פרק 3 – עוצמות - Or-Alfa

‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫פרק ‪ – 4‬עוצמות (מספרים קרדינליים)‬
‫מבוא – הגדרות ודוגמאות‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצה ‪ A‬נקראת‪ :‬סופית‪ ,‬אם"ם‪ 0 : A  n :‬‬
‫‪ . n ‬אחרת – ‪ A‬נקראת‪:‬‬
‫אינסופית‪( .‬העוצמה או המספר הקרדינלי של קבוצה סופית ‪ A‬הוא‬
‫מספר איבריה והיא מסומנת‪). A :‬‬
‫‪‬‬
‫תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות כלשהן‪ .‬נאמר ש‪ A -‬ו‪ B -‬שקולות‪ ,‬אם"ם קיימת‬
‫פונקציית שקילות ‪ . f : A  B‬מסמנים זאת ע"י‪ A ~ B :‬או ע"י‪A  B :‬‬
‫ואומרים גם שהקבוצות ‪ A‬ו‪ B -‬שוות‪-‬עוצמה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצה ‪ A‬נקראת‪ :‬בת‪-‬מניה אם"ם ‪ A‬סופית או‬
‫‪‬‬
‫קבוצה ‪ A‬נקראת‪ :‬אינסופית אם"ם‪. B  A : B ~ A :‬‬
‫‪‬‬
‫תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות אינסופיות‪.‬‬
‫נאמר ש‪ , A  B :‬אם"ם קיימת פונקציה ‪ f : A  B‬שהיא חח"ע‪.‬‬
‫~ ‪.A‬‬
‫נאמר ש‪ , A  B :‬אם"ם‪ A  B :‬וגם לא קיימת ‪ g : A  B‬שהיא על ‪.B‬‬
‫‪‬‬
‫סימונים‪: 0 :‬‬
‫‪:  ,‬‬
‫( ‪ ‬נקראת גם‪ :‬עוצמת הרצף‪).‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫•‬
‫הקבוצה‪ 2, 3 :‬שקולה לקבוצה‪  28 , 2.543 :‬ונסמן‪:‬‬
‫‪. 2,3 ~ 28 , 2.543  2,3  28 , 2.543  2‬‬
‫•‬
‫הקבוצה‪ 1, 2,3 :‬אינה שקולה לקבוצה‪ 123 :‬ונסמן‪:‬‬
‫‪. 1, 2, 3 ~ 123  3  1, 2, 3  123  1‬‬
‫•‬
‫הקבוצה‪:‬‬
‫שקולה לקבוצה‪\ 1 :‬‬
‫פונקציית השקילות‪: f  n  n  1 :‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫•‬
‫~ ‪\ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪\ 1 ‬‬
‫ונסמן‪\ 1  0 :‬‬
‫‪\ 1 , n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ,‬שכן קיימת‬
‫‪ . f :‬יתרה מזו‪ ,‬מאחר‬
‫‪ ,‬הרי שעפ"י הגדרה‪,‬‬
‫קבוצה אינסופית‪.‬‬
‫הקבוצות‪ 1,5,8,14 ,  :‬הן קבוצות סופיות‪ ,‬שכן לא קיימת עבור אף אחת‬
‫מהן תת‪-‬קבוצה ממש השקולה לה‪.‬‬
‫‪95‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫משפטים נבחרים‬
‫משפט ‪ :1‬תהי ‪ A‬קבוצה כלשהי‪ .‬היחס‪ ,~ :‬המוגדר מעל ‪ , PA ‬הוא יחס‬
‫שקילות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מספיק להראות כי היחס‪ ~ :‬רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי וטרנזיטיבי מעל ‪. PA ‬‬
‫רפלקסיביות מתקיימת‪ ,‬כלומר‪ , B  PA  : B ~ B :‬שכן קיימת פונקציית‬
‫השקילות‪ . I B : B  B :‬סמטריות מתקיימת‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪ , B, C  P  A  : B ~ C  C ~ B‬שכן היות ‪ B ~ C‬גורר קיום פונקציית שקילות‪:‬‬
‫‪ , f : B  C‬אשר גורר בתורו קיום פונקציית שקילות (הפונקציה ההפוכה ל‪:)f -‬‬
‫‪ . f 1 : C  B‬טרנזיטיביות מתקיימת‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪ , B, C, D  P  A : B ~ C  C ~ D B ~ D‬שכן היות ‪ B ~ C‬גורר קיום פונקציית‬
‫שקילות‪ , f : B  C :‬והיות ‪ C ~ D‬גורר קיום פונקציית שקילות‪ , g : C  D :‬אשר‬
‫‪‬‬
‫גוררים בתורם קיום פונקציית שקילות‪. g  f : B  D :‬‬
‫משפט ‪ :2‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬שתי קבוצות סופיות‪.‬‬
‫א‪( A ~ B  A  B .‬קיימת פונקציית שקילות ‪) f : A  B‬‬
‫ב‪ A  B .‬אם"ם קיימת פונקציה חח"ע ‪. f : A  B‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ A  B‬אם"ם קיימת פונקציה חח"ע ‪ f : A  B‬ולא קיימת פונקציה ‪ g‬מ‪A -‬‬
‫על ‪.B‬‬
‫משפט ‪:3‬‬
‫~ ‪ 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר פונקציה‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪ f :‬באופן הבא‪ 0 : f  n   n  1 :‬‬
‫פונקציה זו היא אכן פונקציית שקילות (בדקו)‪.‬‬
‫משפט ‪~ :4‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר פונקציה ‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f :‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪2z  1 , z  0‬‬
‫‪ . z  : f  z   ‬פונקציה זו היא אכן פונקציית שקילות (בדקו)‪,‬‬
‫‪2z  2 , z  0‬‬
‫‪‬‬
‫לכן‪ . ~  0 :‬עפ"י טרנזיטיביות היחס‪ ~ :‬ומשפט ‪ ,3‬נובע ש‪. ~ :‬‬
‫משפט ‪. ~ :5‬‬
‫הוכחה‪ :‬מספיק להראות (עפ"י משפט ‪ )3‬כי קיימת פונקציית שקילות‪:‬‬
‫‪ . f :   0‬נתאר‪ ,‬תחילה במילים‪ ,‬דרך פשוטה למניית איברי ‪.‬‬
‫לאחר מכן נגדיר באופן פורמלי את פונקציית השקילות ‪.f‬‬
‫‪06‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫מציגים כל ‪ x ‬כשבר מצומצם עם מכנה חיובי‪ .‬לכל ‪ x ‬נסמן ב‪ x  -‬‬
‫את סכום הערכים המוחלטים של המונה והמכנה בהצגה זו‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 0     0  1  1 ,        1  2  3‬וכן הלאה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫קל לראות מחד שמתקיים‪ x  :   x   :‬ומאידך‪. n  x  :   x   n :‬‬
