הגדרות ומשפטים - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים

‫אלגברה לינארית ‪ -‬הגדרות ומשפטים‬
‫פרק ‪ – 10‬מכפלה פנימית‪ ,‬אורתוגונליות‪ ,‬תהליך גרהם‪-‬שמידט‬
‫הגדרה ‪ – 10.1‬מכפלה פנימית‬
‫יהי  מרחב וקטורי‪ .‬מכפלה פנימית (סקלרית) היא פונקציה המסומנת  ∙  או ) ‪ (,‬והיא‬
‫מתאימה לכל שני וקטורים ב‪  -‬סקלר‪ ,‬ומקיימת את התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬סימטריות‪  ∙  =  ∙  :‬לכל‬
‫‪ .2‬לינאריות בכפל‪:‬‬
‫‬
‫‪,  ∈ ℝ‬‬
‫ ∙   =  ∙ ‬
‫לכל‬
‫‬
‫‪ .3‬לינאריות בחיבור‪ +  ∙  =  ∙  +  ∙  :‬‬
‫‪ ,  ∈ ℝ‬וסקלר ‪ ∈ ℝ‬‬
‫לכל‬
‫‬
‫‪, ,  ∈ ℝ‬‬
‫‪ .4‬חיוביות‪  ∙  > 0 :‬לכל ‪  ∙  = 0 . ≠ 0‬אם ורק אם ‪ = 0‬‬
‫טענה ‪10.2‬‬
‫יהי  מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‪ .‬אזי‬
‫ ∙   =  ∙  ∙  לכל‬
‫‬
‫‪ ,  ∈ ℝ‬וסקלר ‪ ∈ ℝ‬‬
‫טענה ‪10.3‬‬
‫יהי  מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‪ .‬אזי  ∙  ‪  ∙  +  =  ∙  +‬לכל‬
‫‬
‫‪, ,  ∈ ℝ‬‬
‫הגדרה ‪ – 10.4‬אורתוגונליות‬
‫שני וקטורים  ו‪  -‬במרחב וקטורי עם מכפלה פנימית נקראים אורתוגונלים אם ‪ ∙  = 0‬‬
‫הגדרה ‪ – 10.5‬קבוצה אורתוגונלית‬
‫יהי מרחב וקטורי  עם מכפלה פנימית‪ .‬תהי‬
‫ ‪  = 1 , 2 , … ,‬קבוצה של  וקטורים שונים‬
‫מ‪ .0 -‬נאמר ש‪  -‬היא קבוצה אורתוגונלית אם ‪  ∙  = 0‬לכל  ≠ ‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫טענה ‪10.6‬‬
‫קבוצה אורתוגונלית היא קבוצה בלתי תלויה לינארית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ – 10.7‬נורמה של וקטור‬
‫יהי  מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‪ .‬נגדיר נורמה של וקטור  ע"י‪.  =  ∙  :‬‬
‫תכונות של נורמה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫ ∙  = ‬
‫‪ .2‬אי‪-‬שיוויון המשולש‬
‫ ‪+ ≤  +‬‬
‫הגדרה ‪ – 10.8‬וקטור יחידה‬
‫וקטור  נקרא וקטור יחידה אם ‪ .  = 1‬וקטור יחידה מסומן ‪.‬‬
‫ניתן להפוך כל וקטור שונה מאפס לוקטור חידה ע"י חלוקה בנורמה שלו‪ .‬תהליך זה נקרא‬
‫נירמול‪.‬‬
‫הגדרה ‪ – 10.9‬קבוצה אורתונורמלית‬
‫יהי מרחב וקטורי  עם מכפלה פנימית‪ .‬תהי‬
‫ ‪  = 1 , 2 , … ,‬קבוצה של  וקטורים שונים‬
‫מ‪ .0 -‬נאמר ש‪  -‬היא קבוצה אורתונורמלית אם‪:‬‬
‫‪  ∙  = 0 .1‬לכל  ≠ ‬
‫‪  ∙  = 1 .2‬לכל ‬
‫טענה ‪10.10‬‬
‫יהי‬
‫ ‪  = 1 , 2 , … ,‬בסיס אורתונורמלי למרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‪ .‬אזי לכל ‬
‫כאשר‪  = 1 1 + 2 2 + ⋯ +   :‬נקבל‪:‬‬
‫‪1 =  ∙ 1‬‬
‫‪2 =  ∙ 2‬‬
‫⋮‬
‫ ∙  = ‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הגדרה ‪ – 10.11‬תהליך גרהם שמידט‬
‫עבור בסיס‬
‫‪ B = v1 , v2 , . . , vn‬כלשהו של ‪ V‬נקבל בסיס אורתוגונלי ע"י תהליך גרהם שמידט‪:‬‬
‫∗‪v1 = v1‬‬
‫∗ ∗‪v2 , v1‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v1∗ , v1∗ 1‬‬
‫‪v2∗ = v2 −‬‬
‫∗ ∗‪v3 , v1‬‬
‫∗ ∗‪v3 , v2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪−‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v1∗ , v1∗ 1‬‬
‫‪v2∗ , v2∗ 2‬‬
‫‪v3∗ = v3 −‬‬
‫∗‪vk‬‬
‫בשלב זה קיבלנו‬
‫את הוקטורים‪:‬‬
‫∗‪vn+1 , vk‬‬
‫∗‪vk∗ , vk‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= vn+1 −‬‬
‫∗‬
‫‪vn+1‬‬
‫‪k=1‬‬
‫∗‪ B ∗ = v1∗ , v2∗ , . . , vn‬בסיס אורתוגונלי‪ .‬כדי לקבל בסיס אורתונורמלי ננרמל‬
‫‪v ∗n‬‬
‫‪v ∗n ,v ∗n‬‬
‫= ∗‪vn‬‬
‫וקיבלנו בסיס אורתונורמלי‪:‬‬
‫∗‪B ∗ = v1∗ , v2∗ , . . , vn‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫‪[email protected]‬‬