 β‬חשב את זווית ‪, γ‬‬
‫כאשר ‪ α = 55°‬ו‪. β = 70° -‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ . d cos α cos β sin γ .‬ב‪. 48.09° .‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪4.18‬‬
‫‪ ABCDA′B′C′D′‬מנסרה מרובעת ישרה ומשוכללת‪.‬‬
‫המישור ‪ AD′C‬יוצר זווית ‪ γ‬עם מישור הבסיס ‪. ABCD‬‬
‫מקצוע הבסיס שווה ל‪. a -‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ AD′C‬באמצעות ‪ a‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪ .‬הבע את הנפח ‪ V‬של המנסרה באמצעות ‪ a‬ו‪γ -‬‬
‫ומצא את גודלה של זווית ‪ γ‬כאשר ‪ 3‬ס"מ = ‪ a‬ו‪ 54 -‬סמ"ק=‪.V‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪a2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2 cos γ‬‬
‫‪a3 2‬‬
‫= ‪. γ = 70.53° ; V‬‬
‫ב‪tan γ .‬‬
‫‪2‬‬
‫∗‪4.19‬‬
‫בקובייה ‪ , ABCDA′B′C′D′‬שאורך מקצוע שלה הוא ‪, a‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא אמצע המקצוע '‪ D'C‬ונקודה ‪ N‬היא‬
‫אמצע המקצוע '‪ . B'C‬דרך האלכסון ‪ BD‬של הבסיס‬
‫התחתון ודרך הנקודות ‪ M‬ו‪ N -‬העבירו מישור ‪, BDMN‬‬
‫היוצר זווית ‪ ( 0° < γ < 90° ) γ‬עם מישור הבסיס ‪. ABCD‬‬
‫א‪ .‬חשב את זווית ‪. γ‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך המקצוע ‪ a‬של הקובייה‪ ,‬אם ידוע‬
‫ששטח המרובע ‪ BDMN‬שווה ל‪ 28 -‬סמ"ר‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 70.53° .‬ב‪ 5 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪84‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫מנסרה ישרה משולשת‬
‫'‪C‬‬
‫מנסרה ישרה משולשת – מנסרה ישרה שבסיסה משולש‪.‬‬
‫שטח המעטפת‪:‬‬
‫שטח הפנים‪:‬‬
‫הנפח‪:‬‬
‫‪M = (a + b + c) ⋅ h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪P = M + 2S+ ABC‬‬
‫‪C‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪V = S+ ABC ⋅ h‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.20‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪C‬‬
‫נתונה מנסרה ישרה משולשת ‪ , ABCA′B′C′‬שבסיסיה‬
‫הם משולשים שווי‪-‬צלעות‪ .‬אורך צלע המשולש הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫האלכסון ‪ BC′‬בפאה צדדית ‪ BB′C′C‬יוצר זווית בת ‪70°‬‬
‫עם הבסיס ‪. ABC‬‬
‫חשב את שטח הפנים של המנסרה‪.‬‬
‫תשובה‪ 145.74 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.21‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪C‬‬
‫הבסיס של מנסרה משולשת וישרה ‪ ABCA′B′C′‬הוא‬
‫משולש שווה‪-‬שוקיים שבו ‪ AB = AC‬ו‪. )BAC = 54° -‬‬
‫האלכסון ‪ B′C‬בפאה הצדדית ‪ BB′C′C‬שאורכו ‪ 7‬ס"מ‬
‫יוצר זווית בת ‪ 65°‬עם מישור הבסיס ‪. ABC‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪7‬‬
‫חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫תשובה‪ 27.26 :‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪54‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.22‬‬
‫במנסרה ישרה משולשת ‪ ABCA′B′C′‬צלעות‬
‫הבסיס הן‪ 3.2 :‬ס"מ = ‪ 4.5 , AB‬ס"מ = ‪ AC‬והזווית‬
‫ביניהן ‪ . )BAC = 112°‬אלכסון ‪ B′C‬בפאה ‪BB′C′C‬‬
‫יוצר זווית בת ‪ 43°‬עם מישור הבסיס‪.‬‬
‫חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫תשובה‪ 40.01 :‬סמ"ק‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫'‪C‬‬
‫‪4.5‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪3.2‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪112‬‬
‫‪B‬‬
‫‪85‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪4.23‬‬
‫נתונה מנסרה ישרה משולשת ‪ ABCA′B′C′‬שבסיסה‬
‫משולש ישר‪-‬זווית שבו ‪ )ACB = 90°‬ו‪ 8 -‬ס"מ = ‪. BC‬‬
‫הזווית בין מישור הפאה ‪ AA′B′B‬למישור הפאה‬
‫‪ AA′C′C‬היא בת ‪ , 50°‬הזווית בין האלכסון ‪AB′‬‬
‫למישור הפאה ‪ BB′C′C‬היא בת ‪. 32°‬‬
‫חשב את גובה המנסרה‪.‬‬
‫תשובה‪ 7.17 :‬ס"מ‪.‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4.24‬‬
‫נתונה מנסרה ישרה משולשת ‪. ABCA′B′C′‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABC‬הוא ‪,R‬‬
‫‪. (0° < α + β < 90°) )ABC = β ,)BAC = α‬‬
‫האלכסון ‪ AB′‬בפאה הצדדית ‪ AA′B′B‬שווה ל‪. 2R -‬‬
‫הבע את שטח המעטפת של המנסרה באמצעות ‪ β, α‬ו‪.R -‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫) ‪. 4R ⎡⎣sin β + sin α + sin ( α + β ) ⎤⎦ ⋅ cos ( α + β‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.25‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪C‬‬
‫במנסרה ישרה משולשת ומשוכללת ‪ABCA′B′C′‬‬
‫דרך מקצוע הבסיס ‪ BC‬ודרך קודקוד ‪ A′‬העבירו‬
‫מישור ‪ , A′BC‬היוצר זווית בת ‪ 62°‬עם מישור הבסיס ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪6‬‬
‫גובה המנסרה הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטח המעטפת של המנסרה‪.‬‬
‫‪ 66.24‬ס"מ‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫∗‪4.26‬‬
‫'‪C‬‬
‫במנסרה ישרה משולשת ‪ ABCA′B′C′‬שבסיסה‬
‫משולש ישר‪-‬זווית‪ ,‬נתון‪, )ACB = 90° :‬‬
‫‪ 5‬ס"מ = ‪ . )ABC = 36° , AB‬דרך המקצוע ‪A′C′‬‬
‫ודרך קודקוד ‪ B‬העבירו מישור ‪ A′C′B‬היוצר‬
‫זווית בת ‪ 48°‬עם מישור הבסיס ‪. A′B′C′‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪. A′C′B‬‬
