Calcul différentiel

2015
PC*
Calcul différentiel
1
2
3
4
5
Continuité des fonctions de plusieurs variables : rappels (cf cours e.v.n.)
1.1
Définition de la continuité et des limites . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Continuité «par opérations » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Cas des fonctions de deux variables réelles . . . . . . . . . . . . .
Dérivées partielles d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Fonctions de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Règle de la chaîne et dérivation d’une fonction composée . . . . .
2.5
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applications géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Courbes du plan définies par une équation cartésienne implicite .
Dérivées partielles d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Exemples d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . .
Extremums d’une fonction de Rp dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
Rappel : extrema sur un fermé borné . . . . . . . . . . . . . . . .
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Calcul différentiel
Tester ses connaissances
1. Définition, pour f : Rp → Rn , d’une limite en a ∈ Rp ?
x2 + xy
2. Existence d’une limite en (0, 0) pour f définie par f (x, y) = p 2
?
x + y2
x2 + xy
Et pour f (x, y) = 2
?
x + y2
3. Exemples d’applications continues de RP dans Rn ?
«Treatise on Electricity and Magnetism» par James Clark Maxwell. Oxford : Clarendon Press 1873. cp
Pour les 5/2 : plus de dérivée selon un vecteur, plus de notion de difféormorphisme, très peu de
choses sur les surfaces subsistent (plus explicitement de théorème des fonctions implicites, plus de
quadriques,….)
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Calcul différentiel
Dans ce chapitre, n et p sont des entiers, le plus souvent inférieurs ou égaux à 3, et U désigne un
ouvert de Rp .
a
a − tej
r
U étant ouvert, et a ∈ U , ∃r > 0/ B(a, r) ⊂ U
et alors ∀j ∈ J1, pK, ∀t ∈] − r, r[, a + tej ∈ U
(car k(a + tej ) − ak = |t| < r)
On peut alors considérer
ϕj : t ∈]−r, r[7→ f (a+tej ) fonction d’une variable
réelle.
ej
a + tej
U
L’étude d’une fonction de Rp dans Rn se ramenant à l’étude de ses (fonctions) coordonnées, on
privilégiera dans les exercices, l’étude des fonctions de U ⊂ Rp dans R.
Puisqu’en dimension finie, toutes les normes définissent les mêmes ouverts et puisque la notion de
limite ne dépend pas de la norme choisie, on emploiera le symbole k . k pour désigner une norme
quelconque sur Rp (ou Rn ), et on notera (e1 , . . . , ep ) la base canonique de Rp .
1
1.1
Continuité des fonctions de plusieurs variables : rappels (cf cours e.v.n.)
Définition de la continuité et des limites
Définition.
Soit f une application d’un ouvert U de Rp dans Rn , et soit a un élément de Rp adhérent à U
(f : U ⊂ Rp → Rn , a ∈ U ). Soit b un élément de Rn .
On dit que f a pour limite b en a lorsque,
∀ε > 0, ∃η > 0/ ∀x ∈ U,
kx − ak 6 η =⇒ kf (x) − bk 6 ε .
Définition.
Soit f : U ⊂ Rp −→ Rn , soit a un point de U .
On dit que f est continue en a lorsque f a une limite en a (cette limite ne peut alors être autre
que f (a)).
On dit que f est continue sur U lorsque f est continue en tout point de U .
Conséquence pratique.
• La fonction f est continue en a ssi (kx − ak −−−→ 0 =⇒ kf (x) − f (a)k −−−→ 0).
x→a
x→a
• La fonction f est continue en a ssi toutes ses fonctions coordonnées fi (∀x ∈ U, f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x)))
sont continues en a.
1.2
Continuité « par opérations »
Les applications (x, y) 7→ x et (x, y) 7→ y sont continues sur R2 (linéaires avec un espace de départ
qui est de dimension finie) et, plus généralement, si (e1 , e2 , . . . , en ) est la base canonique de Rn , les
applications x =
n
X
xi ei 7→ xj sont continues sur Rn .
i=1
Toute application obtenue par opérations algébriques (somme, combinaison linéaire, produit (s’il est
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Calcul différentiel
défini)), et compositions par des fonctions continues, à partir des applications précédentes, est donc
continue. Par exemple, on dira que la fonction
(x, y) 7→ Arctan
x
ln(x2 + y 2 )
y
Å ã
est continue sur R × R∗ «par opérations».
1.3
1.3.a
Cas des fonctions de deux variables réelles
Utilisation des coordonnées polaires
Pour l’étude de certaines fonctions de deux variables réelles au voisinage de O = (0, 0), le passage en
coordonnées polaires est adapté, ρ désignant la norme euclidienne de (x, y).
x2 + xy
Exemple. Étudier l’existence d’une limite en (0, 0) pour f définie par f (x, y) = p 2
?
x + y2
1.3.b
Utilisation d’un « chemin » pour prouver la NON continuité
Pour prouver la non continuité de f en X0 = (x0 , y0 ), on peut :
• soit trouver un chemin Γ ⊂ U , paramétré par
t 7→ f (x(t), y(t)) n’a pas de limite en t0
(
x(t)
y(t)
tel que X0 = (x(t0 ), y(t0 )) et
• soit trouver 2 chemins Γ1 et Γ2 inclus dans U tels que lim f (X) 6= lim f (X).
X→X0
X∈Γ1
2
2.1
X→X0
X∈Γ2
Dérivées partielles d’ordre 1
Généralités
Définition.
Soit j ∈ J1, pK ; soit f : U ⊂ Rp → Rn et a = (a1 , . . . , ap ) ∈ U .
On dit que f admet une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à sa j ème variable en
a si et seulement si l’application partielle :
t 7→ f (a1 , . . . , aj−1 , t, aj+1 , . . . , ap )
est dérivable en aj .
∂f
On note
(a) ou ∂j f (a) ce nombre dérivée partielle première.
∂xj
En pratique. Pour dériver partiellement par rapport à xj , on dérive f en considérant les variables autres
que xj comme des constantes.
Remarque. Si f est définie par deux variables «muettes» f : (x, y) 7→ f (x, y), il est d’usage de noter
x1 = x et x2 = y et on note
4/21
∂f
∂f ∂f
∂f
au lieu de
,
au lieu de
.
∂x
∂x1 ∂y
∂x2
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Calcul différentiel
Exo. Calculer les dérivées partielles de l’application f définie par
xy 2
f (x, y) = 2
si (x, y) 6= (0, 0), et f (0, 0) = 0, d’abord en un point autre que (0, 0), puis en
x + y4
(0, 0).
Proposition. Décomposition dans l’espace d’arrivée. (1)
Pour une fonction f : U ⊂ Rp → Rn , on note f = (f1 , . . . , fn ), où ∀i ∈ J1, nK, fi : U → R est la
ième fonction coordonnée de f .
Alors f admet des dérivées partielles en a ∈ U ssi chacune de ses fonctions coordonnées en admet,
et dans ce cas, on a :
Ç
å
∂f
∂f1
∂fn
∀j ∈ J1, pK,
(a) =
(a), . . . ,
(a)
∂xj
∂xj
∂xj
Remarque. Pour calculer les dérivées partielles d’une fonction f : U ⊂ Rp → Rn , il suffit donc :
• d’après la proposition précédente, de savoir calculer les dérivées partielles de n fonctions de U dans R
• d’après la remarque pratique précédente, de savoir calculer les dérivées de fonctions de R dans R (les np
applications partielles associées aux n fonctions coordonnées précédentes).
Exo. Calculer les trois dérivées partielles de l’application h : (r, φ, θ) 7→ (r cos θ cos φ, r cos θ sin φ, r sin θ).
Définition.
Soit f : U ⊂ Rp → Rn .
Si elle existe, on appelle j ème dérivée partielle (première) de f , la fonction
définie par :
∂j f =
∂f
:
∂xj
U
a
∂f
de U dans Rn
∂xj
→ Rn
∂f
7→
(a)
∂xj
Proposition. (2)
Les règles de calcul pour les dérivées partielles sont les mêmes que pour les fonctions d’une variable
réelle :
• si f, g : U ⊂ Rp → Rn et si λ ∈ R, on a (en cas d’existence) :
∂(λf + g)
∂f
∂g
=λ
+
∂xj
∂xj
∂xj
• si f et g sont à valeurs réelles :
∂(f g)
∂f
∂g
=
g+f
∂xj
∂xj
∂xj
• si de plus g ne s’annule pas sur U :
∂(1/g)
1 ∂g
=− 2
∂xj
g ∂xj
Exemple. Soit U = {(x, y) ∈ R2 / xy > −1} ; soit f : (x, y) ∈ U 7→