‫בדרך הבאה‪ :‬ראשון יופיע ‪ x ‬שעבורו מתקיים‬
‫עתה‪ ,‬נמנה את איברי‬
‫‪ ; x  0    x   1‬אחריו יופיעו כל המספרים ‪ , x ‬שעבורם מתקיים ‪;  x   2‬‬
‫אחריהם יופיעו כל המספרים ‪ , x ‬שעבורם מתקיים ‪  x   3‬וכן הלאה‪.‬‬
‫באופן זה נקבל את המניה הבאה‪:‬‬
‫‪0 1 1  2 1 1 2  3 1 1 3  4  3  2 1 1 2 3 4‬‬
‫‪, , ,‬‬
‫‪, , , ,‬‬
‫‪, , , ,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪, , , , , ,...‬‬
‫‪1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 3 4 4 3 2 1‬‬
‫נותר להראות כי מניה זו אכן ניתנת לביצוע וכי כל מספר רציונלי ימנה רק פעם‬
‫אחת‪ .‬נשים לב כי יש רק מספר אחד ‪ x ‬המקיים‪  x   1 :‬ויש רק שני‬
‫מספרים ‪ x ‬המקיימים‪(  x   2 :‬בדקו)‪.‬‬
‫לכל ‪ n ‬מתאימים לכל היותר ‪ 2n‬מספרים ‪ x‬המקיימים‪ , x   n :‬שהרי‬
‫המכנים יכולים להיות רק מספרים טבעיים מ‪ 1 -‬ועד ‪ ,n‬ולכל מכנה יתכנו לכל‬
‫היותר שני מונים (אם המכנה הוא ‪ ,k‬המונה יכול להיות רק ‪ .)  n  k ‬לכן‪,‬‬
‫בהנתן ‪ , x ‬תורו‪/‬מקומו במניה זו יגיע לכל היותר במקום ה‪-‬‬
‫‪1  x‬‬
‫‪2  4  6  ...  2    x   2 1  2  3  ...    x    2‬‬
‫‪  x   1    x     x ‬‬
‫‪2‬‬
‫מתחילת המניה‪.‬‬
‫◊ נגדיר עתה את הפונקציה ‪ f :   0‬באופן הבא‪ :‬לכל ‪f x  , x ‬‬
‫הוא סכום מספר המספרים הרציונליים ‪ y‬המקיימים‪( y   x  :‬וכפי שראינו‪,‬‬
‫לעיל‪ ,‬מספרם סופי‪ ,‬לרבות ‪ )0‬ומספר המספרים הרציונליים ‪ z‬הקטנים מ‪x -‬‬
‫המקיימים‪ . x   z  :‬בכתיב לוגי‪-‬מתמטי‪ f ,‬תוגדר באופן הבא‪:‬‬
‫‪: z  x  x   z‬‬
‫‪:   y    x  z ‬‬
‫ניתן להוכיח כי ‪ f‬זו חח"ע ועל ‪ 0‬‬
‫‪ 0 , f  x   y ‬‬
‫‪ .‬מכאן‪ 0 :‬‬
‫עפ"י טרנזיטיביות היחס‪ ~ :‬ומשפט ‪ ,3‬נובע כי‪:‬‬
‫~‬
‫~‬
‫‪‬‬
‫‪.f :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משפט ‪ :6‬כל תת‪-‬קבוצה של קבוצה בת‪-‬מניה היא בת‪-‬מניה‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬כל תת‪-‬קבוצה של‬
‫דוגמא‪ :‬הקבוצה‪: q   0,1 :‬‬
‫‪ ,‬של‬
‫או של‬
‫היא בת‪-‬מניה‪.‬‬
‫‪ q ‬היא בת‪-‬מניה‪ ,‬מהיותה קבוצה של מספרים‬
‫רציונליים‪.‬‬
‫משפט ‪ :7‬תהיינה ‪ B ,A‬קבוצות בנות מניה‪ ,‬אזי‪ A  B :‬ו‪ A \ B -‬הן קבוצות‬
‫בנות‪-‬מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ברור כי‪ A . A  B  A , A \ B  A :‬בת‪-‬מניה‪ ,‬ולכן עפ"י משפט ‪0‬‬
‫‪‬‬
‫מתחייב ש‪ A  B , A \ B -‬בנות‪-‬מניה‪.‬‬
‫‪06‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫משפט ‪ :8‬לכל קבוצה אינסופית יש תת‪-‬קבוצה בת‪-‬מניה (אינסופית)‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה אינסופית כלשהי‪ .‬מתחייב ש‪ . A   -‬יהי ‪a 1  A‬‬
‫כלשהו‪ A .‬אינסופית‪ ,‬ולכן יש ב‪ A -‬איברים השונים מ‪ . a 1 -‬יהי ‪ a 2‬אחד מהם‪.‬‬
‫עפ"י אותו שיקול‪ ,‬נניח שמצאנו ‪ a 1 , a 2 , a 3 ,..., a k  A‬שהם ‪ k‬איברים שונים של ‪.A‬‬
‫‪ A‬אינסופית‪ ,‬ולכן‪ . a k 1  A1  i  k : a k 1  a i :‬בדרך זו נפעל לכל‬
‫נתבונן עתה בקבוצה‪:‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪ . a k : k ‬קל לראות כי‪:‬‬
‫~‪‬‬
‫‪.k‬‬
‫‪. a k : k ‬‬
‫‪‬‬
‫משפט ‪  0,1 :9‬‬
‫הוכחה‪ :‬כדי להוכיח כי‪  0,1 :‬‬
‫א‪  0,1 .‬‬
‫‪ ,‬יש להראות ש‪:‬‬
‫‪ ,‬כלומר שקיימת פונקציה ‪  0,1‬‬
‫ב‪ .‬לא קיימת פונקציה ‪  0,1‬‬
‫‪ f :‬חח"ע;‬
‫‪ g :‬על ‪. 0,1‬‬
‫‪1‬‬
‫נראה תחילה כי‪ .   0,1 :‬אכן‪ ,‬קיימת ‪ f :   0,1‬כך ש‪:‬‬
‫‪n 1‬‬
‫קל לראות כי ‪ f‬זו חח"ע‪ .‬עתה נראה (בדרך השלילה) כי לא קיימת ‪  0,1‬‬
‫‪: f n ‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪ g :‬על‬
‫‪ . 0,1‬לצורך כך נעשה שימוש בשיטת האלכסון של קנטור‪ .‬נייצג כל ‪x  0,1‬‬
‫בייצוג העשרוני שלו‪ .‬נשים לב שיש ‪x‬ים שלהם שני יצוגים עשרוניים שקולים‪ ,‬כגון‪:‬‬
‫‪ . 0.3000...  0.29999...‬במקרים אלה נבחר‪ ,‬למשל‪ ,‬ביצוג העשרוני המסתיים בסדרה‬
‫האינסופית‪ .9999… :‬נניח‪ ,‬אפוא‪ ,‬בשלילה כי קיימת פונקציה ‪ g :   0,1‬על ‪. 0,1‬‬
‫נתבונן בצורה כללית של פונקציה ‪ g‬זו‪:‬‬
‫‪g 1  0.a11a12a13...a1n ...‬‬
‫‪g  2   0.a 21a 22a 23...a 2n ...‬‬
‫‪g  3  0.a 31a 32a 33...a 3n ...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪g  n   0.a n1a n2a n3...a nn ...‬‬
‫‪...‬‬
‫נראה כי ‪ g‬זו אינה יכולה להיות על ‪ , 0,1‬ונגיע לסתירה‪ .‬מספיק להראות כי קיים‬
‫‪ x  0,1‬שאינו מופיע בטור הימני של הרשימה האינסופית דלעיל‪ .‬נבנה את ‪x‬‬
‫זה באופן מפורש‪ , x  0.x1 x 2 x 3 ...x n ... :‬כאשר הספרה ה‪n -‬ית לאחר הנקודה‬
‫‪1 , a nn  1‬‬
‫‪ . x n  ‬מהגדרה זו נובע כי‪:‬‬
‫העשרונית של ‪ x‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫‪2, a nn  1‬‬