‫תשובה‪ 8.89 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪86‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪36‬‬
‫‪5‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫∗‪4.27‬‬
‫במנסרה ישרה ‪ ABCA′B′C′‬שבסיסה משולש‬
‫ישר‪-‬זווית ‪ ( )ACB = 90° ) ABC‬נתון‪, )BAC = α :‬‬
‫‪ , AC = b‬הזווית שבין האלכסון ‪ B′A‬לאלכסון ‪B′C‬‬
‫היא ‪ , β‬הזווית שבין מישור המשולש ‪ AB′C‬לבין‬
‫מישור הבסיס היא ‪. γ‬‬
‫הראה כי ‪cos γ = tan α ⋅ tan β‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ 3 :‬ס"מ = ‪ . β = 30° , α = 45° ,b‬חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ 19.09 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫במנסרה ישרה משולשת ‪ , ABCA′B′C′‬שבסיסה‬
‫משולש שווה‪-‬שוקיים ‪ ,( AB = AC ) ABC‬האלכסון‬
‫‪ AB′‬בפאה ‪ AA′B′B‬שאורכו ‪ , m‬יוצר זווית ‪ α‬עם‬
‫מישור הבסיס ויוצר זווית ‪ γ‬עם מישור הפאה ‪. AA′C′C‬‬
‫הבע את נפח המנסרה באמצעות ‪ γ , α‬ו‪.m -‬‬
‫‪b‬‬
‫'‪C‬‬
‫∗‪4.28‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪m‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. m4 sin 2α sin γ‬‬
‫‪B‬‬
‫מנסרה ישרה שבסיסה מצולע כלשהו‬
‫שטח המעטפת‪:‬‬
‫‪M = LB ⋅ h‬‬
‫) ‪ - L B‬היקף הבסיס‪ - h ,‬הגובה(‬
‫שטח הפנים‪:‬‬
‫‪P = M + 2S B‬‬
‫) ‪ - SB‬שטח הבסיס‪ - M ,‬שטח המעטפת(‬
‫הנפח‪:‬‬
‫‪V = SB ⋅ h‬‬
‫) ‪ - SB‬שטח הבסיס‪ - h ,‬הגובה(‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪87‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪4.29‬‬
‫במנסרה ישרה מרובעת ‪ABCDA′B′C′D′‬‬
‫שבסיסה מקבילית ‪ , ABCD‬דרך הקודקודים‬
‫‪ A, B, C′, D′‬העבירו מישור היוצר זווית בת ‪ 67°‬עם‬
‫מישור הבסיס‪ .‬נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪, )BAD = 40° ,AD‬‬
‫שטח המרובע ‪ ABC′D′‬הוא ‪ 28‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫תשובה‪ 66.25 :‬סמ"ק‪.‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4‬‬
‫‪40‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.30‬‬
‫'‪D‬‬
‫במנסרה ישרה משוכללת ‪ABCDEA′B′C′D′E′‬‬
‫שבסיסה מחומש‪ ,‬האלכסון ‪ A′E‬בפאה הצדדית‬
‫‪ AA′E′E‬שאורכו ‪ 11‬ס"מ יוצר זווית בת ‪ 48°‬עם‬
‫מישור הבסיס העליון ‪. A′B′C′D′E′‬‬
‫חשב את שטח הפנים של המנסרה‪.‬‬
‫תשובה‪ 487.26 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫'‪E‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪11‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.31‬‬
‫נתונה מנסרה ישרה מרובעת ‪ABCDA′B′C′D′‬‬
‫שבסיסה מעוין ‪ . ABCD‬אלכסוני המעוין נחתכים‬
‫בנקודה ‪ . O‬הישר ‪ B′O‬יוצר זווית ‪ β‬עם מישור הבסיס‪.‬‬
‫נתון‪. AC = m , )BAD = α :‬‬
‫הבע את שטח המעטפת של המנסרה באמצעות ‪ β , α‬ו‪.m-‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m 2 tan tan β‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪88‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.32‬‬
‫העליון‪ .‬המישור יוצר זווית ‪ γ‬עם מישור הבסיס‬
‫‪ . ABCD‬נתון‪. )BAD = α , AD = BC = CD = a :‬‬
‫הבע את שטח המרובע ‪ ABC′D′‬באמצעות ‪ α ,a‬ו‪. γ -‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫במנסרה ישרה מרובעת ‪ABCDA′B′C′D′‬‬
‫שבסיסה טרפז שווה‪-‬שוקיים ‪ABCD‬‬
‫) ‪ ,( AB & CD , AB > CD‬העבירו מישור דרך מקצוע‬
‫‪ AB‬בבסיס התחתון ודרך מקצוע ‪ C′D′‬בבסיס‬
‫‪A‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫תשובה‪:‬‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪a 2 (1 + cos α ) ⋅ sin α‬‬
‫‪cos γ‬‬
‫‪.‬‬
‫∗‪4.33‬‬
‫במנסרה ישרה ‪ABCDEFA′B′C′D′E′F′‬‬
‫שבסיסה משושה משוכלל‪ ,‬האלכסון ‪AC′‬‬
‫יוצר זווית ‪ α‬עם הפאה הצדדית ‪. AA′F′F‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשושה הוא ‪. R‬‬
‫הבע את נפח המנסרה באמצעות ‪ α‬ו‪. R -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪9R 3‬‬
‫‪2 tan α‬‬
‫'‪D‬‬
‫'‪C‬‬
‫'‪B‬‬
‫'‪E‬‬
‫'‪F‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫∗‪4.34‬‬
‫במנסרה מרובעת וישרה ‪ , ABCDA′B′C′D′‬שבסיסה טרפז‬
‫שווה‪-‬שוקיים ‪ , (AB & CD) ABCD‬האלכסון ‪BD‬‬
‫של הבסיס שווה ל‪ d -‬ויוצר זווית ‪ β‬עם צלע ‪ AB‬של הבסיס‪.‬‬
‫‪d 2 ⋅ sin 2β‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ :‬האלכסון ‪ AC′‬של המנסרה יוצר זווית ‪ α‬עם בסיסה‪.‬‬
‫הבע את נפח המנסרה באמצעות ‪ β , α‬ו‪. d -‬‬
‫’‪C‬‬
‫’‪B‬‬
‫= ‪. SABCD‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪d 3 sin 2β tan α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫’‪D‬‬
‫’‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪89‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פירמידה‬
‫הגדרה‬
‫פירמידה – פאון בו פאה אחת היא מצולע‪ ,‬הנקרא בסיס‪ ,‬ושאר הפאות הן‬
‫משולשים הבנויים כל אחד על צלע אחת של הבסיס ונפגשים בנקודה אחת‪,‬‬
‫הנמצאת מחוץ למישור הבסיס ונקראת קודקוד הפירמידה‪.‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫פאות הפירמידה‬
‫מקצועות צדדיים‬
‫מקצועות הבסיס‬
‫גובה הפירמידה‬
‫הגדרה‬
‫– המשולשים הצדדיים‪.‬‬
‫– ישרי החיתוך של הפאות‪.‬‬
‫– צלעותיו של מצולע הבסיס‪.‬‬
‫– אנך היורד מקודקוד הפירמידה למישור הבסיס‪.‬‬