0 si (x, y) = (0, 0)
.
ln(1 + xy)
si
(x,
y)
=
6
0
x2 + y 2
Montrer que f n’est pas continue en (0, 0), mais admet des dérivées partielles en tout point de U .


Une fonction de plusieurs variables peut donc très bien ne pas être continue en un point et admettre
des dérivées partielles en ce point ! Cela contredit l’intuition qu’on a lorsqu’on pense aux fonctions
d’une variable réelle pour lesquelles dérivabilité implique continuité…
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2.2
Calcul différentiel
Fonctions de classe C 1
Définition.
Soit f une application définie sur un ouvert U de Rp , à valeurs dans Rn .
On dit que f est de classe C 1 sur U lorsque toutes les dérivées partielles d’ordre 1 de f existent
et sont continues sur U .
C’est-à-dire lorsque, pour tout j entre 1 et p, f admet une j ème dérivée partielle en tout point de
∂f
U , telle que
soit continue sur U .
∂xj
Exemple.
• (r, θ) ∈ R2 7→ (r cos θ, r sin θ) est de classe C 1 sur R2 .
• h : (r, φ, θ) 7→ (r cos θ cos φ, r cos θ sin φ, r sin θ) est de classe C 1 sur R3 .
Proposition. (3)
Soient f et g deux fonctions de classe C 1 sur U , α ∈ R.
• αf + g est C 1 sur U .
• Si de plus f et g sont à valeurs réelles, alors f g est C 1 sur U .
1
• Si de plus g est à valeurs dans R∗ , alors est C 1 sur U .
g
Preuve. C’est une conséquence de la proposition. (2) et des propriétés usuelles des fonctions continues.
Proposition. Fonctions usuelles de classe C 1 . (4)
• Les applications linéaires de Rp dans Rn sont C 1 sur Rp .
• Les fonctions polynomiales de la forme (x1 , . . . , xp ) 7→
un sous-ensemble fini de Np ) sont de classe C 1 sur Rp .
X
λ(α1 ,...,αp ) xα1 1 . . . xαp p (où I est
(α1 ,...,αp )∈I
• Les fonctions rationnelles sont de classe C 1 sur leur ensemble de définition.
Théorème.(5)
Soit f : U ⊂ Rp → Rn . Si f est C 1 sur U , alors elle admet, en tout point a ∈ U , le développement
limité suivant :
p
X
∂f
f (a + h) = f (a) +
hj
(a) + khkε(h)
∂xj
j=1
où h = (h1 , . . . , hp ) et ε : Rp → Rn est une fonction vérifiant ε(h) −−−−−→ 0Rn .
Ou encore : Si f est C 1 sur U , alors ∀(x = (x1 , . . . , xp ), y = (y1 , . . . , yp )) ∈ Rp × Rp ,
f (y) = f (x) +
p
X
j=1
(yj − xj )
∂f
(x) + ky − xkε(y)
∂xj
h→0Rp
avec ε(y) −−−→ 0Rn
y→x
Preuve. Démonstration non exigible.
Corollaire.(6)
Toute fonction de classe C 1 sur U est continue sur U .
xy 2
si (x, y) 6= (0, 0), et f (0, 0) = 0.
x2 + y 4
Elle est de classe C 1 sur R2 r {(0, 0)}, mais pas sur R2 .
Exemple. On considère f définie par f (x, y) =
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2.3
Calcul différentiel
Différentielle
On rappelle que f , définie sur un intervalle I de R, à valeurs dans Rn , est dérivable en a (a ∈ I)
lorsqu’il existe ` dans Rn tel que,
f (a + h) − f (a) = h` + o (h)
h→0
On peut remarquer que l’application h ∈ R 7→ h` ∈ Rn est linéaire.
On va généraliser ce point de vue aux fonctions de Rp dans Rn (et non pas celui du taux d’accroissement
qui n’aurait pas de sens dans l’evn Rp ).
Définition.
Soit f définie sur un ouvert U de Rp , à valeurs dans Rn . Soit a un point de U .
On appelle différentielle de f en a l’application linéaire df (a) de Rp dans Rn définie par :
df (a) : (h1 , . . . , hp ) 7→
p
X
hj
j=1
Notation. On note souvent df (a).h au lieu de df (a)(h) (car
p
X
∂f
(a)
∂xj
hj
j=1
∂f
(a) apparaît naturellement comme
∂xj
un produit scalaire).
Avec cette convention, si f est de classe C 1 sur U , l’application df (a) est l’unique application linéaire telle
que :
f (a + h) = f (a) + df (a).h + khkε(h)
