Correction du DSn°6

CORRECTION
DS 6 (1H ENVIRON )
MATHEMATIQUES
28
AVRIL
2015
2°6
INEQUATIONS-EQUATIONS DE DROITES
Exercice 1 : 4 points 1) 0.5 + 0,5 ; 2) 0.5 + 0,5 + 1 + 1
A sa grande surprise, Charlie vient d’être nommé responsable de la chocolaterie de son village.
On note x la quantité de chocolat produite (en tonnes) avec 0 ≤ x ≤ 60.
Charlie a calculé les formules donnant le coût C(x) et la recette R(x) de la chocolaterie (en milliers d’euros) en
fonction de la quantité produite x de chocolat : C(x) = x² + 30 x + 1000
et
R(x) = 100x.
1) On a tracé à la calculatrice les courbes des deux fonctions C et R.
a) la courbe de R est la demi-droite.
b) Sachant que l’axe des abscisses est gradué toutes les 10 tonnes, lire
graphiquement pour quelles valeurs de x on a
C(x) ≤ R(x). On lit que la courbe de C est en-dessous de la courbe de R
pour x compris entre 20 et 50.
2) Soit la fonction B(x) = - x²+ 70x – 1000
a)La fonction B est égale à R - C, elle correspond au bénéfice
de la chocolaterie.
b) (-x+20)(x-50) = - x² + 50x + 20x - 1000 = -x² + 70 x – 1000 = B(x)
c)
x
0
20
-x + 20
+
x - 50
-
Produit
-
50
0
60
-
-
0
0
+
+
0
-
4) B(x) positif pour 20 < x < 50 donc Charlie doit produire entre 20 et 50 tonnes pour rendre rentable la
production.
Exercice 2 : 4 points 1 + 2 + 1
On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction f définie pour tout réel x non nul, f ( x) 
5
.
x
1) Résoudre graphiquement dans  l’inéquation f(x) ≥ 1. On
trace la droite d’équation y=1, la courbe est au-dessus de
cette droite pour x  [-5 ;0[.
2) a) Etudier à l’aide d’un tableau de signe le signe du
quotient
5  x
.
x
Le numérateur s’annule en -5 et le dénominateur en 0.
x
-
-5
-5-x
+
x
-
quotient
-
0
-
0
+
0
0
+
+
-
b) En déduire les solutions de l’inéquation 
5
 1 . Estx
ce cohérent avec votre réponse du 1) ?
L’inéquation 
5
5  x
5
5  x
, d’où par lecture du tableau de signe
 1 équivaut à
 0 ,car
1 
x
x
x
x
S= [-5 ;0[. C’est bien le résultat trouvé au 1).
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Exercice 3 : 3 points
1 + 0,5 + 0,5 + 1
3
5
d1 : y =  x  3
d2 : y = -1
d3 : x = 3
d4 : y = 2x + 6
Exercice 4 : 2 points
ci-contre
Exercice 5 : 3 points 0,5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 1
Dans un repère (O , I , J), on considère la droite d d’équation y = -3x + 4
1) Soit M le point de coordonnées (-2 ;10). M appartient-il à d ? Justifier.
-3×(-2) + 4 = 6 + 4 = 10 donc M ∈ d
2) Soit A le point de d d’abscisse –1/5, calculer l’ordonnée de A.
1
3 20 23
yA  3  ( )  4  

 4,6 ; yA = 4,6
5
5 5
5
3) Soit B le point de d d’ordonnée 2, calculer l’abscisse de B.
2 = -3xB + 4 soit 3xB = 4 – 2 soit xB = 2/3
4) Soit C le point d’intersection de d avec l’axe des abscisses. Quelles sont les coordonnées de C ?
0 = -3xC + 4 soit 3xC = 4 soit xC = 4/3
5) Soit la droite d’ parallèle à d et passant par le point E(-5; 2). Déterminer une équation de d’.
D et d’ sont parallèles donc elles ont le même coefficient directeur donc d’ a une équation de la forme
y = -3x + p. Par ailleurs E appartient à d’ donc yE = -3xE + p soit 2 = -3×(-5) + p
soit 2 = 15 + p soit p = -13
donc d’ a pour équation y = -3x -13
Exercice 6 : 4 points 0,5 + 1,5 + 2
Dans un repère (O , I , J), on considère les droites d 1 d’équation y= 3x - 4 et d2 d’équation y = -2x + 5 .
1. d et d’ n’ont pas le même coefficient directeur (3 et -4) donc elles ne sont pas parallèles.
2. d1 passe par (0 ; -4) et (1 ; -1). d2 passe par (0 ; 5) et (1 ; 3).
3. Pour calculer les coordonnées du point d’intersection A, on résout le système suivant :
 y  3x  4


 y  2x  5
 y  3x  4
 y  3x  4


3x  4  2x  5
3x  2x  4  5


9
27
27 20 7
4 

  1, 4
 y  3   4
 y 
 y  3x  4
5
5
5
5
5



9
9
5x  9
x   4,5
x   1,8


5
5
d et d’ sont sécantes au point A de coordonnées (1,8 ;1,4).
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