‫פירמידה ישרה – פירמידה שבה הגובה פוגש את הבסיס במרכז המעגל החוסם‬
‫את הבסיס‪.‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫בפירמידה ישרה כל המקצועות הצדדיים שווים‪.‬‬
‫בפירמידה ישרה כל הזוויות בין המקצועות הצדדיים לבסיס שוות‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫פירמידה משוכללת – פירמידה ישרה שבה הבסיס הוא מצולע משוכלל‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫שטח המעטפת – סכום שטחן של כל הפאות הצדדיות‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫שטח הפנים – סכום שטחם של המעטפת והבסיס‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫נפח הפירמידה – שליש ממכפלת שטח הבסיס בגובה‪.‬‬
‫נגדיר‪ - M :‬שטח המעטפת‪ - P ,‬שטח הפנים‪ - V ,‬נפח‪.‬‬
‫‪ - SB‬שטח הבסיס‪ - H ,‬גובה הפירמידה‪.‬‬
‫שטח הפנים‪:‬‬
‫הנפח‪:‬‬
‫‪90‬‬
‫‪P = M + SB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⋅ SB ⋅ H‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪V‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה‪-‬צלעות‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M = a ⋅h‬‬
‫שטח המעטפת‪:‬‬
‫)‪ - a‬צלע הבסיס‪ – h ,‬גובה הפאה הצדדית(‬
‫‪S‬‬
‫שים לב‪ :‬שטח משולש שווה‪-‬צלעות שצלעו ‪ a‬הוא‪:‬‬
‫‪a2 3‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪S+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S+= ⋅ a ⋅ a ⋅ sin60°‬‬
‫⇒‬
‫‪h‬‬
‫שטח הפנים‪:‬‬
‫‪a2 ⋅ 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P = ah +‬‬
‫הנפח‪:‬‬
‫)‪ - a‬צלע הבסיס‪,‬‬
‫⇒‬
‫‪O‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪ - a‬צלע הבסיס‪ - h ,‬גובה הפאה הצדדית(‬
‫‪H ⋅ a2 3‬‬
‫=‪V‬‬
‫‪12‬‬
‫‪H‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 a 3‬‬
‫⋅ =‪V‬‬
‫‪⋅H‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪ - H‬גובה הפירמידה(‬
‫‪S‬‬
‫‪4.35‬‬
‫בפירמידה ישרה ומשולשת ‪ , SABC‬הבסיס ‪ABC‬‬
‫הוא משולש שווה‪-‬צלעות‪ .‬אורך צלע המשולש הוא‬
‫‪ 5‬ס"מ‪ .‬הזווית בין הפאה הצדדית לבסיס היא בת ‪. 72°‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המעטפת של הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 35.025 .‬סמ"ר‪ .‬ב‪ 45.85 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪A‬‬
‫‪5‬‬
‫‪B‬‬
‫‪S‬‬
‫‪4.36‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה משולש‬
‫שווה‪-‬צלעות ‪ , ABC‬המקצוע הצדדי שאורכו‬
‫‪ 10‬ס"מ יוצר זווית בת ‪ 65°‬עם בסיס הפירמידה‪.‬‬
‫חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ 70.28 :‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪91‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪4.37‬‬
‫נתונה פירמידה ‪ SABC‬ישרה‪ ,‬משולשת ומשוכללת‪.‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את הבסיס הוא ‪ 3‬ס"מ = ‪,R‬‬
‫הזווית שבין המקצוע הצדדי לצלע הבסיס היא בת ‪. 53°‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המעטפת של הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ 3.11 .‬ס"מ‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 26.91 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪53‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.38‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABC‬הבסיס הוא משולש‬
‫שווה‪-‬צלעות ‪ . ABC‬אורך צלע המשולש הוא‬
‫‪ 6‬ס"מ‪ .‬נפח הפירמידה הוא ‪ 37‬סמ"ק‪.‬‬
‫חשב את הזווית שבין הפאה הצדדית‬
‫לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪. 76.34° :‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪A‬‬
‫‪6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.39‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה משולש‬
‫שווה‪-‬צלעות ‪ , ABC‬הזווית בין שני‬
‫המקצועות הצדדיים היא בת ‪. 44°‬‬
‫שטח המעטפת של הפירמידה הוא ‪ 37.8‬סמ"ר ‪.‬‬
‫חשב את הזווית בין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪. 64.32° :‬‬
‫‪S‬‬
‫‪44‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪S‬‬
‫‪4.40‬‬
‫נתונה פירמידה ישרה משוכללת ‪ SABC‬שבה‬
‫המקצוע הצדדי שווה למקצוע הבסיס )טטראדר(‪.‬‬
‫אורך צלע הבסיס הוא ‪. a‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית בין הפאה הצדדית לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע את נפח הפירמידה באמצעות ‪.a‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 70.53° .‬ב‪. 0.12a 3 .‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪92‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫∗‪4.41‬‬
‫‪ SABC‬היא פירמידה ישרה ומשוכללת‪ .‬גובה הפירמידה שווה למקצוע הבסיס ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית בין המקצוע הצדדי למישור הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית בין שתי הפאות הצדדיות של הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪. 67.38° .‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪. 60° .‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪4.42‬‬
‫‪ SABC‬היא פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪ .(AB = AC) ABC‬נתון‪ , )BAC = 2α , BC = a :‬הזווית‬