Exemple. Si f ∈ L(Rp , Rn ), alors en tout a de Rp , la différentielle de f est : df (a) = f .
Remarque. df (a) étant une application linéaire de Rp dans Rn , on peut donc écrire sa matrice relativement
aux bases canoniques resp. de Rp et Rn : c’est la matrice
2.4
2.4.a
Å
ã
∂fi
(a) , appelée matrice jacobienne de f en a.
∂xj
Règle de la chaîne et dérivation d’une fonction composée
Règle de la chaîne
On examine ici un cas particulier, plus simple que le cas général et d’un usage assez fréquent, de la
composition de fonctions de classe C 1 .
Théorème. Dérivée le long d’un arc C 1 .(7)
Soit U un ouvert de Rp , f une application de classe C 1 de U dans Rn , ϕ une application de
classe C 1 d’un intervalle I de R dans U (ϕ(t) = (ϕ1 (t), . . . , ϕp (t))) :
ϕ
f
I −−−−−−→ U ⊂ Rp −−−−−−→ Rn
Alors f ◦ ϕ est de classe C 1 sur I, et, pour tout t dans I :
(f ◦ ϕ)0 (t) =
p
X
j=1
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ϕ0j (t)
∂f
(ϕ(t)) = df (ϕ(t)) . ϕ0 (t)
∂xj
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Calcul différentiel
En pratique.
• En mathématiques, dans le cas où p = 2 et ϕ(t) = (x(t), y(t)), on a donc :
(f ◦ ϕ)(t) = f (x(t), y(t))
∂f
∂f
donc (f ◦ ϕ)0 (t) = x0 (t) (x(t), y(t)) + y 0 (t) (x(t), y(t))
∂x
∂y
• En physique, où l’on ne manipule pas des fonctions mais des grandeurs qui dépendent les unes des autres,
la règle de la chaîne s’écrit :
df
∂f dx ∂f dy
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
2.4.b
Fonction constante sur un ouvert convexe
Proposition. (8)
Soit f une application de classe C 1 sur un ouvert convexe U de Rp , à valeurs dans Rn .
Alors f est constante sur U si et seulement si la différentielle de f est nulle en tout point de U
(ce qui équivaut à dire que les dérivées partielles de f sont nulles en tout point de U ).
Preuve.
Puisque U est convexe, ∀(a, b) ∈ U 2 , [a, b] ⊂ U .
Soient donc (a, b) ∈ U 2 ; puisque U est ouvert, ∃α > 0/ ∀t ∈] − α, 1 + α[, a + t(b − a) ∈ U .
Soit alors ϕ : t ∈] − α, 1 + α[7→ f (a + t(b − a)) ∈ Rn : ϕ est C 1 par composition.
• Si f est constante sur U , alors ses D.P. sont nulles, donc ∀a ∈ U, df (a) = e
0.
• Réciproquement : on suppose que les D.P. de f sont nulles sur U ; soit (a, b) ∈ U 2 , b 6= a.
On a donc ϕ0 = e
0 sur [0, 1] intervalle, donc ϕ est constante sur [0, 1], et en particulier ϕ(0) = ϕ(1).
|{z}
f (a)
2.4.c
|{z}
f (b)
Dérivées partielles d’une composée
Prenons un exemple (ce qui figure au programme, c’est la proposition qui suit, mais en physique vous rencontrez aussi cette
configuration) : soit f une application définie sur un ouvert U de R3 , à valeurs dans Rn .
f : (x1 , x2 , x3 ) ∈ U 7→ f (x1 , x2 , x3 )
et soit Φ une application définie sur R2 , à valeurs dans U :
Φ : (u, v) ∈ R2 7→ (Φ1 (u, v), Φ2 (u, v), Φ3 (u, v)) ∈ U
On désigne par g la composée :
g = f ◦ Φ : (u, v) 7→ f (Φ1 (u, v), Φ2 (u, v), Φ3 (u, v))
On peut alors déterminer les dérivées partielles de g à l’aide de celles de f et de Φ, en utilisant la règle
de la chaîne :
∂g
∂f
∂Φ1
∂f
∂Φ2
∂f
∂Φ3
∀(u, v) ∈ R2 ,
(u, v) =
(Φ(u, v))
(u, v) +
(Φ(u, v))
(u, v) +
(Φ(u, v))
(u, v).
∂u
∂x1
∂u
∂x2
∂u
∂x3
∂u
Théorème. Règle de la chaîne.(9)
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Calcul différentiel
Soit f une fonction réelle de classe C 1 sur un ouvert U de R2 et x et y deux fonctions de classe
C 1 sur un ouvert V de R2 telles que ∀(u, v) ∈ V, (x(u, v), y(u, v)) ∈ U .
Alors g : (u, v) 7→ f (x(u, v), y(u, v)) est une fonction réelle de classe C 1 sur V , et :