‫‪ . n  : xn  a nn‬לאור בניה זו ברור כי ‪ . x  0,1‬נותר להראות כי ‪ x‬אינו אחד‬
‫מהמספרים‪. g 1 , g  2 , g  3 ,..., g n ,... :‬‬
‫אבל‪ ,‬לאור הגדרת ‪ x‬ברור כי‪: x  g  n  :‬‬
‫ש‪ g -‬אכן אינה על ‪ - 0,1‬סתירה‪.‬‬
‫‪ , n ‬שכן‪ . n  : xn  a nn :‬מכאן‬
‫‪‬‬
‫מסקנה‪  0,1 :‬היא קבוצה שאינה בת‪-‬מניה‪.‬‬
‫‪06‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫משפט ‪:11‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫~ ‪ 0,1‬‬
‫‪1  2x‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר פונקציה ‪ f :  0,1 ‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪x1  x ‬‬
‫(בדקו כי פונקציה זו היא אכן פונקציית שקילות‪).‬‬
‫משפט ‪:11‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בדרך השלילה ‪ -‬נניח בשלילה כי‪:‬‬
‫וטרנזיטיביות היחס‪ ,~ :‬נובע ש‪~  0,1 :‬‬
‫מסקנה‪0   :‬‬
‫‪. x  0,1 : f x  ‬‬
‫‪: 0‬‬
‫‪: ‬‬
‫‪‬‬
‫~‬
‫‪‬‬
‫‪  0,1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬עפ"י משפט ‪66‬‬
‫‪ ,‬בסתירה למשפט ‪ .5‬‬
‫‪‬‬
‫משפט ‪ :12‬כל שני קטעים סגורים (סופיים) על‪-‬גבי הישר הממשי שקולים‬
‫(שווי‪-‬עוצמה)‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ a , b  , c, d ‬שני קטעים סגורים (סופיים) על‪-‬גבי הישר הממשי‪.‬‬
‫נגדיר את פונקציית השקילות הבאה‪ f : a , b   c, d  :‬כך ש‪:‬‬
‫‪cd‬‬
‫‪ad  bc‬‬
‫‪x‬‬
‫‪( . x  a , b : f x  ‬בדקו כי פונקציה זו היא אכן פונקציית‬
‫‪ab‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪‬‬
‫שקילות‪).‬‬
‫משפט ‪( 13‬משפט קנטור‪-‬שרדר‪-‬ברנשטיין)‪( :‬ללא הוכחה)‬
‫‪A, B : A  B  B  A  A  B‬‬
‫דוגמא לשימוש במשפט קנטור‪-‬שרדר‪-‬ברנשטיין (ק‪.‬ש‪.‬ב)‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫נגדיר‪:  : m, n   0  n  0 :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(ולכן‪ 0 :‬‬
‫‪~  0‬‬
‫)‪ .‬נגדיר פונקציה ‪ f‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬נוכיח באמצעות משפט ק‪.‬ש‪.‬ב כי‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n n   , f  I 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f‬זו חח"ע (בדקו)‪ .‬נגדיר פונקציה ‪ g‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪,q0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 0 , q ‬‬
‫‪: n m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2  3 , m, n  : q   g.c.d  m, n   1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ g‬זו חח"ע (בדקו)‪.‬‬
‫קיבלנו ש‪ 0  0 :‬‬
‫‪ 0 : f  n  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪, n ‬‬
‫‪ 0 C.S.B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.f :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪.g:‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט ‪( 14‬משפט קנטור)‪. A : A  PA  :‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה סופית (ריקה או לא ריקה)‪ ,‬הרי שכבר הוכחנו כי‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ . PA   2‬קל להוכיח (באינדוקציה) כי‪. n   0 : n  2n :‬‬
‫‪03‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫תהי ‪ ,A‬אפוא‪ ,‬קבוצה אינסופית‪ .‬עפ"י ההגדרה‪ ,‬כדי להראות כי ‪ , A  PA ‬יש‬
‫להראות כי‪( A  PA  :‬כלומר – קיימת ‪ f : A  PA ‬חח"ע) וכן שלא קיימת‬
‫‪ g : A  PA ‬שהיא על ‪. PA ‬‬
‫תהי ‪ f : A  PA ‬מוגדרת באופן הבא‪ . a  A : f a   a :‬קל לראות ש‪ f -‬זו‬
‫היא חח"ע‪.‬‬
‫עתה‪ ,‬כדי להראות שאין ‪ g : A  PA ‬שהיא על ‪ , PA ‬נניח בשלילה שקיימת ‪g‬‬
‫כזו שהיא על ‪ . PA ‬כלומר ‪( B  PA a  A : g a   B -‬לכל קבוצה חלקית של‬
‫‪ A‬יש איבר ב‪ A -‬שקבוצה זו מותאמת לו)‪ .‬נסמן לכל ‪ a  A‬את הקבוצה‬
‫החלקית של ‪ ,A‬המותאמת לו‪ ,‬ב‪ . Ba -‬ברור כי‪. a  A : a  Ba  a  Ba :‬‬
‫תהי ‪ ) D  A ( D  P A ‬מוגדרת באופן הבא‪ . D : a  A : a  Ba  :‬לאור הנחתנו‪,‬‬
‫כי קיימת ‪ g : A  PA ‬על ‪ , PA ‬הרי של‪ D -‬זו צריך להיות מקור ב‪.A -‬‬
‫יהי ‪ a 0  A‬המקור של ‪ D  P A ‬הנ"ל‪( .‬לאור הסימון שקבענו לעיל‪ ,‬נסמן‪:‬‬
‫‪). D  Ba 0‬‬
‫נשים לב כי קיימות שתי אפשריות בלבד‪:‬‬
‫‪ - a 0  Ba0  D  a 0  D )6‬לא יתכן!‬
‫‪ - a 0  Ba0  D  a 0  D )6‬לא יתכן!‬
‫קיבלנו סתירה להנחה שקיימת ‪ g : A  PA ‬על ‪ . PA ‬מכאן (עפ"י הגדרה)‪:‬‬
‫) ‪. A  P( A‬‬
‫‪‬‬
‫הערה‪ :‬שימו לב כי משפט זה‪ ,‬בעצם‪ ,‬מאפשר "לייצר" לכל קבוצה ‪ ,A‬קבוצה‬
‫שאינה שקולה לה – ‪. PA ‬‬
‫השערת הרצף‪  :‬היא העוצמה העוקבת ל‪. 0 -‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬עוצמת הרצף‪ 20   :‬היא העוצמה הקטנה ביותר של קבוצה‬