‫שבין המקצוע הצדדי של הפירמידה לבין בסיס הפירמידה‬
‫היא ‪ . β‬הבע את נפח הפירמידה באמצעות ‪ β , α‬ו‪. a -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪a 3 tan β‬‬
‫‪48sin 2 α‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4.43‬‬
‫בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪ ,( AB = AC ) ABC‬נתון‪ )ABC = β :‬וגובה‬
‫הפירמידה שאורכו ‪ H‬יוצר זווית ‪ α‬עם המקצוע‬
‫הצדדי של הפירמידה‪.‬‬
‫הבע את נפח הפירמידה באמצעות ‪ α , H‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪. 23 H 3 tan 2 α sin 2 β sin 2β :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪H‬‬
‫‪b‬‬
‫‪O‬‬
‫‪4.44‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה משולש ‪, ABC‬‬
‫נתון‪ SA = AB = AC = a :‬והזווית בין הפאה‬
‫‪ SBC‬לבסיס הפירמידה היא ‪. 2β‬‬
‫הבע את הגובה ‪ SO‬של הפירמידה באמצעות ‪ a‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪. a ⋅ cosβ :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪S‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪93‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪4.45‬‬
‫‪S‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה משולש‬
‫שווה‪-‬שוקיים ‪,(AB=AC) ABC‬‬
‫נתון‪. BC = 2a , )BSC = 2β , )BAC = α :‬‬
‫‪2b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a tan 2 α − tan 2 β‬‬
‫הוכח כי גובה הפירמידה שווה ל‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪tan α ⋅ tan β‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫∗‪4.46‬‬
‫‪S‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪ , ABC‬נתון‪ 7 :‬ס"מ = ‪ )BAC = 46° , AB = AC‬והפאה‬
‫הצדדית ‪ SBC‬יוצרת זווית בת ‪ 75°‬עם מישור הבסיס‪.‬‬
‫חשב את שטח המעטפת של הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ 97.68 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪46‬‬
‫‪A‬‬
‫‪7‬‬
‫∗‪4.47‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪ ,( AB = AC ) ABC‬נתון‪ )ABC = 63° :‬והזווית בין‬
‫המקצוע הצדדי לבסיס שווה ל‪. 71° -‬‬
‫חשב את הזווית בין הפאות הצדדיות ‪ SAB‬ו‪. SAC -‬‬
‫תשובה‪. 56.78° :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪63‬‬
‫‪C‬‬
‫∗‪4.48‬‬
‫בפירמידה משולשת וישרה ‪ SABC‬נתון כי‪:‬‬
‫‪. BC = m3 3 , SA = SB = SC = AB = AC = m‬‬
‫הזווית בין הפאה הצדדית ‪ SBC‬למישור הבסיס היא ‪, α‬‬
‫והזווית בין הפאה הצדדית ‪ SAB‬לפאה צדדית ‪ SAC‬היא ‪. γ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. cos α‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. cos γ‬‬
‫ג‪ .‬על‪-‬פי התוצאות שקיבלת בסעיפים הקודמים‪,‬‬
‫הוכח ללא שימוש במחשבון‪ ,‬כי‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪94‬‬
‫‪5‬‬
‫‪. cos α = 11‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪α+γ‬‬
‫‪α − γ 61‬‬
‫‪⋅ cos‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪99‬‬
‫‪. cos‬‬
‫ב‪. cos γ = 79 .‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה משולש ישר‪-‬זווית‬
‫‪S‬‬
‫‪4.49‬‬
‫נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה משולש‬
‫ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים ‪. (AC = BC) ABC‬‬
‫אורך של כל אחד מהמקצועות הצדדיים של‬
‫הפירמידה שווה לאורך היתר של הבסיס‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את הזווית בין המקצוע ‪SC‬‬
‫למישור הבסיס של הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון כי אורך היתר של הבסיס שווה ל‪ 6 2 -‬ס"מ‪ .‬חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ 44.1 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪. 60° .‬‬
‫‪4.50‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה משולש‬
‫ישר‪-‬זווית ‪,( )ACB = 90° ) ABC‬‬
‫נתון‪ 8 , )BAC = 35° :‬ס"מ = ‪ , AB‬הזווית בין הפאה‬
‫הצדדית ‪ SBC‬לבסיס הפירמידה היא ‪. 67°‬‬
‫חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ 7.72 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4.51‬‬
‫‪35‬‬
‫‪S‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ , SABC‬שבסיסה ‪ +ABC‬הוא משולש‬
‫ישר‪-‬זווית ) ‪ , ( )ACB = 90°‬נתון‪, AB = c , )BAC = α :‬‬
‫והזווית בין המקצוע ‪ SC‬לבסיס הפירמידה היא ‪. β‬‬
‫הבע את נפח הפירמידה באמצעות ‪ β , α‬ו‪. c -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪c‬‬
‫‪. 24‬‬
‫‪⋅ sin 2α tan β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪S‬‬
‫∗‪4.52‬‬
‫‪52‬‬
‫בסיסה של פירמידה ישרה ‪ SABC‬הוא משולש ישר‪-‬זווית ‪ABC‬‬
‫)‪ . ()ACB = 90°‬דרך גובה הפירמידה ‪ SO‬ודרך קודקוד ‪C‬‬
‫העבירו מישור ‪ SOC‬היוצר זווית בת ‪ 50°‬עם‬
‫הפאה הצדדית ‪ . SAB‬הזווית בין המקצוע‬
‫הצדדי ‪ SA‬לבין המקצוע הצדדי ‪ SC‬שווה ל‪. 52° -‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית שבין המקצועות הצדדיים ‪ SB‬ו‪. SC -‬‬
‫‪O‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪95‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית בין המקצוע ‪ SA‬לבין מישור הבסיס‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 23.65° .‬ב‪. 60.99° .‬‬