 ∂g (u, v) =
∀(u, v) ∈ V, ∂u
 ∂g (u, v) =
∂v
∂f
∂x
∂x (x(u, v), y(u, v)) ∂u (u, v) +
∂f
∂x
∂x (x(u, v), y(u, v)) ∂v (u, v) +
∂f
∂y
∂y (x(u, v), y(u, v)) ∂u (u, v)
∂f
∂y
∂y (x(u, v), y(u, v)) ∂v (u, v)
(Les dérivées partielles de f sont évaluées en (x(u, v), y(u, v)), celles de x et y en (u, v).)
Remarque. En pratique, on note :
∂g
∂f ∂x ∂f
=
+
∂u
∂x ∂u ∂y
∂g
∂f ∂x ∂f
=
+
∂v
∂x ∂v
∂y
∂y
∂u
∂y
∂v
Exemple : le cas particulier des coordonnées polaires.
x : (r, θ) 7→ r cos θ et y : (r, θ) 7→ r sin θ sont des fonctions réelles de classe C 1 sur R2 .
Si f est une fonction réelle de classe C 1 sur R2 , alors g : (r, θ) 7→ f (r cos θ, r sin θ) est de classe
C 1 sur R2 et :
∀(r, θ) ∈ R2 ,

∂g
∂f
∂f

 (r, θ) = cos θ
(r cos θ, r sin θ) + sin θ (r cos θ, r sin θ)