‫שאינה בת‪-‬מניה‪ .‬כלומר‪ ,‬כל קבוצה אינסופית שאינה בת‪-‬מניה‪ ,‬עוצמתה לפחות‬
‫עוצמת הרצף‪.‬‬
‫(משך עשרות שנים לא הצליחו להוכיח השערה זו והיא הייתה בעיה פתוחה‪.‬‬
‫קורט גדל ופול כהן הצליחו להוכיח כי השערה זו אינה תלויה באקסיומות ‪– ZF‬‬
‫אקסיומות תורת הקבוצות‪ ,‬כך שהעקביות של תורת הקבוצות לא תינזק בין אם‬
‫נוסיף לקבוצת האקסיומות שלה אקסיומה הקובעת שהשערת הרצף נכונה ובין‬
‫אם לא נוסיף אותה‪ .‬בהמשך‪ ,‬על‪-‬סמך משפטו המפורסם של גדל‪ ,‬הצליחו‬
‫להוכיח כי השערת הרצף בלתי ניתנת להוכחה‪).‬‬
‫השערת הרצף המוכללת‪ :‬עבור קבוצה אינסופית ‪ PA  ,A‬היא העוצמה‬
‫העוקבת ל‪. A -‬‬
‫‪06‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫◊ חישובי (אריתמטיקה של) עוצמות‬
‫חיבור עוצמות‪:‬‬
‫תזכורת – עקרון הסכום (בקבוצות סופיות)‪:‬‬
‫‪A, B : A  B    A  B  A  B‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות זרות כלשהן‪ .‬נגדיר‪. A  B : A  B :‬‬
‫(כדי להראות שפעולת החיבור בין עוצמות‪ ,‬ובפרט בין עוצמות אינסופיות‪ ,‬מוגדרת‬
‫היטב יש להראות שההגדרה אינה תלויה בבחירת הקבוצות ‪ A‬ו‪ .B -‬כלומר‪ ,‬יש‬
‫להוכיח כי‪). A, B,C, D : A ~ B  C ~ D  A  C    B  D  A  C ~ B  D :‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫‪0  0  0 )6‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ב‪ A -‬את קבוצת הטבעיים הזוגיים וב‪ B -‬את קבוצת הטבעיים האי‪-‬‬
‫זוגיים‪ A .‬ו‪ B -‬בנות‪-‬מניה (עוצמת כל אחת ‪6‬א) והן זרות‪ ,‬ולכן עפ"י ההגדרה‬
‫□‬
‫הנ"ל‪. A  B  A  B AB ,  A  B 0 0  0  0 :‬‬
‫‪( 0  1  0 )6‬ובאופן כללי‪) n  : 0  n 0 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‪, B : 0 :‬‬
‫‪ . A :‬מתקיים‪ . A  B    A  0  B  1 :‬לכן‪,‬‬
‫עפ"י ההגדרה הנ"ל‪0  0  1 :‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0 ,‬‬
‫‪. A  B  A  B AB‬‬
‫□‬
‫‪(  2   )3‬ובאופן כללי‪) n  :  n   :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‪ . A :  0,1 , B : 0,1 :‬מתקיים‪ . A  B    A   B  2 :‬לכן‪,‬‬
‫עפ"י ההגדרה הנ"ל‪. A  B  A  B AB0,1 ,  0,1   0,1     2 :‬‬
‫□‬
‫‪(   0   )6‬הוכחה – תרגיל)‬
‫‪     )9‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‪ . A :  0,1 , B : 1, 2 :‬מתקיים‪ . A  B    A    B :‬לכן‪,‬‬
‫עפ"י ההגדרה הנ"ל‪. A  B  A  B AB 0,2 ,  0,2   0,1     :‬‬
‫□‬
‫‪ )0‬חיבור עוצמות היא פעולה חילופית וקיבוצית‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ 3‬קבוצות ‪C ,B ,A‬‬
‫הזרות בזוגות מתקיים‪. A  B  B  A   A  B   C  A   B  C  :‬‬
‫‪09‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫כפל עוצמות‪:‬‬
‫תזכורת – עקרון המכפלה (בקבוצות סופיות)‪A, B : A  B  A  B :‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות כלשהן‪ .‬נגדיר‪. A  B : A  B :‬‬
‫(כדי להראות שפעולת הכפל בין עוצמות‪ ,‬ובפרט בין עוצמות אינסופיות‪ ,‬מוגדרת‬
‫היטב יש להראות שההגדרה אינה תלויה בבחירת הקבוצות ‪ A‬ו‪ .B -‬כלומר‪ ,‬יש‬
‫להוכיח כי‪). A, B,C, D : A ~ C  B ~ D  A  B ~ C  D :‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫‪0  0  0 )6‬‬
‫‪0     )6‬‬
‫‪n  : 0  n  0 )3‬‬
‫‪  )6‬‬
‫‪ )9‬כפל עוצמות היא פעולה חילופית‪ ,‬כלומר‪. A, B : A  B  B  A :‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות כלשהן‪ .‬עפ"י ההגדרה הנ"ל‪:‬‬
‫‪ . A  B  A  B , B  A  B  A‬מספיק‪ ,‬אפוא‪ ,‬להראות כי קיימת פונקציית‬
‫שקילות ‪ . f : A  B  B  A‬אכן קיימת כזו‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪( . f : A  B  B  A ,   a, b  A  B : f   a, b    b, a‬בדקו ש‪ f -‬זו אכן פונקציית‬
‫□‬
‫שקילות‪).‬‬
‫‪ )0‬כפל עוצמות היא פעולה קיבוצית‪ ,‬כלומר‪. A, B, C :  A  B   C  A   B  C  :‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהיינה ‪ B ,A‬ו‪ C -‬קבוצות כלשהן‪ .‬עפ"י ההגדרה הנ"ל‪:‬‬
‫‪ .  A  B   C   A  B  C , A   B  C   A   B  C‬מספיק‪ ,‬אפוא‪ ,‬להראות כי‬
‫קיימת פונקציית שקילות ‪ . f :  A  B  C  A   B  C ‬אכן קיימת כזו‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪a, b ,c   a, b,c ‬‬
‫‪. f :  A  B  C  A   B  C  ,   a, b ,c   A  B   C : f‬‬
‫□‬
‫(בדקו ש‪ f -‬זו אכן פונקציית שקילות‪).‬‬
‫‪00‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫חזקות של עוצמות‪:‬‬
‫תזכורת‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות סופיות כלשהן‪ .‬מספר הפונקציות ‪f : A  B‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪( B‬כאשר אם ‪ , A  B  ‬יש רק פונקציה אחת מ‪ A -‬ל‪ – B -‬הפונקציה‬
‫הריקה‪ ,‬כך שנגדיר במקרה זה‪ 00 : 1 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪.) ‬‬