‫∗‪4.53‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ , SABC‬שבסיסה ‪+ABC‬‬
‫הוא משולש ישר‪-‬זווית )‪, ()ACB = 90°‬‬
‫נתון‪. )SCB = 62° , )SCA = 55° :‬‬
‫חשב את הזוויות שיוצרות הפאות‬
‫‪ SAC‬ו‪ SBC -‬בהתאמה עם מישור הבסיס‪.‬‬
‫תשובה‪. 49.61° , 55.04° :‬‬
‫‪55 62‬‬
‫∗‪4.54‬‬
‫בפירמידה משולשת וישרה ‪ , SABC‬שבסיסה ‪ +ABC‬הוא משולש ישר‪-‬זווית )‪, ()ACB = 90°‬‬
‫נתון‪ , )ABC = β :‬אורכו של התיכון ליתר ‪ AB‬הוא ‪ , d‬כל המקצועות הצדדיים של‬
‫הפירמידה יוצרים זווית ‪ α‬עם הבסיס‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את נפח הפירמידה באמצעות ‪ α , d‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית ‪ , α‬אם ידוע ש‪ 5 , α = 2β :‬ס"מ = ‪ 47.5 , d‬סמ"ק = ‪. V‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪sin 2β ⋅ tan α .‬‬
‫‪d3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪. 54.55° .‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה משולש שונה צלעות‬
‫‪4.55‬‬
‫‪S‬‬
‫בפירמידה ‪ SABC‬ישרה משולשת שבסיסה ‪, +ABC‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪, )BAC = 39° , AB‬‬
‫‪ )ACB = 57°‬והזווית בין המקצוע הצדדי לבין‬
‫בסיס הפירמידה שווה ל‪. 66° -‬‬
‫חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫‪ 10.65‬סמ"ק‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪39‬‬
‫‪57‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪96‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫‪4.56‬‬
‫בפירמידה ישרה משולשת ‪ SABC‬שבסיסה ‪, +ABC‬‬
‫נתון‪ 17 , )ACB = 75° :‬ס"מ = ‪, SA‬‬
‫גובה הפירמידה שווה ל‪ 15 -‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את הזווית בין המקצוע הצדדי ‪ SA‬לבין‬
‫המקצוע הצדדי ‪. SB‬‬
‫תשובה‪. 54.06° :‬‬
‫‪75‬‬
‫‪4.57‬‬
‫בפירמידה ישרה משולשת ‪ SABC‬שבסיסה ‪, +ABC‬‬
‫נתון‪ 7 :‬ס"מ = ‪ 8 , AB‬ס"מ = ‪; )BAC = 42° , AC‬‬
‫הפאה הצדדית ‪ SBC‬יוצרת זווית בת ‪68°‬‬
‫עם מישור הבסיס‪.‬‬
‫חשב את הגובה של הפאה הצדדית ‪. SBC‬‬
‫תשובה‪ 8.09 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪S‬‬
‫‪8‬‬
‫‪C‬‬
‫‪42‬‬
‫‪A‬‬
‫‪7‬‬
‫‪B‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע‬
‫שטח המעטפת‪:‬‬
‫‪M = 2ah‬‬
‫) ‪ - a‬צלע הבסיס‪ - h ,‬גובה הפאה הצדדית(‬
‫שטח הפנים‪:‬‬
‫‪P = a 2 + 2ah‬‬
‫) ‪ - a‬צלע הבסיס‪ - h ,‬גובה הפאה הצדדית(‬
‫הנפח‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪H‬‬
‫‪h‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪V = a2H‬‬
‫) ‪ - a‬צלע הבסיס‪ - H ,‬גובה הפירמידה(‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4.58‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע ‪, ABCD‬‬
‫אורך צלע הבסיס שווה ל‪ 5 -‬ס"מ‪ ,‬והזווית בין המקצוע‬
‫הצדדי לבין מישור הבסיס היא ‪. 53°‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המעטפת של הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 53.2 .‬סמ"ר‪ .‬ב‪ 78.2 .‬סמ"ר‪ .‬ג‪ 39.17 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪A‬‬
‫‪97‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪4.59‬‬
‫נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע‬
‫‪ . ABCD‬גובה הפירמידה הוא ‪ H‬והזווית בין‬
‫הפאה הצדדית לבין בסיס הפירמידה היא ‪. β‬‬
‫הבע את שטח הפנים של הפירמידה באמצעות ‪ H‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫) ‪4H 2 (1 + cos β‬‬
‫‪tan β ⋅ sin β‬‬
‫‪H‬‬
‫‪.‬‬
‫∗‪4.60‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע ‪, ABCD‬‬
‫נתון‪. )ASC = 2γ , SA = m :‬‬
‫א‪ .‬הבע את נפח הפירמידה באמצעות ‪ m‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪ .‬הזווית בין הפאה הצדדית של הפירמידה לבין‬
‫הבסיס היא ‪ . β‬הראה כי‪. tan β ⋅ tan γ = 2 :‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪. m3 sin γ ⋅ sin 2γ .‬‬
‫∗‪4.61‬‬
‫נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע ‪. ABCD‬‬
‫הזווית בין שני מקצועות צדדיים סמוכים שווה ל‪. 70° -‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית בין פאה צדדית לבין בסיס הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 36.39° .‬ב‪. 45.96° .‬‬
‫‪70‬‬
‫∗‪4.62‬‬
‫שטח המעטפת של פירמידה ישרה ‪ , SABCD‬שבסיסה ריבוע ‪ , ABCD‬גדול פי ‪ 3‬משטח הבסיס‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הזווית שבין שני המקצועות הצדדיים הסמוכים של הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הזווית שבין שני המקצועות הצדדיים הנגדיים של הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 36.87° .‬ב‪. 53.13° .‬‬
‫∗‪4.63‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע ‪ , ABCD‬הזווית בין שתי פאות צדדיות סמוכות‪,‬‬
‫שווה ל‪ . 102° -‬מצא את הזווית שבין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫‪. 54.1°‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪98‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫∗∗‪4.64‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע ‪, ABCD‬‬