∂r
∂x
∂θ
2.4.d
∂y
∂g
∂f
∂f


 (r, θ) = −r sin θ
(r cos θ, r sin θ) + r cos θ (r cos θ, r sin θ)
∂x
∂y
Résolution d’une équation aux dérivées partielles
Exo.
Résoudre l’équation aux dérivées partielles x
le changement de variables en polaires.
2.5
∂f
∂f
−y
= 0 sur l’ouvert U = R+∗ × R via
∂y
∂x
Gradient
Définition.
Soit f une application de classe C 1 sur un ouvert U de Rp , à valeurs dans R .
Le gradient de f en a est le vecteur
Ç
∇f (a) =
On a ainsi :
å Å
∂f
∂f
(a), . . . ,
(a)
∂x1
∂xp
−−→
=n gradf (a) = gradf (a)
ã
not
∀h ∈ Rp , df (a).h = (gradf (a)|h)
et donc
f (a + h) = f (a) + (gradf (a)|h) + o (h)
h→0
Exemple. Il faut savoir calculer le gradient en coordonnées polaires !
∂F −
→ + 1 ∂F −
→
Soit F (ρ, θ) = f (ρ cos θ, ρ sin θ) ; alors gradf =
u
vθ .
θ
∂ρ
ρ ∂θ
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Calcul différentiel
Exemples issus de la physique.
• Le champ électrostatique dérive d’un potentiel scalaire :
−→
~ = −−
E
grad(V )
• La loi de Fourier indique que la densité du flux de chaleur est proportionnelle au gradient de
température :
−−→
ϕ
~ = −λ grad(T )
où λ est la conductivité thermique.
• Loi de Fick indique que le flux de diffusion est proportionnel au gradient de concentration.
−→
~jA = −DAB −
grad(CA )
où DAB est le coefficient de diffusion de A dans le milieu B considéré.
3
3.1
Applications géométriques
Courbes du plan définies par une équation cartésienne implicite
Le plan usuel est identifié à R2 et muni d’un repère orthonormé direct.
Introduction : On rencontre habituellement des courbes définies de diverses manières :
• Courbe représentative d’une fonction, d’équation y = f (x)
n
x(t)
• Courbe donnée par un paramétrage cartésien : t 7→
y(t)
• Courbe d’équation cartésienne implicite F (x, y) = 0 (ex : x2 + y 2 = 1)
On note immédiatement
qu’une courbe d’équation y = f (x) a une équation implicite y − f (x) = 0, et peut être paramétrée en
n
t
.
f (t)
? On voit facilement qu’il y a beaucoup de courbes supports d’arcs paramétrés oußadmettant une équation implicite qui ne se
x(t) = 3 cos(t)
laissent pas représenter entièrement par une équation cartésienne y = f (x) (ex : t 7→
ou x2 + y 2 = 1).
y(t) = 2 sin(t)
? Cependant, localement, grâce à des théorèmes, on peut représenter une courbe définie implicitement par une équation cartésienne
?
cartésiennes par t 7→
ou un paramétrage.
Définition.
Soit f : R2 → R
une fonction de classe C 1 . L’ensemble Γ des points M (x, y) tels que
(x, y) 7→ f (x, y)
f (x, y) = 0 s’appelle la courbe d’équation cartésienne (implicite) f (x, y) = 0.
Exemple. Le cercle de centre O et de rayon 1 a pour équation cartésienne (implicite) x2 + y 2 = 1.
Définition.
En conservant les notations de la définition précédente :
• Un point M (x, y) ∈ Γ est dit régulier si et seulement si ∇f (x, y) 6= 0.
• La courbe Γ est dite régulière si et seulement si tous ses points sont réguliers.
Théorème.(10)
Soit Γ une courbe d’équation cartésienne f (x, y) = 0, où f est de classe C 1 . Au voisinage de
tous ses points réguliers, la courbe peut localement être paramétrée par :
(
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x = x(t)
y = y(t)
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2015
PC*
Calcul différentiel
Remarque. Plus formellement, si M0 (x0 , y0 ) est un point régulier de Γ, on peut trouver un voisinage
U de M0 et deux fonctions x, y de classe C 1 sur ]t0 − α, t0 + β[ (α, β > 0) tels que :
x(t0 ) = x0 et y(t0 ) = y0
∀M (x, y) ∈ Γ ∩ U, ∃t ∈]t0 − α, t0 + β[ t.q.
®
x = x(t)
y = y(t)
Preuve. Admis.
Proposition. (11)
Soit Γ une courbe d’équation cartésienne f (x, y) = 0, où f est de classe C 1 , et M0 (x0 , y0 ) un point
régulier de Γ.
Alors Γ admet une tangente en M0 , dont ∇f (M0 ) est un vecteur normal.
Preuve.
Remarque. On a donc une équation de cette tangente par le raisonnement suivant :
−−−→
N (x, y) ∈ T ⇐⇒ M0 N ⊥ ∇f (M0 )
≠
Å ∂f
ã∑
x−x0
∂x (M0 )
⇐⇒
,
=0
∂f
y−y0
(M )
∂y
⇐⇒
0
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ) = 0
∂x
∂y
Exemple. Former une équation de la tangente à l’hyperbole d’équation x2 −
√
coordonnées ( 3, 2).
y2
2
= 1 au point de
Définition.
Soit U un ouvert
de R2 , f une fonction réelle de classe C 1 sur U et λ un réel.
(
(x, y) ∈ U
Le système
définit une courbe de R2 , appelée ligne de niveau λ de f .
f (x, y) = λ
Un peu de Python,
voir fin du poly pour une représentation en python des lignes de niveau.
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Calcul différentiel
Proposition. (12)
En un point régulier M0 (x0 , y0 ) de la ligne de niveau Γλ de f , ∇f (x0 , y0 ) est orthogonal à Γλ et
orienté dans le sens des valeurs croissantes de f .
Preuve. On applique le théorème précédent à f − λ.
Ä
−−−−→ä
Si M0 (resp. M00 ) sont sur les lignes de niveau λ (resp. λ0 ), avec λ < λ0 , alors on a : f (M00 ) − f (M0 ) ' ∇f (M0 )|M0 M00 ,
|
donc ∇f (M0 ) est orienté dans le sens des valeurs croissantes de f .
{z
>0
}
Exemple issu de la physique. En électrostatique, les lignes de champ et les lignes équipotentielles
sont orthogonales.
3.1.a
Surface de l’espace définies par une équation cartésienne implicite
L’espace usuel est identifié à R3 et muni d’un repère orthonormal direct.
Définition.
Soit f : R3 → R
une fonction de classe C 1 . L’ensemble Σ des points M (x, y, z) tels
(x, y, z) 7→ f (x, y, z)
que f (x, y, z) = 0 s’appelle la surface d’équation cartésienne (implicite) f (x, y, z) = 0.
Exemple.
La sphère de centre O et de rayon 1 a pour équation cartésienne (implicite) x2 + y 2 + z 2 = 1.
Définition.
En conservant les notations de la définition précédente :
• Un point M (x, y, z) ∈ Σ est dit régulier si et seulement si ∇f (x, y, z) 6= 0.
• La surface Σ est dite régulière si et seulement si tous ses points sont réguliers.
Définition.
Soit Σ une surface d’équation f (x, y, z) et M0 (x0 , y0 , z0 ) un point régulier. On appelle plan
tangent à Σ en M0 le plan passant par M0 , et orthogonal à ∇f (x0 , y0 , z0 ).
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Remarque. On a donc une équation du plan tangent par le raisonnement suivant :
−−−→
N (x, y, z) ∈ T ⇐⇒ M0 N ⊥ ∇f (M0 )
*
!+
∂f
x−x0 ∂x (M0 )
∂f
y−y0 ,
⇐⇒
=0
∂y (M0 )
z−z0
∂f
∂z
(M0 )
∂f
∂f
∂f
⇐⇒
(x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) +
(x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
∂x
∂y
∂z
Exemple. Déterminer une équation du plan tangent à l’ellipsoïde d’équation x2 + y4 + z9 = 1 au
2
point de coordonnées
√1 , 1 , 0
2 2
2
.
Définition.
Soit Σ une surface d’équation cartésienne f (x, y, z) = 0. On appelle courbe tracée sur la
surface Σ toute courbe paramétrée γ : t ∈ I 7→ (x(t), y(t), z(t)) telle que :
∀t ∈ I, f (γ(t)) = 0
Remarque. Bien sûr, si f est définie sur U ouvert de R3 et γ définie sur I, on suppose que γ(I) ⊂ U .