‫סימון‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות כלשהן‪ .‬נסמן ב‪ BA -‬את קבוצת כל הפונקציות‬
‫מ‪ A -‬ל‪.B -‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות כלשהן‪ .‬נגדיר‪: BA :‬‬
‫קבוצת כל הפונקציות מ‪ A -‬ל‪ B -‬מוגדרת כ‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ . B‬כלומר‪ ,‬עוצמת‬
‫‪.B‬‬
‫(כדי להראות שפעולת החזקה בין עוצמות‪ ,‬ובפרט בין עוצמות אינסופיות‪ ,‬מוגדרת‬
‫היטב יש להראות שההגדרה אינה תלויה בבחירת הקבוצות ‪ A‬ו‪ .B -‬כלומר‪ ,‬יש‬
‫להוכיח כי‪). A, B,C, D : A ~ B  C ~ D  A C ~ BD :‬‬
‫מסקנות‪( :‬ללא הוכחות)‬
‫‪ B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪A  A  A‬‬
‫‪ C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A, B,C :  A  B   A  B  )6‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ A B  A BC‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪  2  2  2‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4  2  2     ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 20 0  20  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0  20‬‬
‫‪A  C  B  C‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  C  B  C‬‬
‫‪.A  B  C‬‬
‫‪ )6‬לכל שלוש קבוצות‪ B ,A :‬ו‪ C -‬מתקיים‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A  B‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ C  C‬‬
‫דוגמא‪2  3  4    20  30  40  C.S.B 30   :‬‬
‫‪06‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫דוגמאות נוספות‪:‬‬
‫א‪ .‬עוצמת קבוצת הסדרות האינסופיות של המספרים הטבעיים היא‪:‬‬
‫‪ 00  ‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬עוצמת קבוצת הסדרות הבינאריות האינסופיות היא‪. 0,1  20   :‬‬
‫(כמו כן מתקיים‪: n0   :‬‬
‫‪). n ‬‬
‫ג‪ .‬עוצמת קבוצת הסדרות הממשיות האינסופיות היא‪:‬‬
‫‪ 20 0  20  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 0  20‬‬
‫‪‬‬
‫‪06‬‬
‫‪.‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫נספח לפרק ‪ – 4‬פונקציות‬
‫הגדרות ומשפטים‬
‫הגדרה ‪( 1‬מושג הפונקציה)‪:‬‬
‫תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות כלשהן‪ .‬ההגדרות הבאות הן שקולות‪.‬‬
‫‪ f ‬היא פונקציה מ‪ A -‬ל‪ B -‬ומסומנת‪ f : A  B :‬אם"ם‪:‬‬
‫‪( a  A!b  B : f  a   b‬ובמילים‪ :‬לכל ‪ a  A‬קיים ‪ b  B‬יחיד כך ש‪:‬‬
‫‪ .) f  a   b‬הקבוצה ‪ A‬נקראת‪ :‬תחום הפונקציה ומסומנת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . Domain f  , Dom f  , Df ‬הקבוצה ‪ B‬נקראת‪ :‬טווח הפונקציה ומסומנת‪:‬‬
‫‪. Range f  , Ra f ‬‬
‫‪ f‬פונקציה מ‪ A -‬ל‪ B -‬היא שלשה סדורה ‪ A, B, G ‬כך ש‪ G  A  B :‬ו‪:‬‬
‫‪ G . a  A!b  B :  a, b  G‬נקראת‪ :‬גרף הפונקציה ומסומנת‪. G f  :‬‬
‫יחס ‪ f  A  B‬נקרא‪ :‬פונקציה מ‪ A -‬ל‪ ,B -‬אם"ם‪. a  A!b  B :  a, b  f :‬‬
‫הגדרה ‪( 2‬שוויון פונקציות)‪:‬‬
‫תהיינה ‪ f‬ו‪ g -‬שתי פונקציות‪ .‬נאמר ש‪ f  g :‬אם"ם שלושת התנאים הבאים‬
‫מתקיימים‪. x  Df  : f x   g x  , Ra f   Ra g  , Df   Dg  :‬‬
‫הגדרה ‪( 3‬מושגי‪ :‬דמות ומקור)‪:‬‬
‫תהי ‪ f : A  B‬פונקציה ויהיו‪ a  A , b  B :‬כך ש‪. f  a   b :‬‬
‫‪ b‬נקרא‪ :‬הדמות (או‪ :‬התמונה) של ‪ a‬ע"י ‪ f‬ו‪ a -‬נקרא‪ :‬מקור של ‪ b‬ע"י ‪.f‬‬
‫הגדרה ‪( 4‬מושגי‪ :‬תמונה ותמונה הפוכה)‪:‬‬
‫תהי ‪ f : A  B‬פונקציה ותהיינה‪. A 1  A , B1  B :‬‬
‫התמונה של ‪ A 1‬ע"י ‪ ,f‬המסומנת‪ , f A 1  :‬היא קבוצת כל הדמויות של איברי‬
‫‪ A 1‬ע"י ‪ ,f‬כלומר‪. f  A1   f  a   B : a  A1 :‬‬
‫התמונה של ‪ ,f‬המסומנת‪ , Imf  :‬היא קבוצת כל הדמויות של איברי ‪A‬‬
‫(התחום) ע"י ‪ ,f‬כלומר‪. Imf   f A  :‬‬
‫התמונה ההפוכה של ‪ B1‬ע"י ‪ ,f‬המסומנת‪ , f 1 B1  :‬היא קבוצת כל מקורות‬
‫איברי ‪ B1‬ע"י ‪ ,f‬כלומר‪. f 1  B1   a  A : f  a   B1 :‬‬
‫משפט ‪:1‬‬
‫תהי ‪ f : A  B‬פונקציה ותהיינה‪. A 1  A , B1  B :‬‬
‫א‪f 1 Imf   Df   A .‬‬
‫ב‪f A1   Imf   Raf   B , f 1 B1   Df   A .‬‬
‫ג‪f    , f 1    .‬‬
‫הוכחה‪ :‬עפ"י ההגדרות דלעיל‪.‬‬
‫‪05‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫הגדרה ‪( 5‬חח"ע ועל)‪:‬‬
‫תהי ‪ f : A  B‬פונקציה‪.‬‬
‫‪ f‬נקראת‪ :‬חח"ע (חד‪-‬חד‪-‬ערכית) אם"ם‪a1 , a 2  A : f  a1   f  a 2   a1  a 2 :‬‬
‫(או אם"ם‪.) a1 , a 2  A : f  a1   f  a 2   a1  a 2 :‬‬
‫‪ f‬נקראת‪ :‬על ‪ B‬אם"ם‪( b  Ba  A : f  a   b :‬או אם"ם‪.) Imf   B :‬‬
‫הגדרה ‪( 6‬הרכבת פונקציות)‪:‬‬
‫תהיינה‪ g : A  B , f : B  C :‬פונקציות‪.‬‬
‫ההרכבה (הפונקציה המורכבת) ‪ f  g‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫‪. f g : A  C , a  A :  f g a  f  g  a ‬‬