‫פאות צדדיות סמוכות שווה ל‪. β -‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח הפנים של הפירמידה באמצעות ‪ a‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪ .‬באיזה תחום צריכה להימצא ‪ β‬כדי שיהיה פתרון לבעיה?‬
‫נתון‪:‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫⎞‬
‫‪1‬‬
‫א‪⎟ .‬‬
‫⎠⎟ ‪− cos β‬‬
‫⎛‬
‫‪. 4a 2 ⎜⎜1 +‬‬
‫⎝‬
‫‪ AB = 2a‬והזווית שבין שתי‬
‫ב‪. 90° < β < 180° .‬‬
‫פירמידה ישרה שבסיסה מצולע כלשהו‬
‫‪4.65‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן ‪, ABCD‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ 3 , AB‬ס"מ = ‪; BC‬‬
‫נפח הפירמידה שווה ל‪ 24 -‬סמ"ק‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטח המעטפת של הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין המקצוע הצדדי לבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 43.68 .‬סמ"ר‪ .‬ב‪. 67.38° .‬‬
‫‪S‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪S‬‬
‫‪4.66‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן ‪, ABCD‬‬
‫אורך המקצוע הצדדי הוא ‪; d‬‬
‫‪. )BSC = 2β , )ASB = 2α‬‬
‫הבע את נפח הפירמידה באמצעות ‪ β , α‬ו‪. d -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. 43 d 3 sin α sin β ⋅ cos 2 α − sin 2 β‬‬
‫‪2b‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪d‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4.67‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה טרפז‬
‫שווה‪-‬שוקיים ‪ ,( AB & CD ) ABCD‬נתון‪:‬‬
‫‪ 3‬ס"מ = ‪ 4 , AB‬ס"מ = ‪; )BAD = 110° , AD‬‬
‫המקצוע הצדדי של הפירמידה יוצר‬
‫זווית בת ‪ 75°‬עם מישור הבסיס‪.‬‬
‫חשב את אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ 11.82 :‬ס"מ‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪3‬‬
‫‪110‬‬
‫‪4‬‬
‫‪99‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪4.68‬‬
‫בפירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה דלתון ‪, ABCD‬‬
‫נתון‪ 10 , )BAD = 62° :‬ס"מ = ‪; AC‬‬
‫המקצוע הצדדי של הפירמידה‬
‫יוצר זווית בת ‪ 37°‬עם גובה הפירמידה‪.‬‬
‫חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ 97.7 :‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪62‬‬
‫∗‪4.69‬‬
‫בפירמידה ישרה שבסיסה משושה משוכלל‪ ,‬הזווית שבין שני מקצועות צדדיים סמוכים‬
‫שווה לזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה‪ .‬חשב את הזווית הנ"ל‪.‬‬
‫תשובה‪. 42.94° :‬‬
‫פירמידה לא ישרה‬
‫∗‪4.70‬‬
‫בפירמידה ‪ SABC‬שבסיסה ‪ +ABC‬הוא‬
‫משולש ישר‪-‬זווית )‪, ()ACB = 90°‬‬
‫המקצוע הצדדי ‪ SC‬מאונך למישור הבסיס‪.‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ 9 , AC‬ס"מ = ‪ ; BC‬הפאה‬
‫הצדדית ‪ SAB‬יוצרת זווית בת ‪ 65°‬עם מישור הבסיס‪.‬‬
‫חשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ 7.83 :‬ס"מ‪.‬‬
‫∗‪4.71‬‬
‫בפירמידה ‪ SABCD‬הבסיס הוא מלבן ‪, ABCD‬‬
‫הזווית שבין הפאה הצדדית ‪ SAB‬לבין הבסיס היא ‪. α‬‬
‫הזווית שבין הפאה ‪ SBC‬לבין הבסיס היא ‪. γ‬‬
‫המקצוע הצדדי ‪ SD‬שאורכו ‪ , H‬הוא גובה של הפירמידה‪.‬‬
‫הבע את נפח הפירמידה באמצעות ‪ γ , α‬ו‪. H -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫‪H3‬‬
‫‪3 tan α tan γ‬‬
‫‪H‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫בחלק מן השאלות בנושא פירמידה לא ישרה משתמשים במשפטים הבאים‪:‬‬
‫משפט‬
‫אם גובה הפירמידה פוגש את הבסיס במרכז המעגל החסום בבסיס‪ ,‬אזי כל‬
‫הזוויות בין הפאות הצדדיות לבסיס‪ ,‬שוות זו לזו )וגם הגבהים של הפאות‬
‫הצדדיות שווים זה לזה(‪.‬‬
‫משפט הפוך אם בפירמידה כל הפאות הצדדיות יוצרות זוויות שוות עם הבסיס‪ ,‬אזי גובה‬
‫הפירמידה פוגש את הבסיס במרכז המעגל החסום בבסיס הפירמידה‪.‬‬
‫∗‪4.72‬‬
‫בפירמידה ‪ SABC‬שבסיסה ‪ ABC‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫)‪ , (AB = AC‬נתון‪ 6 , )BAC = 52° :‬ס"מ = ‪ ; BC‬כל הפאות‬
‫הצדדיות של הפירמידה יוצרות זווית בת ‪ 70°‬עם מישור הבסיס‪.‬‬
‫חשב את נפח הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪ 31.61 :‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫‪6‬‬
‫∗‪4.73‬‬
‫‪S‬‬
‫בפירמידה ‪ SABCD‬שבסיסה מעוין ‪, ABCD‬‬
‫גובה הפירמידה פוגש את הבסיס בנקודת מפגש‬
‫אלכסוני המעוין‪ .‬אורך הגובה שווה לאורך האלכסון‬
‫הגדול במעוין‪ .‬הזווית החדה של המעוין שווה ל‪. 44° -‬‬
‫חשב את הזווית שיוצרת כל אחת מהפאות‬
‫הצדדיות עם בסיס הפירמידה‪.‬‬
‫תשובה‪. 79.38° :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪44 C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫∗‪4.74‬‬
‫בפירמידה ‪ SABCD‬שבסיסה טרפז שווה‪-‬שוקיים ‪ABCD‬‬
‫)‪ , (AB & CD ,AB < CD‬נתון‪; )ADC = α , AD = a :‬‬
‫כל אחת מן הפאות הצדדיות יוצרת זווית ‪ β‬עם מישור הבסיס‪.‬‬
‫הבע את שטח המעטפת של הפירמידה באמצעות ‪ α , a‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪a 2 sin α‬‬
‫‪cos β‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪101‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫גליל ישר‬
‫הגדרה‬
‫גליל ישר – גוף הנוצר על‪-‬ידי סיבוב‬
‫המלבן סביב הציר העובר דרך אחת‬
‫מצלעותיו של המלבן‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫)ראה ציור‪ :‬הגליל הוא הגוף הנוצר על‪-‬ידי סיבוב‬