x = x(t)
Remarque. Une courbe tracée sur Σ est d’abord une courbe paramétrée par y = y(t)


z = z(t)
Ñ 0 é
x (t)
En un point régulier, sa tangente est dirigée par le vecteur vitesse γ 0 (t) = y 0 (t) .
z 0 (t)
.
Proposition. (13)
La tangente en M0 à une courbe tracée sur Σ est une droite incluse dans le plan tangent à Σ
passant par M0 .
Preuve.
Remarque. On peut aussi définir un courbe comme intersection de deux surfaces. Dans ce cas, il s’agit
d’une courbe tracée sur chacune des deux surfaces, que l’on peut en général supposer localement paramétrable.
4
4.1
Dérivées partielles d’ordre 2
Généralités
Définition.
Soit f admettant une dérivée partielle première d’indice i en tout point de U .
∂f
Si
admet en a (point de U ) une dérivée partielle d’indice j, alors celle-ci est appelé dérivée
∂xi
∂2f
∂2f
partielle en a d’ordre 2 d’indice (i, j), noté
(a) (ou
(a) si i = j).
∂xj ∂xi
∂x2i
Å
ã
∂2f
∂
∂f
Ainsi
(a) =
(a) = ∂j (∂i (f )) (a)
∂xj ∂xi
∂xj ∂xi
∂f
∂f
(x, b) −
(a, b)
2f
∂
∂y
∂y
2
Exemple. Si f : R 7→ R,
(a, b) = lim
x→a
∂x∂y
x−a
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Calcul différentiel
Définition.
f est de classe C 2 sur l’ouvert U si et seulement si f admet des dérivées partielles d’ordre 2 en
tout point de U et si les p2 dérivées partielles d’ordre 2 sont continues sur U .
L’ordre dans lequel sont effectuées les dérivations partielles n’est pas indifférent !!!! sauf dans le
cas suivant :
Théorème de Schwarz.(14)
Si f admet au voisinage de a des dérivées partielles secondes continues au point a d’indice (i, j)
∂2f
∂2f
et (j, i) avec i 6= j, alors
(a) =
(a).
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
Preuve. Admis.
xy(x2 − y 2 )
et f (0, 0) = 0, on trouve :
x2 + y 2


∂f


∂f
y(x4 − y 4 + 4x2 y 2 )




(x, y) =

 ∂x (0, 0) = 0
2
2
2
∂x
(x + y )
pour (x, y) 6= (0, 0),
et
4 − y 4 − 4x2 y 2 )