‫(ניתן להכליל את ההגדרה ולהגדיר את ‪ f  g‬גם למקרה בו‪). Img   Df  :‬‬
‫משפט ‪:2‬‬
‫הרכבת פונקציות אינה פעולה חילופית (קומוטטיבית)‪ ,‬אך היא כן פעולה‬
‫קיבוצית (אסוציאטיבית)‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה כי הרכבת פונקציות אינה פעולה חילופית באמצעות דוגמא‪.‬‬
‫תהיינה‪. g :  0,    , x   0,   : g  x  x ; f :   0,   , x  : f  x   x2 :‬‬
‫מצד אחד‪ x :‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , f  g : 0,    0,   , x  0,  : f  g x   f g x  ‬כלומר‪:‬‬
‫‪ . f  g  I 0, ‬מצד שני‪:  g f  x  g  f  x   x2  x :‬‬
‫‪, x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.g f :‬‬
‫עפ"י הגדרה ‪ 6‬לעיל (שוויון פונקציות) נובע ש‪. f  g  g  f :‬‬
‫נוכיח עתה כי הרכבת פונקציות היא פעולה קיבוצית‪.‬‬
‫תהיינה‪ . h : A  B , g : B  C , f : C  D :‬צ"ל ששתי ההרכבות‪:‬‬
‫‪ f  g  h  , f  g   h‬מוגדרות ושוות‪.‬‬
‫‪ g  h‬מוגדרת שכן‪ f  g  h  . Dg   Ra h   B :‬מוגדרת שכן‪. Df   Ra g  h   C :‬‬
‫‪ f  g‬מוגדרת שכן‪ f  g   h . Df   Ra g   C :‬מוגדרת שכן‪. Df  g   Ra h   B :‬‬
‫נשים לב כי‪. Df  g  h   Df  g   h   A , Ra f  g  h   Ra f  g   h   D :‬‬
‫קיבלנו‪ ,‬אפוא‪ ,‬של‪ f  g  h  , f  g   h -‬יש את אותו תחום ואת אותו טווח‪.‬‬
‫נראה‪ ,‬עתה‪ ,‬שיש להן את אותו גרף (כלל התאמה)‪ ,‬כלומר ש‪:‬‬
‫‪. a  A :  f  g h    a     f g h  a ‬‬
‫יהי ‪ a  A‬כלשהו‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪ f  g h    a   f   g h  a    f  g  h  a  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  f g  h   a    f g   h  a    f  g  h  a  ‬‬
‫כלומר – הגרפים שווים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן להראות על‪-‬סמך הגדרת פונקציה כיחס בינארי‪ ,‬כי אם‪:‬‬
‫‪ f : A  B , g : B  C‬הן פונקציות‪ ,‬הרי שניתן להגדיר את ההרכבה ‪ g f‬באופן‬
‫הבא‪( . g f : A  C , g f  f  g :‬כלומר‪ ,‬הרכבת פונקציות היא‪ ,‬למעשה‪ ,‬כפל‬
‫הפונקציות כיחסים בסדר הפוך‪ ).‬אז‪ ,‬ניתן להוכיח את משפט ‪ 6‬הנ"ל תוך הסתמכות‬
‫על כך שכפל יחסים‪ ,‬כזכור‪ ,‬היא פעולה קיבוצית אך לא חילופית‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫הגדרה ‪( 7‬פונקציית הזהות)‪:‬‬
‫תהי ‪ A  ‬כלשהי‪ .‬פונקציה ‪ f : A  A‬המקיימת‪ a  A : f  a   a :‬נקראת‪:‬‬
‫פונקציית הזהות (על ‪ ,)A‬ומסומנת‪ Id A :‬או ‪. I A‬‬
‫משפט ‪:3‬‬
‫בהנתן הפונקציות‪ , f : A  B , I B , I A :‬מתקיים השוויון‪. f  I A  I B  f  f :‬‬
‫הוכחה‪ :‬יש להוכיח שוויון בין פונקציות‪.‬‬
‫‪ f  I A‬מוגדרת שכן‪ I B  f . Df   Ra I A   A :‬מוגדרת שכן‪. DI B   Ra f   B :‬‬
‫נשים לב כי‪. A  Df  I A   DI B  f   Df  , B  Ra f  I A   Ra I B  f   Ra f  :‬‬
‫קיבלנו‪ ,‬אפוא‪ ,‬שלפונקציות הנ"ל יש את אותו תחום ואת אותו טווח‪ .‬נראה‪ ,‬עתה‪,‬‬
‫שיש להן את אותו גרף (כלל התאמה)‪ ,‬כלומר נראה ש‪:‬‬
‫‪ ; a  A :  f IA  a    IB f  a   f  a ‬יהי ‪ a  A‬כלשהו‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪ f IA  a   f  I A  a    f  a ‬‬
‫‪ ‬כלומר – הגרפים שווים‪.‬‬
‫‪ I B f  a   I B  f  a    f  a ‬‬
‫‪‬‬
‫משפט ‪:4‬‬
‫תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות לא ריקות‪ .‬קיימת פונקציה חח"ע מ‪ A -‬ל‪ B -‬אם"ם קיימת‬
‫פונקציה מ‪ B -‬על ‪.A‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח תחילה כי אם קיימת פונקציה ‪ f : A  B‬שהיא חח"ע‪ ,‬אז קיימת‬
‫פונקציה ‪ g : B  A‬שהיא על ‪.A‬‬
‫‪ f‬חח"ע מ‪ A -‬ל‪ ,B -‬לכן‪. a1 , a 2  A : a1  a 2  b1  f  a1   b2  f  a 2  :‬‬
‫נשים לב כי לכל ‪ b  B‬מתקיימת אחת (ורק אחת) מבין שתי האפשרויות‪:‬‬
‫‪ b  Imf ‬או ‪ . b  Imf ‬יהי ‪ a 1  A‬כלשהו‪ .‬נגדיר (נבנה) את ‪ g‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  f  a   b , b  Im  f ‬‬
‫‪ . g : B  A , b  B : g  b  ‬על‪-‬סמך הגדרה זו של ‪,g‬‬
‫‪, b  Im  f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a1‬‬
‫קל לראות כי היא על ‪.A‬‬
‫נוכיח עתה כי אם קיימת פונקציה ‪ s : B  A‬שהיא על ‪ ,A‬אז קיימת פונקציה‬
‫‪ t : A  B‬שהיא חח"ע‪ s .‬היא על ‪ ,A‬לכן‪. a  Ab  B : sb   a :‬‬
‫נסמן ב‪ A' -‬את קבוצת כל איברי ‪ A‬שיש להם יותר ממקור אחד ב‪ ,B -‬עפ"י ‪.s‬‬
‫עבור כל איבר '‪ a  A‬נסמן ב‪ Ba -‬את קבוצת כל המקורות שלו ב‪ ,B -‬עפ"י ‪,s‬‬
‫כך שנבחר מתוך הקבוצה ‪ Ba‬איבר אחד (כלשהו) ואותו נהפוך למקור יחיד של‬
‫‪ .a‬נגדיר (נבנה)‪ ,‬אפוא‪ ,‬את ‪ t‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫' ‪b  s  b   a , a  A‬‬
‫‪ . t : A  B , a  A : t  a   ‬על‪-‬סמך הגדרה זו של ‪ ,t‬קל‬
‫‪‬‬
‫' ‪bi  bi  Ba , a  A‬‬