‫המלבן ‪ AA′O′O‬סביב הצלע ‪(. O′O‬‬
‫‪R‬‬
‫ניתן לומר‪ ,‬שגליל ישר הוא גוף המוגבל על‪-‬ידי שני עיגולים חופפים ומקבילים‪ ,‬ועל‪-‬ידי קטעים‬
‫שווים‪ ,‬המחברים את שפות העיגולים ומאונכים להם‪.‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫בסיסי הגליל – שני העיגולים החופפים והמקבילים‪.‬‬
‫רדיוס הגליל – רדיוס של בסיס הגליל‪.‬‬
‫גובה הגליל – אנך המחבר את בסיסי הגליל‪.‬‬
‫קו יוצר של הגליל – כל קטע המחבר את שפת העיגולים וניצב לעיגולים‪.‬‬
‫החתך הצירי של הגליל – המישור המאונך לבסיסים ועובר דרך מרכזיהם‪:‬‬
‫המישור הנ"ל הוא מלבן שצלע אחת שלו היא קוטר‬
‫הבסיס‪ ,‬והצלע השנייה היא הקו היוצר של הגליל‪.‬‬
‫אם נפרוש את המעטפת של הגליל הישר‪,‬‬
‫נקבל מלבן שצלע אחת שלו שווה להיקף‬
‫מעגל הבסיס‪ ,‬וצלע שנייה שווה לגובה‬
‫הגליל‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫שטח המעטפת של הגליל – שטחו של מלבן הפרישה‪:‬‬
‫)‪ – R‬רדיוס הגליל‪ – h ,‬גובה הגליל(‬
‫שטח הפנים של הגליל – סכום שטחם של המעטפת ובסיסי הגליל‪:‬‬
‫נפח הגליל – מכפלת שטח הבסיס בגובה הגליל‪:‬‬
‫‪102‬‬
‫‪h‬‬
‫‪R‬‬
‫‪M = 2πRh‬‬
‫‪P = 2πRh + 2πR 2‬‬
‫‪V = πR 2 ⋅ h‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫‪4.75‬‬
‫בגליל ישר הנקודה ‪ O′‬היא מרכז הבסיס העליון‪ ,‬הנקודה ‪O‬‬
‫היא מרכז הבסיס התחתון‪ E ,‬היא נקודה כלשהי על שפת‬
‫העיגול התחתון‪ .‬הקטע ‪ O′E‬שאורכו ‪ 10‬ס"מ‪ ,‬יוצר זווית‬
‫בת ‪ 56°‬עם הבסיס התחתון‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את שטח המעטפת של הגליל‪.‬‬
‫חשב את שטח הפנים של הגליל‪.‬‬
‫חשב את נפח הגליל‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ 291.16 .‬סמ"ר‪ .‬ב‪ 487.5 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫ג‪ 813.82 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫’‪O‬‬
‫‪10‬‬
‫‪O‬‬
‫‪E‬‬
‫‪4.76‬‬
‫בגליל ישר שנפחו ‪ , V‬הזווית בין אלכסוני החתך הצירי היא ‪ α ) α‬היא הזווית שמול קוטר‬
‫הבסיס(‪.‬‬
‫הבע את גובה הגליל באמצעות ‪ V‬ו‪. α -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪4V‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π tan 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4.77‬‬
‫שטח הבסיס של גליל ישר קטן פי ‪ 2‬משטח החתך הצירי של הגליל‪ .‬חשב את הזווית החדה בין‬
‫אלכסוני החתך הצירי של הגליל‪.‬‬
‫‪. 64.98°‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪4.78‬‬
‫בגליל ישר‪ ,‬פרישת מעטפת הגליל היא מלבן ‪ AA'C'C‬שבו האלכסון '‪ AC‬שווה ל‪d -‬‬
‫ו‪ . )AC'C = α -‬הבע את שטח הפנים של הגליל באמצעות ‪ d‬ו‪. α -‬‬
‫⎛ ‪d2‬‬
‫⎞ ‪sin 2 α‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪. ⎜ sin 2α +‬‬
‫⎟‬
‫⎝‪2‬‬
‫⎠ ‪π‬‬
‫‪4.79‬‬
‫בגליל ישר‪ ,‬הנקודה ‪ O‬היא מרכז הבסיס התחתון;‬
‫הנקודה ‪ C‬היא נקודה כלשהי על שפת הבסיס התחתון‪.‬‬
‫נתון כי הקטע ‪ A′C‬שאורכו ‪ , d‬יוצר זווית ‪ α‬עם הקו היוצר‬
‫‪ , AA′‬והזווית המרכזית המתאימה למיתר ‪ AC‬היא ‪. 2β‬‬
‫הבע את שטח המעטפת של הגליל באמצעות ‪ α , d‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪πd 2 ⋅ sin2α‬‬
‫‪2sinβ‬‬
‫‪.‬‬
‫’‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2b‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪103‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪4.80‬‬
‫בגליל ישר העבירו מישור ‪ AA′C′C‬המאונך לבסיסים והיוצר‬
‫זווית ‪ α‬עם החתך הצירי ‪ AA′B′B‬של הגליל‪.‬‬
‫האלכסון ‪ A′C‬של המלבן ‪ AA′C′C‬שווה ל‪ m -‬ויוצר‬
‫זווית ‪ β‬עם מישור הבסיס‪.‬‬
‫הבע את נפח הגליל באמצעות ‪ α , m‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫’‪O‬‬
‫’‪B‬‬
‫’‪C‬‬
‫‪m‬‬
‫‪B‬‬
‫‪πm3 ⋅ cos 2 β ⋅ sin β‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4 cos 2 α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4.81‬‬
‫בגליל ישר הנקודה ‪ O′‬היא מרכז הבסיס העליון והנקודה ‪O‬‬
‫היא מרכז הבסיס התחתון‪ AE .‬הוא מיתר בבסיס התחתון‪.‬‬
‫נתון‪. )AO′E = 2β , )AOE = 2α , AE = a :‬‬
‫הבע את נפח הגליל באמצעות ‪ α , a‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪104‬‬
‫‪πa 3 ⋅ sin 2 α − sin 2 β‬‬
‫‪8sin 3α sin β‬‬
‫’‪A‬‬
‫‪2b‬‬
‫’‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫חרוט ישר‬
‫הגדרה‬
‫חרוט ישר – גוף הנוצר על‪-‬ידי סיבוב של‬
‫משולש ישר‪-‬זווית סביב הציר העובר דרך‬
‫אחד מהניצבים של המשולש‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪l h‬‬
‫)ראה ציור‪ :‬החרוט הוא הגוף הנוצר על‪-‬ידי סיבוב‬
‫המשולש ישר‪-‬זווית ‪ SOA‬סביב הניצב ‪(. SO‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪R‬‬
‫ניתן לומר‪ ,‬שחרוט ישר הוא גוף המוגבל על‪-‬ידי עיגול וקטעים שווים‪ ,‬המחברים את שפת העיגול‬
‫עם נקודה הנמצאת מחוץ למישור העיגול‪ .‬הקטע המחבר את הנקודה הנ"ל אל מרכז העיגול‬
‫מאונך למישור העיגול‪.‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫בסיס החרוט – העיגול הנ"ל‪.‬‬
‫רדיוס החרוט – רדיוס של בסיס החרוט‪.‬‬
‫קוים יוצרים של החרוט – קטעים שווים‪ ,‬המחברים את שפת הבסיס עם נקודה אחת‪,‬‬
‫הנמצאת מחוץ למישור הבסיס‪.‬‬
‫קודקוד החרוט – הנקודה המשותפת לכל הקווים היוצרים של החרוט‪.‬‬