∂f
x(x
∂f




(x, y) =
(0, 0) = 0


2
2
2
∂y
(x + y )
∂y
∂2f
∂2f
et donc
(0, 0) = 1 6= −1 =
(0, 0).
∂x∂y
∂y∂x
Contre-exemple. Pour f (x, y) =
4.2
Exemples d’équations aux dérivées partielles
On essaiera, par un changement de variable, de se ramener à l’un des résultats suivants :
Résultat. (15)
Équations de la forme
∂f
(x, y) = g(x, y)
∂x
où g : R2 → R est une fonction continue. Les solutions C 1 sur U , ouvert de R2 , de cette équation
sont de la forme
Z
f (x, y) = g(x, y) dx + K(y)
où
Z
g(x, y) dx est une primitive de g par rapport à x et K est une application de classe C 1 sur
la projection de U sur (Oy).
Résultat. (16)
Équations de la forme
∂2f
(x, y) = 0
∂x2
Les solutions de classe C 2 sur U de cette équation sont de la forme :
f (x, y) = xK(y) + L(y)
où K et L sont de classe C 2 sur la projection de U sur (Oy).
Résultat. (17)
Équations de la forme
∂2f
(x, y) = 0
∂x∂y
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Calcul différentiel
Les solutions de classe C 2 sur U de cette équation sont de la forme :
f (x, y) = K(x) + L(y)
où K et L sont de classe C 2 sur resp. les projections de U sur (Ox) et (Oy).
Remarque. Faire un changement de variable, c’est poser (u, v) en fonction de (x, y) ou l’inverse. Si f (x, y)
est la fonction inconnue, on note F (u, v) la nouvelle fonction inconnue et il faut exprimer les relations liant
dérivées partielles de F et celle de f pour trouver l’EDP satisfaite par F .
(
Exemple. Pour a ∈ R, effectuer le changement de variable
u=x+y
v =x−y
et résoudre l’équation :
∂f
∂f
−
=a
∂x ∂y
Exemple. Pour k ∈ R, passer en coordonnées polaires pour résoudre l’équation :
x
Exemple. Pour c ∈ R, poser
de d’Alembert :
(
∂f
∂f
−y
= kf
∂y
∂x
u = x − ct
v = x + ct
pour résoudre l’équation de propagation ou équation
∂2f
1 ∂2f
−
=0
∂x2 c2 ∂t2
rencontrée pour la corde vibrante, le son, les ondes électromagnétiques etc.
Résultat. (18)
Pour déterminer, sur U ouvert, les solutions C 2 d’un système aux dérivées partielles de la forme :
( ∂f
∂x (x, y)
∂f
∂y (x, y)
= g(x, y)
= h(x, y)
on commence par vérifier que les dérivées partielles croisées sont égales. On résout l’une des
deux EDP (apparition d’une « constante » d’intégration, qui est une fonction de y ou x), et on
cherche, parmi les solutions obtenues, celles qui satisfont la seconde EDP (condition sur cette
« constante »).
Exemple. Résoudre le système aux dérivées partielles :
( ∂f
∂x (x, y)
∂f
∂y (x, y)
5
5.1
= (x + 1) cos(x + y) + sin(x + y) − sin x
= (x + 1) cos(x + y)
Extremums d’une fonction de Rp dans R
Définitions
Soit f une application de classe C 1 sur un ouvert U de Rp , à valeurs réelles .
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15/21
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Calcul différentiel
Définition.
On dira que f atteint un maximum (local) en a ∈ U lorsqu’il existe un voisinage V de a dans U /
∀x ∈ V,
f (x) 6 f (a)
On dit que le maximum est global lorsque
∀x ∈ U,
f (x) 6 f (a)
Remarques.
5.2
•
On peut remplacer «un voisinage V de a dans U » par «une boule ouverte B(a, r) ⊂ U (r > 0)».
•
On définit de même un minimum local.
•
Lorsque l’on parle d’extremum sans précision, on parle d’extremum local.
Points critiques
Proposition. (19)
Si f admet des dérivées partielles en a, et si f atteint un extremum en a, alors ses dérivées
partielles en a sont nulles.
Preuve. Il suffit de remarquer que chaque application partielle f (a1 , . . . , aj−1 , •, aj+1 , . . . , an ) de f en a est définie,
dérivable au V(aj ) et admet un extremum local en aj , donc a une dérivée nulle en aj (C.N. d’extremum pour une
∂f
fonction d’une variable réelle à valeurs dans R, dérivable) ie
(a) = 0.
∂xj
Définition.
Soit f une application de classe C 1 sur un ouvert U de Rp , à valeurs réelles.
On dit que a est un point critique de f lorsque la différentielle de f en a est nulle, i.e. lorsque
toutes les dérivées partielles de f en a sont nulles.
Proposition. (20)
Soit f une application de classe C 1 sur un ouvert U de Rp , à valeurs réelles.
Si f atteint un extremum en a, alors a est un point critique pour f .
Preuve. autre formulation de la prop précédente.
• On n’a ici qu’une condition nécessaire d’extremum.
Exemple. Déterminer les points critiques
de f : (x, y) 7→ x3 − y 2 − x
16/21
•
Si U n’est pas ouvert, on peut avoir des
extremums en des points non critiques (sur les
«bords» de U ).
Exemple. (x, y) 7→ x2 + y 2 sur le fermé
borné [−1, 1] × [−1, 1]
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Calcul différentiel
Exemple. Déterminer les extremums de f : (x, y) 7→ x2 + y 2 − 2x − 4y.
Exemple. Rechercher les extremums de f : (x, y) 7→ x3 + y 3 − 6(x2 − y 2 ).
5.3
Rappel : extrema sur un fermé borné
Théorème (rappel).(21)
Soit f : Rp → R. Si :
• f est continue sur K ⊂ Rp ,
• K est une partie fermée et bornée de Rp
alors :
◦ f est bornée sur K, et atteint ses bornes.
Remarque. Ainsi, une fonction continue sur un fermé borné admet un maximum et un minimum globaux.