‫‪‬‬
‫לראות כי היא חח"ע‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫משפט ‪:5‬‬
‫תהיינה‪ f : B  C , g : A  B :‬פונקציות‪.‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ f‬ו‪ g -‬חח"ע‪ ,‬אז גם ‪ f  g‬חח"ע‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ f‬על ‪ C‬וגם ‪ g‬על ‪ ,B‬אז גם ‪ f  g‬על ‪.C‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית‪ ,‬נשים לב כי ‪ f  g‬מוגדרת ‪ , f  g : A  C ‬שכן‪. Ra g   Df  :‬‬
‫א‪a1 , a 2  A :  f g  a1    f g  a 2   f  g  a1    f  g  a 2    f 11 g  a1   g  a 2   g 11 a1  a 2 .‬‬
‫קיבלנו ש‪ , a1 , a 2  A :  f g  a1    f g a2   a1  a2 :‬לכן‪ f  g :‬חח"ע‪.‬‬
‫ב‪ .‬נראה כי‪ f  g : A  C :‬על ‪ .C‬יהי ‪ c  C‬כלשהו‪ f .‬היא על ‪ ,C‬ולכן‪:‬‬
‫‪ g . b  B : f  b   c‬היא על ‪ ,B‬לכן‪ . a  A : g  a   b :‬מכאן של‪ c  C -‬קיים‬
‫מקור ‪ a  A‬עפ"י ‪ . c  f  b   f  g  a     f g  a  : f  g‬קיבלנו ש‪:‬‬
‫‪ . c  Ca  A : c   f g a ‬לפיכך‪ f  g ,‬על ‪.C‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה ‪( 8‬פונקציית שקילות)‪:‬‬
‫תהי ‪ f : A  B‬פונקציה‪ f .‬נקראת‪ :‬פונקציית שקילות‪ ,‬אם"ם היא חח"ע ועל ‪.B‬‬
‫משפט ‪:6‬‬
‫אם ‪ g : A  B , f : B  C‬שתיהן פונקציות שקילות‪ ,‬אז גם ‪ f  g‬היא פונקציית‬
‫שקילות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מסקנה מיידית ממשפט ‪ 9‬לעיל‪.‬‬
‫משפט ‪:7‬‬
‫תהיינה‪ g : A  B , f : B  C :‬פונקציות‪.‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ f  g‬חח"ע‪ ,‬אז ‪ g‬חח"ע‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ f  g‬על ‪ ,C‬אז ‪ f‬על ‪.C‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫א‪ .‬יהיו ‪ a1 ,a 2  A‬כלשהם כך ש‪ . a1  a 2 :‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪g  a 1    f g  a 2   f  g  a1    f  g  a 2    f is a function g  a 1  g  a 2‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g 11‬‬
‫‪a1  a 2  f‬‬
‫קיבלנו ש‪ , a1  a 2  g  a1   g  a 2  :‬כלומר – ‪ g‬חח"ע‪.‬‬
‫ב‪ .‬צ"ל ש‪ f -‬על ‪ ,C‬כלומר ש‪ . c  Cb  B : f b   c :‬יהי ‪ c  C‬כלשהו‪f  g .‬‬
‫היא על ‪ ,C‬לכן‪ . a  A : f  g a   f ga   c :‬אבל‪, f ga   c  ga   B :‬‬
‫לכן אם נסמן‪ , g a   b :‬נקבל שעבור ‪ c  C‬קיים ‪ b  B‬כך ש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , f ga   f b   c‬משמע ‪ f‬היא על ‪.C‬‬
‫משפט ‪:8‬‬
‫אם ‪ g : B  A , f : A  B‬הן שתי פונקציות המקיימות‪ , g  f  I A :‬אז ‪ f‬חח"ע ו‪-‬‬
‫‪ g‬על ‪.A‬‬
‫הוכחה‪ I A : A  A :‬היא פונקציית שקילות‪ ,‬ובפרט – חח"ע ועל ‪ .A‬עפ"י משפט‬
‫‪ 6‬דלעיל‪ ,‬היות ‪ g  f  I A‬חח"ע גורר את היות ‪ f‬חח"ע והיות ‪ g  f  I A‬על ‪ A‬גורר‬
‫‪‬‬
‫את היות ‪ g‬על ‪.A‬‬
‫‪66‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫הגדרה ‪( 9‬פונקציה הפיכה)‪:‬‬
‫תהי ‪ f : A  B‬פונקציה‪ f .‬נקראת‪ :‬הפיכה‪ ,‬אם"ם קיימת ‪ g : B  A‬כך ש‪:‬‬
‫‪. f  g  IB  g  f  IA‬‬
‫משפט ‪:9‬‬
‫תהי ‪ f : A  B‬פונקציה‪ f .‬הפיכה אם"ם היא פונקציית שקילות‪.‬‬
‫(הוכחה – תרגיל)‬
‫הגדרה ‪( 11‬הפונקציה ההפוכה)‪:‬‬
‫תהי ‪ f : A  B‬פונקציה הפיכה‪ .‬הפונקציה ההפוכה ל‪ ,f -‬המסומנת‪:‬‬
‫הפונקציה‪ f 1 : B  A :‬המקיימת‪. b  B : f 1  b  a  f  a   b :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , f‬היא‬
‫משפט ‪:11‬‬
‫אם ‪ f : A  B‬היא פונקציה הפיכה‪ ,‬אז יש לה פונקציה הפוכה יחידה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח שקיימות ל‪ f -‬שתי פונקציות הפוכות‪ g :‬ו‪ ,h -‬כך ש‪:‬‬
‫‪ , g, h : B  A , b  B :  g  b  a  f  a  b   h  b  a  f  a  b‬ונראה ש‪:‬‬
‫‪ . g  h‬נתבונן בביטוי‪( h  f  g :‬המוגדר היטב לאור קיבוציות פעולת ההרכבה)‪.‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪ . h  h I B  IB f g h  f g  associativity h f g associativity  h f  g h f I A I A g  g‬‬
‫דוגמא‪ :‬נגדיר‪: 0,   :‬‬
‫‪: f  x   x2 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪, x ‬‬
‫הפיכה‪ ,‬שכן קיימת הפונקציה‪: g  x   x :‬‬
‫‪g f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪, x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f :‬היא פונקציה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , g :‬כך ש‪:‬‬
‫‪( f g  I‬בדקו)‪ .‬באותה מידה ניתן לומר כי ‪ f‬פונקציית שקילות (בדקו)‪,‬‬
‫ולכן עפ"י משפט ‪ 5‬היא הפיכה‪ .‬עפ"י הגדרה ‪ 66‬ומשפט ‪ ,66‬מתחייב ש‪. g  f 1 :‬‬
‫משפט ‪:11‬‬
‫אם ‪ f : A  B‬פונקציה הפיכה‪ ,‬אז גם ‪: B  A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f‬היא פונקציה הפיכה‪,‬‬
‫ומתקיים‪. f 1   f :‬‬