‫גובה החרוט – אנך המחבר את הקודקוד עם בסיס החרוט‪.‬‬
‫החתך הצירי של החרוט – המישור הניצב לבסיס‪ ,‬העובר דרך קוטר הבסיס וקודקוד החרוט‪.‬‬
‫המישור הנ"ל הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪ .‬שוקי המשולש הם‬
‫הקווים היוצרים של החרוט‪.‬‬
‫אם נפרוש את המעטפת של החרוט‬
‫הישר‪ ,‬נקבל גזרת עיגול שהרדיוס שלה‬
‫שווה לקו היוצר של החרוט ואורך‬
‫הקשת שלה שווה להיקף הבסיס של‬
‫החרוט‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫’‪A‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪R‬‬
‫‪A‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪h‬‬
‫‪O‬‬
‫‪R‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪105‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪M = πRA‬‬
‫שטח המעטפת של החרוט – שטחה של גזרת עיגול הפרישה‪:‬‬
‫) ‪ – R‬רדיוס החרוט‪ – A ,‬קו היוצר של החרוט‪(.‬‬
‫‪A2 ⋅ γ‬‬
‫ניתן למצוא את שטח המעטפת של החרוט גם באמצעות הנוסחה‪:‬‬
‫=‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ – γ‬הזווית המרכזית )ברדיאנים( של גזרת עיגול הפרישה‪ – A ,‬קו היוצר של החרוט‪(.‬‬
‫שטח הפנים של החרוט – סכום שטחם של המעטפת והבסיס‪:‬‬
‫‪P = πRA + πR 2‬‬
‫) ‪ – R‬רדיוס החרוט‪ – A ,‬קו היוצר של החרוט‪(.‬‬
‫‪πR 2h‬‬
‫נפח החרוט – שליש ממכפלת שטח הבסיס בגובה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪V‬‬
‫) ‪ – R‬רדיוס החרוט‪ – h ,‬גובה החרוט‪(.‬‬
‫‪4.82‬‬
‫בחרוט ישר אורך הגובה הוא ‪ 7‬ס"מ‪ ,‬הזווית בין הקו היוצר לבין הבסיס היא ‪. 63°‬‬
‫חשב את שטח המעטפת‪ ,‬שטח הפנים‪ ,‬ונפח החרוט‪.‬‬
‫תשובה‪ 88.11 :‬סמ"ר = ‪ 128.13 , M‬סמ"ר = ‪ 93.38 , P‬סמ"ק = ‪. V‬‬
‫‪4.83‬‬
‫בחרוט ישר העלו אנך ממרכז הבסיס לקו היוצר של החרוט‪.‬‬
‫אורך האנך הוא ‪ . m‬הזווית בין קו היוצר לגובה החרוט היא ‪. α‬‬
‫הבע את נפח החרוט באמצעות ‪ m‬ו‪. α -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪πm3‬‬
‫‪3cos 2 α sin α‬‬
‫‪m‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4.84‬‬
‫‪6π‬‬
‫פרישת המעטפת של חרוט ישר היא גזרה שהזווית המרכזית שלה היא‬
‫‪5‬‬
‫של החרוט שווה ל‪ 60π -‬סמ"ר‪ .‬חשב את שטחו של החתך הצירי של החרוט‪.‬‬
‫תשובה‪ 48 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .‬שטח המעטפת‬
‫‪106‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪4.85‬‬
‫גובהו של חרוט ישר הוא ‪ 10‬ס"מ‪ .‬הזווית בין גובה החרוט לבין קו היוצר היא ‪. 25°‬‬
‫חשב את הזווית המרכזית של פרישת המעטפת של החרוט‪.‬‬
‫‪. 0.845π = 152.1°‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪4.86‬‬
‫בחרוט ישר‪ ,‬זווית הראש של החתך הצירי היא ‪2β‬‬
‫והיקפו של החתך הצירי הוא ‪. 2b‬‬
‫‪2b‬‬
‫הבע את נפחו של החרוט באמצעות ‪ β‬ו‪. b -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪πb3 sin 2 β cos β‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3(1 + sin β)3‬‬
‫‪4.87‬‬
‫בחרוט ישר שקודקודו ‪ S‬ומרכז בסיסו ‪ , O‬העבירו מיתר ‪. AB‬‬
‫חיברו את ‪ S‬עם הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫נתון‪ , )ASB = β :‬הזווית בין קו היוצר לבין בסיס החרוט היא ‪. α‬‬
‫הבע את היחס שבין שטח החתך ‪ SAB‬לבין שטח‬
‫המעטפת של החרוט באמצעות ‪ α‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪sinβ‬‬
‫‪2πcosα‬‬
‫‪b‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4.88‬‬
‫‪S‬‬
‫בחרוט ישר שקודקודו ‪ S‬ומרכז בסיסו ‪, O‬‬
‫העבירו מיתר ‪ CE‬שאורכו ‪ . m‬נתון‪, )COE = 2α :‬‬
‫הזווית בין גובה החרוט לקו היוצר היא ‪. γ‬‬
‫הבע את שטח הפנים של החרוט באמצעות ‪ α , m‬ו‪. γ -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫)‪πm 2 (1 + sinγ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4sin 2 α ⋅ sinγ‬‬
‫‪O‬‬
‫‪E‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪2a‬‬
‫‪m‬‬
‫‪C‬‬
‫‪107‬‬
‫פרק ‪ :4‬בעיות טריגונומטריות במרחב‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪4.89‬‬
‫‪ SA‬ו‪ SC -‬הם שני קוים יוצרים בחרוט ישר‪.‬‬
‫נתון‪ , )ASC = 50° :‬הזווית בין מישור החתך ‪SAC‬‬
‫לבין בסיס החרוט היא ‪ , 61°‬רדיוס הבסיס הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורכו של הקו היוצר‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח החרוט‪.‬‬
‫א‪ 8.22 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 170.61 .‬סמ"ק‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪50‬‬
‫∗‪4.90‬‬
‫נתון חרוט ישר שקודקודו ‪ S‬ומרכז בסיסו ‪. O‬‬
‫בבסיס החרוט חסום משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪ . ( AB = AC) ABC‬את קודקוד החרוט ‪S‬‬
‫חיברו עם הנקודות ‪ B , A‬ו‪. C -‬‬
‫נתון‪ , )SCβ = γ , )ABC = β :‬גובה החרוט הוא ‪. h‬‬
‫הבע את רדיוס החרוט באמצעות ‪ β , h‬ו‪. γ -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪h cos γ‬‬
‫‪sin 2β − cos 2 γ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g‬‬
‫∗‪4.91‬‬
‫בחרוט ישר‪ ,‬מכפלת שטח הבסיס בשטח הפנים‪ ,‬שווה לריבוע של שטח המעטפת‪.‬‬
‫חשב את הזווית בין הקו היוצר לבסיסו של החרוט‪.‬‬
‫תשובה‪. 51.83° :‬‬
‫‪108‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