Exemple. Justifier l’existence et déterminer le maximum sur K = [0, 1] × [0, 1] de la fonction :
f : (x, y) 7→
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x+y
(1 + x2 )(1 + y 2 )
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Calcul différentiel
Tracés de lignes de niveaux
Un peu de théorie
On s’intéresse à une fonction de deux variables, par exemple :
f : (x, y) 7→ (1 − x)2 + (y − x2 )2
et on souhaite proposer une représentation graphique de cette fonction. Une première idée, que nous
ne développerons pas ici, est de représenter la surface d’équation z = f (x, y) :
Représentation des lignes de niveaux
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
À l’image des courbes de niveaux des cartes de randonnées, on va plutôt représenter plusieurs courbes
définies de façon implicite par les équations :
f (x, y) = λ
On travaille bien sûr en discrétisant le problème. On décide des valeurs prises par x et y. Le pas de
discrétisation est ici volontairement trop grand pour l’affichage.
les_x = np.arange(-1, 1, .5)
les_y = np.arange(-1, 2, .5)
print(les_x)
print(les_y)
# [-1. -0.5 0. 0.5]
# [-1. -0.5 0. 0.5 1. 1.5]
On construit ensuite un maillage bidimensionnel de tous les couples de valeurs que l’on envisage, grâce
à la fonction np.meshgrid :
X, Y = np.meshgrid(les_x, les_y)
print(X)
print(Y)
# [[-1. -0.5 0. 0.5]
# [-1. -0.5 0. 0.5]
# [-1. -0.5 0. 0.5]
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#
#
#
#
#
#
#
#
#
[-1.
[-1.
[-1.
[[-1.
[-0.5
[ 0.
[ 0.5
[ 1.
[ 1.5
-0.5
-0.5
-0.5
-1.
-0.5
0.
0.5
1.
1.5
Calcul différentiel
0.
0.
0.
-1.
-0.5
0.
0.5
1.
1.5
0.5]
0.5]
0.5]]
-1. ]
-0.5]
0. ]
0.5]
1. ]
1.5]]
En « superposant » ces deux matrices, on obtient les coordonnées de tous les couples de points de
notre discrétisation. On construit une 3ème matrice contenant les valeurs de f (x, y) en chacun de ces
points, en évitant l’utilisation de boucles (numpy propose des fonctions vectorialisées) :
Z = (1-X)**2+(Y-X**2)**2
print(Z)
# [[ 8.
3.8125 2.
# [ 6.25
2.8125 1.25
# [ 5.
2.3125 1.
# [ 4.25
2.3125 1.25
# [ 4.
2.8125 2.
# [ 4.25
3.8125 3.25
1.8125]
0.8125]
0.3125]
0.3125]
0.8125]
1.8125]]
Il suffit alors d’utiliser la fonction plt.contour selon la syntaxe suivante, où 20 est le nombre de
courbes de niveaux souhaitées :
graphe = plt.contour(X,Y,Z,20,colors='gray')
plt.show()
Sans l’option colors='gray', le graphe obtenu est en couleurs. Pour savoir à quelle ligne de niveau
correspond chaque tracé, on peut ajouter un libellé à chaque courbe :
plt.clabel(graphe,inline=1,fontsize=10,fmt='%3.1f')
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19/21
2015
PC*
Calcul différentiel
On peut enfin préférer un dégradé de couleur entre les lignes de niveau. C’est le rôle de la fonction
plt.contourf :
plt.contourf(X,Y,Z,20)
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Exo 7
Exo 1
Les applications suivantes se prolongent-elles en des applications
continues sur R2 ?
xy
x2 y
|xy|α
(x, y) 7−→ 2
(x,
y)
−
7
→
(x,
y)
−
7
→
x + y2
x4 + y 2
x2 + y 2
Exo 2
On pose f (x, y) = p
xy
et f (0, 0) = 0.
+ y2
Déterminer une équation de la tangente en M0 (x0 , y0 ) à l’ellipse
x2 y 2
d’équation 2 + 2 = 1.
a
b
Exo 8
PC*
2014-2015
2015
Déterminer les points de la surface (S) d’équation x2 −
y 2 + z 2 = 1 dont le plan tangent est parallèle au plan (Π) d’équation
2x + y − z = 0.
x2
1 Montrer que f est continue sur R2 .
Exo 9
2 Démontrer que f admet des D.P. en tout point de R2 .
Exo 3
En utilisant un changement de variables “en polaires”, résoudre l’
∂f
∂f
équation aux dérivées partielles suivante : y
−x
=0
∂x
∂y
En utilisant le changement de variables x = u + v, y = uv, trouver
∂2f
∂2f
∂2f
∂f
des solutions de l’équation
+x
+y 2 +
=0
2
∂x
∂x∂y
∂y
∂y
Exo 4
Étudier les extremums des fonctions suivantes :
(x, y) 7−→ x2 + x4 + y 4
(x, y) 7−→ x4 + y 4 − 2(x − y)2
2
2
2
(x, y, z) 7−→ x + y + z − 2xyz
Exo 5
Exo 6
21/21
Soit f : R2 → R C 1 telle que ∀(x, y), f (x, y) = f (y, x) et
∀x, f (x, x) = x. Déterminer en tout (x, x) de R2 le gradient de
f.
x2
2
∂2f
∂2f
2∂ f
+
2xy
+
y
=0
∂x2
∂x∂y
∂y 2
en posant x = u et y = uv.
Exo 10
Déterminer la différentielle de A ∈ Mn (R) 7→ A> A.
Exo 11
On suppose Rn muni de sa structure euclidienne cano-
nique, et on considère f un endomorphisme symétrique de Rn à
valeurs propres strictement positives. On fixe u ∈ Rn , et on définit :
1
h : x 7→ hf (x), xi − hu, xi
2
Montrer que f est de classe C 1 sur Rn , et qu’elle admet un unique
point critique en lequel elle atteint son minimum global.
Exo 12
On considère : f : (x, y) → x2 e−(x
2 +y 2 )
(1) La fonction f possède-t-elle des maximums/minimums locaux/globaux sur R2 ?
(2) Soit S = {(x, y, z) ∈ R3 , z = f (x, y)}. Déterminer le plan
tangent à S au point (1, 1, e−2 ).
(3) Soit P (1, −1, 3). Pour Q ∈ S, on note dP (Q) la distance de Q
à P . Montrer que la fonction dP admet un minimum sur S.
Calcul différentiel
Soit ϕ : R2 → R C 1 et g : t 7→ ϕ(t, t2 ). Calculer g 0 (1).
Résoudre l’équation aux dérivées partielles :
`