‫הוכחה‪ :‬כדי להראות ש‪ f 1 -‬הפיכה‪ ,‬הרי שעפ"י הגדרה ‪ 66‬לעיל‪ ,‬מספיק‬
‫להראות כי‪ . f  f 1  I B  f 1  f  I A :‬נשים לב כי‪:‬‬
‫א‪D f  f 1  D f 1  DI B   B , Ra f  f 1  Raf   RaI B   B .‬‬
‫ב‪D f 1  f  Df   DI A   A , Ra f 1  f  Ra f 1  RaI A   A .‬‬
‫ג‪ .‬עפ"י הגדרה ‪ 66‬לעיל‪ , b  B : f 1  b  a  f  a   b :‬ולכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪b  B : f  f b   f f b   f a   b  I B b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  A : f  f a   f f a   f b   a  I A a ‬‬
‫לכן‪ ,‬עפ"י הגדרה ‪ 6‬לעיל (שוויון פונקציות)‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪63‬‬
‫‪f  f 1  I B  f 1  f  I A‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫ולפיכך ‪ f 1‬הפיכה‪ .‬עתה נראה כי‪ . f 1   f :‬ברור כי‪ , f 1  : A  B :‬לכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  A  Df  , Ra f    B  Ra f ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫כמו כן‪ a   b :‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. D f 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . a  A : f  a   b  f 1  b   a   f 1 ‬לכן‪:‬‬
‫‪ . a  A : f a   f 1 ‬לפיכך‪ ,‬עפ"י הגדרה ‪ 6‬לעיל (שוויון פונקציות)‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫מתקיים‪ f :‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪. f‬‬
‫‪‬‬
‫◊ תוספות‪ ,‬הרחבות והשלמות‬
‫משפט ‪:12‬‬
‫תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות סופיות‪.‬‬
‫א‪ A  B .‬אם"ם קיימת פונקציית שקילות מ‪ A -‬ל‪.B -‬‬
‫ב‪ A  B .‬אם"ם קיימת פונקציה חח"ע מ‪ A -‬ל‪.B -‬‬
‫ג‪ A  B .‬אם"ם קיימת פונקציה מ‪ A -‬על ‪.B‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫א‪ .‬בכוון משמאל לימין‪ :‬נתון כי ‪ A‬ו‪ B -‬סופיות וקיימת פונקציית שקילות‬
‫‪ f . f : A  B‬היא בפרט חח"ע‪ ,‬ולכן לכל שני איברים שונים ב‪ A -‬מותאמים‬
‫שני איברים שונים ב‪ B -‬ע"י ‪ .f‬מכאן ש‪( B  A :‬כלומר ‪ -‬מספר איברי ‪B‬‬
‫הוא לפחות כמספר איברי ‪ f .)A‬היא בפרט על ‪ ,B‬ולכן לכל איבר ב‪ B -‬יש‬
‫מקור ב‪ ,A -‬כאשר לשני איברים שונים ב‪ B -‬יש שני מקורות שונים ב‪A -‬‬
‫(מדוע?)‪ .‬מכאן ש‪ . A  B :‬בסה"כ‪ ,‬נקבל ש‪. B  A  A  B  A  B :‬‬
‫בכוון מימין לשמאל‪ :‬מכיוון ש‪ B ,A -‬הן קבוצות סופיות‪ ,‬הרי ש‪:‬‬
‫‪ . n   0 : A  B  n‬נוכיח באינדוקציה על ‪ n   0‬שקיימת‬
‫פונקציית שקילות‪. f : A  B :‬‬
‫בסיס האינדוקציה – ‪ : n  0‬עבור ‪ A  B  ‬קיימת פונקציית השקילות‬
‫(השלשה) המתאימה‪( .  , ,   :‬בדקו שאכן זו פונקציית שקילות‪).‬‬
‫(עבור ‪ : n  1‬למשל‪ , A  a 1 , B  b1  ,‬אכן קיימת ‪ f : A  B‬כך ש‪:‬‬
‫‪ . f a 1   b1‬קל לראות ש‪ f -‬זו היא פונקציית שקילות‪).‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ‪ B ,A‬כך ש‪ , A  B  n  1 :‬ונוכיח‬
‫נכונות עבור ‪ B ,A‬כך ש‪. A  B  n  1 :‬‬
‫תהיינה‪ ,‬אפוא‪ ,‬שתי קבוצות סופיות‪ ,B ,A :‬כך ש‪. A  B  n  1 :‬‬
‫‪ . A, B    a1  Ab1  B : A \  a1  B \  b1  n‬לכן‪ ,‬לפי הנחת‬
‫האינדוקציה‪ ,‬קיימת פונקציית שקילות‪. g : A \ a1  B \ b1 :‬‬
‫‪g  a  , a  a1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. f a   ‬‬
‫עתה נגדיר פונקציה ‪ f : A  B‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b1 , a  a1‬‬
‫‪ f‬זו היא אכן פונקציית שקילות‪( .‬בדקו‪).‬‬
‫‪66‬‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ב‬
‫(הוכחת סעיפים ב'‪ ,‬ג' – תרגיל‪).‬‬
‫הגדרת פונקציה אופיינית‪/‬מציינת (של קבוצה)‪:‬‬
‫תהי ‪ U  ‬קבוצה אוניברסלית כלשהי ותהי ‪ . A  U‬נגדיר את הפונקציה‬
‫האופיינית‪/‬המציינת של ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪1 , x  A‬‬
‫‪ A : U  0,1 , x  U :  A  x   ‬‬
‫‪0 , x  A‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪U  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 , A  1,3,5,7,9 , B  3,4,5‬‬
‫•‬
‫‪ 12345678910 ‬‬
‫‪ 12345678910 ‬‬
‫‪A  ‬‬
‫‪, B  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1010101010 ‬‬
‫‪ 0011100000 ‬‬
‫•‬
‫‪ 12345678910 ‬‬
‫‪ 12345678910 ‬‬
‫‪A  ‬‬
‫‪, B  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0101010101 ‬‬
‫‪ 1100011111 ‬‬
‫•‬
‫‪ 12345678910 ‬‬
‫‪ 12345678910 ‬‬
‫‪ A B  ‬‬
‫‪,  A B  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1011101010 ‬‬
‫‪ 0010100000 ‬‬
‫•‬
‫‪ 12345678910 ‬‬
‫‪ 12345678910 ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪, U  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0000000000 ‬‬
‫‪ 1111111111 ‬‬
‫‪69‬‬
`